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函数的奇偶性学案2


1.3.2 函数的奇偶性(1)
教学重点:函数的奇偶性的概念及其建立过程,判断函数的奇偶性 教学难点:对函数奇偶性概念的理解与认识 一、复习引入 用描点法作出函数 f ( x) ? x 和 f ( x) ? x 2 的图像,再观察你所列出的函数值对应表,你能发现什么? x … -3 … -2 -1 0 1 2 3 … …

f ( x) ? x

/>
x

… -3 …

-2

-1

0

1

2

3

… …

f ( x) ?

x

2

二、概念的形成与深化 (1) 以 f ( x) ? x 2 的函数值对应表为例,你能看出什么? (2) 对于函数 f ( x) ? x 2 定义域 R 内的任意一对相反数 x 和-x, 相应的两个函数值有什么关系?你能用 函数解析式给出证明吗? (3) 你能总结出偶函数的定义吗? 偶函数:一般的,对于函数定义域内 一个 x,都有 注意:图像关于 y 轴对称,一定是偶函数,反之也成立。 观察思考(课本 34 页) 1 (1)函数 f ( x) ? x 与函数 f ( x) ? 图象有什么共同特征吗?

,那么就称 f(x)为偶函数。

x

(2)相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的?

1

1 为例,当自变量 x 取定义域中一对相反数时,相应的两个函数值有 x 1 f ( x) ? 什么关系?你能用函数解析式 x 给出证明吗?
(3)以 f ( x) ? (4) 类比偶函数的定义,给出奇函数的定义: 奇函数: 对奇函数、偶函数定义的说明: 1.函数具有奇偶性:定义域关于 对称。对于定义域内的任意一个 x,则-x 也一定是定义域内的一个 自变量。 2.如果一个函数 f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数 f(x)具有奇偶性.既不是奇函数也不是偶函数的 函数称为非奇非偶函数。 3.奇、偶函数定义的逆命题也成立, 即:若函数 f(x)为奇函数, 则 f(-x)=-f(x)成立。 若函数 f(x)为偶函数, 则 f(-x)= f(x) 成立。 4.奇、偶函数的图象特征 (1)如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形.反之,如果一 个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数. (2)如果一个函数是偶函数,则这个函数的图象关于 y 轴成轴对称图形.反之,如果一个函数的图象关于 y 轴成轴对称图形,则这个函数是偶函数. (3)由于奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称,因而研究这类函数的性质时,只需通 过研究函数在[0,+∞)(或(-∞,0])上的情形,便可推断出函数在整个定义域上的性质(或图象). (4)从奇、偶函数图象可以看出:奇函数在对称的两个区间上的单调性是一致的;偶函数在称的两个区间 上的单调性是相反的 (5)若奇函数在原点处有定义,则有 f(0)=0. 三、讲练结合、巩固新知 例 1、判断下列函数的奇偶性:

(1) f ( x ) ? x 4 (3) f ( x ) ? x ? 1 x

(2) f ( x ) ? x 5 1 (4) f ( x ) ? x2

2

根据定义判断一个函数是奇函数还是偶函数的步骤: 函数根据奇偶性分为:奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数. ① 求函数定义域并判断定义域是否关于原点对称(定义域不关于原点对称则为非奇非偶函数) ② 判断是否满足 f(-x)=f(x)或者 f(-x)= - f(x)(若两等式都不满足则为非奇非偶函数) ③ 下结论 注意:能作出函数图象的,可以直接观察图象是否关于 y 轴对称或者是否关于原点对称来判断函数的奇偶 性。 练习:判断下面函数的奇偶性

(1) f ( x) ? 2 x 4 ? 3x 2

(2) f ( x) ? x 3 ? 2x

(3) f ( x) ? x

(4) f ( x) ? 0

例 2 判断下列各函数的奇偶性: (1) f ( x) ? ( x ? 1)

? x2 ? x ( x ? 0) 1? x lg(1 ? x 2 ) ? ; (2) f ( x) ? 2 ; (3) f ( x) ? ? 2 1? x | x ? 2 | ?2 ( x ? 0) ? ?? x ? x

