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浙江省2012届高三数学二轮复习专题训练:圆锥曲线与方程


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浙江省 2012 届高三数学二轮复习专题训练:圆锥曲线与方程 I 卷 一、选择题

x2 y 2 1. 过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A 作斜率为-1 的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分 a b
别为 B,C

.若 AB ? A.

??? ?

? 1 ??? BC ,则双曲线的离心率是 ( 2
B.

) D.

2

3

C.

5

10

【答案】C 2.已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 的中点为 N(- 12,-15),则 E 的方程为( ) A. - =1 3 6 C. - =1 6 3 【答案】B 3.已知直线 l 是椭圆

x2 y2 x2 y2

B. - =1 4 5 D. - =1 5 4

x2 y2 x2 y2

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右准线,如果在直线 l 上存在一点 M,使得线段 OM(O 为坐标 a2 b2
) D. [ ,1)

原点)的垂直平分线过右焦点,则椭圆的离心率的取值范围是( A. [ 【答案】B 4. 已知直线 m x ? y ? 1 ? 0 交抛物线 A 为直角三角形 C 为钝角三角形 【答案】A 5. 已知双曲线

3 ,1) 2

B. [

2 ,1) 2

C .(

2 ,1) 2

1 2

y ? x 2 于 A 、 B 两点,则△ AOB (
B 为锐角三角形 D 前三种形状都有可能



x2 y 2 y 2 x2 ? 2 ? 1 与双曲线 2 ? 2 ? 1 ,设连接它们的顶点构成的四边形的面积为 S1 ,连接它们的焦 2 a b b a S 点构成的四边形的面积为 S 2 ,则 1 的最大值为( ) S2
A.4 B.2 C.

1 4

D.

1 2

【答案】D 6. 已知直线 l 交椭圆 4 x
2

? 5 y 2 ? 80于 M, N 两点,椭圆与 y 轴的正半轴交于 B 点,若 ?BMN 的重心恰


好落在椭圆的右焦点上,则直线 l 的方程是( A. C.

6 x ? 5 y ? 28 ? 0 5 x ? 6 y ? 28 ? 0

B.

6 x ? 5 y ? 28 ? 0
D.

5 x ? 6 y ? 28 ? 0

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【答案】A 2 7.已知抛物线 y =2px(p>0),F 为其焦点,l 为其准线,过 F 任作一条直线交抛物线于 A、B 两点,A′、B′分 别为 A、B 在 l 上的射影,M 为 A′B′的中点,给出下列命题: ①A′F⊥B′F;②AM⊥BM;③A′F∥BM;④A′F 与 AM 的交点在 y 轴上;⑤AB′与 A′B 交于原点.其中真命题 的个数为( ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 【答案】D 2 2 8.若椭圆 mx +ny =1 与直线 x+y-1=0 交于 A、B 两点,过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为

2 m 则 =( n 2
A. 【答案】B 9. 已知双曲线



2

B.

2 2

C.

3 2

D.

2 9

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,P 为左支一点,P 到左准线的距离为 d, a 2 b2


若 d ,| PF |,| PF2 | 成等比数列,则该双曲线的离心率的取值范围是( 1 A. ?

?1 ? 5 ? ? 1? 5 ? , ?? ? B. ? 1, ? ? ? 2 ? ? 2 ? ?
2 2

C. ?1 ?

?

2, ??

?

D. 1,1 ?

?

2? ?

【答案】D 1 x y 10.已知直线 y= x 与双曲线 - =1 交于 A、B 两点,P 为双曲线上不同于 A、B 的点,当直线 PA,PB 的斜率 2 9 4 kPA,kPB 存在时,kPA·kPB=( ) 4 A. 9 1 B. 2 2 C. 3 D.与 P 点位置有关 【答案】A 11. 若直线 y ? x ? m 与曲线 1 ? y 2 ? x 的图象有两个不同交点,则实数 m 的取值范围为( A. ? ( 【答案】B 12.直线 x+y+ 2=0 截圆 x2+y2=4 所得劣弧所对圆心角为( π π A. B. 6 3 π 2π C. D. 2 3 【答案】D ) )

2, 2 )

B . (?

2,?1]

C.

(? 2,1]

D. [1,

2)

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II 卷 二、填空题 13. 已知抛物线 C 的顶点在坐标原点, 焦点为 F(1,0), 直线 l 与抛物线 C 相交于 A、 两点. AB 的中点为(2,2), B 若 则直线 l 的方程为__________. 【答案】y=x 14. 双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,已知线段 F1 F2 被点 (b, 0) 分成 5:1 两段,则此双 a 2 b2 曲线的离心率为 .

