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2014年湖南师大附中理科实验班数学测试


2014 年湖南师大附中理科实验班数学测试
学校:__________________ 姓名:__________________

初试卷

电话:__________________

一、选择题(8 小题, 每小题 2 分, 共 16 分) 1.如图, 体育课上, 小君的铅球成绩为 5.6 m, 他投出的

铅球 落在 ( A. 区域① B. 区域② C. 区域③ D. 区域④ 2.如果实数 x 满足 x( x ? 2) ? 5 ? 0 , 那么代数式 [

)

4x x?3 的值为 ? 1] ? 2 ( x ? 1) x ?1

(

)

A. 1 B. 2 C. 3 3.如图, 数轴上 A, B 两点表示之间表示整数的点共有 ( A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个 D. 8 个 4.下列命题正确的个数是 ①若代数式
2 ? 2x 有意义, 则 x 的取值范围为 x≤1 且 x≠0. x2 ? x

D. 6 ) ( )

②2013 年长沙市上半年完成生产总值(GDP)3235.97 亿元, 保留五个有效数字用科学记数法表 示为 3.2360× 103 元. m ③若反比例函数 y ? (m 为常数), 当 x>0 时, y 随 x 增大而增大, 则一次函数 y=﹣2x+m 的图 x 象一定不经过第一象限. ④若函数的图象关于 y 轴对称, 则函数称为偶函数, 下列三个函数: y=3, y=2x+1, y=x2 中偶函数 的个数为 1 个. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5.如图, 将面积为 5 的△ ABC 沿 BC 方向平移至△ DEF 的位置, 平移的距 离是边 BC 长的两倍, 那么图中的四边形 ACED 的面积为 ( ) A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 6.观察下列等式: 31=3, 32=9, 33=27, 34=81, 35=243, 36=729, 37=2187… 解答下列问题: 3+32+33+34…+32014 的末位数字是 A. 2 B. 3 C. 7 D. 9 7.由数字 0, 1, 2, 3, 4, 5 可以组成无重复数字的三位偶数有 A. 36 个 B. 52 个 C. 100 个 8.如图, 在平面直角坐标系中, Rt△OAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上, 1 顶点 B 的坐标为(3, 3 ), 点 C 的坐标为( , 0), 点 P 为斜边 OB 上 2 的一动点, 则 PA+PC 的最小值为 ( ) A.
13 2

( ( D. 120 个

) )

B.

31 2

C.

3 ? 19 2
1

D. 2 7

二、填空题(6 小题, 每小题 3 分, 共 18 分) 1.已知 a ? b ? ?3, ab ? ?1 , 则 a2 ? b2 ? ______ . 2.已知 a, b 可以取﹣2,﹣1, 1, 2 中任意一个值(a≠b), 则直线 y=ax+b 的图象经过第四象限的概 率是______. 3.如图, 直线 l1∥l2∥l3, 点 A, B, C 分别在 l1, l2, l3 上. 若∠1=70° , ∠2=40° , 则∠ABC=______.

4.如图, 王华晚上由路灯 A 下的 B 处走到 C 处时, 测得影子 CD 的 长为 1 米, 继续往前走 3 米到达 E 处时, 测得影子 EF 的长为 2 米, 已知王华的身高是 1.5 米, 那么路灯 A 的高度 AB 等于______.

5.如图, 直线 y ? x ? t 和抛物线 y ? x2 ? bx ? c 相交于 A(1, 0), B(4, 3) 两点, 则 t 的值为______, 不等式 x2 ? (b ?1) x ? c ? t ? 0 的解集为______.

6.如图, 将两块全等的直角三角形纸片△ABC 和△DEF 叠 放在一起, 其中∠ACB=∠E=90° , BC=DE=6, AC=FE=8, 顶点 D 与边 AB 的中点重合, DE⊥AB 交 AC 于点 H, DF 交 AC 于点 G, 则重叠部分(△DGH)的面积为______.

