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福建省师大附中2011-2012学年高一下学期期中考试数学试题

时间:2015-11-27


福建师大附中 2011-2012 学年度下学期期中考试

高一数学试题
本试卷共 4 页. 满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项:将答案填写在答卷纸上,考试结束后只交答案卷. 一、选择题:本大题有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求. 1.下列角中终边与 330°相同的角是 A.30° B.-30° C.630° D.-630°

2.要完成下列 3 项抽样调查:
①从 15 瓶饮料中抽取 5 瓶进行食品卫生检查. ②某校报告厅有 25 排,每排有 38 个座位,有一次报告会恰好坐满了学生,报告会结束 后,为了听取意见,需要抽取 25 名学生进行座谈. ③某中学共有 240 名教职工,其中一般教师 180 名,行政人员 24 名,后勤人员 36 名. 为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见,拟抽取一个容量为 20 的样本. 较为合理的抽样方法是 A.①简单随机抽样,②系统抽样,③分层抽样 B.①简单随机抽样,②分层抽样,③系统抽 样 C.①系统抽样,②简单随机抽样,③分层抽样 D.①分层抽样,②系统抽样,③简单随机抽 样

3.有一位同学家开了一个小卖部,他为了研究气温对热饮销售的影响,经过统计得到了一 个热饮销售杯数与当天气温之间的线性关系,其回归方程为 ? y ? ?2.35x ? 155.47 .如
果某天气温为 4 C 时,那么该小卖部大约能卖出热饮的杯数是 A.140 B.146
?

4.若圆的半径是 6cm,则圆心角为
A. ? cm
2

? 的扇形面积为 6
C. 3? cm
2

C.151

D.164

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

B. 2? cm

2

D. 6? cm

2

5.甲、乙两位运动员在 5 场比赛的得分情况如茎叶图所示,记甲、乙两人的平均得分分别
为 x甲, x乙 ,则下列判断正确的是 A. x甲 ? x乙 ;甲比乙成绩稳定 C. x甲 ? x乙 ;甲比乙成绩稳定 B. x甲 ? x乙 ;乙比甲成绩稳定 D. x甲 ? x乙 ;乙比甲成绩稳定
第 5 题图

6.从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋里任取 2 个球,那么互斥而不对立的两个事件是
A.至少 1 个白球,都是白球 C.至少 1 个白球,都是红球 B.至少 1 个白球,至少 1 个红球 D.恰好 1 个白球,恰好 2 个白球

7.若点 P 是角 ? 终边上一点,且 sin ? ? (? 3,m)
6 2 6 2 6 3

3 ,则 m 的值为 3
D.?

A.

B.?

C.

6 [来源:学_科_网 Z_X_X_K] 3

? 8.已知函数 f ( x) ? 1 ? sin( ? 2 x) ,则 f ( x) 是 2
A.最小正周期为 2π 的偶函数 C.最小正周期为 π 的偶函数 B.最小正周期为 2π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的奇函数

9.已知半径为 1 的动圆与定圆 ( x ? 5)2 ? ( y ? 7)2 ? 16 相切,则该动圆圆心的轨迹方程是 A. ( x ? 5)2 ? ( y ? 7)2 ? 25 B. ( x ? 5)2 ? ( y ? 7)2 ? 9 C. ( x ? 5)2 ? ( y ? 7)2 ? 25 或 ( x ? 5)2 ? ( y ? 7)2 ? 9 D. ( x ? 5)2 ? ( y ? 7)2 ? 3 或 ( x ? 5)2 ? ( y ? 7)2 ? 15 10.已知 sin ? ,cos ? 是方程 3x 2 ? 2 x ? a ? 0 的两根,则实数 a 的值为
5 3 4 C. D. 6 4 3 2 2 11.已知集合 A ? {( x, y) | x ? y ? 20, 且 y ? x ? 1} .先后掷两枚骰子,设掷第一枚骰子得 点数记作 a ,掷第二枚骰子得点数记作 b ,则 (a, b) ? A 的概率为 1 5 1 13 A. B. C. D. 12 18 3 36
A. ? B. ?

