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广东高考数学选择题的压轴题


高考数学压轴选择题
一、2007 年以来广东高考数学压轴选择题的基本情况 年份 科类 题号 知识 思想 方法 2007 理科 8 新运算 转 化 与 化 归 定义法、 思想 分析与综 合法 2008 理科 8 平 面 向 量 的 数 形 结 合 思 参数法、 线性运算、基 想、转化与化 消去法 底向量、相似 归思想 三角形的性 质 2009 理科 8 定 积 分 的 物

函 数 与 方 程 定义法 理意义 思想、数形结 合思想、有限 与无限思想 2010 理科 8 计 数 原 理 与 必 然 与 或 然 直接法 排列组合 思想 2011 理科 8 数集上的运 定义法、 算的新定义 类比与归 (封闭) 纳法 2012 理科 8 新定义运算、 数 形 结 合 思 定 义 法 、 平面向量的 想 比较法、 数量积 分析与综 合法 2013 理科 8 判 断 描 述 法 分类讨论 分析与综 表示的集合 合法 中的元素 能力 推理论证 力、创新意 识 计算求解力

计算求解力

计算求解力 推理论证 力、创新意 识 推理论证 力、创新意 识 推理论证力

二、2007 年以来广东高考数学压轴选择题的真题 1、 (2007 广东 8)设 S 是至少含有两个元素的集合,在 S 上定义了一个二元运算 “*” (即对任意的 a,b ? S ,对于有序元素对( a, b ) ,在 S 中有唯一确定的元 素 a * b 与之对应) .若对任意的 a,b ? S ,有 a * (b * a) ? b ,则对任意的 a,b ? S , 下列等式中不恒成立的是( A. (a * b) * a ? a C. b * (b * b) ? b 答案:A 2、 (2008 广东 8)在平行四边形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的 )

B. [a * (b * a)] * (a * b) ? a D. (a *b) *[b * (a * b)] ? b

1

中点, AE 的延长线与 CD 交于点 F .若 AC ? a , BD ? b ,则 AF ? (
1 1 A. a ? b 4 2 答案:B 2 1 B. a ? b 3 3 1 1 C. a ? b 2 4 1 2 D. a ? b 3 3



3、 (2009 广东 8)已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为 直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为 v甲和v乙 (如图 2 所示) .那么对于图 中给定的 t0和t1 ,下列判断中一定正确的是 A.在 t1 时刻,甲车在乙车前面 B. t1 时刻后,甲车在乙车后面 C.在 t 0 时刻,两车的位置相同 D. t 0 时刻后,乙车在甲车前面 答案:A 4、 (2010 广东 8)为了迎接 2010 年广州亚运会,某大楼安装 5 个彩灯,它们闪 亮的顺序不固定。每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这 5 个彩灯闪亮的颜色各不相同,记这 5 个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁。在每 个闪烁中,每秒钟有且只有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为 5 秒。如果要实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是 A.1205 秒 B.1200 秒 C.1195 秒 D.1190 秒 答案:C. 【解析】共有 5!=120 个不同的闪烁,每个闪烁时间为 5 秒,共 5× 120=600 秒; 每两个闪烁之间的间隔为 5 秒,共 5× (120—1)=595 秒。那么需要的时间至少 是 600+595=1195 秒。 5、 (2011 广东)
8.设S是整数集Z的非空子集, 如果?a, b ? S , 有ab ? S , 则称S关于数的乘法是封闭的 . 若T ,V是Z 的两个不相交的非空子 集, T ? V ? Z .且?a, b, c ? T , 有abc? T , ?x, y, z ? V , 有xyz ? V . 则下列结论恒成立的是: A. T ,V中至少有一个关于乘法 是封闭 C. T ,V中有且只有一个关于乘 法是封闭 B.T ,V中至多有一个关于乘法 是封闭 D.T ,V中每一个关于乘法是封 闭

答案:A

2

解析 : 由于T ? V ? Z,故整数1一定在T ,V两个集合中的一个中 , 不妨设1 ? T ,则?a, b ? T , 由于a, b,1 ? T , 则a ? b ? 1 ? T ,即ab ? T , 从而T对乘法封闭 ; 另一方面,当T ? {非负整数}, V ? {负整数}时, T关于乘法封闭 , V关于乘法不封闭 , 故D不对; 当T ? {奇数}, V ? {偶数}时, T ,V显然关于乘法都是封闭 的, 故B, C不对. 从而本题就选A.

