nbhkdz.com冰点文库

第十八章 第1讲 几何证明选讲


第十八章
第1讲

选考内容

几何证明选讲

考纲要求 1.了解平行线截割定理,会证直 角三角形射影定理. 2.会证圆周角定理、圆的切线 的判定定理及性质定理. 3.会证相交弦定理、圆内接四 边形的性质定理与判定定理、切 割线定理. 4.了解平行投影的含义,通过 圆柱与平面的位置关系了解平 行投影;会证平面

与圆柱面的截 线是椭圆(特殊情形是圆).

考纲研读 有关线段的比值问题,除了用平 行线分线段成比例定理外,也可 利用相似三角形的判定和性质 求解.解题中要注意观察图形特 点,巧添辅助线.与圆有关的比 例线段问题通常要考虑相交弦 定理、切割线定理、相似三角形 的判定定理.弦切角、圆周角定 理可解决圆内有关等角问题.四 点共圆对角互补.

1.平行线分线段成比例定理 成比例 三条平行线截两条直线,所得对应线段________. 推论 1:平行于三角形的一边的直线截其他两边(或两边的延 成比例 长线),所得的对应线段________. 推论 2:平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线, 对应成比例 所截得的三角形的三边与原三角形的三边____________. 2.射影定理的结论 在 RtABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于 D. BD· BC BD· CD 则:AB2=________;AC2=_________;AD2=_________. CD· CB

3.相似三角形的判定与性质 (1)相似三角形的判定定理: 平行 ①预备定理:______于三角形一边的直线与其他两边(或两边 的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似. 两角 ②判定定理 1:_____对应相等,两三角形相似.

夹角 ③判定定理 2:_____对应成比例且_____相等,两三角形相似. 两边

三边对应成比例 ④判定定理 3:_______________的两个三角形相似.
⑤判定定理 4:两直角三角形有一个______对应相等,则它们 锐角 相似. 两直角边 ⑥判定定理 5:两直角三角形的___________对应成比例,则 它们相似.

斜边 一条直角边 ⑦判定定理 6:如果一个直角三角形的_____和___________ 斜边 一条直角边 与另一个直角三角形的_____和____________对应成比例,则它们 相似. (2)相似三角形的性质定理: ①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的 相似比 比都等于________;

相似比 ②相似三角形周长的比等于________;
相似比的平方 ③相似三角形面积的比等于______________.

互补 4.(1)圆内接四边形的对角______.
内对角 (2)圆内接四边形的外角等于它的________. (3)如果四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点____. 共圆

5.直线与圆

(1)圆周角定理、圆心角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于
一半 度数 它所对的圆心角的______.圆心角的度数等于它所对弧的_____. 它所夹的弧所对的圆周角 (2)弦切角定理:弦切角等于__________________________. (3)相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段 积 长的____相等. (4)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这

比例中项 点到割线与圆交点的两条线段长的_________.

1.在同一圆中,一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+
55 70)°和 90°,则 x=______. 2.如图 18-1-1,已知圆心角∠AOB 的度数为 100°,则圆

周角∠ACB 的度数是( D )
A.80° B.100° C.120° D.130° 图 18-1-1

3.如图 18-1-2,AB 是⊙O 的直径,点 C,D,E 都在⊙O 135° 上,若∠C=∠D=∠E,则∠A+∠B=_______.

图 18-1-2

4.(2010 年广东)如图 18-1-3,在直角梯形 ABCD 中,DC a ∥AB,CB⊥AB,AB=AD=a,CD=2,点 E,F 分别为线段 AB, a 2 AD 的中点,则 EF=____. 解析:连接 DE,可知为直角三角形. 则 EF 是斜边上的中线,等于斜边的一半,
a 为2.

图 18-1-3

5.如图18-1-4,AD 是⊙O 的切线,AC 是⊙O 的弦,过 C

作 AD 的垂线,垂足为 B,CB 与⊙O 相交于点 E,AE 平分∠CAB,
3 2 3 3 且 AE=2,则 AB=_____,AC=______,BC=_____.

