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2013广州一模理科数学含答案


广州市 2013 届普通高中毕业班综合测试(一) 数学(理科)
参考公式:如果事件 A,B 相互独立,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) .

? ? ? ? 线性回归方程 y ? bx ? a 中系数计算公式 b ?

? (x
i ?1 n

n

i

r />
? x)( yi ? y )
i

? (x
i ?1

? , a ? y ? bx ,

? x)

2

其中 x, y 表示样本均值。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设全集 U ? {1,2,3,4,5,6} ,集合 A ? {1,3,5} , B ? {2,4} ,则 A. U ? A ? B 2.已知 B. U ? (CU A) ? B C. U ? A ? (CU B) D. U ? (CU A) ? (CU B)

a ? 1 ? bi ,其中 a,b 是实数,i 是虚数单位,则 a+bi= 1? i
B.2+i C.2-i D.1-2i

A.1+2i

? x ? 2 y ? 1, ? 3.已知变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? y ? 1 ? 0. ?
A.-3 B .0 C.1 D.3 4.直线 x ? 3 y ? 0 截圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 所得劣弧所对的圆心角是 A.

? 6
B.1

B.

? 3
C.

C.

? 2
D.

D.

2? 3

5.某空间几何体的三视图及尺寸如图 1,则该几何体的体积是 A.2

2 3

1 3

6.函数 y ? (sin x ? cos x)(sin x ? cos x) 是 A.奇函数且在 [0, B.奇函数且在 [

?
2

] 上单调递增

?
2

, ? ] 上单调递增

C.偶函数且在 [0, D.偶函数且在 [

?
2

] 上单调递增

?
2

, ? ] 上单调递增

1

7.已知 e 是自然对数的底数,函数 f ( x) ? e x ? x ? 2 的零点为 a,函数 g ( x) ? ln x ? x ? 2 的 零点为 b,则下列不等式中成立的是 A. f (a) ? f (1) ? f (b) C. f (1) ? f (a) ? f (b) B. f (a) ? f (b) ? f (1) D. f (b) ? f (1) ? f (a)

8.如图 2,一条河的两岸平行,河的宽度 d=600m,一艘客船从码头 A 出发匀速驶往 河对岸的码头 B.已知 AB ? 1km ,水流速度为 2km/h,若客船行驶完航程所用最短时 间为 6 分钟,则客船在静水中的速度大小为 A.8km/h C. 2 34km/ h B. 6 2km/ h D.10km/h

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9-13 题) 9.不等式 x ?1 ? x 的解集是_________. 10. cos xdx ? _______ .
0

?

1

11.某工厂的某种型号机器的使用年限 x 和所支出的维修费用 y(万元)有下表的统计资料: x y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0

? ? 根据上表可得回归方程 y ? 1.23x ? a ,据此模型估计,该型号机器使用所限为 10 年维修
费用约______万元(结果保留两位小数).

12.已知 a ? 0, a ? 1,函数 f ( x ) ? ? 最小值大

?a x ,

x ?1 ,若函数 f (x) 在区间[0,2]上的最大值比 ?? x ? a , x ? 1

5 ,则 a 的值为________. 2

13.已知经过同一点的 n(n ? N *, n ? 3) 个平面,任意三个平面不经过同一条直线,若这 n 个

. 平面将空间分成 f (n) 个部分,则 f (3) ? ______,f (n) ________
(二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,定点 A(2, ? ) ,点 B 在直线 ? cos? ? 3? sin ? ? 0 上

3 2

2

运动,当线段 AB 最短时,点 B 的极坐标为______. 15.(几何证明选讲选做题) 如图 3,AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,AC 与⊙O 交于点 D,若 BC=3, AD ?

16 ,则 AB 的长为______. 5

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函 f ( x ) ? A sin(?x ? 为 8. (1)求函数 f (x) 的解析式; (2)若函数 f (x) 图象上的两点 P,Q 的横坐标依次为 2,4,O 坐标原点,求 ?POQ 的 面积. 17.(本小题满分 12 分) 甲、乙、丙三位学生独立地解同一道题,甲做对的概率为

?
4

) (其中 x ? R, A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 2,最小正周期

1 , 乙,丙做对的概率分别为 2

m,n(m>n),且三位学生是否做对相互独立.记 ? 为这三位学生中做对该题的人数,其分布列 为:

?
P

0

1 a

2 b

3

1 4

1 24

(1)求至少有一位学生做对该题的概率; (2)求 m,n 的值; (3)求 ? 的数学期望. 18.(本小题满分 14 分) 如图 4,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ?ABC 是边长为 2 的等边三角形,

