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专题九 坐标系与参数方程

时间:2017-11-02


专题九 坐标系与参数方程 考纲解读 1. 理解坐标系的作用; 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况; 了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法并与空间直角坐标系中表示 点的位置的方法相比较,了解它们的区别. 2.了解参数方程;了解参数的意义;了解平摆线、渐近线的生成过程,并能推导出 它们的参数方程;了解其它摆线的生成过程;了解摆线在实际中的应用. 考情分析 本讲是新课标新增内容,也是选考内容.这部分在高考中以考查基础为主,题型主 要是填空题和解答题,难度较小.从近几年高考看,主要考查数形结合思想、读图 识图能力和转化能力.预计 2012 年的高考对这部分的内容,题量、难度不会发生变 化. 核心整合 1.极坐标系 (1)极坐标系 取定一点 O,取定从点 O 出发的一条射线 Ox,再规定长度单位及角的正方向,就 建立了一个极坐标系,其点 O 称为极点,射线 Ox 称为极轴. ρ2=x2+y2 ? ? ?x=ρcosθ (2)极坐标与直角坐标相互转化的两组公式:? ,? . y tanθ=x ?y=ρsinθ ? ? (3)与极轴垂直且经过点(a,0)(其中 a>0)的直线:ρ cosθ =a; 与极轴平行且在极轴上方,与极轴距离为 a 的直线:ρ sinθ =a; 与极点距离为 p,且与过极点与极轴成α 角的直线 OH 垂直的直线:ρ cos(θ -α ) =p. (4)圆心在极轴上且过极点,半径为 r 的圆:ρ=2rcosθ; π 圆心在过极点与极轴成2的射线上,且过极点,半径为 r 的圆:ρ=2rsinθ; 圆心在(ρ0,θ0),经过极点的圆:ρ=2ρ0cos(θ-θ0). 2.参数方程 (1)参数方程的定义:如果曲线上任意一点的坐标 x,y 都是某一个变数 t 的函数 ?x=f?t? ? ,并且对于 t 的每一个允许值,由方程组所确定的点 M 都在曲线上,那么 ?y=g?t? 这个方程组就叫做曲线的参数方程.t 称为参数,参数可以有几何意义,物理意义

中,也可以没有明显的意义. (2)参数方程和普通方程是曲线方程的两种不同的形式,但它们都是表示曲线上任 意一点的坐标 x,y 之间关系的,这两种形式的方程可以相互转化,从而实现它们之 间的转化,有利于发挥它们各自的长处. (3)常见的曲线的参数方程 ?x=x0+tcosα 过点 P0(x0,y0),倾斜角为 α 的直线的参数方程是? (t 是参数),参 ?y=y0+tsinα 数 t 的几何意义是 P0 到直线上任意一点 P(x,y)的有向线段 P0P 的数量 ?x=a+rcosα 圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的参数方程为? (α 为参数),参数 α ?y=b+rsinα 的几何意义是以圆心 A 为顶点且与 x 轴正方向同向的射线按逆时针方向旋转到圆上 一点 P 所在半径与原射线所成的角. ?x=acosθ x2 y2 椭圆a2+b2=1(a>b>0)的参数方程:? ,其中参数 θ 通常称为离心角. ?y=bsinθ
2 ?x=2pt x 抛物线 y =2px 的参数方程表示为? (t 为参数), t=y表示抛物线上的点与 ?y=2pt 2

抛物线顶点连线的斜率的倒数. 考向聚焦 考点 1 参数方程与普通方程 的互化 ?x=1+tcosα, [例 1] 已知直线 C1:? (t 为参数), ?y=tsinα, ?x=cosθ, 圆 C2:? (θ 为参数). ?y=sinθ, π (1)当 α=3时,求 C1 与 C2 的交点坐标; (2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 的中点.当 α 变化时,求 P 点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线. [分析] 参数方程化为普通方程,再研究关系 π [解析] (1)当 α=3时,C1 的普通方程为 y= 3(x-1),C2 的普通方程为 x2+y2

=1.

?y= 3?x-1?, 1 3 联立方程组? 2 2 解得 C1 与 C2 的交点坐标为(1,0),(2,- 2 ). ?x +y =1, (2)C1 的普通方程为 xsinα-ycosα-sinα=0. A 点坐标为(sin2α,-cosαsinα), 故当 α 变化时,P 点轨迹的参数方程为 1 2 x = ? ? 2sin α, ? 1 ? ?y=-2sinαcosα,

(α 为参数),

1 1 P 点轨迹的普通方程为(x-4)2+y2=16. 1 1 故 P 点轨迹是圆心为(4,0),半径为4的圆. [评析] 在将参数方程化为普通方程时,为消去参数,常用的方法是加、减消元、 代入消元、平方相加等,要注意观察参数方程特点,选择恰当的消元法. 变式探究 1 ?x=5cosφ (2011· 江苏,21)在平面直角坐标系 xOy 中,求过椭圆? (φ 为参数)的 ?y=3sinφ ?x=4-2t, 右焦点,且与直线? ?y=3-t (t 为参数)平行的直线的普通方程. [解析] 由题设知,椭圆的长半轴长 a=5,短半轴长 b=3,从而 c= a2-b2=

4,所以右焦点为(4,0),将已知直线的参数方程化为普通方程:x-2y+2=0. 1 1 故所求直线的斜率为 ,因此其方程为 y= (x-4),即 x-2y-4=0. 2 2 考点 2 极坐标方程与普通方程互化 [例 2] (2011· 江西理,15)若曲线的极坐标方程为ρ =2sinθ +4cosθ ,以极点为原 点,极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为________. [答案] x2+y2-4x-2y=0 [解析] 因为ρ =2sinθ +4cosθ , 所以ρ 2=2ρ sinθ +4ρ cosθ , 即 x2+y2=2y+4x,即 x2+y2-4x-2y=0.

