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高三培优数学椭圆

时间:2012-12-05


3 x2 y 2 1、已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过定点 (1, ) ,以其四个顶点为顶点的四边形的面 积 等 于 以 其 两 2 a b
个短轴端点和两个焦点为顶点的四边形面积的 2 倍. ⑴求此椭圆的方程;⑵若直线 x ? y ? 1 ? 0 与椭圆交于 A , B 两点, x 轴上一点 P(m,0) ,使得 ?APB 为 锐角,求实数 m 的取值范围.

3.已知椭圆 E 的中心在坐标原点, 焦点在 x 轴上, 且经过 A(?2,0) 、B(1, ) 两点.(1)求椭圆 E 的方程; (2)若椭圆 E 的左、右焦点分别是 F 、 H , 过点 H 的直线 l : x ? m y ? 1 与椭圆 E 交于 M 、 N 两点, 则 ?FMN 的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个在最大值及直线 l 的方程;若不存在, 请说明理由.

3 2

1 解:⑴以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积 S1 ? ? 2a ? 2b ? 2ab , 2 1 以两个短轴端点和两个焦点为顶点的四边形面积 S 2 ? ? 2c ? 2b ? 2cb . 2

(2)设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) ,不妨设 y1 ? 0, y2 ? 0 , 如图,设 ?FMN 的内切圆的半径为 R ,则

S ?FMN ?

1 1 (| MN | ? | MF | ? | NF |)R ? [(| MF | ? | MH |) ? (| NF | ? | NH |)]R ? ___ 2 2

S1 2ab a 3 ? ? ? 2 ,即 a ? 2c . 可设椭圆方程为_________-,代入 (1, ) 点可得 c2 ? 1 . 所求椭圆方程 2 S2 2bc c
为____________ . ⑵ 由 ?APB 为 锐 角 , 得 P A P ? 0 , 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 则 PA ? ( x1 ? m, y1 ) , ? B

当 S ?FMN 最大时, R 也最大, ?FMN 的内切圆的面积_________________, 又 S?FMN ?

??? ??? ? ?

??? ?

1 1 | FH || y1 | ? | FH || y2 | , | FH |? 2c ? 2 ∴ S?FMN ? __________ ? ___ 2 2

??? ? ??? ??? ? ? PB ? ( x2 ? m, y2 ) , PA ? PB ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? y1 y2 ? x1x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m2 ? y1 y2 ? 0 ,
x2 y 2 ? ? 1 与直线方程 x ? y ? 1 ? 0 消去 y 并整理得_____________. 联立椭圆方程 4 3
8 8 所以 x1 x2 ? ? , x1 ? x2 ? ? ,进而求得____________, 7 7 8 8 9 2 2 所以 x1 x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m ? y1 y2 ?? ? ? m ? (? ) ? m ? ? 0 , 7 7 7

?x ? m y ? 1 ? 由 ? x2 y2 得_______________________________, ? ?1 ? 3 ?4
2 2 则 ? ? (6m) ? 4 ? 9(3m ? 4) ? 0 恒成立, y1 ? y2 ?

? 6m ?9 , y1 ? y2 ? 2 3m ? 4 3m 2 ? 4

∴y1-y2=___________________________________________________________, ∴ S?FMN ?

12 m2 ? 1 3m2 ? 4
2

?4 ? 3 15 ?4 ? 3 15 )?( , ??) . 即___________,解之得 m 的取值范围 (??, 7 7
2. 如图,椭圆

设 m2 ?1 ? t ,则 t ? 1 ,且 m ? t ? 1 ,∴ S?FMN ? 设 f (t ) ?

12 m2 ? 1 =______________________, 3m2 ? 4

x y + 2 = 1 (a>b>0)的上、下顶点分别为 A、B,已知点 B 在直线 l:y=-1 上,且椭圆 2 a b

2

2

12t ,___________________________________________ 3t 2 ? 1 3 3 9? S?FMN 的最大值是 3 ∴ 4 R ? 3 , R ? ,即 R 的最大值是 ,∴ ?FMN 的内切圆的面积最大值 , 4 4 16

的离心率 e =

3 .(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)设 P 是椭圆上异于 A、B 的任意一点,PQ⊥y 轴,Q 为 2

4.已知椭圆的离心率 e ?

2 ,左、右焦点分别为 F1 , F2 ,定点 P 2, 3 ,点 F2 在线段 PF1 的中垂线 2

?

