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圆的两点式方程


圆的两点式方程
1 圆的两点式方程 已知一个圆直径的两端点分别是 A( x1, y1 )、B( x2 , y2 ) ,则圆的方程是

( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 .
证明:设点 P( x, y) 是圆上除 A, B 外任意一点,则 ?APB ?

?

r />2

,即 PA?PB ? 0 ,所以

??? ??? ? ?

( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 ,易证 A, B 两点也适合该方程.
方程 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 给出了圆的方程的一种形式,因为只涉及到直径 两端点,因此该方程可定义为圆的两点式方程;圆的两点式方程形式简洁对称,更好地反映 了圆的一些特征,下面通过实例谈谈该方程的应用. 2 圆的两点式方程的直接应用 例 1 已知两点 M1 (4,,M 2 (6,3) ,求以 M1,M 2 为直径的圆的方程. 9) 解 由圆的两点式方程得 ( x ? 4)( x ? 6) ? ( y ? 9)( y ? 3) ? 0 ,化简得

x2 +y 2 ?10x ?12 y ? 51 ? 0 .
3 圆的两点式方程的变式应用 圆的两点式方程实质上也可以解决以直线与二次曲线相交的弦为直径的圆的问题. 将方程 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 变形可得: 该形式含有 x1 ? x2 , y1 ? y2 , x1 x2 , y1 y2 , x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 , 而 x1 , x2 , y1 , y2 是直线方程与二次曲线方程联立分别消去 y, x 所得方程的两根,结合韦达定 理可解决以直线与二次曲线相交的弦为直径的圆的问题. 例 2 设椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点、右焦点分别为 F1 , F2 ,过右焦点 F2 的直线 l 交椭圆于 3 2

A、B 两点,若以 AB 为直径的圆经过左焦点 F1 ,求直线 l 的方程.
解 当直线 l 的斜率不存在时,此时直线 l 的方程: x ? 1 ,易知不合题意. 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的斜率为 k ,直线方程为 y ? k ( x ? 1) , 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则以 AB 为直径的圆的方程为

x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 ,因为左焦点 F1 在圆上,所以
1 ? x1 ? x2 ? x1 ?x2 ? y1 ?y2 ? 0(1)
1

联立方程 ?

? y ? k ( x ? 1), ?2 x ? 3 y ? 6.
2 2

得 (3k 2 ? 2) x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 6 ? 0 ,利用韦达定理

x1 ? x2 ?

6k 2 3k 2 ? 6 ?4 , x1 ?x2 ? 2 , y1 ?y2 ? k 2 [ x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1] ? k 2 ? 2 , 2 3k ? 2 3k ? 2 3k ? 2
1 12k 2 ? 4 ?4 2 2 ? k2? 2 ? 0 ,解得 k 2 ? , k ? , ,k ? ? 2 2 3k ? 2 3k ? 2 2 2

代入 (1) 式得,

当k ?

2 时,直线 l 的方程为: 2x ? 2 y ? 2 ? 0, 2 2 时,直线 l 的方程为: 2x ? 2 y ? 2 ? 0. 2

当k ? ?

4 圆的两点式方程的拓展应用 设直线 f ( x, y) ? 0 与二次曲线 g ( x, y) ? 0 相交于 A( x1, y1 )、B( x2 , y2 ) 两点. 由?

? f ( x, y) ? 0, 消去 y 得, x2 ? ( x1 ? x2 ) x ? x1 ?x2 ? 0 , ? g ( x, y) ? 0.

消去 x 得, y 2 ? ( y1 ? y2 ) x ? y1 ?y2 ? 0 .两式相加可得以 AB 为直径的圆的方程

x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 .
例 3 已知椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,直线 y ? x ? 1 与该椭圆交与 P 和 Q ,且

OP ? OQ , | PQ |?

10 ,求椭圆方程. 2
? y ? x ? 1,
2 2 ? Ax ? By ? 1.

解 设椭圆方程为 Ax2 ? By 2 ? 1( A ? 0, B ? 0) ,P( x1 , y1 ), P( x2 , y2 ) , ? 由
2 2



去 y 得 ( A ? B) x ? 2Bx ? B ?1 ? 0(1) ,消去 x 得 ( A ? B) y ? 2 Ay ? A ?1 ? 0(2) ,两式相 加可得以 P, Q 为直径的圆的方程 ( A ? B) x ? ( A ? B) y ? 2Bx ? 2 Ay ? A ? B ? 2 ? 0 ,由
2 2

OP ? OQ 可知原点 (0, 0) 在圆上, A ? B ? 2 ? 0(3) , (1) 即 由 式得 x1 ? x2 ? ?
x1 ?x2 ? B ?1 B ?1 ? ., A? B 2
2 2 2 2 2

2B ? ? B, A? B

所以 | PQ | ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4x1 ? 2 ] ,代入数据化简得 x

2

10 3 1 1 3 ? 2[ B 2 ? 2( B ? 1)] ,再结合 (3) 式解得, A ? , B ? 或 A ? , B ? , 故所求椭圆方程 4 2 2 2 2
为 x 2 ? 3 y 2 ? 2 或 3x 2 ? y 2 ? 2 .

3


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