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2013届高三数学第一轮复习《正弦定理和余弦定理》讲义


正弦定理和余弦定理
知识点 1. 径. 由正弦定理可以变形为:(1)a∶b∶c=____ sin A∶sin B∶sin C _____; (2)a=___)2Rsin A _____,b=__2Rsin B _____,c=__2Rsin C ___; (3)sin A=___ 角形问题. 2.余弦定理:a2=__ b2+c2-2bccos A ________,b2

=__ a2+c2-2accos B _____, c2=____ a2+b2-2abcos C ____. b2+c2-a2 a2+c2-b2 余弦定理可以变形为:cos A=___ ________,cos B=___ ______, 2bc 2ac a2+b2-c2 cos C=___ ______. 2ab 1 1 1 abc 1 3.S△ABC= absin C= bcsin A= acsin B= = (a+b+c)· r(r 是三角形内切圆的半径), 2 2 2 4R 2 并可由此计算 R、r. 4.在解三角形时,正弦定理可解决两类问题: (1)已知两角及任一边,求其它边或角; (2) 已知两边及一边的对角,求其它边或角 . 情况 (2) 中结果可能有一解、二解、无 解,应注意区分. 余弦定理可解决两类问题: (1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题; (2)已知 三边问题. 解三角形时,三角形解的个数的判断 在△ABC 中,已知 a、b 和 A 时,解的情况如下: A 为锐角 A 为钝角或直 角 a b c ____,sin B=___ ___,sin C=__ _____等形式,以解决不同的三 2R 2R 2R 正弦定理:__ a b c __=__ ____=__ _=2R,其中 R 是三角形外接圆的半 sin A sin B sin C

图形 关系 式 解的 个数

a=bsin A

bsin A<a<b

a≥b

a> b

一解

两解

一解

一解

5.判断三角形的形状特征

必须从研究三角形的边角关系入手,充分利用正、余弦定理进行转化,即化边为角或 化角为边,边角统一. ①等腰三角形:a=b 或 A=B. ②直角三角形: ③钝角三角形: b2+c2=a2 a2>b2+c2 或 或 A=90° A>90° . . A<90° .

④锐角三角形:若 a 为最大边,且满足 a2<b2+c2

或 A 为最大角,且

6.由正弦定理容易得到:在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较 大,正弦值较大的角也较大,即 A>B?a>b?sinA>sinB.

基础自测
a+b+c 1.在△ABC 中,若 A=60° ,a= 3,则 =________. sin A+sin B+sin C 2π 2.(2010· 北京)在△ABC 中,若 b=1,c= 3,C= ,则 a=________. 3 3.在△ABC 中,a=15,b=10,A=60° ,则 cos B=________. π 4.△ABC 的三个内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,已知 c=3,C= ,a=2b,则 b 3 的值为________. 5.已知圆的半径为 4,a、b、c 为该圆的内接三角形的三边,若 abc=16 2,则三角形的面 积为 A.2 2 1.2 2.1 3. 6 3 B.8 2 4. 3 5.C C. 2 D. 2 2 ( )

6.在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,若 a、b、c 成等差数列,B=30° ,△ 3 ABC 的面积为 ,则 b= . 2 1 1 3 【解析】∵S△ABC= acsinB= acsin30° = ,∴ac=6. 2 2 2 又 a、b、c 成等差数列,故 2b=a+c. 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accosB =(a+c)2-2ac-2accos30° , ∴b2=4b2-12-6 3,得 b2=4+2 3,∴b=1+ 3. 7.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,若 a=2bcosC,则此三角形一定是 ( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 【解析】由 a=2bcosC 得 sinA=2sinBcosC ∵A+B+C=π ∴sinA=sin(B+C) ∴sin(B+C)=2sinBcosC 即 sin(B-C)=0

∵0<B<π,0<C<π

∴B=C,选 C. a b c 8.在△ABC 中,设命题 p: = = ,命题 q:△ABC 是等边三角形,则命题 p 是 sinB sinC sinA 命题 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 a b c a b c 【解析】∵ = = ,由正弦定理知: = = . sinB sinC sinA sinA sinB sinC ∴sinB=sinA=sinC ∴A=B=C?a=b=c,∴p?q 又若 a=b=c,则 A=B=C=60° ?sinA=sinB=sinC. a b c ∴ = = ,∴q?p. sinB sinC sinA 题型一 利用正弦定理求解三角形及有关三角形中的三角函数的范围(最值) 例1 ⑴在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45° .求角 A、C 和边 c.