?

垂足,M 为线段 PQ 中点,直线 AM 交直线 l 于点 C,N 为线段 BC 的中点,求证:OM⊥MN.
?x ? , x ( 证明: P ? x0 , y0 ? , 0 ? 0 , Q0 ) y0 , 设 则 , 且__________. M 为线段 PQ 中点, ∴ M ? 0 , y0 ? . A ?1 ∵ 又 0 ? 2 ?

上.[(1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 交于 M、N 两点,直 线 F2 M , F2 N 的

?,

倾斜角分别为 ? , ? , 且? ? ? ? ? ,求证:直线 l 过定点,并求该定点的坐标.
2 2 解:由椭圆 C 的离心率____得_______,其中 c ? a ? b ,椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1 (?c, 0), F2 (c, 0)

又点 F2 在线段 PF1 的中垂线上∴ ∴椭圆的方程为 __________.

F1F2 ? PF2

2 2 2 ,∴ (2c) ? ( 3) ? (2 ? c) 解得 c=1,a2=2,b2=1,

交直线 l 于 H 点。(1) 求椭圆 C 的方程;(2)试探求以 GH 为直径的圆是否恒经过 x 轴上的定点?若 经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由。 (Ⅱ) 记直线 MA 、MB 的斜率分别为 k 1 、k 2 , M , A, B 的坐标分别为 M ( x0 , y0 ) , A(?3,0) , B(3,0) , 设

⑵由题意,知直线 MN 存在斜率,设其方程为 y=kx+m 由__________消去 y,得( 2k 2 ? 1 ) x 2 +4kmx + 2m2 ? 2 =0.设 M( x1 , y1 ),N( x2 , y 2 ),则 ,x1+x2=______,x1x2=__________且,KFM=_,KFN=______
kx1 ? m kx2 ? m ? ?0 x1 ? 1 x2 ? 1

? k1 ?

y0 y y2 8 , k2 ? 0 , ? k1k2 ? 2 0 .? P 在椭圆上,所以_y0=________, k 1 ?k2 ? ? , 9 x0 ? 3 x0 ? 3 x0 ? 9
y1 y , k 2 ? k MB ? 2 . 12 6

由已知α +β =π ,得 kFM+KFN=_____,即

化简,得

设 G(9, y1 ) H (9, y 2 ) ,则 k1 ? k AM ?

2m2 ? 2 4km(m ? k ) ? ? 2m ? 0 。整理得 m=________k. 2kx1 x2 ? (m ? k )( x1 ? x2 ) ? 2m ? 0 ∴ 2k ? 2 2k ? 1 2k 2 ? 1
∴直线 MN 的方程为 y=k(x-2)因此直线 MN 过定点,该定点的坐标为_______) 5.已知中心在原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为

? k1 k 2 ?

y1 y 2 y ? y2 yy 8 8 ), ,又 k 1 ?k2 ? ? . ? 1 2 ? ? ? y1 y2 ? ?64 .因为 GH 的中点为 Q(9, 1 72 9 9 72 2
y1 ? y 2 2 ( y1 ? y 2 ) 2 ) ? . 2 4

3 2

的椭圆过点( 2 ,

2 2

GH ? y1 ? y2 ,所以,以 GH 为直径的圆的方程为: ( x ? 9) 2 ? ( y ?
).

(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设不过原点 O 的直线 l 与该椭圆交于 P,Q 两点,满足直线 OP,PQ,OQ 的斜率依次成等比数列,求△OPQ 面积的取值范围. (Ⅱ)由题意可知,直线 l 的斜率存在且不为 0,故可设直线 l 的方程为 y=kx+m (m≠0),P(x1,y1),

令 y ? 0 , 得 ( x ? 9) 2 ? ? y1 y2 ? 64 ,? x ? 1, x ? 17 ,将两点 (17,0), (1,0) 代入检验恒成立. 所以,以 GH 为直径的圆恒 过 x 轴上的定点 (17, 0), (1, 0). ?

Q(x2,y2),由 ?

? y ? kx ? m, ? x ? 4 y ? 4 ? 0,
2 2

7.设椭圆 C : 消去 y 得_____则△=64 k b -16(1+4k b )(b -1)=_____>0,
2 2 2 2 2

x2 y2 1 x y 21 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,右焦点到直线 ? ? 1 的距离 d ? ,O为 2 2 a b 7 a b

坐标原点。(I)求椭圆 C 的方程;(II)过点 O 作两条互相垂直的射线,与椭圆 C 分别交于 A, B 两 .故 y1 y2=(kx1+m)(kx2+m)=____________. 点,证 明点 O 到直线 AB 的距离为定值,并求弦 AB 长度的最小值. (I)由 e ? =k ,
2

且 x1 ? x2 ?