3 5 5 x2 y2 15.以椭圆 + =1 的右焦点 F 为圆心,并过椭圆的短轴端点的圆的方程为________. 4 3 2 2 【答案】(x-1) +y =4 x2 y2 16.双曲线 - =1 的渐近线方程为 y=±2x,则 n=________. n 3-n 3 【答案】 5

【答案】

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三、解答题 17.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x2-6x+1 与坐标轴的交点都在圆 C 上. (1)求圆 C 的方程; (2)若圆 C 与直线 x-y+a=0 交于 A、B 两点,且 OA⊥OB,求 a 的值. 【答案】(1)曲线 y=x -6x+1 与 y 轴的交点为(0,1),与 x 轴的交点为(3+2 2,0),(3-2 2,0). 故可设 C 的圆心为(3,t),则有 3 +(t-1) =(2 2) +t ,解得 t=1. 则圆 C 的半径为 3 +(t-1) =3. 2 2 所以圆 C 的方程为(x-3) +(y-1) =9. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组
2 2 2 2 2 2 2

消去 y,得到方程 2x +(2a-8)x+a -2a+1=0. 由已知可得,判别式Δ =56-16a-4a >0.从而
2 2 2

a2-2a+1 x1+x2=4-a,x1x2= .①
2 由于 OA⊥OB,可得 x1x2+y1y2=0. 又 y1=x1+a,y2=x2+a,所以 2x1x2+a(x1+x2)+a =0.② 由①,②得 a=-1,满足Δ >0,故 a=-1. 18.已知过抛物线 y =2px(p>0)的焦点,斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB| =9, (1)求该抛物线的方程; (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若=+λ ,求λ 的值. 【答案】(1)直线 AB 的方程是 y=2 2(x- ), 2 2 2 2 与 y =2px 联立,从而有 4x -5px+p =0, 5p 所以:x1+x2= 4 2 由抛物线定义得:|AB|=x1+x2+p=9,所以 p=4,从而抛物线方程是 y =8x. 2 2 2 (2)由 p=4,4x -5px+p =0 可简化为 x -5x+4=0,从而 x1=1,x2=4
2 2

P

y1=-2 2,y2=4 2,从而 A(1,-2 2),B(4,4 2) 设=(x3,y3)=(1,-2 2)+λ (4,4 2)
=(4λ +1,4 2λ -2 2) 又 y3=8x3,即[2 2(2λ -1)] =8(4λ +1), 2 即(2λ -1) =4λ +1,解得λ =0,或λ =2. 19.已知椭圆 C :
2 2

x2 y 2 1 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且过点 P (1, ) , F 为其右焦点(Ⅰ)求椭圆 C 的方 2 2 2 a b

程; (Ⅱ)设过点 A(4, 0) 的直线 l 与椭圆相交于 M 、 N 两点(点 M 在 A, N 两点之间) ,若 △ AMF 与

△MFN 的面积相等,试求直线 l 的方程. c 1 【答案】 (Ⅰ)因为 ? ,所以 a ? 2c , b ? 3c …1 分 a 2

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设椭圆方程为

x2 y2 3 1 3 ? 2 ? 1 ,又点 P (1, ) 在椭圆上,所以 2 ? 2 ? 1 ,解得 c2 ? 1 ,…3 分 2 2 4c 4c 4c 3c

x2 y 2 所以椭圆方程为 ? ?1 4 3
(Ⅱ)易知直线 l 的斜率存在, 设 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) ,

? y ? k ( x ? 4), ? 2 2 2 2 2 消去 y 整理,得 (3 ? 4k ) x ? 32k x ? 64k ?12 ? 0 , 由? x y2 ? 1, ? ? 3 ? 4
由题意知 ? ? (32k
2 2

1 1 ) ? 4(3 ? 4k 2 )(64k 2 ?12) ? 0 ,解得 ? ? k ? . 2 2

设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2

?

32k 2 64k 2 ? 12 ①, x1 x2 ? , .… ②. 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

因为 △ AMF 与 △MFN 的面积相等,所以

AM ? MN ,所以 2 x1 ? x2 ? 4 . ③

由①③消去 x2 得 x1

?

4 ? 16k 2 64k 2 ? 12 ④ 将 x2 ? 2 x1 ? 4 代入②得 x1 (2 x1 ? 4) ? . . ?????? ⑤ 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

将④代入⑤

4 ? 16k 2 4 ? 16k 2 64k 2 ? 12 5 2 (2 ? ? 4) ? ,整理化简得 36k ? 5 ,解得 k ? ? 经检验成立.所 2 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k 6
5 ( x ? 4) . 6

以直线 l 的方程为 y ? ?

