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基本初等函数提高训练(指数函数、对数函数、幂函数)

时间:2012-10-17


基本初等函数提高训练(指数函数、对数函数、幂函数)
2? 5

1.若 a ? 2

0 .5

, b ? lo g ? 3, c ? lo g 2 s in

,则(

)A. a ? b ? c

B. b ? a ? c

C. c ? a ? b

D. b ? c ? a 2. 设 a , b , c ? R , 且 2 ? log
a ?

1 2

?1? a , ? ? ? log ?2?

b

1 2

1 c b , ( ) ? log 2

2

c

,则( )

A. a ? b ? c
a b

B. c ? b ? a C. c ? a ? b D. b ? a ? c
1 a

3.设 2 ? 5 ? x ,且
?1? 4.函数 y ? ? ? ?2?
2 x? x
2

+

1 b

=2,则 x = (
?1

)

A、 10
?

B、 10
? ? 1? ?
?2

C、 20
? ? 1? ?

D、 100 D. ? 0 , 2 ?

的值域为( ) A. ? , ?? ? ?2 ?

B. ? ? ? , ? 2
2n 5

C. ? 0 , ? 2

2 5 . 已 知 等 比 数 列 { a n } 满 足 a n ? 0 ,n ? 1 ,? ,, 且 a 5 ? a 2 ? n l o 2 a 1? g l o 2a ?? g 3 ? l on ?g a 2 ?1

( n ? 3, 则 当 n ?1 时 , )

2

A. n ( 2 n ? 1)

B. ( n ? 1)

2

C. n

2

D. ( n ? 1)
1 2
D.[
1 4

2

6.若函数 f ( x ) ? log a ( x 3 ? ax ) ( a ? 0 , a ? 1) 在区间 ( ?
A. (
9 4

, 0 ) 内单调递增,则 a 的取值范围是

(

)

, ?? )

B.(1,

9 4

)

C. [

3 4

,1)

,1)

7.已知函数 f(x)= lg x , 0 ? a ? b ,且 f ( a ) ? f ( b ) ,则( ) (A) a b ? 1 (B) a b ? 1 (C) a b ? 1
x ?1

(D) ( a ? 1)( b ? 1) ? 0
? 3 ? x 的解为 x 2 ,则 x 1 ? x 2 ? (

8.方程 lg ? x ? 1 ? ? 3 ? x 的解为 x 1 ,方程 10 D.5 9.若 log D. 0
2
a

)A.2 B.3

C.4

? 1 ,则 a 的取值范围是 (
2 3

) A.a>1

3

B. 0

? a ?

2 3

C. 2
3

? a ?1

? a ?

或 a>1
x?3 10

10.为了得到函数 y ? lg

的图象,只需把函数 y ? lg x 的图象上所有的点 (

).

A、向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B、向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单 位长度 C、向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 位长度 11.函数 y ? 2
|lg o 2 x |

D、向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单

? | x ? 1 | 的图象大致是(



1

12.已知函数 f(x)=log3x+2 (x∈[1,9]),则函数 y=[f(x)] +f(x )的最大值是( A.13 B.16 C.18 D.22

2

2



13.实数 m , n 满足 0 ? n ? m ? 1 ,则对于① 2 ( A. 0 个 ) B. 1 个 C. 2 个
2 x ?

m

? 3 ;② log
n

2

m ? log

3

n ;③ m

2

? n 中可能成立的有
2

D. 3 个
1 y

14.已知 a x ? ( 6 ? a ) 2 y ? 3 ( 1 ? a ? 5 ),则 D.6
?a x ? 15.若函数 f ? x ? ? ? ? a ?? 4 ? 2 ??

的最大值为( )A.2

B.3

C.4

?x
? ?x ? 2 ?

? 1? ? 1?

?x

是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围为( )

A、 ?1, ? ? ?

B、 ?1, 8 ?

C、 ? 4 , 8 ?

D、 ?4 , 8 ?

