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山东省沂南一中2013届高三第二次质量检测数学(理)试题


一、 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1.抛物线 y ? ax2 的准线方程是 y ? 1 ,则 a 的值为 A.4 B. ? 4 C. ? ( ) D.

1 4

1 4

2.已知命题 p : ?x ? R ,使 sin x ?

/>5 ; 命题 q : ?x ? R ,都有 x 2 ? x ? 1 ? 0. 给出下列 2
② 命题“ p ? ?q ”是假 命题 ④ 命题“ ?p ? ?q ”是假命题
[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

结论:① 命题“ p ? q ”是真命题 ③ 命题“ ?p ? q ”是真命题 其中正确的是 A.① ② ③ B.③ ④

C.② ④

D.② ③

3.已知 m, n 是两条 不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题正确的 A. 若? ? ? , ? ? ? , 则?‖ ? C. 若m‖? , n‖? , 则m‖ n B. 若m ? ? , n ? ? , 则m‖ n D. 若m ? , m ? , 则?‖ ? ‖ ‖
1 正视图 侧视图

4.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体 的体积是 A.

1 3
1

B.

2 3

2

B. C.

D. 2

2 俯视图

5.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a 2 、 a 4 是方程 x ? x ? 2 ? 0 的两个根,则 S5 等于
2

A.

5 2

B.5
2 2

C. ?
2

5 2

D.-5
2

6. 已知圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的圆心 为抛物线 y ? 4 x 的焦点,且与直线

3x ? 4 y ? 2 ? 0 相切,则该 圆的方程为
A. ( x ? 1) ? y ?
2 2

64 25

B. x ? ( y ? 1) ?
2 2

64 25

C. ( x ?1)2 ? y 2 ? 1

D. x2 ? ( y ?1)2 ? 1 )

7. 直线 y ? 2 x ? 4 与抛物线 y ? x2 ? 1 所围成封闭图形的面积是( A.

10 3

B.

16 3

C.

32 3

D.

35 3

8.把函数 y ? sin x ? 3 cos x 的图象向左平移 m(m ? 0) 个单位长度后,所得到的图象 关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( A. ) C.

? 6

B.

? 3

2? 3

D.

5? 6

9.已知 f ( x) ? ?

1 ?(3 ? a) x ? 4a, x< , 是(- ? ,+ ? )上的增函数,那么 a 的取值范围是 ?loga x, x ? 1
B.(- ? ,3) C.[

A.(1, + ? )

3 ,3 ) 5
)

D.(1,3)

10.定义在 R 上的奇函数 f (x ) 对任意 x ? R 都有 f ( x ) ? f ( x ? 4) ,当 x ? (?2,0) 时,

) f ( x) ? 2 x ,则 f (2012) ? f (2011 的值为( 1 1 A. ? B. C.2 2 2
2

D. ? 2

11. 已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上一点 M (1, m)(m ? 0) 到其焦点的距离为 5,双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的左顶点为 A ,若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行,则实数 a 的值是( a
A.

)

1 9

B.

1 25

C.

1 5

D.

1 3

?x ? y ? 2 ? 0 ? 12. x, 满足条件 ?3 x ? y ? 6 ? 0, 若目标函数z ? ax ? by ( a ? 0, b ? 0) 的最大值为 设 y ? x ? 0, y ? 0 ?
12,则 A.

3 2 ? 的最小值为 a b
B.

25 6

8 3

C.

11 3

D.4

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)
13. 已 知 圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 6 ? 0 的 圆 心 在 直 线 ax ? 2by ? 2ab ? 0 上 , 其 中

a ? 0, b ? 0 ,则 ab 的最小值是 . 1 ? 14.已知向量 a ?(? cos x,? x ) , b ? (1, t ) ,若函数 f (x ) ? a ? b 在区间 (0, ) 上存在增 2 2 区间,则 t 的取值范围为 .
[来源:学&科&网 Z&X&X&

15. 已知直线 y ? x ? 1 与曲线 y ? ln(x ? a) 相切,则 a 的值为_________. 16.对正整数 n,设曲线 y ? x (1 ? x) 在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 an ,则
n

an . } 的前 n 项和是 n ?1 三、解答题(17-21 题各 12 分,22 题 14 分,共 74 分.请详细写出解题过程, 否则不得分) {
17. (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 的角 A、 C 所对的边分别是 a , b, c , B、 设向量 m ? (a, b) ,

??

? n ? (sin B,sin A) ,

? ? p ? (b ? 2, a ? 2)
??

(Ⅰ)若 m ∥ n ,求证: ?ABC 为等腰三角形;

??

?

(Ⅱ)若 m ⊥ p ,边长 c ? 2 , C ?

??

?
3

,求 ?ABC 的面积.

18. (本小题满分 12 分) 已知各项都不相等的等差数列 {an } 的前 6 项和为 60,且 a6 为 a1 和 a21 的等比中项. ( I ) 求数列 {an } 的通项公式; ( I I ) 若数列 {bn } 满足 bn?1 ? bn ? an (n ? N* ) , b1 ? 3 , 且 求数列 {
源:学|科|网 Z|X|X|K]

1 } 的前 n 项和 Tn . bn

[来

19. (本小题满分 12 分)

[来源:学&科&网]

已知函数 f ( x) ? sin ? x ? cos ? x ? 3 cos

2

?x ?