6 5

12. 动点 A? x, y ? 在圆 x2 ? y 2 ? 1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转, 12 秒旋转一周.
已知时间 t ? 0 时,点 A 的坐标是 (

3 1 , ) ,则当 0 ? t ? 12 时,动点 A 的纵坐标 y 关 2 2

于 t (单位:秒)的函数的单调递增区间是 A. [0, 2] B. [2,8] C. [8,12] D. [0, 2] 和 [8,12]

二、填空题:本大题有 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答卷的相应位置. 13.若
sin ? ? cos ? ? 2 ,则 tan ? 的值为 * * * . 2sin ? ? cos ?
开始

14.过点 M (0,3) 被圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 截得的弦
长为 2 3 的直线方程为 * * * .

i ? 1, M ? 1, N ? 1


i?4
? 否 输出 M , N 结束

15.某程序框图如图所示,该程序运行后输出
M , N 的值分别为 * * * .

i ? i ?1
M ? N ?M N ? N ?M

16.若在区间 [0, 2? ] 上随机取一个数 x ,则 sin x
的值介于 0 到

3 之间的概率为 * * * . 2

第 15 题图

17.设 M (a, b) ,且满足 a 2 ? b2 ? 1 ,已知圆 C : ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? 1 ,直线 l : y ? kx ,
下列四个命题:

①对满足条件的任意点 M 和任意实数 k ,直线 l 和圆 C 有公共点; ②对满足条件的任意点 M 和任意实数 k ,直线 l 和圆 C 相切; ③对任意实数 k ,必存在满足条件的点 M ,使得直线 l 和圆 C 相切; ④对满足条件的任意点 M ,必存在实数 k ,使得直线 l 和圆 C 相切. 其中正确的命题是 * * * . (写出所有正确命题的序号)

三、解答题:本大题有 6 题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 12 分) tan(2? ? ? )sin(? ? ? ) cos(6? ? ? ) 已知 f (? ) ? 3 1 sin( ? ? ? ) cos( ? ? ? ) 2 2
(Ⅰ)化简 f (? ) ; (Ⅱ)若 sin ? ? ?

? 2 2 , ? ? [?? ,? ] ,求 f (? ) 的值. 2 3

19.(本小题满分 10 分)
2012 年 3 月 2 日,国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定: 居民区的 PM2.5 年平均浓度不得超过 35 微克/立方米,PM2.5 的 24 小时平均浓度 不得超过 75 微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年 20 天 PM2.5 的 24 小时平均浓度的监测数据,数据统计如下: 组别 第一组 第二组 第三组 第四组 PM2.5 浓度(微克/立方米) 频数(天) (0, 25] (25,50] (50,75] (75,100) 合计 5 10 3 2 20 频率 0.25 0.5 0.15 0.1 1

(Ⅰ) 根据上面的频率分布表,估计该居民区 PM2.5 的 24 小时平均浓度超过 50 微 克/立方米的概率; (Ⅱ)计算样本众数、中位数和平均数,并根据样本估计总体的思想,从 PM2.5 的 年平均浓度考虑,判断该居民区的环境是否需要改进?说明理由.

20. (本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? 3sin( ?

x ? ) ? 3, x ? R . 2 6

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调增区间; (Ⅱ)若 x ? [

? 4?
3 , 3

] ,求 f ( x) 的最大值和最小值.

21.(本小题满分 12 分)
某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上,高一、高二、高三各代表队人数分别为 120 人、 120 人、 n 人.为了活跃气氛,大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动,并用分层抽 样的方法从三个代表队中共抽取 20 人在前排就坐,其中高二代表队有 6 人. (Ⅰ)求 n 的值; (Ⅱ) 把在前排就坐的高二代表队 6 人分别记为 a、b、c、d、e、f , 现随机从中抽取 2 人上台抽奖.求 a 和 b 至少有一人上台抽奖的概率; (Ⅲ)抽奖活动的规则是:代表通过操作按键使电脑自动产生 两个[0,1]之间的均匀随机数 x、 y ,并按如右所示的程 序框图执行.若电脑显示“中奖”,则该代表中奖;若电 脑显示“谢谢”,则不中奖,求该代表中奖的概率.

22.(本小题满分 12 分)
一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥. 在正常水位时, 拱圈最高点距水 面 8m ,拱圈内水面宽 32m ,船只在水面以上部分高 6.5m ,船顶部宽 8m ,故通行无阻, 如下图所示. 近日水位暴涨了 2 m ,船已经不能通过桥洞了.船员必须加重船载,降低 船身在水面以上的高度,试问:船身至少降低多少米才能通过桥洞?(精确到 0.1m ,

6 ? 2.45 )

8 8

y
32

A M B O x-2y=0 x P

23. (本小题满分 12 分)
2 如图,已知圆 M : x ? ? y ? 4 ? ? 4 ,直线 l 的方程 2

为 x ? 2 y ? 0 ,点 P 是直线 l 上一动点,过点 P 作圆 的切线 PA 、 PB ,切点为 A 、 B .