16.若 lo g m 2 ? lo g n 2 ? 0 ,则 m , n 满足的条件是( )A、 m ? n ? 1 B、 n ? m ? 1 C、0 ? n ? m ? 1 D、
0 ? m ? n ?1

17.函数 y ? ln (co s x ) y

π ? ? π ? ? ? x ? ? 的图象是( 2 ? ? 2

) y y

y

?

π 2

O A.

π 2

x
?

π 2

O B.

π 2

x
?

π 2

O C.

π 2

x
?

π 2

O D.

π 2

x

18.设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,对任意 x ? R ,都有 f ( x ) ? f ( x ? 4 ) ,且当 x ? [ ? 2, 0 ] 时,
1 x f (x) ? ( ) ? 1, 若在区间 ? ? 2 , 6 ? 内关于 x 的方程 f ( x ) ? lo g a ( x ? 2 ) ? 0 ( a ? 0 且 a ? 1) 恰有 3 个不同的 2

2

基本初等函数提高训练(指数函数、对数函数、幂函数)
实数根,则 a 的取值范围是( A. (1,2) ) C. (1, 3 4 ) ) D. ( 3 4 , 2 )

B. (2, ? ? )

19.函数 y ? 2 x ? x 2 的图像大致是(

20.若 f ( x ) ? ?

? ( 3 a ? 1) x ? 4 a , x ? 1 ?a , x ? 1
x

是 ( ? ? , ? ? ) 上的减函数,则 a 的取值范围是 A. (0 ,1) B. ( 0 , ) C.
3

1

[

1 1 1 , ) D. [ ,1 ) 6 3 6
?2 ?x
?x 2

21.设函数 f ( x ) ? ? A. ( ? 1,1)

?1

x ? 0 x ? 0

,若 f ( x 0 ) ? 1 ,则 x 0 的取值范围是(



B. ( ? 1, ? ? )
1

C. ( ? ? , ? 2 ) ? (0, ? ? )

D. ( ? ? , ? 1) ? (1, ? ? )

22.已知函数 f ( x ) ? ( ) x ? lo g 3 x
5

,若实数 x 0 是方程 f ( x ) ? 0 的解,且 0 ? x1 ? x 0 ,则 f ( x1 ) 的值



) B.等于零
x

A.恒为负

C.恒为正

D.不大于零 的 任 意 x1 , x 2 , 给 出 下 列 结 论 : 1 ) (

23 . 已 知 函 数 f ( x ) ? 2 ? 1
( x 2 ? x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? ? 0

, 对 于 满 足 0 ? x1 ? x 2 ? 2 ;

(2) x 2 f ( x1 ) ? x1 f ( x 2 )

; (3) f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? x 2 ? x1

; (4)

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2

? f(

x1 ? x 2 2

)

,其

中正确结论的序号是( ) A. (1)(2) B. (1)(3)

C. (2)(4)

D. (3)(4)
x

24.已知 f ( x ) 是 R 上的奇函数,又是周期为 3 的周期函数,当 x ? ( 0 , 2 ]时, f ( x ) ? 2 ? 1
f ( l o g0 . 5 2 4 ) 的值为(

,则

) B、 4 C、 ?
1 2
x ? 1) ? 2
2

A、

3 2

D、 ? 2

25.若函数 f ( x ) ? ax 3 ? b log 2 ( x ? 函数 f ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 上( )

在 ( ?? , 0 ) 上有最小值-5, a , b 为常数) ( ,则

3

A

.有最大值 5

B.有最大值 9
x ? log

C .有最大值 3

D.有最小值 5 。

26.已知 log 2 ( x ? y ) ? log

2

2

y ,则 xy 的取值范围是

27.若 y ? log a ( 2 ? ax ) 在 [ 0 , 3 ] 上是 x 的增函数,则 a 的取值范围是______________. 28.函数 y ? log
1 2

(x

2

? 2 x ? 3 ) 的单调递减区间是_____________.

29.已知 f ( x ) ? ln ( x ? a x ? 2 a ? 2 )( a ? 0 ) ,若 f ( x ) 在 [1, ? ) 上是增函数,则 a 的取值范围是 ?
2

. 30.函数 y ? log
? x ?1 ?