三、解答题(4 小题, 每小题 9 分, 共 36 分) 2 6 12 1.观察分析下列方程: ① x ? ? 3 , ② x ? ? 5 , ③ x ? ? 7 , …, x x x 请利用它们所蕴含的规律, 求关于 x 的方程 x ?
n 2 ? 2n ? 2n ? 4 ( n 为正整数)的根. x?2

2

2.如图, AB 是⊙O 的直径, 点 C 在⊙O 上, 点 P 是直径 AB 上的一 点(不与 A, B 重合). 过点 P 作 AB 的垂线交 BC 的延长线于点 Q. (1) 在线段 PQ 上取一点 D, 使 DQ=DC, 连接 DC, 试判断 CD 与 ⊙O 的位置关系, 并说明理由. 3 (2) 若 cos B ? , BP=6, AP=1, 求 QC 的长. 5

3.佳乐和佩怡两位同学为得到一张观看足球比赛的入场券, 各自设计了一种方案. 佳乐: 如图, 设计了一个可以自由转动的转盘, 随意转动转盘, 指针指向 阴影区域时, 佳乐得到入场券, 否则佩怡得到入场券. 佩怡: 将三个完全相同的小球分别标上数字1, 2, 3后放入一个不透明的袋 子中, 从中随机取出一个小球, 然后放回袋子, 混合均匀后, 再随机取出 一个小球, 若两次取出的小球上的数字之和为偶数, 佩怡得到入场券, 否则佳乐得到入场券. 请你运用所学的概率知识, 分析佳乐和佩怡的设计方案对双方是否公平?

3

4.我们知道, 经过原点的抛物线解析式可以是 y=ax2+bx(a≠0). (1) 对于这样的抛物线: 当顶点坐标为(1, 1)时, a=______; 当顶点坐标为(m, m), m≠0 时, a 与 m 之间的关系式是______; (2) 如果 b≠0, 且过原点的抛物线顶点在直线 y=kx (k≠0)上, 请用含 k 的代数式表示 b; (3) 现有一组过原点的抛物线, 顶点 A1, A2, …, An 在直线 y=x, 横坐标依次为 1, 2, …, n (n 为 正整数, 且 n 为正整数, 且 n≤12), 分别过每个顶点作 x 轴的垂线, 垂足记为 B1, B2, …, Bn, 以 线段 AnBn 为边向右作正方形 AnBnCnDn. 若这组抛物线中有一条经过点 Dn, 求所有满足条件的 正方形边长.

4

2014 年湖南师大附中理科实验班数学测试数学测试
学校:__________________ 姓名:__________________

复试卷

电话:__________________

一、填空题(5 小题, 每小题 3 分, 共 15 分) 1.若|m|, |n|是直角三角形的两条直角边, 则这个直角三角形的斜边长为______, 其中 m, n 满

?m2 ? 2m ? 3 ? | 2m ? 4 | ?(3n ? 4m)2 ? 4 ? 2m .
2.已知实数对 ( x, y) 满足方程 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 , 记
y 的最小值, 最大值分别为 a, b , 则 x

a2 ? b2 ? ______ .
3.若任取 n 个整数, 必能从中取出 3 个数, 它们的和能被 3 整除, 则 n 的最小值是______. 4.设 [ x] 表示不超过实数 x 的最大整数, 比如 [2.1] ? 2, [1] ? 1 . 若实数 a 满足
a? 5 4 a(a ? 3) ? ? 3 , 则 [a] ? ______ . a a
DC 1 ? , MN 为中位线, AB 3

5.如图, 在梯形 ABCD 中, DC / / AB,

EF / / AB 且通过 AC 与 BD 的交点, 点 E , F 分别在 AD, BC 上. 则

梯形 CDEF , 梯形 FEMN , 梯形 NMAB 面积的连比等于______. 三、解答题(4 小题, 共 35 分) 1.(8 分)如图, 在 ?ABC 中, ?BAC ? ?ACB . M , N 分别是边 BC 上两点,
?BAM ? ?CAN , 并且 ?AMN ? ?MAN . 求 ?MAC .
A

B

M

N

C

2.(9 分)若干个人相聚, 其中有些人彼此认识, 已知: (1) 如果某两个人有相等数目的熟人, 则他俩没有公共的熟人; (2) 有一个人至少有 56 个熟人. 证明: 可找出一个聚会者, 他恰好有 56 个熟人.