变式探究 2 圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为ρ =4cosθ ,ρ =-4sinθ . (1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过圆 O1,圆 O2 交点的直线的直角坐标方程. [解析] (1)x=ρ cosθ ,y=ρ sinθ ,由ρ =4cosθ 得 ρ 2=4ρ cosθ ,所以 x2+y2=4x. 即 x2+y2-4x=0 为圆 O1 的直角坐标方程. 同理 x2+y2+4y=0 为圆 O2 的直角坐标方程. 2 2 ?x +y -4x=0, (2)由? 2 2 ?x +y +4y=0, ?x1=0, ?x2=2, 解得? 或? ?y1=0, ?y2=-2. 即圆 O1,圆 O2 交于点(0,0)和(2,-2).过交点的直线的直角坐标方程为 y=- x. 考点 3 极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化与应用 [例 3] (2011· 辽宁理,23)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?x=cosφ, ?x=acosφ, ? (φ 为参数), 曲线 C2 的参数方程为? (a>b>0,φ 为参数).在 ?y=sinφ, ?y=bsinφ, 以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 l:θ=α 与 C1,C2 各有一个 π 交点.当 α=0 时,这两个交点间的距离为 2,当 α=2时,这两个交点重合. (1)分别说明 C1,C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值. π π (2)设当 α=4时,l 与 C1,C2 的交点分别为 A1,B1,当 α=-4时,l 与 C1,C2 的交点分别为 A2,B2,求四边形 A1A2B2B1 的面积. [解析] (1)C1 是圆,C2 是椭圆.

当 α=0 时,射线 l 与 C1,C2 交点的直角坐标分别为(1,0),(a,0),因为这两点 间的距离为 2,所以 a=3. π 当 α=2时,射线 l 与 C1,C2 交点的直线坐标分别为(0,1),(0,b),因为这两点 重合,所以 b=1. x2 (2)C1,C2 的普通方程分别为 x2+y2=1 和 9 +y2=1.

π 2 当 α=4时, 射线 l 与 C1 交点 A1 的横坐标为 x= 2 , 与 C2 交点 B1 的横坐标为 x′ 3 10 = 10 . π 当 α=-4时,射线 l 与 C1,C2 的两个交点 A2,B2 分别与 A1,B1 关于 x 轴对称, 因此四边形 A1A2B2B1 为梯形. ?2x′+2x??x′-x? 2 故四边形 A1A2B2B1 的面积为 =5. 2 变式探究 3 ?x=cosα, (2011· 湖南理,9)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为? (α ?y=1+sinα 为参数),在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴)中, 曲线 C2 的方程为 ρ(cosθ-sinθ)+1=0,则 C1 与 C2 的交点 个数为________. [答案] 2 [解析] C1 化为普通方程为圆 x2+(y-1)2=1.C2 化为直角坐标方程为直线 x-y+1 =0,圆心为(0,1),在直线上,∴直线与圆相交. 课后强化作业
1.[2014· 广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线 C1 与 C2 的方程分别为 2 2ρcos θ =sin θ 与 ρcos θ =1.以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为 x 轴的正半轴, 建立平 面直角坐标系,则曲线 C1 与 C2 交点的直角坐标为________. 2 x=2+ t, 2 2.[2014· 湖南卷] 在平面直角坐标系中,曲线 C: (t 为参数)的普通方程为 2 y=1+ t 2 ________. 3. [2014· 陕西卷] π? π C.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点?2, ?到直线 ρ sin? ?θ -6?=1 的距离是 6? ? ________.

? ? ?

4[2014· 江苏卷] [选修 44:坐标系与参数方程]

?x=1- 22t, 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为? (t 为参数),直线 l 与抛 2 ?y=2+ 2 t

物线 y2=4x 相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长. 5.[2014· 辽宁卷] 选修 44:坐标系与参数方程 将圆 x2+y2=1 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C. (1)写出 C 的参数方程; (2)设直线 l:2x+y-2=0 与 C 的交点为 P1,P2,以 坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直 线的极坐标方程. 6.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 选修 44:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极 π 坐标方程为ρ =2cos θ ,θ∈?0, ?. 2? ? (1)求 C 的参数方程; (2)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y= 3x+2 垂直,根据(1)中你得到的参数方 程,确定 D 的坐标. 7.[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 选修 4-4:坐标系与参数方程 ? ?x=2+t, x2 y2 已知曲线 C: + =1,直线 l:? (t 为参数). 4 9 ?y=2-2t ? (1)写出曲线 C 的参数方程、直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线, 交 l 于点 A, 求|PA|的最大值与最小值.


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