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湖北省稳派教育2013届高三强化训练(一)数学文试题


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??

湖北稳派教育 2013 届高三 10 月月考

数学(文)试题
考生注意: 说明:本试卷满分 150 分;答题时间 120 分钟.答卷前,考生务必将自己的姓名、学校、班级、 考号填写在答题纸密封线内相应位置.选择题每小题选出答案后,请将答案填在答题卡中相应位置, 非选择题答案写在答题纸指定位置,不

能答在试题卷上,考试结束后,将答题纸交回, 一、 选择题: 本大题共 10 小题, 每小题 5 分, 50 分, 共 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是 符 合题目要求的. 1. ? 是锐角”是“ co s ? ? “ A.充分而不必要条件 C.充要条件
1 ? sin ? ”的
2

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
??? ?

2.已知点 A ( ? 1,1), 点 B (2, y ), 向 量 a ? (1, 2 ), 若 A B / / a ,则实数 y 的值为 A.5 B.6 C.7 D.8

3.设等比数列 { a n }的 前 n 项 和 为 S n , 若 8 a 2 ? a 5 ? 0 ,则下列式子中数值不能确定的是
a5 a3

A.

B.

S5 S3

C.

a n ?1 an

D.

S n ?1 Sn

4. 黑板上有一道解答正确的解三角形的习题, 一位同学不小心把其中一部分擦去了, 现在只能看到: 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 n、6、c,已知 a=2,?,解得 b ? 息,你以为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件 A.A=30°,B=45° B. c ? 1, co s C ?
1 3

6 .根据以上信

C.B=60°,c=3

D.C=75°,A=45°

5.已知函数 f ( x ) 的部分图象如图所示,则 f ( x ) 的解析式可能为 A. f ( x ) ? 2 sin ( B. f ( x ) ?
x 2 ?

?
6

)

2 co s( 4 x ? x 2 ?

?
4

)

C. f ( x ) ? 2 co s(

?
3

) )

D. f ( x ) ? 2 sin ( 4 x ?

?
6

6.已知α 、β 均为锐角,且 tan ? ?

co s ? ? sin ? co s ? ? sin ?

, 则 tan (? ? ? ) 的值为

?

??
C. 3 D.不存在

A.—1

B.1

7.已知实数 a、b、c、d 成等比数列,且函数 y ? ln( x ? 2) ? x , 当 x ? b 时取到极大值 c,则 ad 等于 A.—1 B.0 C.1 D.2

8.数列 { a n }的 前 n 项 和 是 S n , 若 数 列 { a n } 的向若按如下规律排列:
1 2 , 1 3 , 2 3 , 1 4 , 2 4 , 3 4 , 1 5 , 2 5 , 4 1 , ? , , 5 5 6 3 ,

若存在正整数 k,使 S k ? 1 0, S k ? 1 ? 1 0, 则 a k = A.
1 7

B.

6 7

C.

5 7

D.

3 7

9.已知 f ( x ) 是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对于任意实数 a , b ? R 满足
f (2 ) n
n

f ( a ? b ) ? a f ( b ) ? b f ( a ), f ( 2 ) ? 2, a n ?

( n ? N ), b n ?
*

f (2 ) 2
n

n

(n ? N )
*

考察下列结论:① f (0 ) ? f (1) ;② f ( x ) 为偶函数;③数列 { a n } 为等比数列;④数列 { b n } 为 等差数列。其中正确的结论是 A.①②③ B.②③④
x

C.①②④

D.①③④

10.设函数 f ( x ) ? e (sin x ? co s x ), 若 0 ? x ? 2 0 1 2 ? , 则 函数 f ( x ) 的各极大值之和为
e (1 ? e
?
1006?

A.

)

1? e

?

B.

e (1 ? e 1? e

?

2012? 2?

)

C.

e (1 ? e 1? e

?

1006? 2?

)

D.

e (1 ? e 1? e

?

2012?

)

?

