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山东省淄博市第七中学2016届高三数学4月月考试题 文


山东省淄博市第七中学 2016 届高三数学 4 月月考试题 文
一、选择题:本大题共 10 小题:每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个选项符合题目要求,把正确选项的代号涂在答题卡上. 1.已知复数 z ? (a2 ? a ? 2) ? (a ? 2)i(a ? R) ,则“ a ? 1 ”是“ z 为纯虚数”的 A.充分非必要条件 条件 B

.必要非充分条件 C.充要条件 D .既非充分也非必要

2 2.设集合 M ? x | x ? 2 x ? 3 ? 0 , N ? y | y ?

?

?

?

x2 ? 1, x ? R ,则 M ? N 等于
D. (?1, 0)

?

A. (?1,1)

B. ?1,3?

C. (0,1)

3.若 ? 是第二象限角,且 tan(? ? ? ) ?

1 3? ??) ? ,则 cos( 2 2

A.

3 2

B. ?

3 2

C.

5 5

D. ?

5 5

4.右图是一容量为 100 的样本的重量的频率分布直方图, 则由图可 估计样本重量的中位数为 A.11 B.11.5 C.12 D.12.5

? 2 ?? , x ? 0 5.已知函数 f ( x) ? ? x ,则 f ( f (?1)) 等于 ? ?3 ? log 2 x, x ? 0
A. ?2 B. 2 C. ?4 D. 4 6.若某程序框图如右图所示,当输入 50 时,则该程序运行后输出的结果是 A.6 B.5 C.4 D.3 7. 已 知 平 面 上 三 点 A 、 B 、 C 满 足 | AB ? | 3, | BC |? 4 , | CA |? 5 , 则

??? ?

??? ?

??? ?

? ? ?? ? ? ?? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 的值等于 A B? B C ? B C? C A ?C A? A B
A. 25 B. 24 C. ?25 D. ?24 8. 某产品的广 告费用 x 与销售额 y 的统计 数据如下表,根据下表 可得回归方 程

? ? 10.6 ,据此模型预报广告费用为 10 万元时销售额为 ? ? ?a ? 中的 b y ? bx

1

A.112.1 万元 9.已知双曲线

B.113.1 万元

C.111.9 万元

D.113.9 万元

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点与抛物线 y 2 ? ?8x 的焦点重合,斜率为 1 2 a b

的直线 l 与双曲线交于 A , B 两点,若 AB 中点坐标为 (?3, ?1) ,则双曲线的离心率为

A. 2

B.

3 2 2

C. 3

D.

2 3 3

10.定义在实数集 R 上的函数 y ? f ( x) 的图象是连续不断的, 若对任意实数 x , 存在实数 t 使 得 f (t ? x) ? ?tf ( x) 恒成立,则称 f ( x ) 是一个“关于 t 的函数” ,给出下列“关于 t 的函数” 的结论: ① f ( x) ? 0 是常数函数中唯一一个“关于 t 的函数” ;②“关于 ③ f ( x) ? x2 是一个“关于 t 的函数” . 其中正确结论的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题:本大题共有 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.把正确答案填在答题卡的相应 位置. 11. 一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 右 图 所 示 , 该 几 何 体 的 表 面 积 为 . 12. 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x ) 满 足 f (? x) ? ? f ( x). 若 方 程

1 的函数”至少有一个零点; 2

f ( x ) ? 0 有 2015 个 实 数 根 , 则 这 2015 个 实 数 根 之 和
为 .

13.已知直线 l 过圆 x2 ? ( y ? 3)2 ? 4 的圆心,且与直线 x ? y ? 1 ? 0 垂 直,则直线 l 的方程是 14. 给 出 下 列 等 式 : .

2 ? 2 cos
, ?