(2)在△ABC 中,a=8,B=60° ,C=75° ,求边 b 和 c. a b 3 2 3 解 (1)由正弦定理得 = , = ,∴sin A= . sin A sin B sin A sin 45° 2 ∵a>b,∴A=60° 或 A=120° . 当 A=60° 时,C=180° -45° -60° =75° ,c= 6+ 2 bsin C = ; sin B 2

6- 2 bsin C 当 A=120° 时,C=180° -45° -120° =15° ,c= = . sin B 2 (2)∵B=60° ,C=75° ,∴A=45° .由正弦定理 a b c = = , sin A sin B sin C

a· sin B a· sin C 得 b= =4 6,c= =4 3+4.∴b=4 6,c=4 3+4. sin A sin A (2)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=2bsinA. ①求角 B 的大小; ②求 cosA+sinC 的取值范围. 解析 ①由 a=2bsinA,根据正弦定理得 sinA=2sinBsinA, 1 π 所以 sinB= ,由△ABC 为锐角三角形得 B= . 2 6 π π ②cosA+sinC=cosA+sin(π- -A)=cosA+sin( +A) 6 6 1 3 π =cosA+ cosA+ sinA= 3sin(A+ ). 2 2 3 π π π π π π 由△ABC 为锐角三角形知, >A> -B,又 -B= - = . 2 2 2 2 6 3 2π π 5π 1 π 3 ∴ <A+ < ,∴ <sin(A+ )< . 3 3 6 2 3 2 3 π 3 3 3 3 由此有 < 3sin(A+ )< × 3= ,所以 cosA+sinC 的取值范围为( , ). 2 3 2 2 2 2 点评 解决这类问题的关键是利用正弦定理和余弦定理,要么把角化成边,要么把边化成 角,然后再进行三角恒等变换得到 y=Asin(ωx+φ)+B 型函数,从而求解单调区间、最值、 参数范围等问题,注意限制条件 A+B+C=π,0<A,B,C<π 的应用,如本题中由△ABC π 2π π 5π 为锐角三角形得到 A+B> ,从而推到 <A+ < . 2 3 3 6

探究提高 解即可.

(1)已知两角一边可求第三角,解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求

(2)已知两边和一边对角,解三角形时,利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该 角,这是解题的难点,应引起注意.

变式训练 1 (1) 已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1, b= 3,A+C=2B,则角 A 的大小为________. π 6

1 (2)在△ABC 中,若 tan A= ,C=150° ,BC=1,则 AB=________; 3 (3)在△ABC 中,若 a=50,b=25 6,A=45° ,则 B=______ 1 (2)∵在△ABC 中,tan A= ,C=150° , 3 1 ∴A 为锐角,∴sin A= .又∵BC=1. 10 BC· sin C 10 ∴根据正弦定理得 AB= = . sin A 2 a b (3)由 b>a,得 B>A,由 = , sin A sin B bsin A 25 6 2 3 得 sin B= = × = , a 50 2 2 ∵0° <B<180° ∴B=60° 或 B=120° . 解析 (4)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 且满足 csinA=acosC. ①求角 C 的大小; π ②求 3sinA-cos(B+ )的最大值,并求取得最大值时角 A,B 的大小. 4 解析 ①由正弦定理得 sinCsinA=sinAcosC. 因为 0<A<π,所以 sinA>0,从而 sinC=cosC, π 又 cosC≠0,所以 tanC=1,则 C= . 4 3π ②由(1)知 B= -A. 4 π 于是 3sinA-cos(B+ )= 3sinA-cos(π-A) 4 π = 3sinA+cosA=2sin(A+ ). 6 3π π π 11π ∵0<A< ,∴ <A+ < , 4 6 6 12 π π π π 从而当 A+ = ,即 A= 时,2sin(A+ )取最大值 2. 6 2 3 6 π 综上所述, 3sinA-cos(B+ )的最大值为 2, 4 π 5π 此时 A= ,B= . 3 12 (5)如图,已知△ABC 是边长为 1 的正三角形,M、N 分别是边 AB、AC 上的点,线段