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,题 两空的题,其答案按先后次序填写,填错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 11.已知等差数列 { a n }中 , a 3 , a1 5 是 方 程 x ? 6 x ? 1 ? 0的 两 根 , 则 a 7 ? a 8 ? a 9 ? a1 0 ? a1 1 等于
2



3 ? lo g 2 x , x ? 1 1 2 , 则 f [( ) ] 的值是 12.已知 f ( x ) ? ? 2 ? f ( 2 x ), 0 ? x ? 1


??? ? ???? ? ??? ? ??? ? ??? ?

13. 在△ABC 中, 是 BC 的中点, M AM=1, P 在 AM 上且满足 A P ? 2 P M , 则 P A ? ( P B ? P C ) 等 点 于 。
1 2 , co s B ? 3 10 10

14.在△ABC 中, tan A ?

,若最长边为 1,则最短边的长为



满 15.定义: F ( x , y ) ? y ( x ? 0 , y ? 0 ),已 知 数 列 {a n } 足 : a n ?
x

F (n, 2) F (2, n )

(n ? N

*

),若对任意正

?
*

??

*

整数 n,都有 a n ? a k ( k ? N ) 成 立 , 则 a k 的值为 16. 设函数 f ( x ) ? x ( ) ?
x

1

1 x ?1

2

, A 0 为坐标原点,An 为 函 数 y ? f ( x ) 图象上横坐标为 n ( n ? N ) 的

点,向量 a n ?

?? ?

?

n

k ?1

n ??????? ?? ? 5 A k ? 1 A k , 向 量 i ? (1, 0 ), 设 ? n 为 向 量 a n 与 向 量 i 的夹角,满足 ? tan ? k ? 的 3 k ?1

最大整数 n 是 。 17.如图,将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如 下规则标上数字标签:原点处标数字 O,点(1,0)处标数字 1,点 (1,一 1)处标数字 2,点(O,-1)处标数字 3,点(-1,-1)处 标数字 4,点(-1,0)处标数字 5,点(-1,1)处标数字 6,点 (0,1)处标数字 7,?以此类推,①标数字 50 的格点的坐标为____. ②记格点坐标为(m,咒)的点(m、n 均为正整数)处所标的数字为 f(m,n),若 n>m,则 f(m,n)= ____. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 努.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 12 分) ? 向量 m ? ( a ? 1, sin x ), n ? (1, 4 co s( x ? )), 设 函 数 g ( x ) ? m ? n ( a ? R , 且 a 为 常 数 ).
6

(I)若 a 为任意实数,求 g(x)的最小正周期; ? (II)若 g(x)在[o, )上的最大值与最小值之和为 7,求 a 的值,
3

17. (本小题满分 12 分) 如图,某测量人员,为了测量西江北岸不能到达的两点 A,B 之间的距离,她在西江南岸找到 一个点 C,从 C 点可以观察到点 A, 找到一个点 D,从 D 点可以观察到点 A,C;到一个点 E, B; 从 E 点可以观察到点 B,C;并测量得到数据:∠ACD=90°,∠ADC= 60°,∠ACB =15°,∠ BCE =105°,∠CEB =45°,DC=CE =1(百米) . (I)求△CDE 的面积; (Ⅱ)求 A,B 之间的距离.

20. (本小题满分 12 分) 国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款,旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所

?

??

需的学费、住宿费及生活费.每一年度申请总额不超过 6000 元.某大学 2010 届毕业生李顺在 本科期间共申请了 24000 元助学贷款,并承诺在毕业后 3 年内(按 36 个月计)全部还清. 签约的单位提供的工资标准为第一年内每月 1500 元,第 13 个月开始,每月工资比前一个月增 加 5%直到 4000 元.李顺同学计划前 12 个月每个月还款额为 500 元,第 13 个月开始,每月还 款额比前一月多 x 元. (I)若李顺恰好在第 36 个月(即毕业后三年)还清贷款,求 x 的值; (II)当 x=50 时,李顺同学将在第几个月还清最后一笔贷款?他还清贷款的那一个月的工资余 额是多少? (参考数据:1.0518 =2.406,1.0519=2.526,1.0520 =2.653,1.0521=2.786)

21. (本小题满分 14 分) 已知数列 { a n }中 , a1 ? 1, a n ? a n ? 1 ? 2 ( n ? N ), b n ? 3 a n .
n *

(I)试证数列 { a n ?