5

3.(9 分)已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的图象与一次函数 y ? x 的图象两个交点的横坐标 为 x1 , x2 , 且 0 ? x1 ? x2 ?
1 . a

(1) 试用 a, x1 , x2 表示 b, c ; (2) 若 0 ? t ? x1 , 当 x ? t 时, 二次函数的值记为 f (t ) , 证明: t ? f (t ) ? x1 .

4.(9 分)已知有正整数 k, 使得

8 n 7 ? ? 成立. 求正整数 n 的最小值. 15 n ? k 13

6

2014 年湖南师大附中理科实验班数学测试卷 初试答案
学校:__________________ 姓名:__________________ 电话:__________________

一、选择题(8 小题, 每小题 2 分, 共 16 分) 1.如图所示, 体育课上, 小君的铅球成绩为 5.6 m, 他投出的铅球 落在 ( ) A. 区域① B. 区域② C. 区域③ D. 区域④ 分析: C. 2.如果实数 x 满足 x( x ? 2) ? 5 ? 0 , 那么代数式 [ A. 1 B. 2
4x x?3 的值为 ? 1] ? 2 ( x ? 1) x ?1

(

)

C. 3

D. 6

4x x ? 3 x2 ? 2 x ? 1 x ?1 x2 ? 2 x ? 1 5 ? 1 分析: C. [ ? 1] ? ? ? ? ? ? 3. ( x ? 1)2 x ?1 ( x ? 1)2 x ? 3 x 2 ? 2 x ? 3 5 ? 3
3.如图, 数轴上 A, B 两点表示之间表示整数的点共有( A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个 D. 8 个 分析: B. 4.下列命题正确的个数是 ①若代数式
2 ? 2x 有意义, 则 x 的取值范围为 x≤1 且 x≠0. x2 ? x

)

(

)

②2013 年长沙市上半年完成生产总值(GDP)3235.97 亿元, 保留五个有效数字用科学记数法表 示为 3.2360× 103 元. m ③若反比例函数 y ? (m 为常数), 当 x>0 时, y 随 x 增大而增大, 则一次函数 y=﹣2x+m 的图 x 象一定不经过第一象限. ④若函数的图象关于 y 轴对称, 则函数称为偶函数, 下列三个函数: y=3, y=2x+1, y=x2 中偶函数 的个数为 1 个. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 分析: A. 5.如图, 将面积为 5 的△ ABC 沿 BC 方向平移至△ DEF 的位置, 平移的距 离是边 BC 长的两倍, 那么图中的四边形 ACED 的面积为 ( ) A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 分析: B. 6.观察下列等式: 31=3, 32=9, 33=27, 34=81, 35=243, 36=729, 37=2187… 解答下列问题: 3+32+33+34…+32014 的末位数字是 ( )

A. 2 B. 3 C. 7 D. 9 1 2 3 4 5 分析: A. ∵3 =3, 3 =9, 3 =27, 3 =81, 3 =243, 36=729, 37=2187… ∴末尾数, 每 4 个一循环, ∵2014÷ 4=503…2, 2 ∴3+3 +33+34…+32014 的末位数字相当于: 3+9+7+1+…+3+9 的末尾数为 2.
7

7.由数字 0, 1, 2, 3, 4, 5 可以组成无重复数字的三位偶数有 A. 36 个 B. 52 个 C. 100 个 分析: B. 8.如图, 在平面直角坐标系中, Rt△OAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上, 1 顶点 B 的坐标为(3, 3 ), 点 C 的坐标为( , 0), 点 P 为斜边 OB 上 2 的一动点, 则 PA+PC 的最小值为 ( ) A.
13 2

( D. 120 个

)

B.

