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高考数学静悟材料


08 高考数学静悟材料
第一部分:函数
一、考试内容及要求 1.集合、简易逻辑 (1)集合的含义与表示 ① 了解集合的含义,元素与集合的“属于”关系. ② 能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问 题. (2)集合间的基本关系 ① 理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. ② 在具体情境中,了解全集与空集的含义. (3)集

合的基本运算 ① 理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集. ② 理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. ③ 能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算. (3)命题及其关系 ① 理解命题的概念. ② 了解“若 p ,则 q ”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题,会分析四 种命题的相互关系. ③ 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. (4)简单的逻辑联结词 了解逻辑联结词“或”、 “且” 、 “非”的含义. (5)全称量词与存在量词 ① 理解全称量词与存在量词的意义. ② 能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 2.函数
1

(1)函数 ① 了解构成函数的要素, 会求一些简单函数的定义域和值域; 了解映射的概念. ② 在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解 析法)表示函数. ③ 了解简单的分段函数,并能简单应用. ④ 理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义;结合具体函数,了解函 数奇偶性的含义. ⑤ 会运用函数图象理解和研究函数的性质. (2)指数函数 ① 了解指数函数模型的实际背景. ② 理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. ③ 理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特 殊点. ④ 知道指数函数是一类重要的函数模型. (3)对数函数 ① 理解对数的概念及其运算性质, 知道用换底公式能将一般对数转化成自然对 数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用. ② 理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特 殊点. ③ 知道对数函数是一类重要的函数模型. ④ 了解指数函数

y ? a x 与对数函数 y ? loga x (a ? 0且a ? 1) 互为反函

数. (4)幂函数 ① 了解幂函数的概念. ② 结合函数 变化情况.

1 y ? x, y ? x , y ? x , y ? , y ? x 2 的图象,了解它们的 x
2 3

1

(5)函数与方程 ① 结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程 根的存在性及根的个数.
2

② 根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解. (6)函数模型及其应用 ① 了解指数函数、 对数函数以及幂函数的增长特征; 知道直线上升、 指数增长、 对数增长等不同函数类型增长的含义. ② 了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中 普遍使用的函数模型)的广泛应用. 二、重要知识、技能技巧(省略的部分自己填写) 1.函数是一种特殊的映射: f: A→ B (A 、 B 为非空数集 ), 定义域:

自然定义域: 给解析式, 常涉及分母 , 开方, 指数幂, 对数或三角函数 , 复合函数 ? ? 加条件的制约 ?限定定义域, : 应用条件的限制或有附 解决函数问题必须树立“定义域优先”的观点 . 2.函数值域、最值的常用解法
⑴观察法;⑵配方法;⑶反表示法;如 y=

cx ? d sin 2 x ? 1 或y ? ax ? b 2 ? cos 2 x

⑷△法;适用于经过去分母、平方、换元等变换后得到关于 y 的一元二次方程 的一类函数;⑸基本不等式法;⑹单调函数法;⑺数形结合法;⑻换元法;⑼ 导数法 . 3.关于反函数 ⑴求一个函数 y=f(x)(定义域 A,值域 D)的反函数步骤; (略) ⑵互为反函数的两函数的定义域、值域、图象间关系; ⑶分段函数的反函数分段求解; ⑷有关性质:定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;单调函数必有反函 数,且两函数单调性相同;奇函数的反函数仍为奇函数; - 周期函数不存在反函数; f 1 (a)=b ? f(b)=a. 4.函数奇偶性 ⑴判断

?定义域关于原点对称 ? ? f (? x) ? f ( x) ? 0 ? ? ①解析式 ? ? ? f ( x ) ? f ( ? x ) 或 f ( ? x ) ? ? f ( x ) f ( ? x ) ? ? ? ? f ( x) ? ?1, f ( x) ? 0 ? ? ? ? ?
②图象(关于 y 轴或坐标原点对称) ⑵性质:如果 f(x)是奇函数且在 x=0 有定义,则 f(0)=0;常数函数 f(x)=0 定义 域 (- l, l)既是奇函数也是偶函数;在公共定义域上,两个奇、偶函数的运算性质 . (略)
3

5.函数单调性 ⑴定义的等价形式如:

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) >0 ? (x 1- x2 )[f(x1 )- f(x 2)]>0 x1 ? x 2

⑵判断:①定义法;②导数法;③结论法(慎用) . 奇偶函数在对称区间上的单调性;互为反函数的两函数单调性;复合函数的单 调性(同增异减) ;常见函数的单调性(如 y=x+

a ,a∈ R) . x

6.函数周期性 ⑴f(x)=f(x+a)对定义域中任意 x 总成立,则 T=a.如果一个函数是周期函数,则其周期有无 数个. ⑵ f(x+a)=f(x - a),则 T=2a. ⑶ f(x+a)= -

1 ,则 T=2a. f ( x)

⑷ f(x)图象关于 x=a 及 x=b 对称, a≠ b,则 T=2(b- a). ⑸ f(x)图象关于 x=a 及点 (b,c) (b ≠ a)对称,则 T=4(b- a). 7.函数图象的对称性 ⑴若 f(a+x)=f(a - x)或 [f(x)=f(2a - x)], 则 f(x)图象关于 x=a 对称, 特别地 f(x)=f(- x)则关于 x=0 对称; ⑵若 f(a+x)+f(b - x)=2c,则 f(x)图象关于 ( x)=0,则关于 (0,0)对称; ⑶若 f(a+x)=f(b - x),则 y=f(x)关于 x=

a?b ,c)中心对称,特别地 f(x)+f(- 2

a?b 对称; 2

⑷ y=f(x)与 y=f(2a- x)关于 x=a 对称; y=f(x)与 y=- f(x)+2b 关于 y=b 对称; y=f(x) 与 y=- f(2a- x)+2b,关于 (a,b)对称 . ⑸ y=f(a+x)与 y=f(b- x),关于 x=

b?a 对称 . 2

8. ⑴要熟练掌握和二次函数有关的方程不等式等问题,并能结合二次函数的图 象进行分类讨论;结合图象探索综合题的解题切入点。 ⑵抽象函数未给出函数解析式, 但给出函数的一些性质来探讨它的其他性质, 这样的题目常以具体的函数为背景,处理时要用广义的定义、性质、定理去处 理,不能用具体函数去论证 . 9.指数对数函数 ⑴对数恒等式 a log a x =x (a>0 且 a≠ 1,x>0).

⑵对数运算性质( M>0, N>0, p∈ Q)
4

① loga (MN)=log aM+log aN;② log a M =loga M- log aN;③ logaN p=plogaN.