?3 ? x ? 的定义域是_________。
2

31.函数 y= lo g 2 ( 2 x ? x ) 的单调递增区间是 32.若函数 f ( x ) ? a lo g 2 x ? b lo g 3 x ? 2 ,且 f (
1 2012 ) ? 5 ,则 f ( 2 0 1 2 ) 的值为_



33. 函数 y ? lo g a ( x ? 3) ? 1( a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点 A, 若点 A 在直线 m x ? n y ? 1 ? 0 上, 其中 m n ? 0 , 则
1 m ? 2 n
x ?1

的最小值为

.
? 3 (a>0,且 a≠1)的图像过定点 P,且点 P 在直线
1 m ? 4 n

34.函数 f ( x ) ? a
mx ? ny ? 1 ? 0

( m ? 0 , 且 n ? 0 ) 上,则
b

的最小值是

.

35.已知 lo g 1 8 9 ? a , 1 8

? 5 ,用 a,b 表示 lo g 3 6 4 5 ,则 lo g 3 6 4 5 =_______________
1 4
x

36.已知 x ? ? ? 3, 2 ? ,则 f ( x ) ?

?

1 2
x

? 1 的值域为

. .

x 37.若 x1 满足 x ? 2 ? 5 , x 2 满足 x ? log

2

x ? 5 ,则 x1 + x 2 =

38.关于函数 f ( x ) ? lg

x

2

?1 x

( x ? 0, x ? R )

,有下列命题:①函数 y ? f ( x ) 的图像关于 y 轴对称;

②当 x ? 0 时, f ( x ) 是增函数,当 x ? 0 时, f ( x ) 是减函数; ③函数 f ( x ) 的最小值是 lg 2 ;④当
?1? x ? 0

或 x ? 1 时, f ( x ) 为增函数; ⑤ f ( x ) 无最大值,也无最小值。其中正确命题的序号是

_________ 39.若 a ?
ln 2 2
40.已知函数 f ( x ) ? log

,b ?

ln 3 3
3

,c ?
2

ln 5 5

,则 a , b , c 的大小关系为



( mx

? mx ? 1 ) .
. (2)若 f ( x ) 的值域为 R,则实数 m 的取值范围

(1)若 f ( x ) 的定义域为 R, 则实数 m 的取值范围是 是 .

4

基本初等函数提高训练(指数函数、对数函数、幂函数)
41.Ⅰ)化简 lg 4 ? lg 5 ? lg 1 0 0 ; (Ⅱ)已知 a ? 2 ,求
a ? 2? a
2 ?2

a ? a
2

?2

的值。

42.计算下列各式的值: (1) ( 0 . 0081 )
? 1 4

? [3 ? ( ) ] 8
0

7

?1

? [ 81

? 0 . 25

? (3 ) 8

3

?

1 3

?

1 2

1

]

? 10 ? 0 . 027

3

; (2)

2 (lg

2 ) ? lg
2

2 ? lg 5 ?

(lg

2 ) ? lg 2 ? 1 ;
2

43.设函数 f ( x ) ? lo g 2 ( 4 x ) ? lo g 2 ( 2 x ) ,

1 4

? x ? 4,

(1)若 t ? log 2 x ,求 t 取值范围;(2)求 f ( x ) 的最值,并给出最值时对应的 x 的值。

44.函数 y=lg(3-4x+x )的定义域为 M,当 x∈M 时,求 f(x)=2 +2-3×4 的最值.

2

x

x

45.已知 x 满足不等式 2(log2x) -7log2x+3 ? 0,求函数 f(x)=log2

2

x 2

? log

x
2

的最大值和最小值。

4

5

?1? 46.已知函数 f ( x ) ? ? ? ?3?

ax ? 4 x ? 3

2

(1)若 a ? ? 1 ,求 f ( x ) 的单调区间;(2)若 f ( x ) 有最大值 3 ,求 a

的值.