31 2

C.

3 ? 19 2

D. 2 7

分析: B. 如图, 作 A 关于 OB 的对称点 D, 连接 CD 交 OB 于 P, 连接 AP, 过 D 作 DN⊥OA 于 N, 则此时 PA+PC 的值最小, 求出 AM, 求出 AD, 求出 DN、 CN, 根据勾股定理求出 CD, 即 可得出答案. 如图, 作 A 关于 OB 的对称点 D, 连接 CD 交 OB 于 P, 连接 AP, 过 D 作 DN⊥OA 于 N, 则此时 PA+PC 的值最小. ∵DP=PA, ∴PA+PC=PD+PC=CD. ∵B(3, . 由勾股定理得: OB=2 3 . 3 ), ∴AB= 3 , OA=3, ∠B=60°
1 1 1 1 3 × OA× AB= × OB× AM, 即 × 3× 3 = × 2 3× AM, ∴AM= , 2 2 2 2 2

由三角形面积公式得:

3 ∴AD=2× =3. ∵∠AMB=90° , ∠B=60° , ∴∠BAM=30° , ∵∠BAO=90° , ∴∠OAM=60° . 2

3 1 3 3 3 ∵DN⊥OA, ∴∠NDA=30° , ∴AN= × AD= . 由勾股定理得: DN= 32 ? ( )2 = . 2 2 2 2
1 1 3 ∵C( , 0), ∴CN=3- - =1. 2 2 2

在 Rt△DNC 中, 由勾股定理得: DC= (

31 31 3 3 2 2 . 即 PA+PC 的最小值是 . ) ?1 = 2 2 2

二、填空题(6 小题, 每小题 3 分, 共 18 分) 1.已知 a ? b ? ?3, ab ? ?1 , 则 a2 ? b2 ? ______ . 分析: | a2 ? b2 |?| (a ? b)(a ? b) |? 3| a ? b | , | a ? b |? (a ? b) 2 ? (a ? b) 2 ? 4ab ? 13 , 所以 | a2 ? b |? 3 13 , 则 a2 ? b2 ? 3 13或 ? 3 13 . 2.已知 a, b 可以取﹣2,﹣1, 1, 2 中任意一个值(a≠b), 则直线 y=ax+b 的图象经过第四象限的概 率是______. 分析: 列表得出所有等可能的结果数, 找出 a 与 b 都为正数,为直线 y=ax+b 不经过第四象 限的情况数, 即可求出不经过第四象限的概率, 进而求出经过第四象限的概率. 所有等可能 2 5 的情况数有 12 种, 其中直线 y=ax+b 不经过第四象限情况数有 2 种, 则 P ? 1 ? ? . 12 6
8