N

⑶ y=loga x 与 y=log 1 x; y=a x 与 y=(
a

1 x ) ; y=a x 与 y=b x (a>b) a

y=log ax 与 y=log bx 图象间关系: (略 ) 10.逻辑联结词,四种命题 ⑴且、或、否可理解为与交、并、补对应 . ⑵非 p 即 ? p 是对 p 的否定,而 p 的否命题,则是否定条件,否定结论 . 例: p:如果 x=1,那么 x2- 1=0; 则 ? p:如果 x=1,那么 x2- 1≠ 0. 而命题 p 的否命题是:如果 x≠ 1,那么 x2- 1≠ 0. ⑶原命题和它的逆否命题、逆命题与否命题都互为逆否命题,互为逆否的两个 命题真假性一致,因此一个命题的真假性难以判断或一个命题难以证明时,可 以判断或证明它的逆否命题 . 11.充要条件 ⑴充分条件,必要条件,充要条件的等价叙述,如,p 是 q 的充分条件 ? 若 p, 则 q ? p ? q ? q 的一个充分条件是 p. ⑵关于充要条件的几个结论: ①“定义域关于原点对称”是“函数为奇或偶函数”的必要不充分条件 . ②在△ ABC 中, A>B ? a>b. ③“ | a |=| b |”是“ a ? b ”的必要不充分条件 ④“ {a n}既是等差,又是等比数列”是“ {a n}是常数数列”的充分不必要条件 . ⑤“方程 x2+y2 +Dx+Ey+F=0 ”是“该方程表示圆方程”的必要不充分条件 . ⑥ f′ (x)=0 是 x 为极值点的必要不充分条件 . ⑶证明充要条件的命题要证明两个方面, 首先必须找准一个命题的条件和结论 .. 12.反证法 反证法就是假设命题的结论不成立,从这个假定出发,经过推理证出其矛盾, 然后推翻假设肯定原来命题正确。推出矛盾常见以下几种: ⑴与公理、定理、定义矛盾; ⑵与熟知的事实矛盾; ⑶与已知矛盾; ⑷与不同方向推出的其他结论矛盾。 以下情形适宜用反证法证明: ⑴难以甚至无法由已知条件直接证明结论的; ⑵“至多” 、 “至少”型问题; ⑶唯一性的证明;
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⑷问题的结论本身以否定形式给出的; ⑸要证命题的逆命题是正确的。 注意若命题结论的反面情况有多种,则必须将每一种反面情况都驳倒。 13.解答函数应用题的基本步骤为: ⑴审题:审题是解题的基础,它包括阅读、理解、翻译、挖掘等,通过阅读, 理解问题的类型、内涵、实质,以及应建立的数学模型; ⑵建模:在细心阅读,深入理解题意的基础上,引进数学符号,将题目中的非 数学语言转化成数学语言,然后,根据题意,列出数量关系——建立函数模型, 注意字母为取值范围应符合实际事实。 ⑶解模:通过函数的有关性质的运用,进行推理、运算,使问题得到解决; ⑷还原评价:应用问题不是单纯的数学问题,对于理论的推导结果,要代入原 问题中进行检验、评价,判断是否符合实际情况。 分析、解决应用问题的思维过程: 建 模 实际问题 数学问题 (审题、转化、抽象) 问题解决 还 原 (检验、评价) 解模推算

实际问题结论

数学问题结果

三 .易错点提示 ⑴多变量问题注意主元与辅助元的转换 如 p∈ (

1 ,4)时, 不等式 px+1>2x- p 恒成立, 可看成关于 p 的函数 g(p)=(x+1)p+1 4

? 1 1 ? g ( ) ? 0, - 2x>0,在 ( ,4)上恒成立 ? 4 (等号不同时取) 4 ? g ( 4 ) ? 0 . ?
⑵单调函数要与区间对应 . ⑶关于范围的结论的书写注意端点的“开闭” ⑷ y=

bx ? c 的中心 (a,b),渐近线 x=a,y=b,单调区间 (-∞ ,a),(a,+ ∞ ) (ab+c ≠ 0) x?a

⑸图象信息题注意观察:对称性、特殊点、升降情况、图象位置、变化率、最高、最 低点等. ax ? b 如: y= 2 图象 则 a>c>b. x ?c
6

y=ax 3+bx 2+cx+d ⑹复合函数要注意定义域的作用

则 a>0,b>0,c<0.

如求 y=log 2(x2- 3x+2)的单调区间,已知 f(x+

1 1 )=x 2+ 2 ,求 f(x)均须考虑定 x x

义域 . ⑺解决映射的有关问题,注意分类讨论 . 如 M={x,y,z}, N={1,0, - 1}, f: M→ N 满足 f(x)- f(y)=f(z)的映射个数 (7). ⑻注意代表元素的不同对集合意义的影响。如 {y|y=x 2}、 {x|y=x 2}、 {(x,y)|y=x 2} 就表示完全不同的三个集合,它们分别表示 [0,+∞ ) ,R 两个数集及抛物线 y=x 2 上的点集。避免如下错误: {y|y=x 2 }∩ {y|y=2 x}={(2,2)、 (4,4)}。 ⑼用列举法表示集合时 ,元素既不能遗漏 , 又不能违反互异性原则 , 如方程 (x - 1)2 (x+2)=0 的解集表示为 {1,1,- 2}是错误的,作为集合只能表示为 {1,- 2}.另外注 意 (1,2),{1,2},{(1,2)} 的区别 . ⑽一般来说图象直观不能代替代数论证 . 四 .典题训练: 1、设函数 f (x) ? n ? 1, x ? [n, n ? 1), n ? N ,则满足方程 f (x) ? log2 x 根的个数是 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.无数个 )

2 若函数 y=log2|ax-1|的图象的对称轴为 x=2,则非零实数 a 的值是( A.-2 B.2 C.
1 2

D. -

1 2

3、已知函数 f ( x), g ( x) 分别由下表给出:

x
f ( x)

1 1

2 3

3 1

x
f ( x)

1 3

2 2

3 1 ;满足 f ( g ( x)) ? g ( f ( x)) 的 x 的值是

则 f ( g (1)) 的值为



7

4、已知 函数 f(x)= x 3 ? (m ? 4) x 2 ? 3mx ? (n ? 6)(x ? R) 的图像关于原点对 称,其中 m,n 为实常数。 (1)求 m , n 的值; (2)试用单调性的定义证明:f (x) 在区间[-2, 2] 上是单调函数; (3)当-2≤x≤2 时,不等式 f ( x) ? (n ? logm a) logm a 恒成立,求实数 a 的 取值范围。 5、已知集合 D ? ?( x1 , x2 ) x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? k (I)设 u ? x1 x2 ,求 u 的取值范围.

? .其中 k

为正常数.

1 1 k 2 (II) 求证: 当 k ? 1 时不等式 ( ? x1 )( ? x2 ) ? ( ? ) 2 对任意 ( x1 , x2 ) ? D 恒 x1 x2 2 k 成立; (III)求使不等式 ( 1 ? x1 )( 1 ? x2 ) ? ( k ? 2 ) 2 对任意 ( x1 , x2 ) ? D 恒成立的 k 的 x1 x2 2 k 范围.

第二部分:导数
一、考试要求: (1)导数概念及其几何意义 ① 了解导数概念的实际背景. ② 理解导数的几何意义. (2)导数的运算 ① 能根据导数定义,求函数

y ? c, y ? x, y ? x 2 , y ?

1 的导数.(理) x

② 能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单 函数的导数. ?常见基本初等函数的导数公式和常用的导数运算公式:

(c)? ? 0 ( c 为常数);

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( x n )? ? nx n ?1 (n ? ? ? ); (sin x)? ? cos x ; (cos x)? ? ? sin x ; 1 (e x )? ? e x ; (a x )? ? a x ln a (a ? 0, 且a ? 1) ; (ln x)? ? ; x 1 (log a x)? ? log a e (a ? 0, 且a ? 1) x
?法则 1: u( x) ? v( x) ? u?( x) ? v?( x) ?法则 2:

?

??