图 18-1-4

考点1

相似三角形

例 1:(2011 年广东)如图 18-1-5,在梯形 ABCD 中,AB∥

CD,AB=4,CD=2,E,F 分别为 AD,BC 上的点,且 EF=3, EF∥AB,则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为________.

图 18-1-5

解析:如图,延长 AD,BC,AD∩BC=P. S△PCD 4 CD 2 ∵ EF =3,∴ =9. S△PEF S△PCD 4 CD 2 ∵ AB =4,∴ = . S△PAB 16 S梯形ABEF 7 ∴ = . S梯形EFCD 5

7 答案:5

本题的关键在于延长AD,BC,交点为P,从而将 我们从不太熟悉的梯形转化到三角形中解决,反复运用相似三角

形的面积比等于相似比的平方.当然证明三角形相似是基础,主
要方法有:①两角相等;②两边对应成比例且夹角相等;③三边

对应成比例.

【互动探究】 1.如图 18-1-6,在△ABC 中,D 是 AC 的中点,E 是 BD 1 BF 的中点,AE交BC于 F,则 =_____. 2 FC

图 18-1-6 解析:过 D 点作 DG∥AF,交BC 于点 G.

2.如图 18-1-7,在半圆 O 中,AB 为直径,CD⊥AB,AF 5 平分∠CAB 交 CD 于 E,交 CB 于 F,则图中相似三角形一共有___ 对.

图 18-1-7 3.(2011 年广东广州测试)在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD=
AE 3 2,BC=5,点 E,F 分别在 AB,CD 上,且 EF∥AD,若EB=4, 23 则 EF 的长为_____. 7

考点2

与圆有关的角

例 2:①如图 18-1-8,已知 AB 是⊙O 的弦,AC 切⊙O 于 点 A,∠BAC=60°,则∠ADB 的度数为________.
解析: (1)在优弧 ? 上任取一点 E, 连接 AE, BE, 则∠E=60° , AB ∵∠D+∠E=180° , ∴∠D=120° .

答案:120° 图 18-1-8

②如图 18-1-9,已知 PA ,PB 是⊙O 的切线,A,B 分别为 切点,C 为⊙O 上不与 A,B 重合的另一点,若∠ACB=120°,则 ∠APB=________度.

解析:连接 AO,BO,由∠ACB=120°得∠ACB 所对的弧为
240°,

∴∠AOB=120°.
又∠PAO+∠PBO=180°, ∴∠APB=180°-∠AOB=60°. 答案:60° 图 18-1-9

借用等弦或等弧所对的圆周角相等,所对的圆心 角相等,可进行角的等量代换;同时也可借在同圆或等圆中,相 等的圆周角(圆心角)所对的弧相等,可进行弧(或弦)的等量代换.

【互动探究】 4.如图 18-1-10,四边形 ABCD 内接于⊙O,BC 是直径,

115° MN 切⊙O 于 A,∠MAB=25°,则∠D=______.

图 18-1-10

考点3 与圆有关的比例线段 例3:(2011 年北京)如图 18-1-11,AD,AE,BC 分别与圆

O 切于点 D,E,F,延长 AF 与圆 O 交于另一点 G.给出下列三个
结论:①AD+AE=AB+BC+CA;②AF· =AD· ;③△AFB AG AE
∽△ADG. 其中正确结论的序号是( )

图 18-1-11 A.①② B.②③ C.①③ D.①②③

解析:①正确.由条件可知,BD=BF,CF=CE,可得AD+

AE=AB+BC+CA.
②正确.通过条件可知,AD=AE.由切割定理可得AF· = AG

AD2=AD· . AE
③错误.连接FD,若△AFB∽△ADG,则有∠ABF=∠DGF.

通过图可知∠ABF=∠BFD+∠BDF=2∠DGF,因而错误.
答案选A. 答案:A

相交弦定理为圆中证明等积式和有关计算提供了

有力的方法和工具,应用时一方面要熟记定理的等积式的结构特
征,另一方面在与定理相关的图形不完整时,要用辅助线补齐相

应部分.在实际应用中,见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定
理;见到圆的两条割线就要想到割线定理;见到圆的切线和割线 就要想到切割线定理.

