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2018届高三数学(理)一轮复习夯基提能作业本:第九章 平面解析几何 第八节 曲线与方程 Word版含解析

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第八节

曲线与方程

A 组 基础题组
1.方程 x= C.圆的一部分 所表示的曲线是( B.椭圆的一部分 D.直线的一部分 ) ) A.双曲线的一部分

2.已知点 P 是直线 2x-y+3=0 上的一个动点,定点 M(-1,2),Q 是线段 PM 延长线上的一点,且 |PM|=|MQ|,则 Q 点的轨迹方

程是( A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0 C.2x-y-1=0 D.2x-y+5=0 3.已知椭圆 + =1(a>b>0),M 为椭圆上一动点,F1 为椭圆的左焦点,则线段 MF1 的中点 P 的轨迹是 ( A.圆 ) B.椭圆 C.双曲线 ) D.抛物线 )
2 2 2 2

D.抛物线 =λ · ,当 λ <0 时,

4.已知 A(-1,0),B(1,0)两点,过动点 M 作 x 轴的垂线,垂足为 N,若 动点 M 的轨迹为( A.圆
2 2

B.椭圆 C.双曲线
2 2

5.已知点 O(0,0),A(1,-2),动点 P 满足|PA|=3|PO|,则 P 点的轨迹方程是( A.8x +8y +2x-4y-5=0 B.8x +8y -2x-4y-5=0 C.8x +8y +2x+4y-5=0 D.8x +8y -2x+4y-5=0 6.已知定点 A(4,0)和圆 x +y =4 上的动点 B,动点 P(x,y)满足 为 为 . ,C . =0 相切. =m +(1-m) .
2 2

+

=2

,则点 P 的轨迹方程

7.已知动圆 Q 过定点 A(2,0)且与 y 轴截得的弦 MN 的长为 4,则动圆圆心 Q 的轨迹 C 的方程 8.在△ ABC 中,A 为动点,B,C 为定点,B 点 A 的轨迹方程是 (1)求圆的标准方程; (2)设点 A 为圆上一动点,AN⊥x 轴于点 N,若动点 Q 满足 试求动点 Q 的轨迹方程. (其中 m 为非零常数), (a>0),且满足条件 sinC-sinB= sinA,则动

9.已知圆 C1 的圆心在坐标原点 O,且恰好与直线 l1:x-y-2

10.已知长为 1+

的线段 AB 的两个端点 A、 B 分别在 x 轴、 y 轴上滑动,P 是 AB 上一点,且

=

.

求点 P 的轨迹方程.

B 组 提升题组
11.设圆(x+1) +y =25 的圆心为 C,A(1,0)是圆内一定点,Q 为圆周上任一点,AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线的交点为 M,则 M 点的轨迹方程是( A. C. + + =1 B. =1 D. =0,| + + |=| =1 =1 A(2,0),B(-2,0),G,M |, ∥ 为 平 面 上 的 两 点 且 满 足 ) |=| ,则顶点 C 的轨迹为( )
2 2

12. 在 △ ABC

中 , 已 知

A.焦点在 x 轴上的椭圆(长轴端点除外) B.焦点在 y 轴上的椭圆(短轴端点除外) C.焦点在 x 轴上的双曲线(实轴端点除外) D.焦点在 x 轴上的抛物线(顶点除外) 13.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A(1,0),B(2,2),若点 C 满足 t∈R,则点 C 的轨迹方程是 . = +t( ),其中

14.△ ABC 的顶点 A(-5,0),B(5,0),△ ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上,求顶点 C 的轨迹方程.

15.已知定点 F(0,1)和直线 l1:y=-1,过定点 F 与直线 l1 相切的动圆的圆心为点 C. (1)求动点 C 的轨迹方程; (2)过点 F 的直线 l2 交动点 C 的轨迹于两点 P,Q,交直线 l1 于点 R,求 · 的最小值.

答案全解全析 A 组 基础题组
1.B x= 3.B 4.C
2

两边平方,可变为 x +4y =1(x≥0),表示的曲线为椭圆的一部分.