?u ( x)v( x)?? ? u ?( x)v( x) ? u ( x)v?( x)
(v( x) ? 0)

? ? u ( x) ? u ?( x)v( x) ? u ( x)v?( x) ?法则 3: ? ? v( x) ? ? ? v 2 ( x) ? ?
(3)导数在研究函数中的应用

① 了解函数的单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数 的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次) . ② 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大 值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次) ;会求闭区间上函数的最大值、最小 值(其中多项式函数一般不超过三次) . (4)生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题. 二、知识与方法 1、导数的定义 设函数 y=f(x)在点 x0 及其近旁有定义,当自变量 x 在 x0 处有增量(或称改为量)△ x,那么函数 y 相应的有增量(或称改变量)△y, △y=f(x0+△x)-f(x0)

?y 就叫做函数 y=f(x)在 x0 到 x0+△x 之间的平均变化率. ?x ?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) = . ?x ?x ?y 如果当△x→0 时, 有极限,我们就说函数 y=f(x)在 x0 处可导,并把这个极限 ?x
比值 值叫做函数 f(x)在 x0 处的导数 (或称变化率) , 记作 f′(x0)或 y′|x=x0 或 f′(x)|x=x0. 即:

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f′(x0)= lim
?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim ? x ? 0 ?x ?x
0

这里须指出:f′(x0)是函数 y=f(x)在 x0 点的导数值,瞬时速度 vt 就是位移函数 s(t) 在点 t0 处的导数,即:S′(t0)= vt

0

2、求函数 y=f(x)在 x0 点处的导数的步骤 ⑴求函数的增量△y=f(x0+△x)-f(x0) ⑵求平均变化率:

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) = . ?x ?x
?x ?0

⑶取极限,求函数在 x0 点的变化率,即导数:f′(x0)= lim

?y . ?x

3、 “函数 f(x)在点 x0 处的导数” 、 “导函数”及“导数”的概念间的区别与联系: ⑴函数在一点处的导数,就是在该点的函数增量△ y=f(x0+△x)-f(x0)与自变量的增 量△x 之比的极限。它是一个常数,不是变量。 ⑵如果函数 y=f(x)在区间(a,b)内每一点处均可导,这时称 y=f(x)在区间(a,b)内可导, 对于区间(a,b)内一个确定的值 x0,都对应着一个确定的导数 f′(x0),这样的对应就 构成了以区间(a,b)为定义域的一个新函数,称为函数 f(x)的导函数,简称导数,所以 函数的导数是对某一区间内任意一点 x 而言的。 ⑶y=f(x)在 x=x0 处的导数 f′(x0)就是导函数 f′(x)在 x=x0 处的函数值, 即 f′(x)| x ? x =f′(x0),值得注意的是:f′(x0)≠[f(x0)]′
0

4、导数的几何意义 ⑴函数 f(x)在点 x0 处有导数,则函数 f(x)的曲线在该点处必有切线,且导数值是该 切线的斜率;但函数 f(x)的曲线在点 x0 处有切线,函数 f(x)在该点处不一定可导。 如 f(x)= x 在 x=0 有切线,但不可导。 ⑵函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的几何意义是指:曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的 斜率,即曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率是 f′(x0),切线方程为 y-f(x0)=f′ (x0)(x-x0) 三、导数的应用 1、利用导数判断函数的单调性 设函数 y=f(x)在某区间内可导,并且在该区间内,f′(x)>0,则 f(x)在该区间内为增 函数;若在该区间内,f′(x)<0,则 f(x)在该区间内为减函数. 指出:若可导函数只有某区间的个别点处导数等于零,不影响函数在该区间内的单 调性,如 y=x3,在(-∞,+∞)内,y=3x2≥0(只在 x=0 处 y′=0)不影响 y=x3 在(-∞,+ ∞)内为单调增加.
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2、求可导函数 f(x)单调区间的一般方法和步骤如下: ⑴确定函数 f(x)的定义区间; ⑵求函数 f(x)的导数 f′(x); ⑶令 f′(x)>0,所得 x 的范围(区间)为函数 f(x)的单调增区间;令 f′(x)<0,得单 调减区间. 3、利用导数求函数的极值 ⑴极值的定义:设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,如果对 x0 左右近旁的所有 x 值,都 有 f(x)<f(x0) 我们就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值,记作 y 极大值=f(x0), 如果对 x0 左右近旁的所有 x 值,都有 f(x)>f(x0) 我们就说 f(x0)是 f(x)的一个极小值,记作 y 极小值=f(x0) 极大值、极小值统称为 f(x)的极值. 指出: 一个函数在给定区间上的极小值不一定小于极大值.(即极小值可以大于或等于 极大值);极值是函数的局部性质,它仅与左右近旁的函数值进行比较;极值点一定 是区间的内点。可导函数导数为零的点是该点为极值点的必要条件,不是充分条件。 ⑵极值的判定方法。 当可导函数 f(x)在 x0 处有定义时,判别 f(x0)是极大(小)值的方法是: ①如果在 x0 在左侧近旁 f′(x0)>0,右侧近旁 f′(x0)<0,那么 f(x0)是极大值; ②如果在 x0 在左侧近旁 f′(x0)<0,右侧近旁 f′(x0)>0,那么 f(x0)是极小值. ⑶求函数的极值的步骤: ①求函数的定义域 ②求导数 f′(x) ③求导数 f′(x)=0 的根. ④检查 f′(x)在方程 f′(x)=0 的根的左右的符号,如果左正、右负,那么 f(x)在这个 根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值. 4、函数的最大值与最小值 ⑴闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值.(开区间上的连续函数不一定有最大 值和最小值). ⑵求闭区间[a,b]上的连续函数 f(x)的最大值和最小值的步骤: ①求 f(x)在(a,b)内的极值; ②将 f(x)的各极值与端点函数值 f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的 一个是最小值. ⑶如果函数 f(x)在开区间(a,b)或(-∞,+∞)内可导且有惟一的极值点 x0,那么当 f(x0) 是极大值时,f(x0)就是 f(x)在该区间上的最大值;当 f(x0)是极小值时,f(x0)就是 f(x) 在该区间上的最小值. ⑷对于实际问题,如果连续函数 f(x)在区间(a,b)内只有一个点使 f′(x)=0,而且
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实际问题本身又可以知道 f(x)在(a,b)内必定取得最大值或最小值,则 f(x0)就是所求 的最大值或最小值,这时也就无须判断是极大值还是极小值. 四.典题训练: 1、函数 y ? f ( x) 的图象如图所示,则导函数 y ? f ?( x) 的图象大致是 y
f(x)

y

f ?( x )

f ?( x )

y x

y O

f ?( x )

y O x
f ?( x)

O

x

O

x

O

x

2、

A B C D 函数 y ? f ( x) 的图象经过原点,且它的导函数 y ? f '( x) 的图象是如图所示 ) A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限

的一条直线,则 y ? f ( x) 的图象不经过(

3、已知函数 f ( x) ? 2ln 3x ? 8x, 则 lim 的值为

?x ?0

f (1 ? 2?x) ? f (1) ?x

→ → → → → / 4、已知 A、B、C 是直线 l 上的三点,向量OA,OB,OC。满足:OA-[y+2f (1)]OB → +ln(x+1)OC=0. (1)求函数 y=f(x)的表达式; (2)若 x>0,证明:f(x)> 2x ; x+2

1 2 2 2 (3)若不等式 x ≤f(x )+m -2bm-3 时,x∈[-1,1]及 b∈[-1,1]都恒成 2 立, 求实数 m 的取值范围.

x 2 ? ax ? b ( x ? (0,??) ) , 存在实数 a , b , 使 f ( x) 满足: (i) f ( x) x ? ?? 是增函数; 在 ?0, (ii) f ( x) 的最小值是 5 。 2? 上是减函数,在 ?2, ( 1 ) 求 a , b 的 值 及 f ( x) 的 解 析 式; ( 2 ) 若 函数 F( x ) ? f ( x) ? c ? cos x , 当
5、 已知 f ( x) ?
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? ?? x ? ? 0, ? 时是单调减函数,求实数 c 的取值范围。 ? 6?