3 (? ? 0 ) ,直线 x ? x1 , x ? x2 2

是 y ? f (x) 图象的任意两条对称轴,且 | x1 ? x2 | 的最小值为

?
4



(I)求 f ( x ) 的表达式; (Ⅱ)将函数 f ( x ) 的图象向右平移

? 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长 8

为原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象,若关于 x 的方程 g ( x) ? k ? 0 , 在区间 ?0,

? ?? 上有且只有一个实数解,求实数 k 的取值范围. ? 2? ?

20. (本题满分 12 分) 如图,四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 4 的 正 方 形 , O 是 AC 与 BD 的 交 点 , SO ? 平 面 , ABCD E 是侧棱 SC 的中点,异面直线 SA 和 BC 所 成角的大小是 60 ? . (Ⅰ)求证:直线 SA ? 平面 BDE ; (Ⅱ)求直线 BD 与平面 SBC 所成角的正弦值.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 中 a ? R 且 a ?1. (I)求函数 f ( x ) 的导函数 f ?( x ) 的最小值; (II)当 a ? 3 时,求函数 h( x) 的单调区间及极值; (III)若对任意的 x1 , x2 ? (0, ??), x1 ? x2 ,函数 h( x) 满足 数 a 的取值范围. 22. (本小题满分 14 分)

1 2 x ? 3 x ? ( a ? 1) ln x , g ( x) ? ax , h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 3x ,其 2

h( x1 ) ? h( x2 ) ? ?1 , 求实 x1 ? x2

[来源:Zxxk.Com]

已知动圆 M 过定点 F (0, ? 2) ,且与直线 y ? 个焦点为 F ,点 A(1, 2) 在椭圆 N 上.

2 相切,椭圆 N 的对称轴为坐标轴,一

(1)求动圆圆心 M 的轨迹 ? 的方程及椭圆 N 的方程; (2)若动直线 l 与轨迹 ? 在 x ? ?4 处的切线平行, 且直线 l 与椭圆 N 交于 B, C 两点, 试求

当 ?ABC 面积取到最大值时直线 l 的方程.

沂南一中高三第二次质量检测考试试题理科数学答案

1? 1 1 1 1 1 ? 1?3 1 1 ? 3n2 ? 5n ? 12 Tn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? 3 2 4 n n ? 2 ? 2 ? 2 n ? 1 n ? 2 ? 4 ? n ? 1?? n ? 2 ? ? ?
分 . 19.解: (Ⅰ)

1 1+ cos 2? x 3 1 3 ? f ( x) ? sin 2? x ? 3 ? ? sin 2? x ? cos 2? x ? sin(2? x ? ) 3 2 2 2 2 2 3
分 由题意知,最小正周期 T ? 2 ?

?
4

?

?
2

,T ?

2? ? ? ? ? ,所以 ? ? 2 , 2? ? 2

又 ? E 是侧棱 SC 的中点,?OE // SA .又 OE ? 平面 BDE , SA? 平面 BDE ,? 直线

SA //平面 BDE .????4 分
? ? (Ⅱ) ? SA, BC 所成角为 60 , ? ?SAD ? 60 , ? SA ? SD ? ?SAD 为等边三角形

? SA ? 4 ......5 分在 Rt?SAO 中, AO ? 2 2 ,?SO ? 2 2 建立如图空间坐标系,

x
h?( x) h( x )

(0, 1)

1
0

(1, 2)

2
0

(2, +?)

?
?

?

?
?

?

5 2

?
ZXXK]

[ 来 源: 学 科网

2ln 2 ? 4

所以,函数 h( x) 的单调增区间是 (0, 1) , (2, +?) ;单调减区间是 (1, 2) .??7 分 函数 h( x) 在 x ? 1 处取得极大值 ? (II I)由题意, h( x) ?

5 ,在 x ? 2 处取得极小值 2ln 2 ? 4 .??8 分 2

1 2 x ? (a ? 1) ln x ? ax(a ? 1) . 2

解得 a ? 4, 或a ? 1(舍去) 故所求的椭圆方程为 .
2 2

y 2 x2 ? ? 1. 4 2 ...............5 分
x2 .

2 (2)轨迹 ? 的方程为 x ? ?4 2 y ,即 y ? ?

1 4 2

x ? ?4 处的切线斜率为 k ? 则 y ' ? ? 2 2 x ,所以轨迹 ? 在
设直线 l 方程为 y ?

1

2 ,......7 分

2 x ? m ,代入椭圆方程得

( 2x ? m)2 ? 2x2 ? 4,即4x2 ? 2 2mx ? m2 ? 4 ? 0
因为 ? ? (2 2m)2 ? 4 ? 4 ? (m2 ? 4) ? 0 ,解得 ?2 ? m ? 2 ;............9 分 设 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ), 则 x1 ? x2 ? ?

2m m2 ? 4 , x1 x2 ? 2 4


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