﹣2

﹣2 ﹣1 (﹣2, ﹣1) 1 (﹣2, 1) (﹣1, 1) 2 (1, 2) (﹣2, 2) (﹣1, 2) 3.如图, 直线 l1∥l2∥l3, 点 A, B, C 分别在 l1, l2, l3 上. 若∠1=70° , ∠2=40° , 则∠ABC=______. 分析: 110° . 4.如图, 王华晚上由路灯 A 下的 B 处走到 C 处时, 测得影子 CD 的长为 1 米, 继续往前走 3 米到达 E 处时, 测得影子 EF 的长为 2 米, 已知王华的身高是 1.5 米, 那么路灯 A 的高度 AB 等于______. 分析: 6 米. 由中心投影知△GCD∽△ABD, △EFH∽△BFA, CD CG EF EH 1 1.5 2 1.5 ∴ = , = .∴ = , = . BD AB BF BD AB BF AB AB 2 1 2 1 1.5 2 ∴ = , 即 = . 解得BC=3. ∴ = , 解得AB=6. BF BD 5 ? BC 1 ? BC AB 8 5.如图, 直线 y ? x ? t 和抛物线 y ? x2 ? bx ? c 相交于 A(1, 0), B(4, 3) 两点, 则 t 的值为______, 不等式 x2 ? (b ?1) x ? c ? t ? 0 的解集为______. 分析: 把 A(1, 0) 代入 y ? x ? t 得 t ? ?1 . 不等式 x2 ? (b ?1) x ? c ? t ? 0 等价于 x 2 ? bx ? c ? x ? t . 由图象观察可知, 当 x ? 1 或 x ? 4 时, 抛 物线 y ? x2 ? bx ? c 的图象位于直线 y ? x ? t 的上方, 所以此时 x 2 ? bx ? c ? x ? t . 6.如图, 将两块全等的直角三角形纸片△ABC 和△DEF 叠 放在一起, 其中∠ACB=∠E=90° , BC=DE=6, AC=FE=8, 顶点 D 与边 AB 的中点重合, DE⊥AB 交 AC 于点 H, DF 交 AC 于点 G, 则重叠部分(△DGH)的面积为______. 分析: ∵△ABC≌△FDE, ∴∠B=∠1 ∵∠C=90° , ED⊥AB, ∴∠A+∠B=90° , ∠A+∠2=90° , ∴∠B=∠2, ∴∠1=∠2 ∴GH=GD ∴AG=GH ∴点 G 是 AH 的中点.

﹣1 (﹣1, ﹣2)

1 (1, ﹣2) (1, ﹣1)

2 (2, ﹣2) (2, ﹣1) (2, 1)

∵∠A+∠2=90° , ∠1+∠3=90°∴∠A=∠3, ∴AG=GD, 在 Rt△ABC 中, AB= 10 ∵D 是 AB 的中点, ∴AD=

1 AB=5 2

在△ADH 与△ACB 中, ∵∠A =∠A, ∠ADH=∠ACB=90° , ∴△ADH∽△ACB, ∴ ∴S△DGH=
AD DH 5 DH 15 ? , ? , ∴ DH ? , AC CB 8 6 4

1 15 1 1 1 75 S△ADH= × × DH· AD= × × 5= . 4 4 16 2 2 2
9

三、解答题(4 小题, 每小题 9 分, 共 36 分) 2 6 12 1.观察分析下列方程: ① x ? ? 3 , ② x ? ? 5 , ③ x ? ? 7 , …, 请利用它们所蕴含的规律, x x x 求关于 x 的方程 x ?
n 2 ? 2n ? 2n ? 4 ( n 为正整数)的根. x?2

分析: 由①, 得方程的根为 x=1 或 x=2; 由②, 得方程的根为 x=2 或 x=3; 由③, 得方 ab ? a ? b ( a, b 为正整数)的根为 x=a 或 x=b. 程的根为 x=3 或 x=4. ∴方程 x ? x
n(n ? 2) n 2 ? 2n ? n ? (n ? 2) . ? 2n ? 4 可化为 ( x ? 2) ? ∴x? x?2 x?2

∴此方程的根为 x ? 2 ? n 或 x ? 2 ? n ? 2 , 即 x ? n ? 2 或 x ? n ? 4 . 2.如图, AB 是⊙O 的直径, 点 C 在⊙O 上, 点 P 是直径 AB 上的一点 (不与 A, B 重合). 过点 P 作 AB 的垂线交 BC 的延长线于点 Q. (1) 在线段 PQ 上取一点 D, 使 DQ=DC, 连接 DC, 试判断 CD 与⊙O 的位置关系, 并说明理由. 3 (2) 若 cos B ? , BP=6, AP=1, 求 QC 的长. 5 分析: (1) CD 是⊙O 的切线, 理由如下: 连接 OC. 因为 OC=OB, 所以 ?B ? ?1 . 因为 DC=DQ, 所以 ?Q ? ?2 . 于是 ?B ? ?Q ? ?1 ? ?2 . 又因为 PQ ? AB , 所以 ?B ? ?Q ? 90 , 则 ?1 ? ?2 ? 90 . 所以 ?DCO ? ?QCB ? (?1 ? ?2) ? 90 , 即有 OC ? DC , 故 CD 是⊙O 的切线. (2) 连 AC. 因为 AB 是⊙O 的直径, 所以 ?ACB ? 90 .
3 21 在 Rt ?ABC 中, BC ? AB cos B ? ( AP ? BP ) cos B ? (1 ? 6) ? ? . 5 5 BP 5 ? 6 ? ? 10 . 在 Rt ?BPQ 中, BQ ? cos B 3 21 29 所以 QC ? BQ ? BC ? 10 ? ? . 5 5