6、 (2012 广东 8)对任意两个非零的平面向量 ? 和 ? ,定义 ? ? ?

? ? ;若平 ? ?

? 面 向 量 a, b 满 足 a ? b ? 0 , a 与 b 的 夹 角 ? ? ( 0 , ), 且 a b, b a都 在 集 合 4
?n ? n ? Z } 中,则 a b ? ( ?2
1 2 答案: C 【解析】

)
(B) 1 (C )
? ?

( A)

( D)

? ?

a b?

a b

cos ? ? 0, b a ?

b

1 cos ? ? 0 ? (a b) ? (b a) ? cos 2 ? ? ( ,1) 2 a

nn 3 ?n a b, b a 都在集合 ? n ? Z } 中得: (a b) ? (b a) ? 1 2 (n1 , n2 ? N * ) ? a b ? 4 2 ?2

7、 (2013 广东 8)设整数 n ? 4 ,集合 X ? ?1, 2,3,

, n? .

令集合

S ? ?? x, y, z ? | x, y, z ? X , 且三条件x ? y ? z, y ? z ? x, z ? x ? y恰有一个成立? ,若

? x, y, z ? 和 ? z, w, x ? 都在 S 中,则下列选项正确的是( ) A . ? y, z, w? ? S , ? x, y, w? ? S B. ? y, z, w? ? S
C. ? 答案:B

, ? x, y, w? ? S

y, z, w? ? S

,?

x, y, w? ? S

D. ?

y, z, w? ? S

,?

x, y, w? ? S

3

三、高考数学压轴选择题的基本类型及策略 1、即时定义的新概念题 策略:紧跟定义,恰当方法,合情推理,得出结论. 例 1(2013 年福建理 10)设 S,T,是 R 的两个非空子集,如果存在一个从 S 到 T 的函数 y ? f ( x) 满足: (i )T ? { f ( x) | x ? S};(ii ) 对任意 x1 , x2 ? S , 当 x1 ? x2 时, 恒有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同 构”的是( )

A. A ? N * , B ? N B. A ? {x | ?1 ? x ? 3}, B ? {x | x ? ?8或0 ? x ? 10} C. A ? {x | 0 ? x ? 1}, B ? R D. A ? Z , B ? Q

答案:D 例 2(2013 年浙江理 10)在空间中,过点 A 作平面 ? 的垂线,垂足为 B ,记

B ? f? ( A) 。 设 ? , ? 是 两 个 不 同 的 平 面 , 对 空 间 任 意 一 点 P ,
Q1 ? f ? [ f? ( P)],Q2 ? f? [ f ? ( P)] ,恒有 PQ1 ? PQ2 ,则

A. 平面 ? 与平面 ? 垂直 C. 平面 ? 与平面 ? 平行

B. 平面 ? 与平面 ? 所成的 (锐) 二面角为 450 D.平面 ? 与平面 ? 所成 的(锐)二面角为 600

答案:A 例 3(2013 陕西理 10.)设[x]表示不大于 x 的最大整数, 则对任意实数 x, y, 有 (A) [-x] = -[x] (B) [2x] = 2[x] (C) [x+y]≤[x]+[y] (D) [x-y]≤[x]-[y] 答案:D 2、创新性题 策略:利用转化与划归思想. 例 4(2013 上海理 18)在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中,记以 A 为起点,其 余顶点为终点的向量分别为 a1, a2 , a3 , a4 , a5 ;以 D 为起点,其余顶点为终点 的向量分别为 d1, d2 , d3 , d4 , d5 . 若 m, M 分别为 (ai ? a j ? ak ) ? ( dr ? ds ? dt ) 的最 小值、最大值,其中
{i, j, k} ? {1, 2,3, 4,5} , {r, s, t} ? {1, 2,3, 4,5} ,则 m, M 满足(

).