1 3

? 2 } 是等比数列,并求数列 { b n } 的通项公式;
n

(II)在数列 { b n } 是,是否存在连续三项成等差数列?若存在,求出所有符合条件的项;若不存 在,说明理由。 (III)试证在数列 { b n } 中,一定存在满足条件 1 ? r ? s 的正整数 r,s, 使得 b1 , b r , b s 成等差数列; 并求出正整数 r,s 之间的关系。

22. (本小题满分 14 分) 已知 f ( x ) ? ax ?
b x ? 2 ? 2 a ( a ? 0) 在 图 像 在 点 (1, f (1)) 处的切线与直线 y ? 2 x ? 1 平行。

(I)求 a , b 满足的关系式; (II)若 f ( x ) ? 2 ln x 在 [1, ? ? ) 上恒成立,求 a 的取值范围; (III)证明: 1 ?
1 3 ? 1 5 ?? ? 1 2n ? 1 ? 1 2 ( 2 n ? 1) ? n 2n ? 1 (n ? N ? )

?

??

参考答案
一、选择题: 1. 【考点分析】本题主要考查查诱导公式和充要条件的基础知识. 【参考答案】A 【解题思路】 ? 是锐角则有 cos ?
? 1 ? sin ?
2

,但 cos ?

?

1 ? sin ?
2

时, ? 不一定是锐角。

2. 【考点分析】本题主要考查平面向量的运算和向量平行充要条件的基本运用. 【参考答案】 C 3 y-1 → → 【解题思路】AB=(3,y-1) ,∵AB∥a,∴ = ,∴y=7. 1 2 3. 【考点分析】本题主要考查了等比数列的通项公式与前 n 项和公式. 【参考答案】 D an+1 a5 【解题思路】等比数列{an}满足 8a2+a5=0,即 a2(8+q3)=0,∴q=-2,∴ =q2=4, a3 an a1?1-q5? + 1-q 1-q5 11 Sn+1 1-qn 1 S5 =q=-2, = = = ,都是确定的数值,但 = 的值随 n 的变化而变化, S3 a1?1-q3? 1-q3 3 Sn 1-qn 1-q 故选 D. 4. 【考点分析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用. 【参考答案】D 【解题思路】可将选项的条件逐个代入验证. ∵ 2 6 ≠ ,∴A 错; sin30° sin45° ∵cosC= a2+b2-c2 4+6-1 1 = ≠ ,∴B 错; 2ab 4 6 3 ∴C 错,故选 D.

a2+c2-b2 4+9-6 7 ∵ = = ≠cos60°, 2ac 12 12

5. 【考点分析】本题考查 y ? sin (? x ? ? ) 型函数图象和性质,以及数形结合的解题能力. 【参考答案】C 【解题思路】验证可得 6. 【考点分析】本题主要考查三角函数的概念,同角三角函数的基本关系式,诱导公式,两角和与 差的正切公式,及其运用,正切函数的性质. 【参考答案】 B cosα-sinα 1-tanα π 【解题思路】tanβ= = =tan?4-α?, ? ? cosα+sinα 1+tanα π π π π π ∵ -α,β∈?-2,2?且 y=tanx 在?-2,2?上是单调增函数, ? ? ? ? 4 π π π ∴β= -α,∴α+β= ,∴tan(α+β)=tan =1. 4 4 4 7. 【考点分析】本题考查了等比数列的基本性质,以及利用导数判断函数单调性和极值. 【参考答案】A 【解题思路】利用导数可求 b、c,由 a、b、c、d 成等比数列可得 ad=bc. 【解题思路】 y′= 1 -1,令 y′=0 得 x=-1,当-2<x<-1 时,y′>0,当 x>-1 时,y′<0, x+2

?