?
4



2 ? 2 ? 2 cos
次 可 得

?
8




2 ? 2 ? 2 ? 2 cos

?
16





n









2

2 ?…? 2 ? 2 = ??? ? ???? ?
n个 2



15.某运输公司承担了每天至少搬运 280 吨水泥的任务, 已知该公司有 6 辆 A 型卡车和 8 辆 B 型卡车.又已知 A 型卡车每天每辆的运载量为 30 吨,成本费为 0.9 千元; B 型卡车每天每 辆的运载量为 40 吨,成本费为 1 千元,则该公司所花的最小成本费是 . 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或 推理步骤. 16.(本小题满分 12 分) 以工厂生产甲、乙、丙三种样式的杯子,每种样式均有 500 ml 和 700 ml 两种型号,某 天的产量如右表(单位:个) :按分层抽样的方法在这个月生产的杯子中抽取 100 个,其中 有甲样式杯子 25 个. (1)求 z 的值; (2)用分层抽样的方法在甲样式杯子中 抽取一个容量为 5 的样本, 从这个样本中 任取 2 个杯子,求至少有 1 个 500 ml 杯 子的概率.

17.(本小题满分 12 分) 设△ ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且 a cos C ? (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 1 ,求△ ABC 的周长的取值范围.

1 c?b. 2

3

18. (本小题满分 12 分) 如图,已知 AB ⊥平面 ACD , DE / / AB , AD ? AC ? DE ? 2 AB ? 2 ,且 F 是 CD 的中点, AF ? 3 . (1)求证: AF / / 平面 BCE ; (2)求证:平面 BCE ⊥平面 CDE ; (3)求此多面体的体积.

19.(本小题满分 12 分) 已知 ?an ? 是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a6 ? 55 , a2 ? a7 ? 16 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式;

an ? (2) 若数列 ?an ? 和数列 ?bn ? 满足等式:
的前 n 项和 Sn .

b b1 b2 b3 ? 2 ? 3 ?…? n (n? N * ) , 求数列 ?bn ? 2 2 2 2n

4

20.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ( x2 ? ax ? 1)e x , x ? R . (1)若函数 f ( x ) 的图象在 (0, f (0)) 处的切线与直线 x ? y ? 3 ? 0 垂直,求实数 a 的值; (2)求 f ( x ) 的单调区间; (3) 当 a ? 2 时, 若对于任意 x ?? ?2, 2? ,t ??1,3? , f ( x) ? t 2 ? 2mt ? 2 恒成立, 求实数 m 的取值范围.

21.(本小题满分 14 分) 已知点 A(0, ?2) ,椭圆 E :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , F 是椭圆的焦点, 2 a b 2

直线 AF 的斜率为

2 3 , O 为坐标原点. 3

(1)求椭圆 E 的方程; (2)设过点 A 的直线 l 与椭圆 E 相较于 P ,Q 两点,当△ OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.

高三文科数学阶段性检测参考答案及评分标准
5

一、选择题 A B D C D A C C D B 二、填空题 11. 2 5 ? 2 2 ? 6 三、解答题 16.解: (1).设该厂本月生产的乙样式的杯子为 n 个,在丙样式的杯子中抽取 x 个, 由题意得, 12. 0 13. x-y+3=0 14. 2cos

?
2n ?1

15. 7 千元

25 x ? , ,所以 x=40. 5000 8000
则 100-40-25=35,所以,

????2 分

25 35 ? , n=7000, 5000 n 故 z=2500
(2) 设所抽样本中有 m 个 500ml 杯子,

??????????6 分

因为用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为 5 的样本, 所以

2000 m ? , ,解得 m=2 5000 5
??????????8 分

也就是抽取了 2 个 500ml 杯子,3 个 700ml 杯子,

分别记作 S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取 2 个的所有基本事件为 (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3) 共 10 个,其中至少有 1 个 500ml 杯子的基本事件有 7 个基本事件: (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以从中任取 2 个, 至少有 1 个 500ml 杯子的概率为

7 . 10

??????????12 分

? a cos C ? 17.解: (1)
2分

1 1 c?b, 由正弦定理得:sin A cos C ? sin C ? sin B , 2 2

?

