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正弦与余弦定理和公式

时间:2012-12-09


正弦与余弦定理和公式
三角函数正弦与余弦的学习, 在数学中只要记住相关的公式 即可。日常考试正弦和余弦的相关题目一般不会很难,是很多数 学基础不是很牢的同学拿分的好题目。 但对于有些同学来说还是 很难拿分,那是为什么呢? 首先,我们要了解下正弦定理的应用领域 在解三角形中,有以下的应用领域: (1)已知三角形的两角与一边,解三角形 (2)已知三角形的两边和其中一边所对的角,解三角形 (3)运用 a:b:c=sinA:sinB:sinC 解决角之间的转换关 系 直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正 弦 正弦定理 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,则有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中 R 为三角形外接圆的半径)

其次,余弦的应用领域 余弦定理 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理, 直接运用 它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个 边求角的问题,若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识,则

使用起来更为方便、灵活。 正弦定理的变形公式 (1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c; 在一个三角形中,

各边与其所对角的正弦的比相等, 且该比值都等于该三角形外接 圆的直径已知三角形是确定的,利用正弦定理解三角形时,其解 是唯一的;已知三角形的两边和其中一边的对角,由于该三角形 具有不稳定性,所以其解不确定,可结合平面几何作图的方法及 “大边对大角,大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解 决问题 (3) 相 关 结 论 :

a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sin C) c/sinC=c/sinD=BD=2R(R 为外接圆半径) (4)设 R 为三角外接圆半径,公式可扩展为: a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为 90°时, 所对的边为外接 圆的直径。灵活运用正弦定理,还需要知道它的几个变形 sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA (5)a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a 正弦、余弦典型例题 1.在△ABC 中,∠C=90°,a=1,c=4,则 sinA 的值为 2.已知α 为锐角,且 ,则 α 的度数是( ) A.30°

B.45° C.60° D.90° 3.在△ABC 中,若 ,∠A,∠B 为锐角,则∠C 的度数 是( ) A.75° B.90° C.105° D.120° 4.若∠A 为锐角,且 ,则 A=( C.45° D.60° 5.在△ABC 中,AB=AC=2,AD⊥BC,垂足为 D,且 AD = ,E 是 AC 中点, EF⊥BC,垂足为 F,求 sin∠EBF 的值。 ) A.15° B.30°

正弦、余弦解题诀窍 1、已知两角及一边,或两边及一边的对角(对三角形是否 存在要讨论)用正弦定理 2、已知三边,或两边及其夹角用余弦定理 3、余弦定理对于确定三角形形状非常有用,只需要知道最 大角的余弦值为正,为负,还是为零,就可以确定是钝角。直角 还是锐角。


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