?8km 1 ? 4k 2

, x1 x2 ?

4( m 2 ? 1) 1 ? 4k 2

因为直线 OP,PQ,OQ 的斜率依次成等比数列,所以,

y1 y2 x1 x2

?



k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 x1 x2

1 c 1 x y 21 得 ? 即a ? 2c,? b ? 3c. 由 右 焦 点 到 直 线 ? ? 1 的 距 离 为 d ? , 得: 2 a 2 a b 7

1 1 即____________=0,又 m≠0,所以 k = ,即 k= ? . 4 2
2

| bc ? ab | a2 ? b2

?

21 , 7

解得 a ? 2, b ? 3. 所以椭圆 C 的方程为_______

( II ) 设

由于直线 OP,OQ 的斜率存在,且△>0,得 0<m <2 且 m ≠1. 设 d 为点 O 到直线 l 的距离,则 S△OPQ= 所以 S△OPQ 的取值范围为 (0,1). 6.已知椭圆 C :

2

2

A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,直线 AB 的方程为 y ? kx ? m, 与椭圆_________联立消去 y 得
_______________- x1 ? x 2 ? ?

1

1 2 2 d | PQ |= | x1-x2 | | m |= m (2 ? m ) , 2 2

8km 4m 2 ? 12 ? OA ? OB,? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0, , x1 x2 ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ? x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0.
2

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆上的点到右焦点 F 的最近距离为 2,若椭圆 2 3 a b

即 (k ? 1) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m ? 0,
2

? (k 2 ? 1)

4m 2 ? 12 8k 2 m 2 ? ? m ? 0, 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

C 与 x 轴交于 A、B 两点,M 是椭圆 C 上异 于 A、B 的任意一点,直线 MA 交直线 l : x ? 9 于 G 点直线 MB

整理得 7m 2 ? 12(k 2 ? 1)

所以 O 到直线 AB 的距离_______________________

可得 ____________________由于圆 C1 在直线 l 的上方,所以动圆 C 的圆心 C 应该在直线 l 的上方,所 以有 y ? 1 ? 0 ,从而得___________,整理得 x 2 ? 8 y ,即为动圆圆心 C 的轨迹 M 的方程.
2 ? x0 ? x x x2 ? x0 , ? ,由 x 2 ? 8 y 得 y ? ,则 y ? ? 所以切线的斜率为 k ? 0 , (2)如图示,设点 P 的坐标为 ? ? 4 4 8 8? ?

? OA ? OB,?OA2 ? OB2 ? AB2 ? 2OA ? OB , 当且仅当 OA=OB 时取“=”号。
AB 2 4 21 , ? AB ? 2d ? 由 d ? AB ? OA ? OB得d ? AB ? OA ? OB ? , 2 7
二、 1.已知定点 A(-1,0)、B(1,0),动点 M 满足: AM · BM

???? ?

???? ?

可得直线 PQ 的斜率为 ? 等于点 M 到点 C(0,1)距离平

4 x2 4 ,所以直线 PQ 的方程为 y ? 0 ? ? ?x ? x0 ? .由于该直线经过点 x0 8 x0

方的 k 倍.试求动点 M 的轨迹方程,并说明方程所表示的曲线;[来源:Zxxk.Com] 2. 已知动圆 M 过定点 F(0,- 2 ),且与直线 y= 2 相切,椭圆 N 的对称轴为坐标轴,一个焦点 是 F,点 A(1, 2 )在椭圆 N 上.求动圆 M 的圆心的轨迹 ? 的方程和椭圆 N 的方程; 3.设动点 M(x, y)到直线 y=3 的距离与它到点 F(0, 1)的距离之比为 3 ,点 M 的轨迹为曲线 E. (I)求曲线 E 的方程:(II)过点 F 作直线 l 与曲线 E 交于 A, B 两点,且 AF ? ? FB .当 2 ? ? ? 3 时,求直 线 l 斜率 k 的取值范围· (Ⅰ)根据题意,|y-3|= 3· x +(y-1) .化简,得曲线 E 的方程为__________ (Ⅱ)直线 l 方程为 y=kx+1,代入曲线 E 方程,得_____________ 设 A (x1,y1),B (x2,y2),则
2 2

A?0,6? ,所以有 6 ?

