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江苏省南通市2010-2011学年高一上学期期中联考数学试题

时间:2010-12-18


2010~2011 学年度第一学期期中测试高一数学试题 ~ 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填空在答题卡相应位 ...... 置上,在本试卷上作答一律无效. .. 1 . 已 知 集 合 M = {1, 2,3, 4,5,6} , N = {x | ?2 < x < 5, x ∈ Z} , 则 集 合 M ∩ N = ▲ .

▲ .

2.已知 f(x)=x2+ax+b,满足 f(1)=0,f(2) =0,则 f(-1)=

?log 2 x, x > 0, 1 则 f [ f ( )] =____▲ _____. 3.已知函数 f ( x) = ? x 4 x ≤ 0, ?3 ,
4.下列各组函数中,f(x)与 g(x)是同一函数的是 ①f(x) = x-1, g(x)= ▲ (填序号) .

3 x2 -1; ②f(x) = x 2 , g(x) = ( x )4 ; ③f(x) = x ,g(x) = x3 . x

5.若 10α = 2 , β = lg 3 ,则 100

α? β

1 2

=



. ▲ .

6.若函数 f ( x) = x 2 + 2(a ? 1) x + 2 在 [4, +∞) 上是增函数,则实数 a 的取值范围是 7.若函数 f ( x ) =

8.设 a = log 4 3, b = log 0.3 4 , c = 0.3?2 , 则 a,b,c 的大小关系是
2

1 + a 是奇函数,则实数 a = 2 ?1
x



. ▲ (按从小到大的顺序).

9.若不等式 a ≤ x ? 4 x 对任意 x ∈ (0,1] 恒成立,则 a 的取值范围是 10.函数 y = x ? 1 ? x 的值域为 11.若函数 f ( x) = ▲ . ▲



.[来源

x +1 的定义域为 R,则实数 a 的取值范围是 x + 5ax + 4
2



12.已知定义域为 ( ?∞,0 ) ∪ ( 0, +∞ ) 的偶函数 f ( x) 在 (0, ∞) 上为增函数,且 f (1) = 0 ,则不 + 等式 x ? f ( x) > 0 的解集为 ▲ . ▲ .

13.已知 f ( x) = ax5 + bx 3 + cx + 5(a, b, c是常数) ,且 f (5) = 9 ,则 f (?5) 的值为 14.已知函数 f ( x ) = x ,

g ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x<0 时, g ( x ) = x( x + 1), 则
▲ 个实根.

方程 f ( x ) + g ( x ) = 1 有

二、解答题:本大题 6 小题,共 90 分. 请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、 ....... 证明过程或演算步骤. 15.(本题满分 14 分) 设集合 A={x| 0 < x ? m < 3 },B={x| x ≤ 0 或 x ≥ 3 }.分别求满足下列

条件的实数 m 的取值范围: (1) A ∩ B = ? ; (2) A ∪ B = B . 16. (本题满分 14 分)计算: ⑴ (2 ) 2 ? ( ?9.6) ? (3 )
0

1 4

1

3 8

?

2 3

+ (1.5) ?2 ;

(2) lg 2 5 + lg 2 lg 50 + 2

1+

1 log 2 5 2



(2)判断并证明函数 f ( x ) 的单调性;

17、 (本题满分 14 分)某省两相近重要城市之间人员交流频繁,为了缓解交通压力,特修一 条专用铁路,用一列火车作为交通车,已知该车每次拖 4 节车厢,一日能来回 16 次,如果每 次拖 7 节车厢, 则每日能来回 10 次. 若每日来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数, 每节车厢能载乘客 110 人.问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多?并求出每天最多 运营人数. [来源:学科网 ZXXK] 2x ? 1 18.(本题满分 16 分)函数 f ( x) = x ( x∈R ) . 2 +1 (1)求函数 f ( x ) 的值域; (3)判断并证明函数 f ( x ) 的奇偶性; (4)解不等式 f (1 ? m ) + f 1 ? m 2 < 0 .

(

)

19.(本题满分 16 分)已知函数 f ( x) = lg (1)判断并证明 f ( x ) 的奇偶性;

1+ x . 1? x

a+b (2)求证: f (a) + f (b) = f ( ); 1 + ab a+b a ?b ) = 1, f ( ) = 2 ,求 f (a) , f (b) 的值. (3)已知 a,b∈(-1,1 ),且 f ( 1 + ab 1 ? ab
20. (本题满分 16 分)设函数 f ( x ) = ax 2 + bx + 1 实根为 x1 、 x2 .[来源:Z。xx。k.Com] (1)求 x1 ? x2 的值; (2)若关于 x 的 不等式 f ( x ) < 0 解集 为 A ,函数 f ( x ) + 2 x 在 A 上不存在最小值,求 a 的取 值范围; (3)若 ?2 < x1 < 0 ,求 b 的取值范围。

a > 0, b ∈ R 的最小值为-a, f ( x ) = 0 两个

[来源:学科网 ZXXK]

高一期中考试数学试卷答案 期中考试数学试卷 高一期中考试数学试卷答案 小题, 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分, 填空题: 1、 5、 9、 13、

{1, 2,3, 4}
4 3
a ≤ ?3
1 。14、 6、 10、 2

2、 a≥ ? 3

6

3、 7、 11、

1 9
1 2
12、

4、 8、

③ b<a<c

( ?∞,1 ]


? 4 4? ?? , ? ? 5 5?