3.佳乐和佩怡两位同学为得到一张观看足球比赛的入场券, 各自设计了一种方案. 佳乐: 如图所示, 设计了一个可以自由转动的转盘, 随意转动转盘, 指针 指向阴影区域时, 佳乐得到入场券, 否则佩怡得到入场券. 佩怡: 将三个完全相同的小球分别标上数字1, 2, 3后放入一个不透明的袋 子中, 从中随机取出一个小球, 然后放回袋子, 混合均匀后, 再随机取出 一个小球, 若两次取出的小球上的数字之和为偶数, 佩怡得到入场券, 否则佳乐得到入场券.
10

请你运用所学的概率知识, 分析佳乐和佩怡的设计方案对双方是否公平? 分析: 佳乐设计的方案: 360 ? ?100 ? 70 ? 19 100 ? 70 17 P(佳乐得到入场券)= = , P(佩怡得到入场券)= = . 360 36 360 36 19 17 ∵ > , ∴佳乐设计方案不公平. 36 36 佩怡设计的方案列表如右: 5 ∴P(佩怡得到入场券)=P(和为偶数)= , 9 4 P(佳乐得到入场券)=P(和不是偶数)= . 9 5 4 ∵ > , ∴佩怡设计的方案也不公平. 9 9 4.我们知道, 经过原点的抛物线解析式可以是 y=ax2+bx(a≠0). (1) 对于这样的抛物线: 当顶点坐标为(1, 1)时, a=______; 当顶点坐标为(m, m), m≠0 时, a 与 m 之间的关系式是______; (2) 如果 b≠0, 且过原点的抛物线顶点在直线 y=kx (k≠0)上, 请用含 k 的代数式表示 b; (3) 现有一组过原点的抛物线, 顶点 A1, A2, …, An 在直线 y=x, 横坐标依次为 1, 2, …, n (n 为 正整数, 且 n 为正整数, 且 n≤12), 分别过每个顶点作 x 轴的垂线, 垂足记为 B1, B2, …, Bn, 以 线段 AnBn 为边向右作正方形 AnBnCnDn. 若这组抛物线中有一条经过点 Dn, 求所有满足条件的 正方形边长. 分析: (1) 当顶点坐标为(1, 1)时, a=-1; 当顶点坐标为(m, m), m≠0 时, a 与 m 之间的关系式是 a ? ?
1 . m

(2) 设抛物线的顶点的坐标为(m, km), 则 y ? a( x ? m)2 ? km ? ax2 ? 2amx ? am2 ? km . 对照 y=ax2+bx, 可得 ?
? am 2 ? km ? 0, ?b ? ?2am.

由此得到 b=2k.

(3) 正方形的顶点 D1, D2, …, Dn 的坐标分别为(2, 1)、 (4, 2)、 (6, 3)、 (8, 4)、 (10, 5)、 (12, 6)、 (14, 7)、(16, 8)、(18, 9)、(20, 10)、(22, 11)、(24, 12), 这些点在直线 y ? x 上. 由(1)知, 当抛物线的顶点(m, m)在直线 y=x 上时, a ? ?
1 . m 1 2

根据抛物线的对称性, 抛物线与 x 轴的交点为原点 O 和(2m, 0).
1 x ( x ? 2 m) . m 1 1 3 3 联立 y ? x 和 y ? ? x( x ? 2m) , 可得点 D 的坐标为 ( m, m) . 2 m 2 4

所以顶点为(m, m)的抛物线的解析式为 y ? ?