第三部分
一.考试要求: (1)任意角的概念、弧度制 ① 了解任意角的概念.

三角函数

② 了解弧度制概念,能进行弧度与角度的互化. (2)三角函数 ① 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. ② 能利用单位圆中的三角函数线推导出

?
2

? ? , ? ? ? 的正弦、余弦、正切的

诱导公式,能画出 y ? sin x, y ? cos x, y ? tan x 的图象,了解三角函数的周期性. ③ 理解正弦函数、余弦函数在区间

?0,2? ? 上的性质(如单调性、最大值和最
? ? ?? , ? 内的单调性. ? 2 2?

小值以及与 x 轴的交点等) ,理解正切函数在区间 ? ? ④ 理解同角三角函数的基本关系式:

sin 2 x ? cos 2 x ? 1,
⑤ 了解函数

sin x ? tan x . cos x

y ? A sin(?x ? ? ) 的物理意义;能画出 y ? A sin(?x ? ? ) 的图

象,了解参数 A, ? , ? 对函数图象变化的影响. ⑥ 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型, 会用三角函数解决一些 简单实际问题. (3)和与差的三角函数公式 ① 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
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② 能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式. ③ 能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式,推导出 二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系. (4)简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公 式,但对这三组公式不要求记忆) . (5)正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. (6)应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的 实际问题. 二.基本知识 (一)角的概念的推广: 1. 角的定义 2. 与 ? 角终边相同的角(含 ? 角)的表示形式: ? ? k ? 360? ? ? ? 2k? ? ? (k ?Z ) 3.象限界角,象限角的表示: 4. ? ,

? 角的关系: 2

? ?
2

一、二象限角 一、三象限角

三、四象限角 二、四象限角

5.角的对称情况: 〈1〉 ? , ? 终边关于 x 轴对称: ? ? 2k? ? ? ( k ? Z ) 〈2〉 ? , ? 终边关于 y 轴对称: ? ? 2k? ? ? ? ? ( k ? Z ) 〈3〉 ? , ? 终边关于原点对称: ? ? 2k? ? ? ? ? ( k ? Z ) (二)弧度制: 1. 1 弧度角的定义: 2. 弧度与角度的换算关系: 3. 弧度数公式: | ? |?

l r
14

4. 弧 长 公 式 、 扇 形 面 积 公 式 :

l ? r ?? ?

n?r 180



S 扇形

1 1 n?r 2 2 ? l ?r ? ? ?r ? 2 2 360

(三)任意角的三角函数: 1.定义: sin ?

?

y r

cos ? ?

x r

t an ??

y x

2.象限界角的三角函数值: 3.象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三两切,四余弦 (四)三角函数线的定义及常用结论: 1.定义: sin ?

? MP

cos ? ? OM
?
2 ])

tan ? ? AT

2.常用结论: sin x ? x ? tan x ( x ? [0,

3.应用:利用三角函数线解三角不等式。 (五)三角函数的图象与性质: 1.熟记

y ? s i nx , y ? cos x
? ?

在 x ? [0,2? ] 上 的 图 象 ;

y ? tan x



x ? (?
2 .掌握

, ) 的图象;在 x ? (0, ? ) 上的图象。 2 2

y ? A sin(?x ? ? ) ? k (或 y ? A cos( ?x ? ? ) ? k )的图象的作

法: 〈1〉 “五点法” :列表、描点、连线 〈2〉图象变换法:实质:与一般函数图象的变换规律完全一样! 3.图象和性质:

15

函 数 图

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

象 定 义 域 值 域 极 值 性 奇 偶 性 单 调 性

(??,??)
[ ?1,1]
x ? 2k? ? x ? 2k? ?

(??,??)
[ ?1,1]
x ? 2k?时,ymax ? 1
x ? 2k? ? ?时,ymin ? 1

{x | x ? k? ?

?
2

且x ? R}

R

?
2

时, y max ? 1 时, y min ? 1

?
2







x ? [2k? ?

?
2

,2k? ?

?
2

(k ?Z ) 时, ]

为 增 函 数 x ? [2k? ?

?
2

,2k? ?

3? ] 2

x ? [2k? ,2k? ? ? ] ? ? x ? ( k? ? , k? ? ) 2 2 ( k ? Z )时,为增函数 x ? [2k? ? ? ,2k? ] ( k ? Z )时,为增函数 ( k ? Z )时,为减函数

( k ? Z )时,为减函数 周 期

T ? 2?
一般性周期: 2k?
y ? A sin(?x ? ? ) ? k 的周期 T ?

T ? 2?
一般性周期: 2k?
y ? A cos(?x ? ? ) ? k 的

T ??
一般性周期: k?
y ? A tan( ?x ? ? ) ? k





* y ?| A sin(?x ? ? ) | 的周期 T ?

周期 T ? * y ?| A cos(?x ? ? ) | 的 周 期T ?

周期 T ? 说明:除有*的两种 带绝对值符号的情 况周期减半外,

16

图 象 的 对 称 性

对称中心:

(k? ,0)
对称轴方程:

对称中心: (k? ? 对称轴方程:

?
2

,0)

对称中心:

x ? k?

x ? k? ?

?
2

(六)三角函数公式 1.诱导公式: 1、不改变名称的诱导公式:函数名不变,符号看象限。 ” 改变名称的诱导公式: “函数名改变,符号看象限。 ” 2.同角三角函数的基本关系式: 3.和角公式: 4.差角公式: 5. 倍角公式: 6.半角公式: 7.辅助角公式:a sin ? ? b cos? ?

a 2 ? b 2 sin(? ? ? ) ;其中 ? 的值由 tan ? ?

确定,角 ? 的象限由 a , b 的符号确定。 (七).解三角形 1.正弦定理

b a

a b c =2R. ? ? sin A sin B sin C
a2 ? b2 ? c2 . 2ab

2.余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC;cosC= 3.射影定理:a=bcosC+ccosB. 4.三角形的面积公式:S△=

1 1 ah(其中 h 是 a 边上的高). S△= absinC. 2 2

5.由 A+B+C=π ,易推出 ①sinA=sin(B+C),cosA=-cos(B+C),tanA=-tan(B+C)

A B?C A B?C A B?C =cos , cos = ,tan =cot . 2 2 2 2 2 2 ⑽a>b ? A>B ? sinA>sinB. ? ? ⑾锐角△ABC 中,A+B> ,A> -B,sinA>cosB,cosA<sinB,a2+b2>c2,同样可 2 2
②sin 类比锐角△ABC 中结论. 6、利用正、余弦定理判断三角形的形状 由已知,利用三角形中的主要知识点,特别是角的关系和边角关系,推出满足题设
17

条件的三角形的形状。 7、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解三角形.