2 20. 过抛物线 y ? 4x 的焦点作一条斜率为 k(k≠0)的弦,此弦满足:①弦长不超过 8;②弦所在的直线与椭

圆 3x2 + 2y2 = 2 相交,求 k 的取值范围.
2 y ? k ( x ? 1) 【答案】抛物线 y ? 4 x 的焦点为(1,0),设弦所在直线方程为



? y 2 ? 4x ? ? y ? k ( x ? 1)
x1 ? x 2 ?



k 2 x 2 ? 2(k 2 ? 2) x ? k 2 ? 0
,x1 x 2 ? 1

2(k 2 ? 2) k2





( x1 ? x 2 ) 2 ?

4(k 2 ? 2) 2 k
4

?4?

16(k 2 ? 1) k4

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(1 ? k 2 )( x1 ? x 2 ) 2 ?

16(k 2 ? 1) 2 k4

? 64
,解得 k2≥1



?3x 2 ? 2 y 2 ? 2 ? ? y ? k ( x ? 1)



(3 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 2(k 2 ? 1) ? 0
因此 1≤k2 < 3

4 2 2 由 ? ? 16k ? 8(3 ? 2k )(k ? 1) ? 0 ,解得 k2 < 3

∴k 的取值范围是 ? 3 ,-1∪1, 3 21.如图 17-2,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点为 A(0, 2),且离心率等于 过点 M(0,2)的直线 l 与椭圆相交于不同两点 P,Q,点 N 在线段 PQ 上. (1)求椭圆的标准方程; (2)设==λ ,试求λ 的取值范围. 3 , 2

图 17-2 【答案】(1)设椭圆的标准方程是 2+ 2=1(a>b>0). 3 c 由于椭圆的一个顶点是 A(0, 2),故 b =2,根据离心率是 得 = 2 a
2

x2 y2 a b

a2-b2 3 = , a2 2

解得 a =8. 所以椭圆的标准方程是 + =1. 8 2 (2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x0,y0). ①若直线 l 与 y 轴重合,则== 2- 2 2-y0 = 2+ 2 2+y0 ,解得 y0=1,得λ = 2;

2

x 2 y2

若直线 l 与 y 轴不重合,设直线 l 的方程为 y=kx+2,与椭圆方程联立消去 y 得 (1+4k )x +16kx+8=0,根据韦达定理得
2 2

x1+x2=-
由=,得

16k 8 2,x1x2= 2. 1+4k 1+4k

0-x1 0-x2 = , x0-x1 x2-x0

整理得 2x1x2=x0(x1+x2), 1 把上面的等式代入得 x0=- .

k

1 又点 N 在直线 y=kx+2 上,所以 y0=k?- ?+2=1,于是有 1<y1< 2.

? k?

λ =

2-y1 1 1 = -1,由 1<y1< 2,得 > 2+1, y1-1 y1-1 y1-1

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所以λ > 2. 综上所述λ ≥ 2. 22.已知椭圆 E 的长轴的一个端点是抛物线 (1)求椭圆 E 的方程; (2)过点 C(—1,0) ,斜率为 k 的动直线与椭圆 E 相交于 A、B 两点,请问 x 轴上是否存在点 M,使 MA? MB 为 常数?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由。 【答案】 (1)根据条件可知椭圆的焦点在 x 轴,且 a ?

y 2 ? 4 5x 的焦点,离心率是

6 3

5, 又c ? ea ?

6 30 ? 5? , 故b ? a2 ? c2 3 3

? 5?

x2 y2 10 5 ? 1, 即 x 2 ? 3 y 2 ? 5 ? , 故所求方程为 ? 5 5 3 3 3
2

(2)假设存在点 M 符合题意,设 AB: y ? k ( x ? 1), 代入 E : x

? 3 y 2 ? 5 得:

(3k 2 ? 1) x 2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 5 ? 0
6k 2 3k 2 ? 5 , x1 x2 ? 2 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), M (m,0) 则 x1 ? x2 ? ? 2 3k ? 1 3k ? 1

??? ???? ? 1 6m ? 14 MA ? MB ? (k 2 ?1) x1x2 ? (k 2 ? m)( x1 ? x1 ) ? k 2 ? m2 ? m2 ? 2m ? ? 3 3(3k 2 ? 1)
要使上式与 K 无关,则有 6m ? 14 ? 0, ,解得 m ? ?