π 2π MN 经过△ABC 的重心 G.设∠MGA=α( ≤α≤ ). 3 3 ①试将△AGM、△AGN 的面积(分别记为 S1 与 S2)表示为 α 的函数; 1 1 ②求 y= 2+ 2的最大值与最小值. S1 S2 解析①因为 G 是边长为 1 的正三角形 ABC 的重心, 2 3 3 π 所以 AG= × = ,∠MAG= , 3 2 3 6 GM GA 3 由正弦定理 = ,得 GM= . π π π sin sinπ-α- 6sinα+ 6 6 6 1 sinα 1 则 S1= GM· GA· sinα= (或 ). 2 π 6 3+cotα 12sinα+ 6 GN GA 3 又 = ,得 GN= , π π π sin sinα- 6sinα- 6 6 6 1 则 S2= GN· GA·sin(π-α) 2 sinα 1 = (或 ), π 6 3-cotα 12sinα- 6 1 1 144 π π ②y= 2+ 2= 2 · [sin2(α+ )+sin2(α- )]=72(3+cot2α). S1 S2 sin α 6 6 π 2π π 2π 因为 ≤α≤ ,所以,当 α= 或 α= 时,y 取得最大值 ymax=240; 3 3 3 3 π 当 α= 时,y 取得最小值 ymin=216. 2 题型二 利用余弦定理求解三角形 例2 cos B b 在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 =- . cos C 2a+c

(1)求角 B 的大小; (2)若 b= 13,a+c=4,求△ABC 的面积. 解 (1)由余弦定理知:

a2+c2-b2 a2+b2-c2 cos B= ,cos C= . 2ac 2ab a2+c2-b2 cos B b 2ab b 将上式代入 =- 得: ·2 2 2=- , cos C 2 ac 2a+c a +b -c 2a+c a2+c2-b2 -ac 1 整理得:a2+c2-b2=-ac.∴cos B= = =- . 2ac 2ac 2 2 ∵B 为三角形的内角,∴B= π. 3 2 (2)将 b= 13,a+c=4,B= π 代入 b2=a2+c2-2accos B, 3 1? 得 b2=(a+c)2-2ac-2accos B,∴13=16-2ac? ?1-2?,∴ac=3.

1 3 3 ∴S△ABC= acsin B= . 2 4 探究提高 题的关键. (2)熟练运用余弦定理及其推论,同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运 用. 变式训练 2 1.已知 a、b、c 分别是△ABC 中角 A、B、C 的对边,且 a2+c2-b2=ac. (1)求角 B 的大小; (2)若 c=3a,求 tan A 的值. a2+c2-b2 1 解 (1)∵a2+c2-b2=ac,∴cos B= = . 2ac 2 π ∵0<B<π,∴B= . 3 (2)方法一 将 c=3a 代入 a2+c2-b2=ac,得 b= 7a. b2+c2-a2 5 7 由余弦定理,得 cos A= = . 2bc 14 21 sin A 3 ∵0<A<π,∴sin A= 1-cos2A= ,∴tan A= = . 14 cos A 5 方法二 将 c=3a 代入 a2+c2-b2=ac,得 b= 7a. π 21 由正弦定理,得 sin B= 7sin A.由(1)知,B= ,∴sin A= . 3 14 5 7 又 b= 7a>a,∴B>A,∴cos A= 1-sin2A= . 14 sin A 3 ∴tan A= = . cos A 5 方法三 ∵c=3a,由正弦定理,得 sin C=3sin A. π 2π 2π ∵B= ,∴C=π-(A+B)= -A,∴sin( -A)=3sin A, 3 3 3 2π 2π 3 1 ∴sin cos A-cos sin A=3sin A,∴ cos A+ sin A=3sin A, 3 3 2 2 sin A 3 ∴5sin A= 3cos A,∴tan A= = . cos A 5 A 2 5 2.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 cos = , 2 5 · =3. 解 (1)求△ABC 的面积; (2)若 b+c=6,求 a 的值. (1)∵cos A 2 5 A 3 = ,∴cos A=2cos2 -1= , 2 5 2 5 (1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本

4 ∴sin A= .又· =3,∴bccos A=3,∴bc=5. 5 1 1 4 ∴S△ABC= bcsin A= ×5× =2. 2 2 5 (2)由(1)知,bc=5,又 b+c=6, 根据余弦定理得