2 x0 2 ? 4 ,得 x0 ? 16 .因为点 P 在第一象限,所以 x0 ? 4 ,点 P 坐标为 ?4,2? ,直 8

?x 2 ? 8 y 线 PQ 的方程为 x ? y ? 6 ? 0 . 把直线 PQ 的方程与轨迹 M 的方程联立 ? 得___________ ?x ? y ? 6 ? 0
解得 x ? ?12 或 x ? 4 可得点 Q 的坐标为 ?? 12,18? .所以 S ?

1 1 OA xP ? xQ ? ? 6 ?16 ? 48 2 2

??? ?

??? ?

5.如图,在直角坐标系中, A, B, C 三点在 x 轴上,原点 O 和点 B 分别是线段 AB 和 AC 的中点,已知

AO ? m ( m 为常数),平面上的点 P 满足 PA ? PB ? 6m 。
(1)试求点 P 的轨迹 C1 的方程; (2)若点 ? x, y ? 在曲线 C1 上,求证:点 ?

x1+x2=-

4k , 2 2k +3

4 ①x1x2=- 2 . 2k +3

②→=λ →即_____________由此得 x1=-λ x2. AF FB 因为 2≤λ ≤3,所以 2 1 ≤ λ - ≤ 2 λ

?x y ? , ? 一定在某圆 C 2 上; ?3 2 2?

③由①②③,得

1 3 λ 1 + 2= . 2= 2 4k (λ -1) 1 2 ( λ - ) λ

(3) 过点 C 作直线 l , 与圆 C 2 相交于 M , N 两点, 若点 N 恰好是线段 CM 的中点, 试求直线 l 的方程。

y P

2 3 3 1 3 1 3 1 2 , 从而 ≤ 解不等式 ≤ + 2≤2, 得 ≤k ≤3. k 的取值范围是________________ 故 2≤2, 3 4 1 4 2 4k 2 ( λ - ) λ 4.已知圆 C1 的方程为 x ? ( y ? 2) ? 1 ,定直线 l 的方程为 y ? ?1 .动圆 C 与圆 C1 外切,且与直线 l 相
2 2

x
A
解:⑴由题意可得点 P 的轨迹 C1 是以 A, B 为焦点的__________ 且半焦距长 c ? m ,长半轴长 a ? 3m ,则 C2 的方程为
Q

O

B

C

切.(1)求动圆圆心 C 的轨迹 M 的方程;(2)斜率为 k 的直线 l 与轨迹 M 相切于第一象限的点 P , 过点 P 作直线 l 的垂线恰好经过点 A(0,6) ,并交轨迹 M 于异于点 P 的点 Q ,记 S 为 ?POQ ( O 为坐 标原点)的面积,求 S 的值. 解 (1) 设动圆圆心 C 的坐标为

y

?x, y ? ,动圆半径为 R ,则 CC1

? x ? ? y ? 2? ? R ? 1, 且 y ? 1 ? R
2 2

x2 y2 ? 2 ? 1 .? 9m2 8m
O

F

A
P A x

B

⑵若点 ( x, y ) 在曲线 C1 上,则
2 2

x x y y ? 2 ? 1 .设 ? x0 , ? y0 ,则 x ? 3x0 , y ? 2 2 y0 . 代 2 3 9m 8m 2 2

2

2

??? ??? ? ? PA ? PB ? (x A ? t )(xB ? t ) ? y A y B ? (k 2 ?1) xA xB ? (t ? 3k 2 )( xA ? xB ) ? (3k 2 ? t 2)
2 12k 2 ? 4 2 8 3k ? (k ? 1) ? (t ? 3k ) ? (3k 2 ? t 2 ) 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

=____________-



x y x y 2 2 ? 2 ? 1 ,得 x0 ? y0 ? m2 ,所以点 ( , ) 定在某一圆 C2 上. 2 9m 8m 3 2 2

2 2 ⑶由题意 C (3m, 0) . 设 M ( x1 , y1 ) ,则 x1 ? y1 ? m2 因为点 N 恰好是线段 CM 的中点,所以

??? ??? ? ? 13 t 2 ? 4 11 ? 8 3t ? 4t 2 27 9 3 当 时,对任意 k ? R , PA ? PB ? ? ? , 即t ? ? 64 1 4 8 8 3
②当 AB ? x 轴时,_______________________________________

x ? 3m 2 y ) ? ( 1 ) 2 ? m 2 .联立①②,解得 x1 ? ?m , y1 ? 0 .?故 N________. 代入 C2 的方程 ( 1 2 2
直线 l 有只有一条,方程为 y ? 0 . ? ∴直线 AM 的方程为 y ?
2( y0 ? 1) x ?1. x0