当 m 分别取正整数 4、8、12 时, 对应的点 D 为 D3(6, 3)、D6(12, 6)、D9(18, 9), 它们所对应的 正方形的边长分别为 3、6、9.
11

2014 年湖南师大附中理科实验班数学复试卷答案
学校:__________________ 姓名:__________________ 电话:__________________

一、填空题(5 小题, 每小题 3 分, 共 15 分) 1.若|m|, |n|是直角三角形的两条直角边, 则这个直角三角形的斜边长为______, 其中 m, n 满

?m2 ? 2m ? 3 ? | 2m ? 4 | ?(3n ? 4m)2 ? 4 ? 2m .
分析:
5 . 3

2.已知实数对 ( x, y) 满足方程 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 , 记

y 的最小值, 最大值分别为 a, b , 则 x

a2 ? b2 ? ______ .
分析: 令 y ? tx . 则 (1 ? t 2 ) x2 ? 4 x ? 1 ? 0 . 由 ? ? (?4)2 ? 4(1 ? t 2 ) ? 0 ? ? 3 ? t ? 3 ? a2 ? b2 ? 6 .

3.若任取 n 个整数, 必能从中取出 3 个数, 它们的和能被 3 整除, 则 n 的最小值是______. 分析: 5. 一方面, 0, 1, 2, 3 这 4 个数中任取 3 个的和不被 3 整除. 另一方面, 整数除以 3, 余数有 3 类, 即 0, 1, 2. 任何 5 个整数, 如果有 3 个除以 3 余数在 同一类, 它们的和可以被 3 整除. 否则 5 个数中至少有 3 个数除以 3, 余数互不相同, 它们的 和被 3 整除.

4.设 [ x] 表示不超过实数 x 的最大整数, 比如 [2.1] ? 2, [1] ? 1 . 若实数 a 满足
a? 5 4 a(a ? 3) ? ? 3 , 则 [a] ? ______ . a a

分析: 原方程等价于 a2 ? 5 ? 4 a(a ? 3) ? 3a , a ? 0或a ? 3 . 设 x ? a(a ? 3) ? 0 , 则 x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 , 解得 x1 ? 1, x2 ? ?5 (舍去). 于是 a(a ? 3) ? 1 ? a 2 ? 3a ? 1 ? 0 ? a1 ? 故 [a] ? ?1 或 3 .
3 ? 13 3 ? 13 , a2 ? . 2 2

12

5.如图, 在梯形 ABCD 中, DC / / AB,

DC 1 ? , MN 为中位线, AB 3

EF / / AB 且通过 AC 与 BD 的交点, 点 E , F 分别在 AD, BC 上. 则梯

形 CDEF , 梯形 FEMN , 梯形 NMAB 面积的连比等于______. 分析: 5 : 7 : 20 . 易证梯形 CDEF 梯形 NMAB , 梯形 CDMN 梯形 FEAB .

1 1 3 设 DC ? 1 , 则 AB ? 3, MN ? (1 ? 3) ? 2, EF ? (1 ? 2) ? . 2 2 2 设梯形 CDEF 的面积为 1, 则梯形 NMAB 的面积为 4. 再设梯形 FEMN 的面积为 x , MN 2 1? x 2 4 7 ? , 由梯形 CDMN 梯形 FEAB 得: ? ( )2 ? ? x ? . 注意到 AB 3 x?4 3 9 5 7 所以梯形 CDEF , 梯形 FEMN , 梯形 NMAB 的面积的连比为 1: : 4 ? 5 : 7 : 20 . 5 三、解答题(4 小题, 共 35 分)

1.(8 分)如图, 在 ?ABC 中, ?BAC ? ?ACB . M , N 分别是边 BC 上两点,
?BAM ? ?CAN , 并且 ?AMN ? ?MAN . 求 ?MAC .