3 a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-2bc-2bccos A=36-10-10× =20, 5 ∴a=2 5. 3.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对边长分别为 a,b,c, AB ? BC =8,∠BAC=θ, a=4. (1)求 b· c 的最大值及 θ 的取值范围; π (2)求函数 f(θ)=2 3sin2( +θ)+2cos2θ- 3的值. 4 【解析】(1)∵ AB ? BC =8,∠BAC=θ,∴bccosθ=8. 又 a=4,∴b2+c2-2bccosθ=42 即 b2+c2=32. 又 b2+c2≥2bc ∴bc≤16,即 bc 的最大值为 16. 8 8 1 而 bc= ,∴ ≤16,∴cosθ≥ cosθ cosθ 2 π ∵0<θ<π,∴0<θ≤ . 3 π π (2)f(θ)=2 3sin2( +θ)+2cos2θ- 3= 3[1-cos( +2θ)]+1+cos2θ- 3 4 2 π = 3sin2θ+cos2θ+1=2sin(2θ+ )+1 6 π π π 5π 1 π ∵0<θ≤ , ∴ <2θ+ ≤ ∴ ≤sin(2θ+ )≤1. 3 6 6 6 2 6 π 5π π 1 当 2θ+ = ,即 θ= 时,f(θ)min=2× +1=2. 6 6 3 2 π π π 当 2θ+ = ,即 θ= 时,f(θ)max=2× 1+1=3. 6 2 6 点评 有关三角形中的三角函数求值问题,既要注意内角的范围,又要灵活利用基 本不等式.

题型三 正、余弦定理的综合应用 例3 (2011· 浙江)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 sin A+sin C

1 =psin B (p∈R),且 ac= b2. 4 5 (1)当 p= ,b=1 时,求 a,c 的值; 4 (2)若角 B 为锐角,求 p 的取值范围. 解 (1)由题设并由正弦定理,

?a+c=4, 得? 1 ?ac=4,

5

1 a=1, ? ? ? ?a=4, 解得? 1 或? c= ? ? ? 4 ?c=1.

(2)由余弦定理,b2=a2+c2-2accos B 1 1 3 1 =(a+c)2-2ac-2accos B=p2b2- b2- b2cos B,即 p2= + cos B. 2 2 2 2

3 ? 因为 0<cos B<1,所以 p2∈? ?2,2?, 由题设知 p>0,所以 6 <p< 2. 2

探究提高

在已知关系式中,若既含有边又含有角.通常的思路是:将角都化成边或将

边都化成角,再结合正、余弦定理即可求角. 变式训练3 1.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边长分别是 a,b,c. π (1)若 c=2,C= ,且△ABC 的面积为 3,求 a,b 的值; 3 (2)若 sin C+sin(B-A)=sin 2A,试判断△ABC 的形状. π 解 (1)∵c=2,C= ,∴由余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C 3 得 a2+b2-ab=4. 1 又∵△ABC 的面积为 3,∴ absin C= 3,ab=4. 2
?a2+b2-ab=4, ? 联立方程组? 解得 a=2,b=2. ? ?ab=4,

(2)由 sin C+sin(B-A)=sin 2A,得 sin(A+B)+sin(B-A)=2sin Acos A, 即 2sin Bcos A=2sin Acos A,∴cos A· (sin A-sin B)=0, ∴cos A=0 或 sin A-sin B=0,当 cos A=0 时,∵0<A<π, π ∴A= ,△ABC 为直角三角形; 2 当 sin A-sin B=0 时,得 sin B=sin A,由正弦定理得 a=b, 即△ABC 为等腰三角形.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 2. ? ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asinAsinB+bcos2A= ⑴

2a

b a

⑵若 c2=b2+

3 a2 求 B.

解: (1)由正弦定理得,sin2Asin B+sin Bcos2A = 2sin A,即 sin B(sin2A+cos2A)= 2sin A. b 故 sin B= 2sin A,所以 = 2. a (2)由余弦定理和 c2=b2+ 3a2,得 cos B= 由(1)知 b2=2a2,故 c2=(2+ 3)a2. 1 2 可得 cos2B= ,又 cos B>0,故 cos B= ,所以 B=45° . 2 2 1+ 3a . 2c