AA ? 平面 ABC,D,E 分别是 CC1,AB 的中点. 1
(1)求证:CE//平面 A1BD; (2)若 H 为 A1B 上的动点,当 CH 为平面 A1AB 所成最大角的正切值为

15 时,求平面 A1BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的余弦值. 2
19.(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn, a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? (n ? 1)Sn ? 2n(n ? N*) . 且

3

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 p,q,r 是三个互不相等的正整数,且 p,q,r 成等差数列,试判断 a p ?1, aq ?1, ar ?1 是否成等比数列?并说明理由. 20.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C1 的中心在坐标原点,两个焦点分别为 F1 (?2,0), F2 (2,0) ,点 A(2,3)在 椭圆 C1 上,过点 A 的直线 L 与抛物线 C2 : x 2 ? 4 y 交于 B,C 两点,抛物线 C2 在点 B,C 处的切线分别为 l1 ,l2 ,且 l1 与 l 2 交于点 P. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)是否存在满足 PF ? PF2 ? AF ? | AF2 | 的点 P?若存在,指出这样的点 P 有几个 1 1 (不必求出点 P 的坐标) ;若不存在,说明理由. 21.(本小题满分 14 分) 已知二次函数 f ( x) ? x2 ? ax ? m ? 1 ,关于 x 的不等式 f ( x) ? (2m ? 1) x ? 1 ? m2 的解 集为 (m, m ? 1) ,其中 m 为非零常数.设 g ( x ) ? (1)求 a 的值; (2) k (k ? R) 如何取值时,函数 ? ( x) ? g ( x) ? k ln(x ? 1) 存在极值点,并求出极值点; (3)若 m=1,且 x>0,求证: [ g ( x ? 1)] ? g ( x ? 1) ? 2 ? 2(n ? N*)
n n n

f ( x) . x ?1

4

参考答案
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几 种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点 和能力对照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不 得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分40分. 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 D 5 A 6 C 7 A 8 B

二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共 7 小题,每小题 5 分,满 分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 9.? , ?? ?

?1 ?2

? ?

10.sin 1

11.12.38

12. 或

1 2

7 2

13. n ? n ? 2 8,
2

14. ?1,

? 11? ? ? 6 ? ?

15. 4

说明:① 第13题第一个空填对给2分,第二个空填对给3分. ② 第14题的正确答案可以是: ?1,

? 11? ? ? 2k ? ? (k ? Z ). 6 ? ?

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) (本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公 式等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力) (1)解:∵ f ( x ) 的最大值为2,且 A ? 0 , ∵ f ( x ) 的最小正周期为 8 , ∴ f ( x) ? 2sin( ∴T ? ∴A?2. ?????1分

2?

?

x? ). 4 4

?

?

? 8 ,得 ? ?

?
4

.

?????2 分 ?????3 分

(2)解法 1:∵ f (2) ? 2sin ?

? ?? ? ? ? ? ? 2cos ? 2 , 4 ?2 4?

?????4 分

?? ? ? f (4) ? 2sin ? ? ? ? ? ?2sin ? ? 2 , 4? 4 ?
5

????5 分

∴ P(2, 2), Q(4, ? 2) . ∴ OP ? 6, PQ ? 2 3, OQ ? 3 2 . ?????8 分
2 2 2

∴ cos ?POQ ?

OP ? OQ ? PQ
2 2

2

2 OP OQ

? 6 ? ? ?3 2 ? ? ? 2 3 ? ?
2 6 ?3 2

?

3 .?10 分 3

∴ sin ?POQ ?

1 ? cos2 ?POQ ?

6 . 3

?????11 分

∴△ POQ 的面积为 S ?

1 1 OP OQ sin ?POQ ? ? 2 2

6?3 2?

6 ? 3 2. 3
???12 分

解法 2:∵ f (2) ? 2sin ?

? ?? ? ? ? ? ? 2cos ? 2 , 4 ?2 4?

?????4 分

?? ? ? f (4) ? 2sin ? ? ? ? ? ?2sin ? ? 2 , 4? 4 ?
∴ P(2, 2), Q(4, ? 2) . ∴ OP ? (2, 2), OQ ? (4, ? 2) .

?????5 分

??? ?

??? ?

?????8 分 ?????10 分

??? ???? ? ??? ???? ? OP ? OQ 6 3 ∴ cos ?POQ ? cos ? OP, OQ ?? ??? ???? ? . ? ? 3 6 ?3 2 OP OQ
∴ sin ?POQ ?

1 ? cos2 ?POQ ?

6 . 3

?????11 分

∴△ POQ 的面积为 S ?