四、达标练习: 1.判断下列函数的奇偶性

(1) f ( x) ? x ? x 3 ? x 5

(2)

f ( x) ? x ? 1

(3) f ( x) ? 2

(4) f ( x) ? x , x ? (?2,4]
2

2、如果定义在区间[3-a,5]上的函数 f(x)为奇函数,则 a=_____ 3、函数 y=f(x)是偶函数,且在(-∞,0)上是增函数,则 y=f(x)在(0,+∞)上是( A. 增函数 B. 减函数 C. 不是单调函数 D. 单调性不确定 )

函数的奇偶性第二课
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一、函数奇偶性的判断
例 1 判断下列函数的奇偶性,并说明理由. (1)f(x)=x2-|x|+1,x∈[-1,4]; (2)f(x)= 1-x2+ x2-1; ?x (1-x) x<0 ? (3)f(x)=? . ? ?x (1+x) x>0

变式迁移 1 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= x2-|x|; (2)f(x)=|x+1|-|x-1|; x -2x+3 (x>0) ? ? (3)f(x)=?0 (x=0) ? ?-x2-2x-3 (x<0)
2

.

二、奇、偶函数图象的特征
例 2 设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5],当 x∈[0,5]时,函数 y=f(x)的图象如图所示,则使函数值 y<0 的 x 的取值集合为________.

变式迁移 2 下列图中,只画出了函数图象的一半,请你画出它们的另一半,并说出画法的依据.

4

三、利用函数的奇偶性求函数的解析式
例 3 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x2+3x-1,求 f(x)的解析式. 分析 由奇函数的定义知 f(0)=0,再由 f(-x)=-f(x)可得当 x<0 时 f(x)的表达式,构成定义在 R 上的 奇函数.

点评 在求函数的解析式时,应紧扣题目中的已知条件,当求自变量在不同区间上的不同表达式时, 要用分段函数的形式来表示.同时解题时不能漏掉 x=0 这种特殊情况. 变式迁移 3 已知 f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x|x-2|,求 x<0,f(x)的表达式.

一、选择题 1.已知函数 f(x)= 1 (x≠0),则这个函数( x2 )

A.是奇函数 B.既是奇函数又是偶函数 C.是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 2.奇函数 y=f(x) (x∈R)的图象必过点( A.(a,f(-a)) B.(-a,f(a)) C.(-a,-f(a)) D. ? ? a, f ?

)

? ?

? 1 ?? ?? ? ? a ??
)

3.若 f(x)在[-5,5]上是单调奇函数,且 f(3)<f(1),则下列各式中一定成立的是( A.f(-1)>f(-3) B.f(0)>f(1) C.f(2)<f(3) D.f(-3)<f(5) 4.

5

如图是一个由集合 A 到集合 B 的映射,这个映射表示的是( ) A.奇函数而非偶函数 B.偶函数而非奇函数 C.奇函数且偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 5.若 f(x)=ax2+bx+c (a≠0)是偶函数,则 g(x)=ax3+bx2+cx 是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 二、填空题 6.已知函数 f(x)=ax2+bx+3a+b 为偶函数,其定义域为[a-1,2a],则 a 的值为________. 7.下列四个结论:①偶函数的图象一定与纵轴相交;②奇函数的图象一定通过原点;③既是奇函数, 又是偶函数的函数一定是 f(x)=0 (x∈R);④偶函数的图象关于 y 轴对称,其中正确的命题有________个. 8.设函数 f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数,则 a=______. 三、解答题 9.判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)= 2x-1+ 1-2x; (2)f(x)=x4+x; x +2 (x>0) ? ? (3)f(x)=?0 (x=0) ? ?-x2-2 (x<0)
2

10.已知 f(x)为 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=-2x2+3x+1. (1)求 f(x)的解析式; (2)作出函数 f(x)的图象. 11. 设定义域在[-2,2]上的奇函数 f(x)在区间[0,2]上单调递增,若 f(1-m)>f(m),求实数 m 的取值范 围.

12.若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0)上是减函数,且 f(2)=0,则使 f(x)<0 的 x 的取值 范围是________.

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