题型四 判断三角形的形状 一、判断三角形的形状 例 1 在△ABC 中,a、b、c 分别是三内角 A、B、C 的对边,已知 2asinA=(2b+c)sinB +(2c+b)sinC. (1)求角 A 的大小; (2)若 sinB+sinC=1,试判断△ABC 的形状. 解析 (1)由已知得:2a2=(2b+c)b+(2c+b)c. 即 a2=b2+c2+bc 1 由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccosA ∴cosA=- 2 ∵A∈(0° ,180° ),∴A=120° . (2)由(1)得:sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC 1 又 sinB+sinC=1 得 sinB=sinC= 2 ∵0° <B<60° ,0° <C<60° . ∴B=C. ∴△ABC 是等腰的钝角三角形. 点评 有关三角形形状的判定,途径一:探究内角的大小或取值范围确定形式;途径 二:计算边的大小或转化为仅关于边的关系式确定形式. 例 4 在△ABC 中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)· sin(A+B), 试判断△ABC 的形状. 解 ∵(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),

∴b2[sin(A+B)+sin(A-B)]=a2[sin(A+B)-sin(A-B)], ∴2sin Acos B· b2=2cos Asin B· a2, 即 a2cos Asin B=b2sin Acos B. 方法一 由正弦定理知 a=2Rsin A,b=2Rsin B, ∴sin2Acos Asin B=sin2Bsin Acos B, 又 sinA· sin B≠0,∴sin Acos A=sin Bcos B, ∴sin 2A=sin 2B. 在△ABC 中,0<2A<2π,0<2B<2π, π ∴2A=2B 或 2A=π-2B,∴A=B 或 A+B= . 2 ∴△ABC 为等腰或直角三角形. 方法二 由正弦定理、余弦定理得: a2b b2+c2-a2 2 a2+c2-b2 =b a , 2bc 2ac

∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2), ∴(a2-b2)(a2+b2-c2)=0, ∴a2-b2=0 或 a2+b2-c2=0. 即 a=b 或 a2+b2=c2.∴△ABC 为等腰或直角三角形.

变式训练 4 1.已知在△ABC 中, cos

2

A b?c ? ,则△ABC 的形状是 2 2c

cos A+1 b+c A b+c 解析:∵cos2 = ,∴ = . 2 2c 2 2c b2+c2-a2 b b ∴cos A= . 又∵ = ,即 b2+c2-a2=2b2. c c 2bc ∴△ABC 为直角三角形. 探究提高 利用正弦、余弦定理判断三角形形状时,对所给的边角关系式一般都要先化为 ∴a2+b2=c2.

纯粹的边之间的关系或纯粹的角之间的关系,再判断. 2. 设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c, 且 3b2+3c2-3a2=4 2bc. (1)求 sin A 的值; π? ? π? 2sin? ?A+4?sin?B+C+4? (2)求 的值. 1-cos 2A 4 2 解 (1)∵3b2+3c2-3a2=4 2bc,∴b2+c2-a2= bc. 3 b2+c2-a2 2 2 由余弦定理得,cos A= = , 2bc 3 1 又 0<A<π,故 sin A= 1-cos2A= 3 π π ? ? ? ? π? ? π? 2sin? ?A+4?sin?π-A+4? 2sin?A+4?sin?A-4? (2)原式= = 2sin2A 1-cos 2A 2 2 2 2 2? sin A+ cos A?? sin A- cos A? 2 2 ?2 ?? 2 ? sin2A-cos2A 7 = = =- . 2 2 2sin A 2sin A 2 π π 2sin?A+ ?sin?B+C+ ? 4 4 7 所以 =- 2 1-cos 2A 方法与技巧 1.在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角,求另一边的对角,进而求出其 他的边和角时,有可能出现一解、两解或无解的情况,应结合图形并根据“三角形中大边 对大角”来判断解的情况,作出正确取舍. A B C π 2.应熟练掌握和运用内角和定理:A+B+C=π, + + = 中互补和互余的情况,结 2 2 2 2 合诱导公式可以减少角的种数. 3.根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径:(1)化边为角;(2)化角为边, 练题一 一、选择题 1.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c.若 acosA=bsinB,则 sinAcosA +cos2B=( )

1 1 A.- B. C.-1 D.1 2 2 【解析】根据正弦定理,由 acosA=bsinB 得 sinAcosA=sin2B. ∴sinAcosA+cos2B=sin2B+cos2B=1,故选 D. 2.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,若 a=2bcos C,则此三角形一定 是 A.等腰直角三角形 C.等腰三角形 B.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 ) ( )

a+b+c 3.在△ABC 中,若∠A=60°,b=1,S△ABC= 3,则 的值为( sin A+sin B+sin C 26 3 A. 3 2 39 B. 3 C. 39 3 13 3 D. 3