1 1 6 ? 3 2. OP OQ sin ?POQ ? ? 6 ? 3 2 ? 2 2 3
???12 分

解法 3:∵ f (2) ? 2sin ?

? ?? ? ? ? ? ? 2cos ? 2 , 4 ?2 4?

???4 分

?? ? ? f (4) ? 2sin ? ? ? ? ? ?2sin ? ? 2 , 4? 4 ?
∴ P(2, 2), Q(4, ? 2) . ∴直线 OP 的方程为 y ?

?????5 分

2 x ,即 x ? 2
6

2 y ? 0.

?????7 分

∴点 Q 到直线 OP 的距离为 d ? ∵ OP ?

4? 2 3

? 2 3.

?????9 分

6,

?????11 分

∴△ POQ 的面积为 S ?

1 1 OP ? d ? ? 2 2

6 ? 2 3 ? 3 2 .?????12 分

17. (本小题满分12分) (本小题主要考查相互独立事件的概率、 离散型随机变量的均值等基础知识, 考查数据处理、 推理论证、运算求解能力和应用意识,以及或然与必然的数学思想) 解:设“甲做对”为事件 A , “乙做对”为事件 B , “丙做对”为事件 C ,由题意知,

P ? A? ?

1 , P ? B ? ? m, P ? C ? ? n . 2

?????1 分

(1)由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“ ? ? 0 ”是对立的, 所以至少有一位学生做对该题的概率是 1 ? P

??

? 0? ? 1 ?

1 3 ? .????3 分 4 4
?????4 分

(2)由题意知 P

??

? 0 ? ? P ABC ?

?

?

1 ?1 ? m ? ?1 ? n ? ? 1 , 2 4 1 1 mn ? , 2 24

P ?? ? 3? ? P ? ABC ? ?
mn ?

?????5 分

整理得

7 1 ,m ? n ? . 12 12 1 1 ,n ? . 3 4
?????7 分

由m

? n ,解得 m ?

(3)由题意知 a ? P

??

? 1? ? P ABC ? P ABC ? P ABC

?

?

?

?

?

?

?

1 ?1 ? m ? ?1 ? n ? ? 1 m ?1 ? n ? ? 1 ?1 ? m ? n ? 11 , ?9 分 2 2 2 24 1 , ?????10 分 4 13 . 12

b ? P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) =

∴ ? 的数学期望为 E? ? 0 ? P(? ? 0) ? 1? P(? ? 1) ? 2 P(? ? 2) ? 3P(? ? 3) =

????12分

7

18. (本小题满分14分) (本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识,考查空间 想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力,以及化归与转化的数学思想方法) 解法一: (1)证明:延长 A D 交 AC 的延长线于点 F ,连接 BF . 1 ∵ CD ∥ AA1 ,且 CD ? ∴ C 为 AF 的中点. ∵ E 为 AB 的中点, ∴ CE ∥ BF .

1 AA1 , 2
?????2 分 ?????3 分

A1 B1

C1

D

H A E B C F

∵ BF ? 平面 A BD , CE ? 平面 A BD , 1 1 ∴ CE ∥平面 A BD . 1 (2)解:∵ AA1 ? 平面 ABC , CE ? 平面 ABC , ∴ AA1 ? CE . ∵△ ABC 是边长为 2 的等边三角形, E 是 AB 的中点, ∴ CE ? AB , CE ?

?????4 分

?????5 分

3 AB ? 2

3.

∵ AB ? 平面 A AB , AA ? 平面 A AB , AB ? AA ? A , 1 1 1 1 ∴ CE ? 平面 A AB . 1 ∴ ?EHC 为 CH 与平面 A AB 所成的角. 1 ∵ CE ? ?????6 分 ?????7 分

3,

在 Rt△ CEH 中, tan ?EHC ?

CE 3 , ? EH EH
?????8 分

∴当 EH 最短时, tan ?EHC 的值最大,则 ?EHC 最大. ∴当 EH ? A1B 时, ?EHC 最大. 此时, tan ?EHC ?

CE 3 15 ? ? . 2 EH EH
?????9 分

∴ EH ?

2 5 . 5

∵ CE ∥ BF , CE ? 平面 A AB , 1

8

∴ BF ? 平面 A AB . 1 ∵ AB ? 平面 A AB , A B ? 平面 A AB , 1 1 1 ∴ BF ? AB , BF ? A B . 1 ∴ ?ABA1 为平面 A BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角). 1 在 Rt△ EHB 中, BH ?

?????10 分

?????11 分 ?????12 分

EB2 ? EH 2 ?

