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完美版圆锥曲线知识点总结

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圆锥曲线的方程与性质 1.椭圆 (1)椭圆概念 平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的和等于常数 2 a (大于 | F1F2 | )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆 的焦点,两焦点的距离 2c 叫椭圆的焦距。若 M 为椭圆上任意一点,则有 | MF 。 1 | ? | MF2 |? 2a 椭圆的标准方程为: 上) 。 注:①以上方程中 a , b 的大小 a ? b ? 0 ,其中 b ? a ? c ; 2 2 2 x2 y 2 y2 x2 a ? b ? 0 ? ? 1 ? ? 1( a ? b ? 0 ) ( ) (焦点在 x 轴上)或 (焦点在 y 轴 a 2 b2 a2 b2 x2 y 2 y 2 x2 2 2 ②在 2 ? 2 ? 1 和 2 ? 2 ? 1 两个方程中都有 a ? b ? 0 的条件,要分清焦点的位置,只要看 x 和 y 的分 a b a b 母的大小。例如椭圆 x2 y 2 ? ? 1 ( m ? 0 , n ? 0 , m ? n )当 m ? n 时表示焦点在 x 轴上的椭圆;当 m ? n 时 m n 表示焦点在 y 轴上的椭圆。 (2)椭圆的性质 x2 y 2 ①范围:由标准方程 2 ? 2 ? 1 知 | x |? a ,| y |? b ,说明椭圆位于直线 x ? ? a , y ? ?b 所围成的矩形里; a b ②对称性:在曲线方程里,若以 ? y 代替 y 方程不变,所以若点 ( x, y ) 在曲线上时,点 ( x, ? y ) 也在曲线上, 所以曲线关于 x 轴对称,同理,以 ?x 代替 x 方程不变,则曲线关于 y 轴对称。若同时以 ?x 代替 x , ? y 代替 y 方程也不变,则曲线关于原点对称。 所以,椭圆关于 x 轴、 y 轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心,椭圆的对称中心 叫椭圆的中心; ③顶点:确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与 x 轴、 y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中,令 x ? 0 ,得 y ? ?b ,则 B1 (0, ?b) , B2 (0, b) 是椭圆与 y 轴的两个交点。同理令 y ? 0 得 x ? ? a ,即 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) 是椭圆与 x 轴的两个交点。 所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时,线段 A1 A2 、 B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为 2 a 和 2b , a 和 b 分别叫做椭圆的长 半轴长和短半轴长。 由椭圆的对称性知: 椭圆的短轴端点到焦点的距离为 a ; 在 Rt ?OB2 F2 中, | OB2 |? b , | OF2 |? c , | B2 F2 |? a , 且 | OF2 |2 ?| B2 F2 |2 ? | OB2 |2 ,即 c ? a ? b ; 2 2 2 ④离心率:椭圆的焦距与长轴的比 e ? c 叫椭圆的离心率。∵ a ? c ? 0 ,∴ 0 ? e ? 1 ,且 e 越接近 1 , c 就 a 越接近 a ,从而 b 就越小,对应的椭圆越扁;反之, e 越接近于 0 , c 就越接近于 0 ,从而 b 越接近于 a ,这时 椭圆越接近于圆。当且仅当 a ? b 时, c ? 0 ,两焦点重合,图形变为圆,方程为 x2 ? y 2 ? a 2 。 2.双曲线 (1)双曲线的概念 平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线( || PF1 | ? | PF

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