16 时,求∠ APB 的大小; 5 (Ⅱ)求证:经过 A、P、M 三点的圆 N 必过定点,并求出所有定点的坐标.
(Ⅰ)当 P 的横坐标为 (Ⅲ)求线段 AB 长度的最小值.

参考答案

19.解:(Ⅰ)由已知共监测了 20 天,用频率估计相应的概率为 0.25. (Ⅱ)样本众数约为 37.5,中位数约为 37.5,平均值约

12.5 ? 0.25 ? 37.5 ? 0.5 ? 62.5 ? 0.15 ? 87.5 ? 0.1 ? 40 (微克/立方米)

? 去年该居民区 PM2.5 年平均浓度为:40(微克/立方米).
因为 40 ? 35 ,所以去年该居民区 PM2.5 年平均浓度不符合环境空气质量标准,故该居 民区的环境需要改进.

20. 解: (Ⅰ)由 ?

?
2

? 2 k? ?

2? x ? ? 2 k? ? ? ? 2 k ? ,k ? Z 3 2 3 4? 2? ? 4 k? ? x ? ? 4k? , k ? Z 所以 ? 3 3 4? 2? ? 4 k? , ? 4k? ], k ? Z 所以函数 f ( x) 的单调增区间为 [? 3 3 ? 4? (Ⅱ)因为 ? x ? 3 3 ?

x ? ? ? ? ? 2 k? , k ? Z 得 2 6 2

x 2? ? x ? 5? ? ,所以 ? ? ? , 6 2 3 3 2 6 6 x ? 5? 4? 9 所以当 ? ? 即x? 时, [ f ( x)]min ? 2 6 6 3 2 x ? ? 2? 当 ? ? 即x? 时, [ f ( x)]max ? 6 2 6 2 3
所以

?

?

21.解:

22.解:在正常水位时,设水面与桥横截面的交线为 x 轴,过最高点且与水面垂直的直线为 y 轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则 A,B,D 三点的坐标分别为(-16,0) , (16,0) , (0, 8) .又圆心 C 在 y 轴上,故可设 C(0, b). 因为|CD|=|CB|,所以 8 ? b ? 162 ? b2 ,解得 b ? ?12 .所以圆拱所在圆的方程为:

x2 ? ( y ? 12)2 ? (8 ? 12)2 ? 202
当 x=4 时.求得 y≈7.6, 即桥拱宽为 8m 的地方距正常水位时的水面约 7.60m, 距涨水后的水面约 5.6m,因为船高 6.5m,顶宽 8m, 所以船身至少降低 6.5-5.6=0.9(m)以上,船才能顺利通过桥洞.

23.解: (Ⅰ)由题可知,圆 M 的半径 r=2, P (

16 8 , ), 5 5

因为 PA 是圆 M 的一条切线,所以∠MAP=90°

8? ? 16 ? ? 又因 MP= ? 0 ? ? ? ? 4 ? ? ? 4 =2r, 5? ? 5? ?
又∠MPA=30°,∠APB=60°; (Ⅱ)设P(2b,b) ,因为∠MAP=90°,所以经过A、P、M三点的圆 N 以MP为直径,其 方程为:
2 b ? 4 ? 4b ? ? b ? 4 ? ? ? x ? b? ? ? y ? ? ? 2 ? 4 ? 2 2 2

2

2

2 2 即 (2 x ? y ? 4)b ? x ? y ? 4 y ? 0

?

?

由?

?2 x ? y ? 4 ? 0
2 2 ?x ? y ? 4 y ? 0



8 ? x? ? ?x ? 0 ? ?8 4? 5 解得 ? 或? ,所以圆过定点 (0, 4), ? , ? ?5 5? ?y ? 4 ?y ? 4 ? 5 ?
2 b ? 4 ? 4b ? ? b ? 4 ? ? (Ⅲ)因圆 N 方程为 ? x ? b ? ? ? y ? 即 ? ? 2 ? 4 ? 2 2 2

x2 ? y 2 ? 2bx ? (b ? 4) y ? 4b ? 0
2 2 2 圆 M : x ? ? y ? 4 ? ? 4 即 x ? y ? 8 y ? 12 ? 0 2

……① ……②

② - ① 得 圆 M

方 程 与 圆 N 相 交 弦 所 在 直 线 m 方 程 为

2bx ? (b ? 4) y ? 12 ? 4b ? 0 …11分

5b 2 ? 8b ? 16 4 4 相交弦长即 AB ? 2 4 ? d 2 ? 4 1 ? 2 ? 4 1? 2 5b ? 8b ? 16 4 ? 64 ? 5? b ? ? ? 5? 5 ? 4 当 b ? 时,AB有最小值 11 5

点M到直线 m 的距离 d ?

4


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