47.求函数 y ? 3 6 ? 1 2 ? 6 ? 5
x x

的单调区间.

x 48.已知函数 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1) 在 [1, 2 ] 上的最大值与最小值之和为 2 0 ,记 f ( x ) ?

a
x

x

a ?2



(1)求 a 的值; 值

(2)证明 f ( x ) ? f (1 ? x ) ? 1 ; (3)求 f (

2 3 2010 ) ? f( ) ? f( ) ? ? (f ... ) 2011 2011 2011 2011

1



49.已知函数 f ( x ) ? 2 x ? a ? 2 ? x 是定义域为 R 的奇函数, (1)求实数 a 的值; (2)证明 f ( x ) 是 R 上的单
2 2 调函数; (3)若对于任意的 t ? R ,不等式 f ( t ? 2 t ) ? f ( t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围。

50. (本题满分 10 分)已知函数 y ? (1)求 M ;

2? x 2? x

? lg( ? x

2

? 4 x ? 3 ) 的定义域为 M ,

x?2 x ? 3 ? 4 ( a ? ? 3 ) 的最小值。 (2)当 x ? M 时,求函数 f ( x ) ? a ? 2

6

基本初等函数提高训练(指数函数、对数函数、幂函数)

参考答案

1 . 2 . A3 . A4 . A5 . C 【 解 析 】 a 5 ? an2?
lo g 2 a 1 ? lo g 2 a 3 ? ? ? lo g 2 a 2 n ? 1 ?
n

5

? 2

2n

( n ? 3即 a1 a 2 n ?1 ? a 5 a 2 n ? 5 ? 2 )

2n



lo g 2 ( a 1 a 3 ? a 2 n ? 1 ) ? lo g 2 ( a 1 a 2 n ? 1 ) 2 ? n 6. C【解析】当 a ? 1 时,只要 u ? x ? a x 在区间 ( ?
2

3

1 2

, 0 ) 内单

调递增且值为正,因为 x=0 时值为 0,所以满足递增但值不可能为正,舍去此情况; 1 ? a ? 0 时,只要
u ? x ? a x 在区间 ( ?
3

1 2

, 0 ) 内单调递减且值为正,u ? 3 x ? a ? 0 即 a ? 3 x , a ? 则
' 2 2

3 4

, 因为 1 ? a ? 0 ,

则1 ? a ?

3 4

7.B8.A9.D10.C11.D12.A13.C14.C15.D16.C17.A18.D19.A20.C21.D22.C
x 【解析】由于 f (1) ? 0, f (3) ? 0 ,所以 x 0 ? (1, 3) .在 (1, 3) 上 g ( x ) ? ( ) 是减函数,? ( x ) ? lo g 3 x 是增函

1

5

数,
x ? 所以 f ( x ) ? ( ) ? lo g 3 x 在 (1, 3) 上是减函数, 所以 f ( x ) ? f ( x 0 ) ? 0 , 故选 C. 23. C24. D25. B26.4 , ?? ?

1

5

【解析】解:
? lo g 2 ( x ? y ) ? lo g 2 x ? lo g 2 y ? lo g 2 ( x ? y ) ? lo g 2 x y ? x ? y ? x y ? 2
2 3

xy ?

xy ? 2 ? xy ? 4

27. ( 0 , ) 【解析】由于函数 y ? log a ( 2 ? ax ) 在 [ 0 , 3 ] 上是增函数,则 0 ? a ? 1 ,且 2 ? 3 a ? 0 ,所以
0 ? a ? 2 3

,故 a 的取值范围是 ( 0 , )
3
1 2

2

28. (1, ?? ) 【解析】函数定义域为 (1, ?? ) ? ( ?? , ? 3 ) ,因为函数 y ? log 所 以 原 函 数 y ? log
(x
2

t 在其定义域内单调递减,

1 2

? 2 x ? 3) 的 单 调 递 减 区 间 即 为 函 数 y ? x (x
2

2

? 2x ? 3 在 其 定 义 域

(1, ?? ) ? ( ?? , ? 3 ) 内的单调递增区间,所以 x ? 1 ,故函数 y ? log

1 2

? 2 x ? 3 ) 的单调递减区间是

(1, ?? )

29.1 ? a ? 2 .【解析】 f ? ( x ) ?

2x ? a x ? ax ? 2a ? 2
2

? 0 在 [1, ? ) 上恒成立,所以 2 x ? a ? 0 在 [1, ? ) 上恒 ? ?