4.若△ABC 的内角 A、B、C 满足 6sinA=4sinB=3sinC,则 cosB=( ) 15 3 3 15 11 A. B. C. D. 4 4 16 16 【解析】结合正弦定理得:6a=4b=3c 设 3c=12k(k>0) 则 a=2k,b=3k,c=4k. a2+c2-b2 4k2+16k2-9k2 11 由余弦定理得 cosB= = = ,选 D. 2ac 16 2×2k×4k 5.若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a,b,c 满足(a+b)2-c2=4 且 C=60° ,则 ab 的 值为( ) 4 2 A. B.8-4 3 C.1 D. 3 3 2 2 ? ?a+b -c =4 【解析】由已知得:? 2 2 2 ?a +b -c =2abcos60° ? 4 两式相减得:ab= ,选 A. 3 二、填空题 π 1 5 2 6.在△ABC 中,若 b=5,∠B= ,sin A= ,则 a=__ ______. 4 3 3 7.若△ABC 的面积为 3,BC=2,C=60°,则边 AB 的长度等于____2____. 9 8.在△ABC 中,若 AB= 5,AC=5,且 cos C= ,则 BC=________.4 或 5. 10 9.已知△ABC 的一个内角为 120° ,且三边长构成公差为 4 的等差数列,则△ABC 的面 积为 . 【解析】不妨设 A=120° ,c<b 则 a=b+4,c=b-4 b2+?b-4?2-?b+4?2 1 ∴cos120° = =- 2 2b?b-4? 1 解得:b=10. ∴S△ABC= bcsin120° =15 3. 2 三、解答题 10.已知△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,A 是锐角,且 3b= 2a· sin B.

(1)求 A; (2)若 a=7,△ABC 的面积为 10 3,求 b2+c2 的值. 解 (1)∵ 3b=2a· sin B,由正弦定理知 3sin B=2sin A· sin B. 3 , 2

∵B 是三角形的内角,∴sin B>0,从而有 sin A= ∴A=60° 或 120° ,∵A 是锐角,∴A=60° . 1 (2)∵10 3= bcsin 60° ,∴bc=40, 2 又 72=b2+c2-2bccos 60° ,∴b2+c2=89.

11.在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c.已知 a2-c2=2b,且 sin B= 4cos Asin C,求 b. 解 方法一 ∵sin B=4cos Asin C, b c 由正弦定理,得 =4cos A ,∴b=4ccos A, 2R 2R b2+c2-a2 由余弦定理得 b=4c· , 2bc ∴b2=2(b2+c2-a2),∴b2=2(b2-2b),∴b=4. 方法二 由余弦定理,得 a2-c2=b2-2bccos A, ∵a2-c2=2b,b≠0,∴b=2ccos A+2, ①

b sin B sin B 由正弦定理,得 = ,又由已知得, =4cos A, c sin C sin C ∴b=4ccos A. ② 解①②得 b=4.

12.在△ABC 中,A,B 为锐角,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,且 cos2A= 3 10 ,sinB= . (1)求 A+B 的值; 5 10 (2)若 a-b= 2-1,求 a,b,c 的值. 10 3 10 【解析】(1)∵A,B 为锐角,且 sinB= ∴cosB= 1-sin2B= 10 10 3 又 cos2A=1-2sin2A= 5 5 2 5 ∴sinA= ,cosA= 1-sin2A= 5 5 2 5 3 10 5 10 2 ∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB= × - × = 5 10 5 10 2 π 又∵0<A+B<π,∴A+B= . 4 3π 2 (2)由(1)知 C= ,∴sinC= 4 2 a b c 由正弦定理 = = 得 5a= 10b= 2c sinA sinB sinC 即 a= 2b,c= 5b. ∵a-b= 2-1,即 2b-b= 2-1,∴b=1. ∴a= 2,c= 5.