又 sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C ,

1 1 ? sin C ? ? cos A sin C ,? sin C ? 0 ,? cos A ? ? , , ??????4 分 2 2 2 ??????????5 分 ? A ? (0, ? ) ,? A ? ? . 3
6

(2)由正弦定理得: b ?

sin B 2 2 ? sin B, c ? sin C , sin A 3 3

????7 分

周长 l ? a ? b ? c ? 1 ?

2 2 (sin B ? sin C ) ? 1 ? (sin B ? sin( A ? B)) 3 3
????9 分

? 1?

2 1 3 2 ? ( sin B ? cos B) ? 1 ? sin( B ? ) , 2 3 3 2 3

2 ? ? 3 ? A ? ? ,? B ? (0, ),? sin( B ? ) ? ( ,1] , 3 3 3 2
故 ?ABC 的周长的取值范围为 (2,

????11 分

2 3 ? 1] . 3

????12 分

18.解: (1)取 CE 中点 P,连结 FP、BP,

1 1 DE. 又 AB / / DE ,且 AB= DE. 2 2 ∴ AB / / FP ,且 AB=FP,∴ABPF 为平行四边形,∴ AF / / BP .
∵F 为 CD 的中点,∴ FP / / DE ,且 FP= 又∵AF ? 平面 BCE,BP ? 平面 BCE, ∴ AF / / 平面 BCE ?????????4 分

???2 分

(2)∵ AF ? 3 ?CD ? 2 ,所以△ACD 为正三角形,∴AF⊥CD ∵AB⊥平面 ACD,DE//AB ∴DE⊥平面 ACD ∴DE⊥AF 又 AF⊥CD,CD∩DE=D ∴AF⊥平面 CDE 又 BP∥AF ∴BP⊥平面 CDE 又∵BP ? 平面 BCE ∴平面 BCE⊥平面 CDE ?????????8 分 又 AF ? 平面 ACD ?????????6 分

(3)此多面体是一个以 C 为顶点,以四边形 ABED 为底边的四棱锥,

S ABED ?

(1 ? 2) ? 2 ? 3, 2

?????????10 分

7

?面ABDE ? 面ADC ,

? 等边三角形 AD 边上的高就是四棱锥的高 1 VC ? ABDE ? ? 3 ? 3 ? 3 3
19.解: (1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d (? 0) , 由 a2 ? a7 ? 16 ,得 2a1 ? 7d ? 16 由 a3 ? a6 ? 55, 得 (a1 ? 2d )(a1 ? 5d ) ? 55 易得 a1 ? 1, d ? 2 ,所以 an ? 2n ?1(n ? N* ) (2)令 cn ?

?????????12 分

① ② ???????2 分 ???????4 分

bn ,则有 an ? c1 ? c2 ? ? ? cn , an?1 ? c1 ? c2 ? ?? cn?1 (n ? N* , n ? 2) 2n b ? 2, ?an ? an?1 ? cn ,由(1)得? an ? an?1 ? 2 ,故 cn ? 2(n ? N* , n ? 2) ,即 n 2n

而 a1 ? 1 ,所以可得 bn ? ?

?2 , n ? 1 . n ?1 2 , n ? 2 ?

???????8 分

于是 Sn ? b1 ? b2 ? b3 ?? bn ? 2 ? 23 ? 24 ? ?? 2n?1 = 2 ? 2 ? 2 ? 2 ??? 2
2 3 4 n ?1

?4 =

2(2n?1 ? 1) ? 4 ? 2n? 2 ? 6,即Sn ? 2n? 2 ? 6 .?12 分 2 ?1

20.解: (1)∵ f ?( x) ? (2x ? a)ex ? ( x2 ? ax ? 1)e x ? [ x2 ? (2 ? a) x ? a ? 1]e x ∴ f ?(0) ? (1 ? a)e0 ? 1 ? a , ???????2 分

∵ f ( x ) 的图象在 (0, f (0)) 处的切线与直线 x ? y ? 3 ? 0 垂直, ∴ (1 ? a) ? (?1) ? ?1,可得 a ? 0 .
2 x