故存在 x 轴上的点 P (

??? ??? ? ? 13 9 3 , 0) ,使得 PA ? PB 的值是常数 ? . 64 8

7.平面内动点 P 到点 F (1, 0) 的距离等于它到直线 x ? ?1 的距离,记点 P 的轨迹为曲线 ? . (Ⅰ)求曲线 ? 的方程;(Ⅱ)若点 A , B , C 是 ? 上的不同三点,且满足 FA ? FB ? FC ? 0 .证 ∴ 明: ?ABC 不可能为直角三角形. 解:Ⅰ)由条件可知,点 P 到点 F (1, 0) 的距离与到直线 x ? ?1 的距离相等, 所以点 P 的轨迹是以

??? ??? ??? ? ? ?

? x0 ? 0,? y0 ? 1, 令 y ? ?1 ,得 C(

).

???? ? x ? ? x0 又 B ? 0, ?1? , N 为 线 段 BC 的 中 点 , ∴ N_(______)__ ∴ NM ? ? 0 ? , y0 ? 1? . ? 2 2(1 ? y0 ) ?

???? ???? x ? x ? ? ? x0 x0 x0 OM ? NM ? 0 ? 0 ? ? ? y0 2 ? y0 ? ? y0 ? ( y0 ? 1) ? 2 ? 2 2(1 ? y0 ) ? 4 4(1 ? y0 )
2 2

F (1, 0) 为焦点, x ? ?1 为准线的抛物线,其方程为————————
(Ⅱ)假设 ?ABC 是直角三角形,不失一般性,设 ?A ? 90 , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) ,则
?

=_________________________-=0.∴ OM ? MN .

由 6.已知椭圆 C1 ,抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上, C1 的中心和 C2 的顶点均为原点 O ,从每条曲线上各取 两点,将其坐标记录于下表中:

??? ??? ? ? AB ? AC ? 0

??? ? AB ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 )
?x1 )


2

??? ? AC ? ( x3 ? x1, y3 ? y1 )
4







( x2 ?

x1 )

? x3 (

yi ( 为? , y ? y2 . 因 y1 ) xi ?( y3 ?i ? 11,) 2 , 3 ) 01 ? y2 , y1 ? y3 , 所 以 ( y

x
y

3
?2 3

?2
0

4

2
2 2

??? ??? ??? ? ? ? ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y3 ) ? 16 ? 0 .又因为 FA ? FB ? FC ? 0 ,所以 x1 ? x2 ? x3 ? 3 , y1 ? y2 ? y3 ? 0 ,
所以 y2 y3 ? ?16 . ①又 y1 ? y2 ? y3 ? 4( x1 ? x2 ? x3 ) ? 12 ,[来]所以 (? y2 ? y3 ) ? y2 ? y3 ? 12 ,
2 2 2 2 2 2

?4

(Ⅰ)求 C1 、 C2 的标准方程;(Ⅱ)若过曲线 C1 的右焦点 F2 的任意一条直线与曲线 C1 相交于 A、B 两点,试证明在 x 轴上存在一定点 P,使得 PA ? PB 的值是常数.

??? ??? ? ?

? 16 ? 4 2 即 y2 ? y3 ? y2 y3 ? 6 . ②?由①,②得 y2 ? ? ? ? ? 16 ? 6 ,所以 y2 ? 22 y2 ? 256 ? 0 . ③ ? y2 ?
2 2
2

2

? x2 ? y2 ? 1 ? 证明(Ⅱ)①当直线 AB 不与 x 轴垂直时,设其方程为 y ? k ( x ? 3) .联立 ? 4 , ? y ? k ( x ? 3) ?
消元得 _________________________则 xA ? xB ?

因为 ? ? (?22) ? 4 ? 256 ? ?540 ? 0 .所以方程③无解,从而 ?ABC 不可能是直角三角形.
2

8 3k 2 12k 2 ? 4 , x A xB ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

设点 P(t , 0) ,则


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