BH 5 , cos ?ABA1 ? ? 5 EB

5 .?13 分 5

∴平面 A BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的余弦值为 1 解法二: (1)证明:取 A B 的中点 F ,连接 DF 、 EF . 1 ∵ E 为 AB 的中点, ∴ EF ∥ AA1 ,且 EF ?

5 . ?????14 分 5

z A1 C1 B1 D

1 AA1 . 2 1 AA1 , 2

?????1 分

∵ CD ∥ AA1 ,且 CD ?

F
?????2 分 ?????3 分

∴ EF ∥ CD , EF ? CD . ∴四边形 EFDC 是平行四边形. ∴ CE ∥ DF .

H A E x B C y

∵ DF ? 平面 A BD , CE ? 平面 A BD , 1 1 ∴ CE ∥平面 A BD . 1 ?????4 分

(2)解:∵ AA1 ? 平面 ABC , CE ? 平面 ABC , ∴ AA1 ? CE . ∵△ ABC 是边长为 2 的等边三角形, E 是 AB 的中点, ∴ CE ? AB , CE ? ?????5 分

3 AB ? 2

3.

∵ AB ? 平面 A AB , AA ? 平面 A AB , AB ? AA ? A , 1 1 1 1 ∴ CE ? 平面 A AB . 1 ∴ ?EHC 为 CH 与平面 A AB 所成的角. 1
9

?????6 分 ?????7 分

∵ CE ?

3,

在 Rt△ CEH 中, tan ?EHC ?

CE 3 , ? EH EH
?????8 分

∴当 EH 最短时, tan ?EHC 的值最大,则 ?EHC 最大. ∴当 EH ? A1B 时, ?EHC 最大. 此时, tan ?EHC ?

CE 3 15 . ? ? 2 EH EH
?????9 分

∴ EH ?

2 5 . 5 EB 2 ? EH 2 ? 5 . 5

在 Rt△ EHB 中, BH ?

∵Rt△ EHB ~Rt△ A AB , 1

2 5 EH BH ? ∴ ,即 5 ? AA1 AB AA1
∴ AA ? 4 . 1

5 5 . 2
?????10 分

以 A 为原点,与 AC 垂直的直线为 x 轴, AC 所在的直线为 y 轴, AA1 所在的直线为 z 轴, 建立空间直角坐标系 A ? xyz . 则 A (0, 0, 0) , A1 (0, 0, 4) , B ∴ AA1 ? (0, 0, 4) , A1 B ? 设平面 A1BD 的法向量为 n = 由 n ? A1B , n ? A1D ? 0 , 得? í

(

3, 1, 0 , D (0, 2, 2) .

)

????

????

(

???? ? 3, 1, - 4 , A1D ? (0, 2, - 2) .

)

? x, y , z ? ,

ì 3x + y - 4 z = 0 ? ? 2 y - 2 z = 0. ? ?

令 y = 1,则 z = 1, x =

3.

∴平面 A1BD 的一个法向量为 n =

(

3, 1, 1 .

)

?????12 分

∵ AA1 ? 平面 ABC , ∴ AA1 =

????

(0, 0, 4) 是平面 ABC 的一个法向量.
10

???? ? ???? ? n ? AA1 5 ∴ cos n, AA1 ? . ???? ? ? 5 n AA1

?????13 分

∴平面 A BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的余弦值为 1

5 . 5

?????14 分

19. (本小题满分14分) (本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前 n 项和等基础知识,考查合情推理、化归 与转化、特殊与一般的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力) (1) 解:? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? (n ? 1)Sn ? 2n , ∴ 当 n ? 1 时,有 a1 ? (1 ?1)S1 ? 2, 解得 a1 ? 2 . 由 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? (n ? 1)Sn ? 2n , ① ?????1 分

得 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? (n ? 1)an ?1 ? nSn ?1 ? 2(n ? 1) , ② ?????2 分 ② - ①得: (n ? 1)an?1 ? nSn?1 ? (n ?1)Sn ? 2 . 以下提供两种方法: 法 1:由③式得: (n ? 1)(Sn?1 ? Sn ) ? nSn?1 ? (n ?1)Sn ? 2 , 即 Sn?1 ? 2Sn ? 2 ; ?????4 分 ?????5 分 ③ ?????3 分

? Sn?1 ? 2 ? 2(Sn ? 2) ,
∵ S1 ? 2 ? a1 ? 2 ? 4 ? 0 , ∴数列 {Sn ? 2} 是以 4 为首项,2 为公比的等比数列. ∴ Sn ? 2 ? 4 ? 2n ?1 ,即 Sn ? 4 ? 2n?1 ? 2 ? 2n?1 ? 2 . 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2n?1 ? 2) ? (2n ? 2) ? 2n , 又 a1 ? 2 也满足上式, ∴ an ? 2n .