??

∴b=-1,c=ln(-1+2)-(-1)=1,∴ad=bc=-1,故选 A. 8. 【考点分析】本题目主要考查学生对数列的观察能力,找出数列之间的相互关系,根据等差数列 的前 n 项和计算公式,根据已有条件计算.考查学生的计算能力以及对问题的分析能力. 【参考答案】C 1 1+2 1+2+3 1+2+3+4 1+2+3+4+5 1+2+3+4+5+6 1 【解题思路】S20+1= + + + + + = 2 3 4 5 6 7 2 3 5 +1+ +2+ +3=10.5 2 2 6 ∵ >0.5, ∴S20<10,S21=10.5>10,即 k=20 7 5 ∴a20= . 7

9. 【考点分析】本题主要考查函数、等差数列与等比数列综合运用,考查等差数列与等比数列的概 念,考查等价转化的数学思想. 【参考答案】 D. 【解题思路】∵f(0)=f(0?0)=0,f(1)=f(1?1)=2f(1) ,∴f(1)=0,①正确; f(1)=f[(-1) -1)]=-2f(-1) ( ? ,∴f(-1)=0,f(-2)=f(-1×2)=-f(2)+2f(-1)=-2≠f(2) , n n-1 n-1 n-1 n-1 n 故 f(x)不是偶函数,故②错;则 f(2 )=f(2?2 )=2f(2 )+2 f(2)=2f(2 )+2 , ∴bn=bn-1+1,∴{bn}是等差数列,④正确;b1═1,bn=1+(n-1)×1=n,f(2n)=2nbn=n2n,an ═2n,故数列{an}是等比数列,③正确.故答案为:①③④ 10. 【考点分析】本题主要考查利用导数研究函数的极值以及等比数列的求和. 【参考答案】 B. 【解题思路】∵函数 f(x)=ex(sinx-cosx),∴f′(x)=(ex)′(sinx-cosx)+ex(sinx-cosx)′ =2exsinx, ∵x∈(2kπ ,2kπ +π )时,f′(x)>0,x∈(2kπ +π ,2kπ +2π )时,f′(x)<0, ∴x∈ (2kπ , 2kπ +π ) 时原函数递增, (2kπ +π , x∈ 2kπ +2π ) 函数 f x) x 时, ( =e (sinx-cosx) 2kπ+π 递减,故当 x=2kπ +π 时,f(x)取极大值,其极大值为 f(2kπ +π )=e [sin(2kπ +π )-cos 2kπ+π 2kπ+π (2kπ +π )]=e ×(0-(-1))=e ,又 0≤x≤2012π ,∴函数 f(x)的各极大值之和 S=e +e +e +?+e
π 3π 5π 2011π

e (1 ? e 1? e

?

2012 ? 2?

)

=

.故选

B.

二、填空题: 11. 【考点分析】本题主要考查等差数列的基本运算性质. 【参考答案】15 【解题思路】 a 3 ? a15 ? a 7 ? a11 ? a 8 ? a10 ? 2 a 9 ? 6 , 故 a 7 ? a 8 ? a 9 ? a10 ? a11 ? 1 5 。

12. 【考点分析】本题主要考查函数、分段函数的概念和指数运算,考查推理和运算能力. 【参考答案】
1 2

【解题思路】∵ ( ) ?
2

1

3

1 2

2
? 1 2 ? 1 2

? 1 ,∴ f [( ) ] = f [ 2 ? ( ) ] ? f ( 2 2 2
2 2

1

3

1

3

?

1 2

)

由2

?

1 2

? 1 ,得

f (2

) ? f (2 ? 2

1 1 ) ? f ( 2 2 ) ,而 2 2 ? 1 , f [( ) 2 ] = f ( 2 2 ) = lo g 2 2 2 ? . 2 2

1

1

3

1

1

13. 【考点分析】本题主要考查向量的线性运算和数量积的基本运算. 4 【参考答案】- 9

?