【互动探究】 5.如图 18-1-12,⊙M 和⊙O 交于 A,B 两点,点 M 在 ⊙O 上,⊙O 的弦 MC 分别与弦 AB,⊙M 交于 D,E 两点,若 2 MD=1,DC=3,则⊙M 的半径为____.

图 18-1-12 解析:设⊙M 的半径为 r,延长 EM 交⊙M 于点G,MD· DC =AD· =GD· =(r+1)(r-1)=1×3,解得r=2. DB DE

6.AB 是⊙O 的直径,OA=2.5,C 是圆上一点,CD⊥AB,
5或 2 5 垂足为 D,且 CD=2,则 AC=__________.

解析:分 CD 靠 A 或 B 两种情况可得 AC= 5或 2

5.

1.圆内接四边形的判定和性质
(1)四点共圆判定方法:

①如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点 共圆;
②如果四边形的一个外角等于它的内对角,那么这个四边形 四个顶点共圆. (2)性质:①对角互补;②外角等于其内对角.

2.切线的判定和性质定理
(1)判定方法:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是 圆的切线. (2)性质:①圆的切线垂直于经过切点的半径; ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点; ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

在使用平行线分线段成比例及其推论时,一定要搞清有关线 段或边的对应关系,切勿将比例搞错.


第1讲 几何证明选讲

第1讲 几何证明选讲_数学_高中教育_教育专区。第1讲 几何证明选讲 1. (...第十八章 第1讲 几何证明... 25页 免费 4-1几何证明选讲第一讲(... 8...

第1讲:几何证明题选讲(一)

第1讲:几何证明题选讲(一)_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档第1讲:几何证明题选讲(一)_数学_高中教育_教育专区。几何证明选讲(...

【南方新课堂】2015年高考数学(文)总复习课时检测:第18章 第1讲 几何证明选讲

【南方新课堂】2015年高考数学(文)总复习课时检测:第18章 第1讲 几何证明选讲_数学_高中教育_教育专区。第十八章 选考内容 第 1 讲 几何证明选讲 1.如图 ...

31.第十八讲 选修4—1 几何证明选讲(教师版)

31.第十八讲 选修4—1 几何证明选讲(教师版)_数学_高中教育_教育专区。高中数学,轮复习,31,第十八讲,选修4—1,几何证明选讲,(教师版)模块...

专题八 第1讲 几何证明选讲

专题八 第1讲 几何证明选讲_数学_高中教育_教育专区。数学教师招聘错误!未找到引用源。 第1讲 几何证明选讲 错误!未找到引用源。考情解读错误!未找到引用源。...

十八、几何证明选讲(选修4-1)

十八几何证明选讲(选修4-1)_数学_高中教育_教育专区。十八几何证明选讲(作业) 1.如图,从圆 O 外点 P 引圆 O 的切线 PA 和割线 PBC ,已知 PA ?...

第1讲+几何证明选讲1--讲义

第2讲+几何证明选讲2--讲义...1/2 相关文档推荐 第2讲+几何证明选讲2--讲义... 5页 8财富值 第1讲 几何证明选讲 31页 2财富值 第18章_第1讲_几何...

第一节 几何证明选讲

第十三章第一节 选修 4 系列选讲几何证明选讲高考试题 考点一 相似三角形的判定与性质 1.(2013 年陕西卷,文 15B)(几何证明选做题)如图,AB 与 CD 相交于点...

第1讲 几何证明选讲(选修4-1)

第1讲 几何证明选讲(选修 4-1)? 【选题明细表】 知识点、方法 三角形相似的判定与性质 圆的切线的判定及性质应用 与圆相关的“四定理”的应用 题号 3、5...

高中数学选修4-1 几何证明选讲知识点梳理

《选修 4-1 1. 平行线等分线段定理 几何证明选讲知识点梳理》 平行线等分线段定理:如果组平行线在条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也...