???????4 分
x

(2)由(1) f ?( x) ? [ x ? (2 ? a) x ? a ? 1]e ? ( x ? 1)( x ? a ? 1)e , 令 f ?( x) ? 0 ,可得 x ? ?1 ,或 x ? a ? 1 ,
2 x 所 以 当 a ? 0 时 , f ?( x) ? ( x? 1) e ? 在 0 R 上 恒 成 立 , 函 数 f ( x) 在 R 上 单 调 递

8

增; ???????6 分 当 a ? 0 时, a ? 1 ? ?1 ,在 (??, ?1) 上 f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增, 在 (?1, a ? 1) 上 f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减,在 (a ? 1, ??) 上 f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增; 当 a ? 0 时, a ? 1 ? ?1 ,在 (??, a ? 1) 上 f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增, 在 (a ? 1, ?1) 上 f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单 调 递 减 , 在 (?1, ??) 上 f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单 调 递 增;??????8 分 (3)当 a ? 2 时, f ( x) ? ( x2 ? 2 x ? 1)e x ,由(2)可知, f ( x ) 在 (?2, ?1) 上单调递增,在

(?1,1) 上 单 调 递 减 , 在 (1, 2) 上 单 调 递 增 ; 所 以 f ( x) 在 x ? 1 处 取 得 极 小 值 0 , 而

f (? 2 ) ?

9 ? 0, 所 以 f ( x) 在 [?2, 2] 上 取 得 最 小 值 0 , 原 命 题 等 价 于 不 等 式 e2

0 ? t 2 ? 2mt ? 2 在 t ?[1,3] 恒成立, ???????10 分
t 1 t 1 ? 在 t ?[1,3] 恒成立,只需 m ? ( ? ) max , 2 t 2 t t 1 令 g (t ) ? ? ,可得 g (t ) 在 [1, 2] 上单调递减,在 [ 2,3] 上单调递增, 2 t 11 3 11 而 ? g (1) ? g (3) ? ,所以 g max (t ) ? , ???????12 分 6 2 6 11 所以 m ? . ???????13 分 6
即: m ? 21.解: (1)显然 F 是椭圆的右焦点,设 F (c, 0) 由题意 K AF ?

2 2 3 ? c 3

?c ? 3

???2 分

又离心率

c 3 ? a 2

? a ? 2 ,? b ? a 2 ? c 2 ? 1

故椭圆 E 的方程为

x2 ? y2 ? 1 4

????4 分

(2)由题意知,直线 l 的斜率存在,设直线 l 的斜率为 k ,方程为 y ? kx ? 2
9

? x2 ? y 2 ? 1 ,化简得: 联立直线与椭圆方程: ? (1 ? 4k 2 ) x2 ?16kx ? 12 ? 0 . ?4 ? y ? kx ? 2 ?
∵ ? ? 16(4k 2 ? 3) ? 0 ,∴ k 2 ?

3 , 4
16k 12 ?????7 分 , x1 ?x2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ∴ PQ = 1 ? k 2 x1 ? x2 = 1 ? k 2 ?

4 4k 2 ? 3 . 1+4k 2
2
?????9 分

坐标原点 O 到直线 l 的距离为 d ?

k 2 ?1

1 1 4 4k 2 ? 3 2 4 4k 2 ? 3 ? S?OPQ ? l ?d ? 1? k 2 ? ? ? 2 2 1+4k 2 1+4k 2 k 2 ?1
令 t?

4k 2 ? 3 (t ? 0) ,则 S ?OPQ ?

4t 4 ? t ?4 t? 4 t
2

?????12 分

? t?

4 即 4 t ? 2 时等号成立)? S ?OPQ ? 1 ? 4 (当且仅当 t ? t t
4k 2 ? 3 ? 2 , k ? ?

故当 t ? 2 即

7 时 ?OPQ 的面积最大 2
?????14 分

从而直线 l 的方程为 y ? ?

7 x?2 2

10


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