?????6 分 ?????7 分

?????8 分

法 2:由③式得: (n ? 1)an ?1 ? nSn ?1 ? (n ? 1)Sn ? 2 ? n ? Sn ?1 ? Sn ? ? Sn ? 2 , 得 an ?1 ? Sn ? 2 . 当 n ? 2 时, an ? Sn ?1 ? 2 ,
11

④ ⑤

?????4 分 ?????5 分

⑤-④得: an ?1 ? 2an . 由 a1 ? 2a2 ? S2 ? 4 ,得 a2 ? 4 , ∴ a2 ? 2a1 . ∴数列 {an } 是以 a1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列. (2)解:∵ p, q, r 成等差数列, ∴ p ? r ? 2q . 假设 a p ? 1,aq ? 1,ar ? 1 成等比数列, 则 ap ? 1

?????6 分

?????7 分 ∴ an ? 2n . ????8 分

????9 分

?

? ?a

r r

? 1? ? aq ? 1 ,
2

?

?

????10 分

即 2p ? 1

?

? ?2

? 1 ? 2q ? 1 ,
(*) ?????11 分

? ?

?

2

化简得: 2 p ? 2r ? 2 ? 2q . ∵ p ? r,

∴ 2 p ? 2r ? 2 2 p ? 2r ? 2 ? 2q ,这与(*)式矛盾,故假设不成立.?13 分 ∴ a p ? 1,aq ? 1,ar ? 1 不是等比数列. ?????14 分

20. (本小题满分14分) (本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识,考查数形结合、函数与方程、化 归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识) (1) 解法 1:设椭圆 C1 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? , a 2 b2
?a 2 ? 16, ? 2 ?b ? 12. ?

? 22 32 ? ? ? 1, 依题意: ? a 2 b2 ?a 2 ? b2 ? 4. ?
∴ 椭圆 C1 的方程为

解得: ?

?????2 分

x2 y 2 ? ? 1. 16 12 x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? , a 2 b2

?????3 分

解法 2:设椭圆 C1 的方程为

根据椭圆的定义得 2a ? AF ? AF2 ? 8 ,即 a ? 4 , 1
2 2 2 ∵ c ? 2 , ∴ b ? a ? c ? 12 .

?????1 分 ?????2 分

12

∴ 椭圆 C1 的方程为 (2)解法 1:设点 B ( x1 ,

x2 y 2 ? ? 1. 16 12

?????3 分

1 2 1 2 1 2 x1 ) , C ( x 2 , x 2 ) ,则 BC ? ( x 2 ? x1 , ( x 2 ? x12 )) , 4 4 4 1 BA ? (2 ? x1 ,3 ? x12 ) , 4

∵ A, B, C 三点共线, ∴ BC // BA . ∴ x2 ? x1 ? 3 ?

??? ?

??? ?

?????4 分

?

?

? ?

1 2? 1 2 x1 ? ? x ? x12 4 ? 4 2

?

? ?2 ? x ? ,
1

化简得:2 x1 ? x2 ) ? x1x2 ? 12 . ( 由 x2 ? 4 y ,即 y ?



?????5 分

1 1 2 x ,得 y? ? x . 4 2

?????6 分

∴抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ?

x 1 2 x1 1 x1 ? ( x ? x1 ) , y ? 1 x ? x12 . ② 即 4 2 2 4 x2 1 2 x ? x2 . 2 4
③ ???8 分

同理,抛物线 C2 在点 C 处的切线 l2 的方程为 y ?

设点 P( x, y) ,由②③得: 而 x1 ? x 2 ,则 x ? 代入②得 y ?

x1 x 1 1 2 x ? x12 ? 2 x ? x2 , 2 4 2 4
?????9 分 ?????10 分

1 ( x1 ? x 2 ) . 2

1 x1 x 2 , 4

则 2 x ? x1 ? x2 , 4 y ? x1 x2 代 入 ① 得 4 x ? 4 y ? 12 , 即 点 P 的 轨 迹 方 程 为

y ? x ? 3.
?????11 分 若 PF ? PF2 ? AF ? AF2 ,则点 P 在椭圆 C1 上,而点 P 又在直线 y ? x ? 3 上, 1 1 ?????12 分 ∵直线 y ? x ? 3 经过椭圆 C1 内一点 (3, 0) , ∴直线 y ? x ? 3 与椭圆 C1 交于两点. ?????13 分

13

∴满足条件 PF ? PF2 ? AF ? AF2 的点 P 有两个. 1 1 解法 2:设点 B( x1 , y1 ) , C ( x2 , y 2 ) , P( x0 , y0 ) , 由 x2 ? 4 y ,即 y ?