2

2

2.D 设 Q(x,y),易得 P(-2-x,4-y),代入 2x-y+3=0,得 2x-y+5=0. 设 椭 圆 的 右 焦 点 是 F2, 由 椭 圆 的 定 义 可 得 |MF1|+|MF2|=2a>2c, 所 以 设 M(x,y), 则 N(x,0), 所 以
2 2 2

|PF1|+|PO|= (|MF1|+|MF2|)=a>c,所以点 P 的轨迹是以 F1 和 O 为焦点的椭圆. =y ,λ
2 2

· =3

=λ (x+1,0)· (1-x,0)=λ (1-x ), 所 以 ,整理得 8x +8y +2x-4y-5=0.
2 2

2

y =λ (1-x ),即 λ x +y =λ ,当 λ <0 时,变形为 x + =1,所以当 λ <0 时,动点 M 的轨迹为双曲线. 5.A 设点 P 的坐标为(x,y),则 6.答案 (x-2) +y =1
2 2

解析 设 B(x0,y0),由 即(x-2) +y =1. 7.答案 y =4x
2 2 2

+

=2

,得



代入圆的方程得(2x-4) +4y =4,

2

2

解析

设 Q(x,y). 因 为 动 圆 Q 过 定 点 A(2,0) 且 与 y 轴 截 得 的 弦 MN 的 长 为 4, 所 以 +|x| =|AQ| ,所以|x| +2 =(x-2) +y ,整理得 y =4x.所以动圆圆心 Q 的轨迹 C 的方程是
2 2 2 2 2 2 2

y =4x. 8.答案 =1(x>0 且 y≠0) = × ,即|AB|-|AC|= |BC|,故动点 A 的轨迹是以 B,C 为焦点, 为

2

解析 由正弦定理得

实轴长的双曲线右支(除去顶点). 即动点 A 的轨迹方程为 =1(x>0 且 y≠0). =2.

9.解析 (1)设圆的半径为 r,圆心到直线 l1 的距离为 d,则 d= 因为 r=d=2,圆心为坐标原点 O,所以圆 C1 的方程为 x +y =4. (2)设动点 Q(x,y),A(x0,y0), ∵AN⊥x 轴于点 N, ∴N(x0,0), 由题意知,(x,y)=m(x0,y0)+(1-m)· (x0,0), 解得 将点 A 即 代入圆 C1 的方程 x +y =4,得动点 Q 的轨迹方程为 +
2 2 2 2

=1.

10.解析 设 A(x0,0),B(0,y0),P(x,y), 则 又 =(x-x0,y), = , =(-x,y0-y),

所以 x-x0=- x,y= (y0-y),

得 x0= 因为|AB|=1+ 所以 =(1+ ),
2 2

x,y0=(1+ ,即 + +(1+

)y. =(1+ )y]
2

),

2

化简得 +y =1. 所以点 P 的轨迹方程为 +y =1.
2

B 组 提升题组
11.D 因为|MQ|=|MA|,所以|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,因此 M 点的轨迹是以 C(-1,0),A(1,0) 为焦点的椭圆,其中 a= ,c=1,∴b = ,∴M 点的轨迹方程是 12.B 设 C(x,y)(y≠0),则由 因为| 所以 x +
2 2

+

=1.故选 D. . ∥ ,则有 M .

+

+

=0,知 G 为△ ABC 的重心,得 G

|=|

|=| =4+ ,

|,所以 M 为△ ABC 的外心,所以点 M 在 y 轴上,又

化简得 + =1, 又 A(2,0),B(-2,0),C 为△ ABC 的三个顶点,所以 y≠0. 所以顶点 C 的轨迹为焦点在 y 轴上的椭圆(除去短轴端点). 13.答案 y=2x-2 解析 设 C(x,y),则 轨迹方程为 y=2x-2. 14.解析 如图,|AD|=|AE|=8, =(x,y), +t( )=(1+t,2t),所以 消去参数 t 得点 C 的

|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|, 所以|CA|-|CB|=8-2=6. 根据双曲线的定义,所求轨迹是以 A,B 为焦点,实轴长为 6 的双曲线的右支(除去与 x 轴的交点), 方程为 - =1(x>3). 15.解析 (1)由题设知点 C 到点 F 的距离等于它到 l1 的距离, ∴点 C 的轨迹是以 F 为焦点,l1 为准线的抛物线, ∴动点 C 的轨迹方程为 x =4y. (2)由题意知,直线 l2 的斜率存在,方程可设为 y=kx+1(k≠0),与动点 C 的轨迹方程 x =4y 联立,消 去 y,得 x -4kx-4=0. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 则 x1+x2=4k,x1x2=-4. 又R ∴ = · = · , · +(kx1+2)· (kx2+2)
2 2 2

=(1+k )x1x2+ =-4(1+k )+4k =4
2 2

2

(x1+x2)+ +4 + +4
2

+8. ≥4×2+8=16, 的最小值为 16.

∵k + ≥2(当且仅当 k =1 时取等号), ∴ 即 · ·


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