??

2→ 4 → → → → → →→ → 【解题思路】由条件知,PA· (PB+PC)=PA· (2PM)=PA· =-|PA|2=-?3|MA|?2=- . AP ? ? 9

14. 【考点分析】本小题主要考查正弦定理,三角形中的三角恒等变换等基础知识,本小题主要考查 推理论证、运算求解等能力. 【参考答案】 5 5 π ∴0<B< ,∴C 为最大角, 6

【解题思路】由 tanA>0,cosB>0 知 A、B 均为锐角, 1 π 3 10 3 ∵tanA= <1,∴0<A< ,cosB= > , 2 4 10 2

3 10 1 由 cosB= 知,tanB= ,∴B<A,∴b 为最短边, 10 3 由条件知,sinA= 1 2 1 ,cosA= ,sinB= , 5 5 10 1 3 2 1 2 × + × = , 5 10 5 10 2

∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=

b c b 1 5 由正弦定理 = 知, = ,∴b= . sinB sinC 1 5 2 10 2 15. 【考点分析】本题主要考查了数列和不等式的综合运用.考查了学生综合运用所学知识解决问题 的能力. 【参考答案】 8 9

2n 【解题思路】由 F(x,y)的定义知,an= 2(n∈N*) .∵对任意正整数 n,都有 an≥ak 成立, n 8 ∴ak 为数列{an}中的最小项,由指数函数与幂函数的增大速度及 a1=2,a2=1,a3= ,a4=1 9 8 知,当 a>4 时,恒有 an>1,∴对?n∈N*,有 an≥a3= 成立. 9 16. 【考点分析】本题考查函数、数列与向量的综合应用,考查向量的夹角公式的运算及正切函数的 定义. 【参考答案】3 【解题思路】由题意知 An=(n,f(n), a n ? A 0 A n ,则θ n 为直线 A0An 的倾斜角,所以 ) tanθ n=
f (n) n
? ?

? 5 5 9 1 ?1? ? ? ? ? , 所以 tanθ 1=1, 1= , θ tanθ 2= , tanθ 3= , tanθ 4= 12 24 n ( n ? 1) 4 80 ?2?

n

?

??

则有 1+

5 12

+

5 24

=

13 8

<

5 3

<

139 80

=

13 8

?

9 80

,故满足要求的最大整数 n 是 3.

17. 【考点分析】本题主要考查了数列的应用,观察分析数据,总结、归纳推理数据规律的能力,以 及运算转化能力. 【参考答案】 (4,2)(2n+1)2+m-n-1 ; 【解题思路】f(1,0)=12,f(2,1)=32,f(3,2)=52,…,f(n+1,n)=(2n+1)2. ∵n>m,∴n≥m-1,∴当 n>m 时,f(m,n)=(2n+1)2+m-n-1. 三、解答题: 18. 【考点分析】本小题考查三角函数的性质,同角三角函数的关系,两角和的正、余弦公式、诱导 公式和向量等基础知识和基本运算能力,化归与转化数学思想. π [解析] g(x)=m· n=a+1+4sinxcos(x+ ) 6 π = 3sin2x-2sin2x+a+1= 3sin2x+cos2x+a=2sin(2x+ )+a 6 π (1)g(x)=2sin(2x+ )+a,T=π. 6 π π π 5π (2)∵0≤x< ,∴ ≤2x+ < 3 6 6 6 π π π 当 2x+ = ,即 x= 时,ymax=2+a. 6 2 6 π π 当 2x+ = ,即 x=0 时,ymin=1+a, 6 6 (8 分) (10 分) (4 分) (6 分)

故 a+1+2+a=7,即 a=2. (12 分) 19. 【考点分析】本题是解三角形的应用问题,考查三角形中的正弦定理、三角恒等变换、三角函数 性质等基础知识,主要考查运算求解、推理论证等能力. 解: (1)连结 DE,在?CDE 中, ? D C E ? 360 o ? 90 o ? 15 o ? 105 o ? 150 o , (1 分)
S ?CDE ? 1 2 D C ? C E ? sin 1 5 0 ?
o

1 2

? sin 3 0 ?
o

1 2

?