?????14 分

1 1 2 x ,得 y? ? x . 4 2 x1 ( x ? x1 ) , 2

?????4 分

∴抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ? y1 ?

即y?

x1 1 x ? y1 ? x12 . 2 2

?????5 分

∵ y1 ?

x 1 2 x1 , ∴ y ? 1 x ? y1 . 4 2
∴ y0 ?

∵点 P( x0 , y0 ) 在切线 l1 上,

x1 x0 ? y1 . 2



?????6 分

同理, y 0 ?

x2 x0 ? y 2 . ② 2

?????7 分

综合①、②得,点 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y 2 ) 的坐标都满足方程 y 0 ? ∵经过 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y 2 ) 的直线是唯一的, ∴直线 L 的方程为 y 0 ?

x x0 ? y . ???8 分 2

x x0 ? y , 2
∴ y0 ? x0 ? 3 .

?????9 分 ?????10 分 ?????11 分

∵点 A(2,3) 在直线 L 上, ∴点 P 的轨迹方程为 y ? x ? 3 .

若 PF ? PF2 ? AF ? AF2 ,则点 P 在椭圆 C1 上,又在直线 y ? x ? 3 上,?12 分 1 1 ∵直线 y ? x ? 3 经过椭圆 C1 内一点 (3, 0) , ∴直线 y ? x ? 3 与椭圆 C1 交于两点. ∴满足条件 PF ? PF2 ? AF ? AF2 的点 P 有两个. 1 1 ?????13 分 ?????14分

解法3:显然直线 L 的斜率存在,设直线 L 的方程为 y ? k x ? 2 ? 3 ,

?

?

14

由?

? y ? k ? x ? 2 ? ? 3, ? ? x ? 4 y, ?
2

消去 y ,得 x ? 4kx ? 8k ? 12 ? 0 .
2

?????4分

设 B x1 , y1 ,C x2 , y2 ,则 x1 ? x2 ? 4k, x1x2 ? 8k ? 12 . 由 x2 ? 4 y ,即 y ?

?

?

?

?

?????5分

1 1 2 x ,得 y? ? x . 4 2

?????6 分

∴抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ? y1 ? ∵ y1 ?

x1 x 1 即 ( x ? x1 ) , y ? 1 x ? y1 ? x12 .?7 分 2 2 2

x 1 1 2 x1 , ∴ y ? 1 x ? x12 . 4 2 4 x2 1 2 x ? x2 . 2 4
?????8 分

同理,得抛物线 C2 在点 C 处的切线 l2 的方程为 y ?

? x1 x? ?y ? ? 2 由? ? y ? x2 x ? ? ? 2

? x1 ? x2 1 2 x1 , ? 2k , ?x ? ? 2 4 解得 ? 1 2 ? y ? x1 x2 ? 2k ? 3. x2 , ? ? 4 4

∴ P 2k , 2k ? 3 . ∵ PF ? PF2 ? AF ? AF2 , 1 1 ∴点 P 在椭圆 C1 :

?

?

?????10 分

x2 y2 ? ? 1 上. 16 12
2

?????11 分

? 2k ? ∴
16

2

?
2

? 2k

? 3? 12

? 1.
?????12 分 ?????13 分

化简得 7k ? 12k ? 3 ? 0 .(*)
2 由 Δ ? 12 ? 4 ? 7 ? ?3 ? 228 ? 0 ,

? ?

可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点 P 有两个. ?????14 分 21. (本小题满分14分) (本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基 础知识,考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法,以及抽象 概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识) (1)解:∵关于 x 的不等式 f

? x? ?

? ? 2m ? 1? x ? 1 ? m 2 的解集为 ? m,m ? 1? ,

2 2 即不等式 x ? a ? 1 ? 2m x ? m ? m ? 0 的解集为 m,m ? 1 ,

?

?

?

15

2 2 ∴ x ? a ? 1 ? 2m x ? m ? m ? x ? m

? ?

? ?

?

? ? x ? m ? 1? . ? ? ?

2 2 2 ∴ x ? a ? 1 ? 2m x ? m ? m ? x ? 2m ? 1 x ? m m ? 1 .

?

∴ a ? 1 ? 2m ? ? 2m ? 1 . ∴ a ? ?2 . (2)解法 1:由(1)得 g x ?????2 分

?

?

? ?

?

f ? x? x ?1

?

x2 ? 2x ? m ? 1 m ? ? x ? 1? ? . x ?1 x ?1

∴? x

? ?