( ?1, 0 ) ∪ (1, +∞ )

15.解:因为 A={x| 0 < x ? m < 3 },所以 A = {x | m < x < m + 3} ,…………3 分 (1)当 A ∩ B = ? 时; ?

?m ≥ 0 ………6 分 ?m + 3 ≤ 3,

∴m=0 ………8 分 (2)当 A ∪ B = B 时,则 A ? B ,……10 分 ∴ m ≥ 3 或 m + 3 ≤ 0 ,……12 分 得 m ≥ 3 或 m ≤ ?3 ………………14 分

9 27 ? 3 ?2 3 3 ?2 3 ?2 16.⑴解:原式= ( ) 2 ? 1 ? ( ) 3 + ( ) = ? 1 ? ( ) + ( ) [来源:Z#xx#k.Com] 4 8 2 2 2 2 1 = 7′ 2
(2)原式 = lg 2 5 + 2 lg 2 lg 5 + lg 2 2 + 2 1 ? 2 2
1 log 2 5

1

2

=1+ 2 5 .

14′

17、解:设 每日来回 y 次,每次挂 x 节车厢,由题意 y = kx + b 当 x=4 时 y=16 当 x=7 时 y=10 得下列方程组: 16=4k+b 10=7k+b 解得:k= ? 2 b=24 ∴ y = ?2 x + 24 [来源:Zxxk.Com] 由题意知,每日挂车厢最多时,营运人数最多,设每日营运 S 节车厢 则 S = xy = x( ?2 x + 24) = ?2 x 2 + 24 x = ?2( x ? 6) 2 + 72 所以当 x = 6 时, S max = 72 此时 y=12,则每日最多运营人数为 110×72=7920(人)

6′

12′

答:这列 火车每天来回 12 次,才能使运营人数最多。每天最多运营人数为 7920. 14′ 1+ y 18. (1)∵ 2 x = , 又 2 x > 0 ,∴?1 < y < 1 .∴函数 f ( x ) 的值域为 ( ?1,1) .……5 分 1? y (2)函数 f ( x ) 在 R 上为单调增函数. 证明: f ( x) =

2x ? 1 2 =1 ? x 2x + 1 2 +1

在定义 域中任取两个实数 x1 , x2 ,且 x1 < x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) =

∵ x1 < x2 , ∴ 0 < 2 x1 < 2 x2 ,从而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) < 0 .∴函数 f ( x ) 在 R 上为单调增函数.……
10 分

(2

2 ( 2 x1 ? 2 x2 )
x1

+ 1)( 2 x2 + 1)



(3)∵ f (? x) =

2? x ? 1 1 ? 2 x = = ? f ( x) , ∴函数 f ( x ) 为奇函数.……13 分 2? x + 1 1 + 2 x ∴ f (1 ? m ) + f (1 ? m 2 ) < 0 即 f (1 ? m ) < ? f (1 ? m 2 ) , ∴ f (1 ? m ) < f ( m 2 ? 1) , 1 ? m < m 2 ? 1, m 2 + m ? 2 > 0, m < ?2或m > 1 .

∴原不等式的解集为 ( ?∞, ?2 ) ∪ (1, +∞ ) .……16 分 19.

2分

5分 (2)

a+b a+b 1 + a + b + ab a+b f( ) = lg 1 + ab = lg ,∴ f ( a ) + f (b) = f ( ) a+b 1 + ab 1 ? a ? b + ab 1 + ab 10 分 1? 1 + ab a+b a ?b (3) ∵ f ( a ) + f (b) = f ( ) ∴ f(a)+f(b)=1 f (a ) + f (?b) = f ( ) , ∴ 1 + ab 1 ? ab f ( a ) + f ( ?b ) = 2 3 1 ∵ f ( ?b) = ? f (b) ,∴ f ( a ) ? f (b) = 2 ,解得: f ( a ) = , f (b) = ? . 16 分 2 2 2 2 x + x2 ? ? ?x ?x ? 20.解: (1)∵ f ( x ) = a ( x ? x1 )( x ? x2 ) = a ? x ? 1 ? a? 1 2 ? ? 2 ? ? ? 2 ? 1+
? x1 ? x2 ? (4 分) ? = ? a ∴ x1 ? x2 = ±2 . ? 2 ? 2 (2) 不妨设 x1 < x2 ; f ( x ) + 2 x = ax ? ( a ( x1 + x2 ) ? 2 ) x + ax1 x2 , ( x1 , x2 ) 不存在最小值, 在
2

∴ ?a ?

a ( x1 + x2 ) ? 2 a ( x1 + x2 ) ? 2 ≥ x2 或 ≤ x1 (8 分) 2a 2a 又 x2 ? x1 = 2 , a > 0 ∴ 0 < a ≤ 1 (10 分) b 1 x + x2 (3)∵ x1 + x2 = ? , x1 x2 = > 0 ∴ b = ? 1 (12 分) a a x1 x2 1 1 ? 在 x1 ∈ ( ?2, 0 ) 上为增函数. 又 ?2 < x1 < 0 ∴ x2 = x1 ? 2 ∴ b = ? x1 ? 2 x1 3 ∴b > (16 分) 4



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