1 2

?

1 4

(平方百米)
? 3

(4 分) (5 分)

(2)依题意知,在 RT?ACD 中, A C ? D C ? tan ? A D C ? 1 ? tan 60 o 在?BCE 中, ? C BE ? 180 o ? ? BC E ? ? C EB ? 180 o ? 105 o ? 45 o ? 30 o 由正弦定理 得 BC
?
BC sin ? C E B ? CE sin ? C B E

(6 分)
? sin 4 5 ?
o

CE sin ? C B E

? sin ? C E B ?

1 sin 3 0
o

2

(7 分)
o

∵ cos 15 o

? cos(60 ? 45 ) ? cos 60 cos 45 ? sin 60 sin 45
0 o 0 o 0

(8 分) (9 分)

?

1 2

?

2 2

?

3 2

?

2 2

?

6 ? 4
2

2
2

在?ABC 中,由余弦定理 A B 2 可得 A B 2 ∴ AB
?

? A C ? B C ? 2 A C ? B C cos ? A C B

(10 分) (11 分) (12 分)

?

3 ?

2

2 ?2 3?

2

2?

6 ? 4

2

? 2?

3

2?

3

(百米)

20. 【考点分析】本小题主要考查一元二次不等式的应用,数列的基本应用和等差数列的性质,考查

?

??

等价转化和建模能力.

(2)设李顺第 n 个月还清,则应有
1 2 ? 5 0 0 ? (5 0 0 ? 5 0 ) ? ( n ? 1 2 ) ? ( n ? 1 2 ) ? ( n ? 1 2 ? 1) 2
2 整理可得 n ? 3 n ? 828 ? 0 ,解之得 n ?

? 50 ? 24000

3?

3321 2

? 3 0 ,取 n ? 31 ,

即李顺工作 31 个月就可以还清贷款. 这个月,李顺的还款额为
2 4 0 0 0 ? [1 2 ? 5 0 0 ? (5 0 0 ? 5 0 ) ? (3 0 ? 1 2 ) ? (3 0 ? 1 2 ) ? (3 0 ? 1 2 ? 1) 2 ? 5 0 ] ? 4 5 0 元,

第 31 个月李顺的工资为 1500 ? 1.05

19

? 1500 ? 2.526 ? 3789 元,

因此,李顺的剩余工资为 3789 ? 450 ? 3339 . …………………13 分 21. 【考点分析】本题主要考查等比数列的判定和等差数列的应用.考查函数与方程,分类讨论思想, 考查推理论证能力. 解: (1) 证明:由 an+an+1=2n,得 an+1=2n-an, 1 + 1 + 1 an+1- × n 1 2n-an- × n 1 -?an- × n? 2 2 2 3 3 3 所以 = = =-1. 1 1 1 an- × n 2 an- × n 2 an- × n 2 3 3 3

(3 分)