7 7 ,存在点 M (? ,0) 满足题意。 3 3

23.已知椭圆 C 的中心在原点,对称轴为坐标轴,且过 0,, (1 ( 1 , ) (Ⅰ)求椭圆 C 的方程

2 ) 2

(Ⅱ)直线 l : 3x ? 3 y ? 1 ? 0 交椭圆 C 与 A、B 两点,若 T (0,1) 求证: TA ? TB 【答案】设椭圆 C 的方程为 mx
2

? TA ? TB

? ny2 ? 1

由椭圆 C 过点 0, (1 ( 1 ),,

2 ) 得: 2

1 ? ?m ? n ? 2 ? m ?1 ?

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解得 ?

1 ? ?m ? 2 ? n ?1 ?

x2 ? y2 ?1 ? 椭圆 C 的方程为 2
?3 x ? 3 y ? 1 ? 0 ? (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ? x 2 2 ? 2 ? y ?1 ?

4 ? ? x1 ? x2 ? 9 2 消去 y 整理得 27x ? 12x ? 16 ? 0 ,由韦达定理得,则 ? 16 ? x1 x2 ? ? 27 ?
由 TA ? TB

? TA ? TB 两边平方整理可得 TA ?TB ? 0

只需证明 TA ?TB ? 0

TA ? TB ? x1 , y1 ? 1 (x2 , y2 ? 1 ( ) ? )
? x1 x2 ? ( y1 ? 1)( y2 ? 1) ? x1 x2 ? y1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ? 1
而 y1 y 2 ? ( x1 ? )( x 2 ? ) ? x1 x 2 ?

1 1 1 1 ( x1 ? x2 ) ? 3 3 3 9 1 1 2 y1 ? y 2 ? x1 ? ? x2 ? ? x1 ? x 2 ? 3 3 3

32 16 16 4 16 ?- - ? ?0 ? TA ? TB ? x1 x2 ? y1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ? 1 ? 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 3 9 27 27 9
故 TA ? TB

? TA ? TB 恒成立
x2 y2 a b
3 ,过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,当 l 的斜率为 3

24.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为 (1)求 a,b 的值; 2 . 2

(2)C 上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP = OA + OB 成立?若存在,求出所有的 P 的坐 标与 l 的方程;若不存在,说明理由. 【答案】(1)设 F(c,0),当 l 的斜率为 1 时, |0-0-c| c 其方程为 x-y-c=0,O 到 l 的距离为 = , 2 2 故

??? ?

??? ?

??? ?

c
2



2 ,c=1. 2

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3 2 2 ,得 a= 3,b= a -c = 2. 3 (2)C 上存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时, 由 e= = 有 OP = OA + OB 成立. 2 2 由(1)知 C 的方程为 2x +3y =6. 设 A(x1,y1),B(x2,y2). ①当 l 不垂直于 x 轴时,设 l 的方程为 y=k(x-1).

c a

??? ?

??? ?

??? ?

C 上的点 P 使 OP = OA + OB 成立的充要条件是 P 点的坐标为(x1+x2, 1+y2), 2(x1+x2)2+3(y1+y2)2 y 且
=6, 2 2 2 2 整理得 2x1+3y1+2x2+3y2+4x1x2+6y1y2=6. 2 2 2 2 又 A、B 在 C 上,即 2x1+3y1=6,2x2+3y2=6. 故 2x1x2+3y1y2+3=0. 2 2 将 y=k(x-1)代入 2x +3y =6,并化简得 2 2 2 2 (2+3k )x -6k x+3k -6=0, 2 2 6k 3k -6 于是 x1+x2= 2,x1·x2= 2, 2+3k 2+3k 2 -4k y1 · y2=k2(x1-1)(x2-1)= 2. 2+3k 3 2 代入①解得,k =2.此时 x1+x2= . 2 k 3 k 于是 y1+y2=k(x1+x2-2)=- ,即 P( ,- ). 2 2 2 3 2 因此,当 k=- 2时,P( , ), 2 2

??? ?

??? ?

??? ?



(8 分)

l 的方程为 2x+y- 2=0;当 k= 2时 ,P( ,- l 的方程为 2x-y- 2=0.

3 2

2 ), 2

②当 l 垂直于 x 轴时,由 OA + OB =(2,0)知,C 上不存在点 P 使 OP = OA + OB 成立.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ??? ? ? ? 3 2 综上,C 上存在点 P( ,± )使 OP = OA + OB 成立,此时 l 的方程为 2x±y- 2=0. 2 2


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