三、重点突破 1、关于任意角的概念 角的概念推广后,任意角包括、正角、负角、零角;象限角、轴上角、区间角及终 边相同的角 2、角的概念推广后,注意“0°到 90°的角” 、 “第一象限角” 、 “钝角”和“小于 90° 的角”这四个概念的区别 3、利用任意角的三角函数及同角三角函数的基本关系式,诱导公式可以解决证明、 化简、求值问题,而求值有“给角求值” 、 “给值求值” 、 “给值求角”三类。 4、应用两角和与差的三角函数公式应注意: ⑴当α ,β 中有一个角为

?
2

的整数倍时,利用诱导公式较为简便。

⑵善于利用角的变形,如β =(α +β )-α ,2α =(α +β )+(α -β ), 等 ⑶倍角公式的变形——降幂公式:sin2α = α =

?
2

+2α =2(α +

?
4

)

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? ,cos2α = ,sinα cos 2 2

1 sin2α 应用十分广泛. 2

5、三角求值问题的解题思路: ⑴三种基本变换:角度变换、名称变换、运算结构的变换 ⑵给值求角问题的基本思路 ①先求出该角的一个三角函数值;②再根据角的范围与函数值定角,要注意角的范 围对三角函数值的影响。 6、注意活用数学思想方法:方程思想、数形结合,整体思想、向量方法 7.奇偶性:当 ? =kπ + 偶函数(k∈Z)

? k? 时是偶函数,当 ? =kπ 时是奇函数,当 ? ≠ 时是非奇非 2 2
k? ? ? ?? 2 (k∈Z)轴对称. ?

k? ? ? 8.对称性:关于点( ,0)中心对称,关于直线 x= ?
9.当α 为第一象限角时,sinα +cosα >1 10 当α ∈(-

3? ? +2kπ , +2kπ ),k∈Z 时,sinα -cosα <0 (点在 x-y=0 下方) 4 4
18

当α ∈(

? 3? +2kπ , +2kπ ),k∈Z 时,sinα -cosα >0 (点在 x-y=0 上方) 4 4

总之,可归纳为“成上大于 0,成下小于 0”. 四. 典型训练: 1. 若 函 数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) 的 图 象 ( 部 分 ) 如 图 所 示 , 则 ?和? 的 取 值 是 ( ) A. ? ? 1, ? ? C. ? ?

?
3

B. ? ? 1, ? ? ? D. ? ?

?
3

1 ? ,? ? 2 6

1 ? ,? ? ? 2 6

2. △ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边.如果 a、b、c 成等差数列, ∠B= 30 ,△ABC 的面积为 A.

3 ,那么 b= 2

( C.



1? 3 2

B. 1 ? 3

2? 3 2

D. 2 ? 3

3 .在三角形 ABC 中,若 sinA+cosA=

? 2 ,则 tan(A- )=_________________ 4 2

4 .已知向量 a ? (2 sin x, cos x), b ? ( 3 cos x,2 cos x),定义函数 f ( x) ? a ? b ? 1 . (1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x) 的单调减区间; (3)画出函数 g ( x) ? f ( x), x ? [? 对称轴和对称中心. y 2 1 0 -1 -2
? 12

7? 5? , ] 的图象,由图象研究并写出 g ( x) 的 12 12

?

7? 12

?

5? 12

?

? 4

?

? 12

? 4

5? 12

x

19

5.设函数

f ( x)?

3 c2o ?s x?
? 5?
3 , 6

? s ix n ?c x ? os (a 其中
6

? ? ? 0, a ? R ) .且 f ( x ) 的图像在 y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是 .
(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)如果 f ( x ) 在区间 [?

] 上的最小值为 3 ,求 a 的值.

第四部分
一、考试说明: (1)平面向量的实际背景及基本概念 ① 了解向量的实际背景.

平面向量

② 理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义. ③ 理解向量的几何表示. (2)向量的线性运算 ① 掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. ② 掌握向量数乘的运算及其意义,理解两个向量共线的含义. ③ 了解向量线性运算的性质及其几何意义. (3)平面向量的基本定理及坐标表示 ① 了解平面向量的基本定理及其意义. ② 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. ③ 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件. (4)平面向量的数量积 ① 理解平面向量数量积的含义及其物理意义. ② 了解平面向量的数量积与向量投影的关系. ③ 掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. ④ 能运用数量积表示两个向量的夹角, 会用数量积判断两个平面向量的垂直关 系.
20

(5)向量的应用 ① 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. ② 会用向量方法解决某些简单的力学问题及其他一些实际问题. 二、知识方法与技巧 ㈠向量的概念及运算 1、向量的有关概念 向量—既有大小又有方向的量 向量的长度(模)—向量的大小 平行向量(共线向量)—方向相同或相反的非零向量,并且规定零向量与任何向量均 平行. 相等向量—长度相等且方向相同的向量。 2、向量运算 ⑴加法运算 加法法则:①三角形法则;②平行四边形法则 平面向量的坐标运算:设 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则 a + b =(x1+x2,y1+y2). ⑵减法运算 减法法则,平面向量的坐标运算: 设 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则 a - b =(x1-x2,y1-y2). 设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), AB =(x2-x1,y2-y1). ⑶实数与向量的积 定义:λ a ,其中λ >0 时,λ a 与 a 同向,|λ a |=λ | a |; 当λ <0 时,λ a 与 a 反方向,|λ a |=|λ || a |. 0? a = 0

平面向量的坐标运算:设 a =(x,y),则:λ a =λ (x,y)=(λ x, λ y). 3、向量的几何运算和坐标运算 向量的几何运算是向量知识的基础,本类题是向量加减法、数乘的运算定义和运算 法则的基本练习,以向量运算图或向量运算式给出,并通过图解或式解来完成,设 问形式有求解、作图、化简、证明等,解题方法比较直接。 向量的坐标运算包括直接利用坐标法运算法则计算向量的和、差、数乘积。 4、两个向量平行的充要条件

21

a ∥ b ? a =λ b ;设 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则 a ∥ b ? x1y2-x2y1=0.
㈡平面向量的数量积 1、平面向量的数量积 几何表示 坐标表示 运算律 定义:a ?b =| a || b |cosθ (a≠ 0 ,b≠ 0 ,0°≤θ ≤180°) 0 ?a =0

a ? b =x1x2+y1y2 a ?b = b ? a
(λ a )?b = a ?(λ b );( a + b )? c = a ?b + b ?c

2、平面向量数量积的重要性质 几何表示 ⑴| a |= a ? a = | a | 2 ⑵cosθ =

a?b | a | |b |

⑶| a ? b |≤| a || b |

⑴| a |= x12 ? y12 坐标表示

⑵cosθ =

x1 x2 ? y1 y 2
2 2 x12 ? y12 ? x2 ? y2

2 2 ⑶|x1x2+y1y2|≤ x12 ? y12 ? x2 ? y2

3、两个向量垂直的充要条件

a ⊥ b ? a ? b =0 ( a 、 b 均 为 非 零 向 量 ) 设 a =(x1,y1) , b =(x2,y2) , 则 a ⊥ b ? x1x2+y1y2=0.
4、常用的模的等式和不等式 | a |2= a ? a 或| a |= a ? a ; | a ? b |≤| a |?| b |; | a |2-| b |2=( a + b )( a - b ) | a ? b |= a 2 ? b 2 ? 2 | a | ? | b | cos ? ( θ 为 a 、 b 夹角) . || a | - | b || ≤ | a ± b | ≤ | a |+| b |. 特别是| a |2= a 2 及其变式应用最为广泛. ㈢线段的定比分点及平移 1、线段的定比分点及平移的基础知识 ⑴线段的定比分点
22