? g ? x ? ? k ln ? x ? 1? ? ? x ? 1? ?

m ? k ln ? x ? 1? 的 定 义 域 为 x ?1

?1,?? ? .
∴ ? ?( x) ? 1 ?

m

? x ? 1?
?
2

2

?

x2 ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1 k . ? 2 x ?1 x ? 1? ?

?????3 分

2 方程 x ? 2 ? k x ? k ? m ? 1 ? 0 (*)的判别式

?

Δ ? ? 2 ? k ? ? 4 ? k ? m ? 1? ? k 2 ? 4m .
①当 m ? 0 时, Δ ? 0 ,方程(*)的两个实根为 x1 ?

?????4 分

2?k ? 2

k 2 ? 4m

? 1,

x2 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

? 1,

?????5 分

则 x ? 1, x2 时, ? ?( x) ? 0 ; x ? x2 , ?? 时, ? ?( x) ? 0 . ∴函数 ? x 在 1, x2 上单调递减,在 x2 ,?? 上单调递增. ∴函数 ? x 有极小值点 x2 . ②当 m ? 0 时,由 Δ ? 0 ,得 k ? ?2 ?m 或 k ? 2 ?m , 若 k ? ?2 ?m ,则 x1 ?

?

?

?

?

? ? ? ? ?

?

?

?

?????6 分

2? k ? 2

k 2 ? 4m

? 1, x2 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

? 1,

故 x ? 1,?? 时, ? ?( x) ? 0 , ∴函数 ? x 在 1,?? 上单调递增. ∴函数 ? x 没有极值点.
16

?

?

? ? ? ? ?

?

?????7 分

若 k ? 2 ?m 时, x1 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

? 1, x2 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

? 1,

则 x ? 1, x1 时 , ? ?( x ) ? 0; x ? x1 , x2 时 , ? ?( x ) ? 0; x ? x2 ,?? 时 ,

?

?

?

?

?

?

? ?( x ) ? 0.
∴函数 ? x 在 1, x1 上单调递增,在 x1, x2 上单调递减,在 x2 ,?? 上单调递增. ∴函数 ? x 有极小值点 x2 ,有极大值点 x1 . 综上所述, 当 m ? 0 时, k 取任意实数, 函数 ? x 有极小值点 x2 ; 当 m ? 0 时, k ? 2 ?m ,函数 ? x 有极小值点 x2 ,有极大值点 x1 .?9 分 (其中 x1 ?

? ? ? ? ?

?

?

?

?

?

?????8 分

? ?

? ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

, x2 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

)

解法 2:由(1)得 g x

? ?

?

f ? x? x ?1

?

x2 ? 2x ? m ? 1 m ? ? x ? 1? ? . x ?1 x ?1
m ? k ln ? x ? 1? 的定义域为 ?1,?? ? . x ?1
?????3 分

∴ ? ? x ? ? g ? x ? ? k ln ? x ? 1? ? ? x ? 1? ? ∴ ? ?( x) ? 1 ? 若函数 ? x

m

? x ? 1?
?

2

?

x2 ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1 k . ? 2 x ?1 ? x ? 1?

? ?

? g ? x ? ? k ln ? x ? 1? 存在极值点等价于函数 ? ?( x ) 有两个不等的零点,

且至少有一个零点在 1,?? 上. 令 ? ?( x ) ?

?

?????4 分

x2 ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1

? x ? 1?
?

2

? 0,

2 得 x ? 2 ? k x ? k ? m ? 1 ? 0 , (*)

?

则Δ ? 2 ? k

?

?

2

? 4 ? k ? m ? 1? ? k 2 ? 4m ? 0 ,(**)

?????5 分

方程(*)的两个实根为 x1 ? 设h x

2? k ? 2

k 2 ? 4m

, x2 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

.

? ?

? x2 ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1 ,

①若 x1 ? 1, x2 ? 1,则 h 1 ? ? m ? 0 ,得 m ? 0 ,此时, k 取任意实数, (**)成立.

??

17

则 x ? 1, x2 时, ? ?( x) ? 0 ; x ? x2 , ?? 时, ? ?( x) ? 0 . ∴函数 ? x 在 1, x2 上单调递减,在 x2 ,?? 上单调递增. ∴函数 ? x 有极小值点 x2 .

?

?

?

?

? ? ? ? ?

?

?

?

?????6 分

? h ?1? ? ? m ? 0, ?m ? 0, ? ②若 x1 ? 1,x2 ? 1 ,则 ? 2 ? k 得? ? 1. ? k ? 0. ? ? 2
又由(**)解得 k ? 2 ?m 或 k ? ?2 ?m , 故 k ? 2 ?m . ?????7 分

则 x ? 1, x1 时 , ? ?( x ) ? 0; x ? x1 , x2 时 , ? ?( x ) ? 0; x ? x2 ,?? 时 ,

?