A

分析: 设 ?BAM ? x , 则 ?MAN ? ?BAC ? 2 x .

B

M

N

C

又 ?MAN ? ?AMN ? ?B ? x ? (180 ? ?BAC ? ?ACB) ? x ? 180 ? 2?BAC ? x , 于是 ?BAC ? 2 x ? 180 ? 2?BAC ? x ? ?BAC ? 60 ? x . 所以 ?MAC ? ?BAC ? ?BAM ? 60 . 2.(9 分)若干个人相聚, 其中有些人彼此认识, 已知: (1) 如果某两个人有相等数目的熟人, 则他俩没有公共的熟人; (2) 有一个人至少有 56 个熟人. 证明: 可找出一个聚会者, 他恰好有 56 个熟人. 分析: 考虑聚会者中熟人最多的人(如果不止一个, 则任取其中之一), 记为 A. 设 A 认识了 n 个人 B1 , B2 ,

, Bn .

由于任意两人 Bi , Bj 都以 A 为共同熟人, 由条件(1)知 Bi , Bj 熟人的数目不相等, 于是, B1 , B2 ,

, Bn 各人的熟人数互不相等, 且均不超过 n (根据 n 的最大性),
, n. , n 中包含着 56, 即 B1 , B2 ,

因此, 必然是 1, 2,

再根据条件(2)知 n ? 56 . 因此 1, 2,

, Bn 中必有人恰好认识 56 人.

13

3.(9 分)已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的图象与一次函数 y ? x 的图象两个交点的横坐标 为 x1 , x2 , 且 0 ? x1 ? x2 ?
1 . a

(1) 试用 a, x1 , x2 表示 b, c ; (2) 若 0 ? t ? x1 , 当 x ? t 时, 二次函数的值记为 f (t ) , 证明: t ? f (t ) ? x1 . 分析: (1) 由已知得 ax 2 ? bx ? c ? x , 即 ax2 ? (b ?1) x ? c ? 0 , 其两根分别为 x1 , x2 . 则 x1 ? x2 ? ?
b ?1 c , x1 x2 ? , 于是 b ? ?a( x1 ? x2 ) ? 1, c ? ax1x2 . a a

(2) 当 0 ? t ? x1 时, 有 f (t ) ? t ? at 2 ? bt ? c ? t ? at 2 ? (b ?1)t ? c ? a(t ? x1 )(t ? x2 ) . 由 0 ? t ? x1 ? x2 , a ? 0 得, a(t ? x1 )(t ? x2 ) ? 0 , 从而 f (t ) ? t ? 0 ? f (t ) ? t . 又 f (t ) ? x1 ? at 2 ? bt ? c ? x1 ? a(t ? x1 )(t ? x2 ) ? (t ? x1 ) ? (t ? x1 )[1 ? a( x2 ? t )] . 由 0 ? t ? x1 ? x2 ?
1 得, (t ? x1 )[1 ? a( x2 ? t )] ? 0 , 从而 f (t ) ? x1 ? 0 ? f (t ) ? x1 . a

所以 t ? f (t ) ? x1 . 4.(9 分)已知有正整数 k, 使得
8 n 7 ? ? 成立. 求正整数 n 的最小值. 15 n ? k 13 8 n n 7 ? 得 6n ? 7 k 分析: 由 ? 得 7n ? 8k ①; 由 ②. 15 n ? k n ? k 13

n, k 都是正整数, 所以

由①得 7n ? 8k ? r , r 为正整数

③; 由②得 6n ? 7k ? s, s 为正整数

④.

7 ? ③ ? 8 ? ④ 消去 k , 得 n ? 7r ? 8s ? 15 .

当 r ? s ? 1, k ? 13 时, n ? 15 . 所以正整数 n 的最小值为 15.

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