x ? ?x 2 ? x? 1 , ? ? 1? ? 线段的定比分点坐标公式: ? [P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y), P1 P =λ PP2 ] ? y ? y1 ? ?y 2 . ? 1? ? ? x ? x ? 2 x? 1 , ? ? 2 中点坐标公式: ? 三角形重心坐标公式:设△ABC 的三个项点为 ? y ? y1 ? y 2 . ? 2 ? x ? x 2 ? x3 A(x1,y1) , B(x2,y2) , C(x3,y3) , 则 重 心 G(x,y) 的 坐 标 为 : x= 1 , 3 y ? y 2 ? y3 y= 1 3 ⑵图形变换公式
? x ? ? x ? h, 平移公式: 若点 P0(x,y)按向量 a =(h,k)平移至 P(x′,y′),则 ? . ? y ? ? y ? k.
2、平移公式的三类运用 ⑴已知平移前后的解析式,求平移向量;⑵已知平移向量及解析式,求平移后的解 析式; ⑶已知平移向量及平移后的解析式,求平移前的解析式. 说明:三类问题主要是运用平移公式及待定系数法. ㈣正余弦定理的运用 1、关于三角形边、角的主要关系式 ⑴三角形内角和等于 180° ⑵三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. ⑶三角形中大边对大角,小边对小角. ⑷正弦定理

a b c =2R. ? ? sin A sin B sin C

⑸勾股定理 c2=a2+b2 (其中 c 为直角三角形的斜边) ⑹余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC;cosC= ⑺射影定理:a=bcosC+ccosB. ⑻三角形的面积公式:S△=

a2 ? b2 ? c2 . 2ab

1 1 ah(其中 h 是 a 边上的高). S△= absinC. 2 2

⑼由 A+B+C=π ,易推出 ①sinA=sin(B+C),cosA=-cos(B+C),tanA=-tan(B+C) ②sin

A B?C A B?C A B?C =cos , cos = ,tan =cot . 2 2 2 2 2 2
23

⑽a>b ? A>B ? sinA>sinB. ⑾锐角△ABC 中,A+B>

? ? ,A> -B,sinA>cosB,cosA<sinB,a2+b2>c2,同样可 2 2

类比锐角△ABC 中结论. 2、利用正、余弦定理判断三角形的形状 由已知,利用三角形中的主要知识点,特别是角的关系和边角关系,推出满足题设 条件的三角形的形状。 3、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解三角形. ⑴正弦定理反映了三角形的边角关系,它可以用来解决两类解斜三角形的问题. ①已知两角和一边,求其他边和角. ②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(可进一步求出其他的边和角). ⑵余弦定理也反映了三角形的边角关系,它是勾股定理的进一步推广,它可以解决 以下三类有关斜三角形问题. ①已知三边,求三个角. ②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角. ③已知两边和其中一边的对角,求第三边和其他两个角,此类问题需要讨论. 三、易错点提示 1.向量的数量积不满足结合律,即 (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) . 2. 零 向 量 与 任 何 向 量 的 数 量 积 等 于 0 , 故 平 行 向 量 不 具 有 传 递 性 即

a. // b, b // c推不出 a // c .
3.平面向量数量积的消去律不成立,即若 c 是非零向量,且 a ? c ? b ? c 并不能得到

a ? b,
只可得到 a 、 b 在 c 上的投影相等. 4. a 2= a ? a =| a || a |cos0=| a |2.故 a 2 是一个实数. 5. a 、 b 的 夹 角 为 锐 角 ? ?

? ?a ? b ? 0 ? ?a ? b ?| a || b |

a 、 b 的夹角为钝角

? ?a ? b ? 0 ?? ? ?a ? b ? ? | a || b |
6.向量 OA 、 OB 不共线, OP ? mOA ? nOB ,则 A、P、B 三点共线的充要条件是
24

m+n=1. 7.在应用正弦定理解决“已知两边和其中一边的对角,求解三角形”时应注意解的 个数. 8.在应用平移公式 ?

? x? ? x ? h 时,一定要分清 P(x,y)为平移前的点,P’(x’,y’)为平移 ? y? ? y ? k

后的点, a =(h,k)为平移向量,否则会出现方向性错误.

四.典题训练: 1.设 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则下列 a 与 b 共线的充要条件的有( ) ① 存在一个实数λ ,使 a =λ b 或 b =λ a ; ② | a ? b |=| a | | b |; ③

x1 y1 ? ; ④ ( a + b )//( a - b ) x2 y 2
B、2 个 ) C、3 个 D、4 个

A、1 个

2. O 为△ABC 的内切圆圆心,且 AB=5、BC=4、CA=3,
下列结论中正确的是( A. OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA B. OA ? OB > OB ? OC ? OC ? OA C. OA? OB = OB ? OC = OC ? OA D. OA? OB < OB ? OC = OC ? OA
,2) 开始沿着与向量 e1 ? e2 3.有两个向量 e1 ? (1,0) , e2 ? (0,1) ,今有动点 P ,从 P0 (?1 1 ) 开始沿着与 相同的方向作匀速直线运动,速度为 | e1 ? e2 | ;另一动点 Q ,从 Q0 (?2, ?

向量 3e1 ? 2e2 相同的方向作匀速直线运动, 速度为 | 3e1 ? 2e2 | . 设 P 、Q 在时刻 t ? 0 秒 时分别在 P0 、 Q0 处,则当 PQ ? P0Q0 时, t ?
25

秒.

4.已知向量 a ? ? cos x, sin (1) a ? b 及 a ? b ;

?

? ?

3 2

3 ? ? ? x x? ? ?? x ?, b ? ? cos ,? sin ? ,且 x ? ?0, ?, 求 2 ? 2 2? ? ? 2?

? ?

?

?

(2)若 f ?x ? ? a ? b ? 2? a ? b 的最小值是 ?

? ?

?

?

3 ,求实数 ? 的值. 2

? ? ? ? 3 5.已知向量 m=(1,1),向量 n 与向量 m 夹角为 ? ,且 m ? n =-1, 4

(1)求向量 n ; (2)若向量 n 与向量 q =(1,0)的夹角为
?
? ? ? 2 c ,向量 p =(cosA,2cos ),其中 A、C 为 2 2

?

?ABC 的内角,且 A、B、C 依次成等差数列,试求? n + p ?的取值范围。

?

?

第五部分:数列
一、 考试要求 (1)数列的概念和简单表示法 ① 了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式) . ② 了解数列是自变量为正整数的一类函数. (2)等差数列、等比数列 ① 理解等差数列、等比数列的概念. ② 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式. ③ 能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知 识解决相应的问题. ④ 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系. 二、知识方法与技巧 1 .利用递推公式或者 a n 与 S n 的关系式解题时,一般要验证初始值 n 是否
26

适合所求的式子,即 a n = ?

? S1 ? S n ? S n ?1

n ?1 ; n?2

2 .涉及 a n - 1 或 S n - 1 时 ,应分 n=1 和 n ≥ 2 两种情况考虑; 3 .等比数列求和时,要考虑公比 q 是否为 1. 4 .. 若三数成等差数列,则可设三数为 a - d,a,a+d ;若三数成等比数列,则 可设

a ,a,aq. q

5 .. 证明数列 {a n } 是等差数列(等比数列) ,必须根据等差数列(等比数列) 的定义加以证明 . 证明数列 {a n } 不是等差数列(等比数列) ,只须说明 a 1 ,a 2 ,a 3 不成等差数列 (等比数列)即可 . 6 . . 求等差数列前 n 项和 S n 最值的方法:⑴可转化为二次函数,求最值; ⑵应用以下结论:①当公差 d<0 时, S n 最大 ? a n ≥ 0 且 a n+1 ≤ 0 ;②当公差 d>0 时, S n 最小 ? a n ≤ 0 且 a n+1 ≥ 0. ③利用 f(n)=S n 的抛物线特征解小题 (d ≠ 0). 7. . ①等比数列的任一项及公比都不能为 0 ; ②常数数列不一定是等比数列; 2 ③ G =ab 是 a 、 G 、 b 成等比数列的必要条件而非充分条件 . 8. 求数列 {a n } 的最值常见方法:①利用通项公式 a n 的本身特征求解;②若 {a n } 是单调数列,则可利用单调性求解;③若对一切 n ∈ N *都有,a n >0 (a n <0) , 则 a n 最大 ? ?