2 ? 成立并且,即 a ? ( 2 x ) m in ? 2, 又因为 x ? a x ? 2 a ? 2 ? 0 在 [1, ? ) 上恒成立,所以 1 ? a ? 2 a ? 2 ? 0 ,得

a ? 1 .因而 1 ? a ? 2

7

30. ?x | 1 ? x ? 3 且 x ? 2 ? 31. ( 0 ,1) (写成 ( 0 ,1 ] 也对)32.-1 【解析】解:
1 1 1 ? f ( x ) ? a lo g 2 x ? b lo g 3 x ? 2 ? f ( ) ? ? a lo g 2 x ? b lo g 3 x ? 2 ? f ( ) ? f ( x ) ? 4 ? f ( ) ? 5 ? f (2012) ? ?1 x x 2012

33 . 8

34 . 25

35 .

a?b 2?a

36 . ? , 57 ? ?4 ?

?3

?

37 . 5

38 . ① ③ ④

39 . b>a>c

40. ( 1 )

?0 , 4 ? ,

( 2 ) ?4 , ??

?
a
2

41. (Ⅰ)lg 4 ? lg 5 ? lg 1 0 0 ? 2 lg 2 ? 2 lg 5 ? 2 ; (Ⅱ)当 a ? 2 时, 42. (1)原式=
? 1 4

? 2? a
2

?2

a

? a

?2

?

2 ? 2? 2
2

?2

2 ? 2
2

?2

?

3 5



( 0 .0 0 8 1)

7 0 ?1 3 ? ? ? 0 .2 5 ? [3 ? ( ) ] ? [8 1 ? (3 ) 3 ] 2 ? 1 0 ? 0 .0 2 7 3 = 8 8 3
1 ? ?3 3 ? 1 2 3? 1 3

1

1

1

?

1 4

?4

( 0 .3)

?3

?1

? [3

4 ? ? 0 .2 5

?( ) 2

]

? 1 0 ? 0 .3

=0

(2)原式=
2 ) ? lg
2

2 (lg

2 ? lg 5 ?
1 4

(lg

2 ) ? lg 2 ? 1 = 2 (
2

1 2

lg 2 ) ?
2

1 2

lg 2 ? 1 - lg 2)? (

(

1 2

lg 2 ) ? lg 2 ? 1 =1
2

43. (1)? t ? log (2) f ? x ? ? log

2

x,

? x ? 4 ? log

1
2

? t ? log

4

2

4

即? 2 ? t ? 2
3? ? ? 3t ? 2 ? ? t ? ? 2? ?
2

2 2

x ? 3 log

2

x ? 2 ? 令 t ? log

2

x ,则, y ? t

2

?

1 4

?当t ? ?

3 2

即 log

2

x ? ?

3 2

?3

,x ? 2

2

时, f ? x ? min ? ?

1 4

当 t ? 2即 x ? 4时 , f ? x ? max ? 12
44.解:由 3-4x+x >0,得 x>3 或 x<1, ∴M={x|x>3 或 x<1}, f(x)=-3×(2 ) +2 +2=-3(2 - ∵x>3 或 x<1,∴2 >8 或 0<2 <2,
x x x 2 x x 2

? ?

)+

2

?? ??

.

∴当 2 = 45.

x

? ?

,即 x=log2

? ?

时, f(x)最大,最大值为

?? ??



f(x)没有最小值.

8

基本初等函数提高训练(指数函数、对数函数、幂函数)
解:由题意知 1 2
x

? lo g 2 ? 3(3 分 )
x x x x

2 4 f ( x ) = lo g 2 ? lo g 2 ? (lo g 2 ? 1)(lo g 2 ? 2 )

? (lo g 2 ) ? 3 lo g 2 ? 2 = ( lo g 2 ?
x 2 x x

3 2

)?

2

1 4

(9 分 ) 3 2 )=1 4 (1 4 分 )

?

1 2

? lo g 2 ? 3
x

? f ( x )m a x ? f ( 3 ) = 2

f ( x )m i n ? f (

【解析】略 46.)解:(1)当 a ? ? 1 时, 函数 f ( x ) 的递增区间是 ( ? 2, ? ? ) ,递减区间是 ( ? ? , ? 2 ) .