cosA-2cosC 2c-a 13.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 = . cosB b sinC (1)求 的值; sinA 1 (2)若 cosB= ,△ABC 的周长为 5,求 b 的长. 4 【解析】(1)由正弦定理得 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, cosA-2cosC 2c-a 2sinC-sinA 所以 = = , cosB b sinB 即 sinBcosA-2sinBcosC=2sinCcosB-sinAcosB, 即有 sin(A+B)=2sin(B+C),即 sinC=2sinA, sinC 所以 =2. sinA sinC c (2)由(1)知 =2,所以有 =2,即 c=2a, sinA a 又因为周长为 5,所以 b=5-3a, 由余弦定理得:b2=c2+a2-2accosB, 1 即(5-3a)2=(2a)2+a2-4a2× , 4 解得 a=1,所以 b=2. 练习 2 一、选择题 1.在△ABC 中,sin2A≤sin2B+sin2C-sinB· sinC,则 A 的取值范围是( π π π π A.(0, ] B.[ ,π) C.(0, ] D.[ ,π) 6 6 3 3 2 2 2 【解析】由已知得:a ≤b +c -bc 由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccosA ∴b2+c2-2bccosA≤b2+c2-bc 1 π ∴cosA≥ ∵A∈(0,π),∴A∈(0, ],选 C. 2 3 2.如图,在△ABC 中,D 是边 AC 上的点, 且 AB=AD,2AB= 3BD,BC=2BD,则 sin C 的值 为 A. 3 3 B. 3 6 C. 6 3 D. ( 6 6 ) )

3.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.若∠C=120°,c= 2a,则 ( A.a>b C.a=b 二、填空题 4.在△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边长,已知 a,b,c 成等比数列, 且 a2-c2=ac-bc,则∠A=___60° _____,△ABC 的形状为__正三角形______. b a tan C 5.在锐角△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 + =6cos C,则 + a b tan A ) B.a<b D.a 与 b 的大小关系不能确定

tan C 的值是___4_____. tan B 1 6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若其面积 S= (b2+c2-a2), 4 π 则 A=___ _____ 4 AC 7. 在 锐 角 △ ABC 中 , BC = 1 , B = 2A , 则 的 值 等 于 ____ , AC 的 取 值 范 围 cosA 为 .

AC BC AC 1 = ,即 = , sinB sinA sin2A sinA AC 1 AC ∴ = ,则 =2. 2sinAcosA sinA cosA 又△ABC 为锐角三角形,∴A+B=3A>90° ,B=2A<90° 2 3 ∴30° <A<45° , <cosA< 2 2 由 AC=2cosA 得 AC 的取值范围是( 2, 3). 三、解答题 【解析】由正弦定理得: 8.在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b+c)sin B+(2c+ b)sin C. (1)求 A 的大小; (2)若 sin B+sin C=1,试判断△ABC 的形状. 解 (1)由已知,根据正弦定理得 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c, 即 a2=b2+c2+bc. 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A, 1 故 cos A=- ,又∵0° <A<180° ,∴A=120° . 2 (2)由①得 sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C. 3 ∴ =(sin B+sin C)2-sin Bsin C, 4 又 sin B+sin C=1, ② 1 ∴sin Bsin C= . 4 ③ ①

1 解②③联立的方程组,得 sin B=sin C= . 2 因为 0° <B<60° ,0° <C<60° ,故 B=C. 所以△ABC 是等腰的钝角三角形. 9.在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边, 4sin2 B+C 7 -cos 2A= . 2 2

(1)求∠A 的度数; (2)若 a= 3,b+c=3,求 b、c 的值.



B+C π A (1)∵B+C=π-A,即 = - , 2 2 2 B+C 7 A 7 由 4sin2 -cos 2A= ,得 4cos2 -cos 2A= , 2 2 2 2 7 即 2(1+cos A)-(2cos2A-1)= , 2 整理得 4cos2A-4cos A+1=0,即(2cos A-1)2=0. 1 ∴cos A= ,又 0° <A<180° ,∴A=60° . 2 b2+c2-a2 (2)由 A=60° ,根据余弦定理 cos A= , 2bc 即 b2+c2-a2 1 = ,∴b2+c2-bc=3, 2bc 2 ② ④ 或?
? ?b=2, ?c=1. ?

① ③

又 b+c=3,

∴b2+c2+2bc=9.

① -③整理得:bc=2. 解②④联立方程组得?
? ?b=1, ?c=2, ?

10.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,其中 b= π =tanA· tanC· tan . 3 (1)求角 B 的大小; (2)求 a+c 的取值范围. tanA+tanC 解析 (1)tan(A+C)= 1-tanA· tanC 3tanA· tanC- 3 2π π = =- 3, ∴A+C= ,∴B= . 3 3 1-tanA· tanC b a c (2)由正弦定理有 2R= = = =1, sinB sinA sinC ∵a+c=2R(sinA+sinC)=sinA+sinC 2 3 3 π =sinA+sin( π-A)= sinA+ cosA= 3sin(A+ ) 3 2 2 6 2 π π 5 又由 0<A< π,有 <A+ < π, 3 6 6 6 3 3 ∴ <a+c≤ 3,即 a+c 的取值范围是( , 3]. 2 2