?a n ? a n ?1 ?a n ? a n ?1 ; a n 最小 ? ? . ?a n ? a n ?1 ?a n ? a n ?1

9 .求数列 {a n } 前 n 项 和 S n ,关键是根据通项 a n 的特征,去寻求求和的方 法,常见几种方法:⑴通项裂项法;⑵错位相差法;⑶累加(累乘)法;⑷ 逆项相加法 . 10 . a n =a 1 +(a 2 - a 1 )+(a 3 - a 2 )+ ? +(a n - a n - 1 ) , a n =a 1 ? ≠ 0) 11 . 若 {a n } 与 {b n } 均 为 等 差 数 列 , 且 前 n 项 和 分 别 为 S n 与

a a 2 a3 ? ?? n ( a n a1 a 2 a n ?1

? Sn

,则

a m S 2 m ?1 ? ? m ?1 bm S 2

.

27

12 .项数为偶数 2n 的等差数列 {a n } ,有 S 2n =n(a 1 +a 2n )= ? =n(a n +a n+1 )(a n 与 a n+1 为中间的两项 ) ;

S奇
S 偶 - S 奇 =nd ;

S偶
?

?

an a n ?1

.

项数为奇数 (2n - 1) 的等差数列 {a n } ,有 S 2n - 1 =(2n - 1)a n (a n 为中间项 ) ; S 奇 - S 偶 =a n ;

S奇 S偶

n . n ?1

S 奇 、 S 偶 分别为数列中所有奇数项的和与所有偶数项的和 . 三 典型习题 1.在等差数列 ?a n ? 中,若 a 4 + a6 + a8 + a10 + a 12 =120,则 2 a10 - a 12 的值为 ( ) A、20 设 ) A.1 3.数列 B.-1 C.2 D. B、22 Sn 是 等 差 数 列 C、24 D、28 n 项 和 , 若

2. (

?a n ?

的 前

a5 5 S ? ,则 9 ? a3 9 S5
1 2

1 1 1 , , , ? 的前 n 项之和为 . 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? 4 1 4. 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,且 a1 ? 1, a n ?1 ? S n , n ? 1,2,3, ? ,求: 3
(Ⅰ) a 2 , a3 , a 4 的值及数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2n 的 值. 5. 数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足:an+2-2an+1+an=0(n∈N*) , (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 (n ? N * ),S n ? b1 ? b2 ? ?? ? bn ,是否存在最大的整数 n(12 ? a n )

m,使得任意的 n 均有 S n ?

m 总成立?若存在,求出 m;若不存在,请说明理由 32

28

第六部分:不等式
一.考试要求: (1)不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景. (2)一元二次不等式 ① 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. ② 通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联 系. ③ 会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图. (3)二元一次不等式组与简单线性规划问题 ① 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. ② 了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组. ③ 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决. (4)基本不等式:

① 了解基本不等式的证明过程.

a?b ? ab (a, b ? 0) 2

② 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 二、知识要求 ㈠不等式的证明 比较法:作差——分解因式、配方等——判断符号——结论(也可作商与比较) 综合法:利用不等式性质、定理证明不等式 分析法:从欲证不等式出发,寻找它成立的充分条件.注意书写的规范性,否则 可能不得分。 反证法:反设→推出矛盾→否定假设→得出结论 ㈡不等式的解法 重点是二次不等式、分式不等式、绝对值不等式的解法. ㈢基本不等式
29

2 1 1 ? a b

≤ ab ≤

a 2 ? b2 a?b ≤ . 2 2

在用基本不等式求极值时,注意:⑴“正数” ,二“定值” ,三“相等” ⑵等号是否取到,若不能取到,常常应用函数的单调性求解; 三、能力要求 1、正确理解和应用不等式的性质,注意到性质中条件减弱和加强时,条件和结 论之间的关系。掌握判断已给不等式是否成立,比较大小,判断不等式中条件和结 论之间充分性的方法。 。 2、熟练掌握有理不等式的解法,对含参数的不等式的求解,要充分理解为什么 要分类,怎样分类。 3、对于不等式的应用,要掌握把实际问题转化为函数式、代数式的处理方法, 提高实际问题数学化的能力。这类问题大致上可以分为两类:一类是建立不等式, 解不等式;另一类是建立函数式求最大值或最小值。利用平均值不等式求函数的最 值时,要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可。 4、本章内容较多地体现了四种数学思想,即“等价转化”的思想; “分类讨论” 的思想; “数形结合”的思想; “函数与方程”的思想。 四、易错点提示 1、不等式的解一般都要用解集表示:特别是填空题。 2、在解不等式的过程中要注意,自变量的约束范围要准确表示区间的开闭。 3、在不等式的传递过程中,要注意的传递性。 放缩中:如果是“放” ≤ ≤ ≤?? 如果是“缩” ≥ ≥ ≥?? 4 .对不等式恒成立求一个变量的范围方法―――分离变量法 五典型习题 1.命题甲:

( x ? 2)( x ? 3) ? 0, ( x ? 1)(x ? 2) ? 0 . 命题乙: 则命题甲是乙的 ( x ( A) 充分非必要条件 ( B ) 必要非充分条件



(C ) 充要条件
2. 已知 a ? 0, b ? 0 ,则不等式 ? b ?

( D) 既非充分又非必要条件
1 ? a 等价于 x
( )

( A) x ? ?

1 1 或x ? a b

(B) ?

1 1 ? x ? 0或0 ? x ? a b

30

(C ) x ? ?
3 若

1 1 或x ? b a
, 则

a ? 0, b ? 0, a ? b ? 1

1 1 ? x ? 0 或0 ? x ? b a 1 1 ( 2 ? 1)( 2 ? 1) 的 最 小 值 a b

( D) ?

是 . 4.如图,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间。 一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成。 ⑴现有可围成 36 m 长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎 笼的面积最大? ⑵若使每间虎笼的面积为 24 m 2 ,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围 成的四间虎笼的钢筋网总长最小?

5 已知二次函数 f ( x) 的二次项系数为 a ,且不等式 f ( x) ? ?2 x 的解集为 (1,3) (Ⅰ)若方程 f ( x) ? 6a ? 0 有两个相等的根,求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若 f ( x) 的最大值为正数,求 a 的取值范围
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

第七部分:立体几何
一.考试要求: 1.空间向量及其运算 ① 了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的 正交分解及其坐标表示. ② 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. ③ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示, 能运用向量的数量积判断向量的共线 与垂直. 2.空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量. ② 能用向量语言表述直线与直线、 直线与平面、 平面与平面的垂直、 平行关系.