?

?

?

?

?

? ?( x ) ? 0.
∴函数 ? x 在 1, x1 上单调递增,在 x1, x2 上单调递减,在 x2 ,?? 上单调递增. ∴函数 ? x 有极小值点 x2 ,有极大值点 x1 . 综上所述, 当 m ? 0 时, k 取任何实数, 函数 ? x 有极小值点 x2 ; 当 m ? 0 时, k ? 2 ?m ,函数 ? x 有极小值点 x2 ,有极大值点 x1 .?9 分 (其中 x1 ?

? ? ? ? ?

?

?

?

?

?

?????8 分

? ?

? ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

, x2 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

)

(2)证法 1:∵ m ? 1 , ∴ g x

? ? ? ? x ? 1? ?
n

1 . x ?1
n

? ? n 1? 1 ? ∴ ? g ? x ? 1? ? ? g x ? 1 ? ? x ? ? ? ? x ? n ? ? ? x? x ? ? ?
n

?

?

1 ? xn ? Cn xn ?1 ?

? 1 1 1 1? 2 n n 1 ? Cn xn ? 2 ? 2 ? ? ? Cn ?1 x ? n ?1 ? Cn n ? ? xn ? n ? x x x x x ? ?
?????10 分

1 2 n ? Cn xn ? 2 ? Cn xn ? 4 ? ? ? Cn ?1x2 ? n .

令 T ? Cn x

1 n?2

2 n ? Cn xn ? 4 ? ? ? Cn ?1x2 ? n , n 1 ? Cn ? 2 x4 ? n ? ? ? Cn xn ? 2

则 T ? Cn x

n ?1 2 ? n

18

1 2 n ? Cn x2 ? n ? Cn x4 ? n ? ? ? Cn ?1xn ? 2 .

∵x ? 0, ∴ 2T ? Cn x
1

?

n?2

2 n ? x 2 ? n ? Cn x n ? 4 ? x 4 ? n ? ? ? Cn ?1 x 2 ? n ? x n ? 2 ?11 分

?

?

?

?

?

1 ? Cn ? 2 x n ? 2 ? x 2 ? n ? Cn2 ? 2 x n ? 4 ? x 4 ? n ? ? ? Cnn ?1 ? 2 x 2 ? n ? x n ? 2 ?12 分

1 2 n ? 2 Cn ? Cn ? ? ? Cn ?1

?

? ?
?????13 分 ?????14 分

0 1 2 n n 0 n ? 2 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ?1 ? Cn ? Cn ? Cn

?

? 2 2n ? 2 .
∴ T ? 2n ? 2 , ? g x ? 1 ? ? g x n ?1 即 ? ?
n

?

?

?

?

n

?

? ?2

n

? 2

.

? ? n 1? 1 ? 证法 2:下面用数学归纳法证明不等式 ? x ? ? ? ? x ? n ? ? 2n ? 2 . x? x ? ? ?
① 当 n ? 1 时,左边 ? ? x ?

? ?

1? ? 1? 1 ? ? ? x ? ? ? 0 ,右边 ? 2 ? 2 ? 0 ,不等式成 x? ? x?
k

立;?????10 分

? ? k 1? 1 ② 假设当 n ? k (k ? N )时,不等式成立,即 ? x ? ? ? ? x ? k x? x ? ?
*

? k ? ? 2 ? 2, ?

? 1? 则 ?x ? ? x? ?

k ?1

? 1 ? ? ? x k ?1 ? k ?1 ? x ? ?

k ? ? 1 ? ?? 1? 1 ? ? x ? ? ?? x ? ? ? ? x k ? k x ? ?? x? x ? ? ?

?? ? 1? ? k 1 ? ? k ?1 1 ? ? ? ? ? x ? ? ? x ? k ? ? ? x ? k ?1 ? x? ? x ? ? x ? ?? ? ?
?????11 分

k ? ? 1 ? ?? 1? 1 ?? ? 1 ? ? ? x ? ? ?? x ? ? ? ? x k ? k ? ? ? ? x k ?1 ? k ?1 ? x ? ?? x? x ?? ? x ? ? ? ? ?

? 2 x?

1 1 ? 2k ? 2 ? 2 xk ?1 ? k ?1 x x

?

?

?????12 分

? 2k ? 1 ? 2 .
也就是说,当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 由①②可得,对 ?

?????13 分

n ?N * , ? g ? x ? 1?? ? g xn ? 1 ? 2n ? 2 都成立. ???14 分 ? ?
n

?

?

19


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