(2) 当 a ? 1 时, f ( x ) 有最大值 3 .
【解析】略 47.单调递减区间是 ( ? ? ,1] ,单调递增区间为 [1, ? ? ) 【解析】令 6 x ? t ,则 t ? 6 x 为增函数, y ? 3 6 ? 1 2 ? 6 ? 5
x x

=t 2 ? 12 ? t ? 5

= (t ? 6 ) ? 4 1
2

∴当 t≥6,即 x≥1 时,y 为关于 t 的增函数, 当 t≤6,即 x≤1 时,y 为关于 t 的减函数
∴函数 y ? 3 6 ? 1 2 ? 6 ? 5
x x

的单调递减区间是 ( ? ? ,1] ,单调递增区间为 [1, ? ? )

48.(本小题满分 14 分) (1)函数 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1) 在 [1, 2 ] 上的最大值与最小值之和为 2 0 ,
x
2 ∴ a ? a ? 2 0 ,得 a ? 4 ,或 a ? ? 5 (舍去)………4 分

(2)证明 f ( x ) ?

4
x

x

4 ?2

4

∴ f ( x ) ? f (1 ? x ) ?

4
x

x

4 ?2

? 4

4

1? x

1? x

?2

?

4
x

x

4 ?2

?

4 4 4
x

x

?

4
x

x

?2

4 ?2

?

4 2?4 ? 4
x

?

4
x

x

4 ?2

?

2 4 ?2
x

?1

(3)由(2)知 f (
f( 1005 2011 )? f( 1006 2011 )? f( 2

1 2011

)? f(

2010 2011

) ?1, f (

2 2011

)? f(

2009 2011

)?1

)?1 3 2011 2010 2011

∴f(

1 2011

)? f(

) ? ... ? f (

)

2011

?

1 2010 ? ? 2 2009 ? 1005 1006 ? ? ? f( )? f( ) ? f( )? f( ) ? ... ? f ( )? f( ) ? ? ? ? ? 2011 2011 ? ? 2011 2011 ? 2011 2011 ? ? ? ?

? 1 ? 1 ? ... ? 1 ? 1 0 0 5 ………14 分

49. (1)∵ f ( x ) ? 2 x ? a ? 2 ? x 是定义域为 R 的奇函数, ∴ f (0 ) ? 1 ? a ? 0 ,∴ a ? ? 1 ,……………(3 分)

9

经检验当 a ? ? 1 时, f ( x ) 是奇函数,故所求 a ? ? 1 。……………(4 分) (2) f ( x ) ? 2 x ? 2 ? x , ? x1 , x 2 ? R ,且 x1 ? x 2 ,
f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? ( 2
x2

?2

? x2

) ? (2

x1

?2

? x1

) ? (2

x2

? 2 1 )(1 ?
x

1 2
x1 ? x 2

) ……………(6 分)

x x x x ∵ x1 ? x 2 ,∴ 0 ? 2 ? 2 ,即 2 ? 2 ? 0 ∴ f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? 0 即 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ,
1 2 2 1

∴ f ( x ) 是 R 上的递增函数,即 f ( x ) 是 R 上的单调函数。……………(8 分) (3)∵根据题设及(2)知 f ( t ? 2 t ) ? f ( t ? k ) ? 0 ? f ( t ? 2 t ) ? ? f ( t ? k ) ? f ( k ? t )
2 2 2 2 2

? t ? 2 t ? k ? t ? 2 t ? 2 t ? k ? 0 ,……………(10 分)
2 2 2 2 ∴原不等式恒成立即是 2 t ? 2 t ? k ? 0 在 t ? R 上恒成立,∴ ? ? 4 ? 8 k ? 0 ,…(11 分)

∴所求 k 的取值范围是 k ? ?

1 2

50. (1) M ? (1, 2 ] (2) f ( x ) min

? 4a 2 , ? 6 ? a ? ?3 ?? 3 ? ? ?16 a ? 48 , a ? ?6 ?

10


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