3 π ,tanA+tanC+tan 2 3

A+B C 11.在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,a=2 3,tan +tan = 2 2 2A 4,sinB· sinC=cos ,求 A、B 及 b、c. 2 C C cos sin 2 2 A+B C C C 【解析】由 tan +tan =4,得 cot +tan =4,即 + =4, 2 2 2 2 C C sin cos 2 2

C C cos2 +sin2 2 2 1 所以 =4,所以 =2, C C sinC sin cos 2 2 1 π 5π 所以 sinC= ,又 C∈(0,π),所以 C= 或 , 2 6 6 A 1 由 sinB· sinC=cos2 ,得 sinB· sinC= [1-cos(B+C)], 2 2 即 2sinB· sinC=1-cosB· cosC+sinB· sinC, 所以 cosB· cosC+sinB· sinC=1,即 cos(B-C)=1, π 2π 所以 B=C= , A=π-(B+C)= , 6 3 1 2 a b c sinB 由正弦定理 = = 得, b=c=a· =2 3× =2. sinA sinB sinC sinA 3 2 sinA+sinB 12.若 tanC= ,c= 3,试求 ab 的最大值. cosA+cosB (2)∵tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B) sin?A+B? sinA+sinB ∴- = cos?A+B? cosA+cosB 即 sin(A+B)cosA+sin(A+B)cosB+cos(A+B)sinA+cos(A+B)sinB=0 即 sin(2A+B)+sin(A+2B)=0. ∴2A+B=-(A+2B)+2kπ(k∈Z) 或(2A+B)-(A+2B)=π+2kπ(k∈Z) 2π π ∵A,B 为△ABC 的内角,∴A+B= ,即 C= . 3 3 又 c= 3, 由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC 得:3+ab=a2+b2≥2ab ∴ab≤3,当且仅当 a=b 时“=”成立. 故 ab 的最大值为 3. 2π 13.在△ABC 中,AC=1,∠ABC= ,∠BAC=x,记 f(x)= AB ? BC . 3 (1)求函数 f(x)的解析式及定义域; π 5 (2)设 g(x)=6m· f(x)+1,x∈(0, ),是否存在正实数 m,使函数 g(x)的值域为(1, ]? 3 4 若存在,请求出 m 的值;若不存在,请说明理由. BC AB AC 1 【解析】(1)由正弦定理 = = = , sinx π 2π sin∠ABC sin -x sin 3 3 2 2 π 得 BC= sinx,AB= sin( -x), 3 3 3 ∴f(x)= AB ? BC =AB· BCcos(π-∠ABC) 4 π 1 = sinx· sin( -x)· 3 3 2 2 3 1 = ( cosx- sinx)· sinx 3 2 2 1 π 1 π = sin(2x+ )- ,其定义域为(0, ). 3 6 6 3 π π (2)g(x)=6mf(x)+1=2msin(2x+ )-m+1(0<x< ), 6 3

假设存在正实数 m 满足题设. π π π 5π π 1 ∵0<x< ,∴ <2x+ < ,则 sin(2x+ )∈( ,1]. 3 6 6 6 6 2 又 m>0,则函数 g(x)的值域为(1,m+1], 5 5 1 而 g(x)的值域为(1, ],故 m+1= ,∴m= . 4 4 4 1 5 故存在正实数 m= 使函数 g(x)的值域为(1, ]. 4 4 14 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知向量 p=(c-2a,b),q= (cosB,cosC),p⊥q. (1)求角 B 的大小; (2)若 b=2 3,求△ABC 面积的最大值. 解析 (1)由 p⊥q 得:(c-2a)cosB+bcosC=0 由正弦定理得,sinCcosB-2sinAcosB+sinBcosC=0 ∴sin(C+B)=2sinAcosB ∵B+C=π-A ∴sin(C+B)=sinA 且 sinA>0 1 ∴sinA=2sinAcosB,cosB= 2 π 又 B∈(0,π),∴B= . 3 2 (2)由余弦定理得,b =a2+c2-2accosB =a2+c2-ac≥ac 当且仅当 a=c 时“=”成立. 1 1 3 又 b=2 3,∴ac≤12. ∴S△ABC= acsinB≤ × 12× =3 3, 2 2 2 当且仅当 a=c=2 3时,S△ABC 的最大值为 3 3.


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