2 1 1 1 又因为 a1- = ,所以数列{an- × n}是首项为 ,公比为-1 的等比数列. 2 3 3 3 3 1 1 1 - 所以 an- × n= × 2 (-1)n 1,即 an= [2n-(-1)n],所以 bn=2n-(-1)n. (5 分) 3 3 3 (2) 假设在数列{bn}中,存在连续三项 bk-1,bk,bk+1(k∈N*, k≥2)成等差数列,则 bk-1+bk - + + - - k-1 -(-1)k 1]+[2k 1-(-1)k 1]=2[2k-(-1)k],即 2k 1=4(-1)k 1. +1=2bk,即[2 - - ① 若 k 为偶数,则 2k 1>0,4(-1)k 1=-4<0,所以,不存在偶数 k,使得 bk-1,bk,bk+1 成等差数列. 分) (7 - - ② 若 k 为奇数,则当 k≥3 时,2k 1≥4,而 4(-1)k 1=4,所以,当且仅当 k=3 时,bk-1,bk, bk+1 成等差数列. 综上所述,在数列{bn}中,有且仅有连续三项 b2,b3,b4 成等差数列. 分) (9 (3) 要使 b1,br,bs 成等差数列,只需 b1+bs=2br, + 即 3+2s-(-1)s=2[2r-(-1)r],即 2s-2r 1=(-1)s-2(-1)r-3, (﹡) (10 分) s r+1 ① 若 s=r+1,在(﹡)式中,左端 2 -2 =0, 右端(-1)s-2(-1)r-3=(-1)s+2(-1)s-3=3(-1)s-3, 要使(﹡)式成立,当且仅当 s 为偶数时.又 s>r>1,且 s,r 为正整数,

?

??

所以当 s 为不小于 4 的正偶数,且 s=r+1 时,b1,br,bs 成等差数列. (12 分) s r+1 r+2 r+1 r+1 ② 若 s≥r+2 时,在(﹡)式中,左端 2 -2 ≥2 -2 =2 , + 由(2)可知,r≥3,所以 r+1≥4,所以左端 2s-2r 1≥16(当且仅当 s 为偶数、r 为奇数时取“=”) ; s s 右端(-1) -2(-1) -3≤0.所以当 s≥r+2 时,b1,br,bs 不成等差数列. 综上所述,存在不小于 4 的正偶数 s,且 s=r+1,使得 b1,br,bs 成等差数列. (14 分) 22. 【考点分析】本小题主要考查导数的运算法则,利用导数研究函数的单调性、不等式的证明等基 础知识,考查运算能力以及分类讨论的数学思想方法. 解: (Ⅰ) f ? ( x ) ? a ?
b x
2

,根据题意 f ? (1) ? a ? b ? 2 ,即 b ? a ? 2
a?2 ? 2 ? 2a ,

……3 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x ) ? ax ? 令 g ( x ) ? f ( x ) ? 2 ln x ? ax ?

x a?2 x

? 2 ? 2 a ? 2 ln x , x ? ?1, ? ? ?
a ( x ? 1)( x ? 2?a a x
2

则 g (1) ? 0 , g ? ( x ) ? a ? ①当 0 ? a ? 1 时, 若 1? x ?
2?a a 2?a a

a?2 x ?1
2

?

2 x

)

=



, 则 g ( x )? 0, g ( x ) 在 [1, ? ? ) 减 函 数 , 所 以
'

g ( x ) ? g (1) ? 0 ,即 f ( x ) ? 2 ln x 在 [1, ? ? ) 上恒不成立.

② a ? 1 时, 又 g (1) ? 0 ,所以 f ( x ) ? 2 ln x .

2?a a

? 1 ,当 x ? 1 时, g ( x ) ? 0 , g ( x ) 在 [1, ? ? ) 增函数,
'

综上所述,所求的取值范围是 [1, ? ? )

……9 分

(Ⅲ)有(Ⅱ)知当 a ? 1 时, f ( x ) ? 2 ln x 在 ?1, ? ? ? 上恒成立. 取a ? 1得x ? 令x ?
2n ? 1 2n ? 1 1 x ? 2 ln x

2n ? 1 2n ? 1 2 2 2n ? 1 ? (1 ? ) ? 2 ln 即1 ? 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 1 2n ? 1 1 1 1 ? ln ? ( ? ) 所以 2n ? 1 2 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1

? 1 ,n ? N *得

2n ? 1

?

2n ? 1

? 2 ln

2n ? 1 2n ? 1



上式中 n=1, 3, n, 2, …, 然后 n 个不等式相加得到 1 ? ……14 分

1 3

?

1 5

?…?

1 2n ? 1

?

1 2

ln ( 2 n ? 1) ?

n 2n ? 1

?

??


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