(A) m ? 0, M ? 0

(B) m ? 0, M ? 0
4

(C) m ? 0, M ? 0

(D) m ? 0, M ? 0

答案:D 例5 (2013 江西 10) 如图, 半径为 1 的半圆 O 与等边三角形 ABC 夹在两平行线,

l1 , l2 之间 l // l1 , l 与半圆相交于 F,G 两点,与三角形 ABC 两边相交于E,D两点,
设弧 FG 的长为 x(0 ? x ? ? ) , y ? EB ? BC ? CD ,若 l 从 l1 平行移动到 l2 ,则函数
y ? f ( x) 的图像大致是

答案:D 3、知识交汇题 策略:利用“交集”的思想.方法 B 为平面内两定点,过该平面内动点 M 作 例 6(2013 年上海春季理 24)已知 A、 直线 AB 的垂线,垂足为 N .若 MN ? ? AN ? NB ,其中 ? 为常数,则动点 M 的轨迹不可能是( ) (A)圆 (B) 椭圆 答案:C (C) 抛物线 (D)双曲线
2

4、知识综合题 策略:综合利用相关知识,理顺思路,步步为营. 例7 (2013 年天津理 8) 已知函数 f ( x) ? x(1 ? a | x |) . 设关于 x 的不等式 f ( x ? a) ? f ( x)
? 的解集为 A, 若 ? ? ? 2 , 2 ? ? A , 则实数 a 的取值范围是 ? ? 1 1

(A) ? ?

?1? 5 ? ,0 ? ? ? 2 ?

(B) ? ?

?1? 3 ? ,0 ? ? ? 2 ?

5

(C) ? ? 答案:A

?1? 5 ? ? 1? 3 ? ,0 ? ??? ? 0, 2 ? ? ? 2 ? ? ?

(D) ? ? ??,
?

?

1? 5 ? ? 2 ? ?

例 8(2013 年全国 1 理 12.设 ?An BnCn 的三边长分别为 an , bn , cn , ?An BnCn 的面积
n ? 1, 2,3, 为 Sn ,
an ?1 ? an , bn ?1 ? , 若 b1 ? c1 , b1 ? c1 ? 2a1 , cn ? an b ? an , cn ?1 ? n , 2 2

则( ) A.{Sn}为递减数列 B.{Sn}为递增数列 C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列 答案:B 例 9(2013 年湖南理 8)在等腰直角三角形 ABC 中, AB =AC ? 4, 点 P 是边 AB 上 异于 A, B 的一点,光线从点 P 出发,经 BC, CA 发射后又回到原点 P (如图 1 ). 若光线 QR 经过 ?ABC 的重心,则 AP 等

A. 2 答案:D

B. 1

C.

8 3

D.

4 3

6

例 10(2013 年安徽理 10)若函数 f (x)=x3 +ax 2 +bx+c 有极值点 x1 , x2 ,且 f (x1 )=x1 ,
则关于 x 的方程 3(f (x))2 +2af (x)+b=0 的不同实根个数是( (A)3 【答案】 A (B)4 (C) 5 (D)6 )

【解析】解:f′(x)=3x^2+2ax+b,x1,x2 是方程 3x^2+2ax+b=0 的两根,
由 3(f(x))2+2af(x)+b=0,则有两个 f(x)使等式成立, x1=f(x1),假设 x2>x1,x1=f(x1),则 x1 是极大值点 如下示意图象:

此时有三个交点, 反之,若 x2<x1,x1=f(x1)则 x1 是极小值点

故选 A.

7


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