31

③ 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理 (包括三垂线定理) . ④ 能用向量方法解决直线与直线、 直线与平面、 平面与平面的夹角的计算问题, 了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. 二.基本知识点: (一)直线与平面 1.空间直线: ⑴判定空间两直线是异面直线的常用方法是反证法;⑵对异直线所成的角的问 题,要注意:①异面直线所成角的范围为: (0,

?
2

] ;②求异面直线所成的角的大小

问题通常分为:找角(证角) 、求角两步,而找角通常是利用直线的平移把角纳入平 面图形中,利用平几及代数知识求解。 2.直线与平面平行、垂直 判定定理是由低一级的位置关系判定高一级的位置关系,而性质定理往往是高 一级的位置关系推出低一级的关系,如对直线与平面平行的判定,就可以通过直线 与直线,直线与平面,平面与平面的三个不同层次予以考虑.也可以通过计算来证明 垂直. 3.平面与平面平行 两平行平面间的距离,除了求夹在平行平面间的垂线段这一方法外,还可转化 为求线面距离、点面距离. 3.平面与平面垂直 ⑴利用平面与平面垂直的条件,通常在一个面内作棱的垂线,转化为线面垂直. 进而利用解三角形解决空间角、距离、面积、体积的计算 .⑵两个平面互相垂直,3 个平面两两互相垂直的常用模型是长方体(正方体) ,因此与 3 个平面两两垂直有关 的问题,可通过构造长方体的相交于同一顶点的 3 个面来处理. 5.空间角 ⑴求空间角大小的一般步骤是“作、证、求” ,三种角都是转化为相交直线所成 的角或所夹的角,计算过程中要注意角的范围 . 也可用空间向量来求 . ...... ⑵二面角的大小是通过其平面角来度量的,求二面角时首先搞清(或作出)棱, 求作二面角的平面角常见的方法有:①定义法;②垂面法:过棱上一点 O 作棱的垂 面γ ,与两个半平面的交线为 AO、BO,则∠AOB 就是二面角的平面角;③用空间 向量来求. 6.空间距离 常见的求空间距离的方法有:⑴直接法.按“一作、二证、三计算”的步骤完成, ⑵转化法.在直接法不易求解时,可考虑以下转化法:①点面距离、线面距离、面面 距离间的互相转化;②利用三棱锥的等积变换.

32

点、面

线、面

面、面

7.平面图形的翻折 ⑴在平面图形翻折中,位于棱的两侧的同一半平面内的元素相对位置关系和数 量关系在翻折前后不变,尤其是垂直于棱的直线翻折后仍垂直于棱;⑵不变量一般 是结合原图形来求、证;变化了的量应在折后的立体图形中来求、证,注意将空间 问题转化为平面问题;⑶多面体表面上两点间最近距离常转化为表面展开图上距离. (二).简单几何体 1.柱体、锥体 ⑴定义及性质;⑵特殊的多面体:直棱柱、平行面体、长方体、正方体;⑶正 方体的体对角线与不相交的面对角线互相垂直;⑷长方体的体对角线与棱长关系; ⑸几种特殊三棱锥的顶点在底面上的射影;⑹侧面积:①S 直棱柱侧=c?l; ②S
正棱锥侧

=

1 ch′;③S 斜棱柱侧=c 直 l;其中 h′为斜高,l 为侧棱长;⑺平行于棱锥的底面 2

的截面积与底面积之比等于对应高的平方米,对应边的平方比,对应侧棱的平方比. 2.⑴球既是中心对称,又是轴对称的几何体,它的任何截面均为圆,且过球心的截 面是大圆也是轴截面,因此球的问题经常转化为圆的有关问题来解决.⑵球的任一截 面为圆,圆心与球心的连线垂直于该平面,且球半径 R,截面半径 r,球心到截面的 距离 d 满足:r= R 2 ? d 2 ;⑶求球面上两点 A、B 间的距离的步骤为:①求线段 AB 长;②求 A、B 到球心 O 的张角,即∠AOB;③计算球大圆在 A、B 两点间所 夹的劣弧长;⑷长方体的对角线长是它外接球的直径. 3.体积 ⑴对三棱锥注意顶点与底面的转换,常用换顶点方法求体积; ⑵体积法可以用来求点到面的距离,多面体内切球半径; ⑶较复杂的几何体的体积可分为一些较简单的柱体、锥体求体积.

三.典题训练: 1、在半径为 R 的半球内有一内接圆柱,则这个圆柱的体积的最大值是( A



2 3 ? R3 9

B

4 3 ? R3 9

C

2 3 ? R3 3

D ?R

4 9

3

2、顶点在同一球面上的正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=1,AA1=
33

,则 A、C 两点间的球面距离为(



A .

? 4

B.

? 2

C .

2? 4

D.

2? 2

3、已知一几何体的三视图是两个边长为 2 的正三角形和一个半径为 1 的圆,则它的 外接球的体积为

4、如图,四边形 PCBM 是直角梯形,∠ PCB =90°,PM ∥ BC ,PM =1, BC =2,又 AC =1,∠ ACB =120°, AB ⊥ PC ,直线 AM 与直线 PC 所成的 角为 60°. (Ⅰ)求证:平面 PAC ⊥平面 ABC ; (Ⅱ)求二面角 M ? AC ? B 的大小; (Ⅲ)求三棱锥 P ? MAC 的体积;

5、 正三棱柱 ABC - A1 B1C1 的底面边长为 4, 侧棱长为 4,D 为

AA 1 A1 的中点, (1)求 AB 与 CD 所成的角; (2)求二面角 B ? CD ? A 的大小; (3)求三棱锥 C1 ? BCD 的体积。

B1 C1
1

A1 AA AA
1

D

A
34

B C

第八部分:解析几何
一.考试要求: 1.直线与方程 ① 在平面直角坐标系中,结合具体图形,掌握确定直线位置的几何要素. ② 理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式. ③ 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. ④ 掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式 及一般式) ,了解斜截式与一次函数的关系. ⑤ 能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. ⑥ 掌握两点间的距离公式、 点到直线的距离公式, 会求两条平行直线间的距离. 2.圆与方程 ① 掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程. ② 能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆 的方程,判断两圆的位置关系. ③ 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. ④ 初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 3.空间直角坐标系 ① 了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置. ② 会推导空间两点间的距离公式. 4.圆锥曲线 ① 了解圆锥曲线的实际背景, 了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中 的作用. ② 掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质. ③ 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质. ④ 了解圆锥曲线的简单应用.
35

⑤ 理解数形结合的思想. 5.曲线与方程(仅理科) 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 二 . 主要结论 1. 倾斜角与斜率的关系 ⑴倾斜角 α 的取值范围: 0 °≤ α <180 °

⑵ k=tan α ( α ≠

? ) 2

?

y 2 ? y1 x2 ? x1

⑶当 k>0 时, α 为锐角; k=0 时, α =0 ;当 k<0 时, α 为钝角 ⑷ 直 线 y=kx+b 的 方 向 向 量 为 (1,k) , 直 线 Ax+By+C=0 的 方 向 向 量 为 ( - B,A) ,法向量为 (A,B). 2、直线方程的几种形式 ⑴ .点斜式: y ? y0 ⑵ .斜截式: y ⑶ .两点式: 直线) ⑷ .截距式:

? k ( x ? x0 ) (过点( x0 , y0 )斜率为 k 的直线)
(在 y 轴上截矩为 b ,斜率为 k 的直线)

? kx ? b

y ? y1 x ? x1 (过两点 ?x1 , y1 ?, ?x2 , y 2 ? , x1 ? x 2 , y1 ? y2 的 ? y 2 ? y1 x 2 ? x1
x y ? ? 1 (在 x.y 轴上的截矩分别为 a.b 的直线) a b

(5).一般式: Ax ? By ? C ? 0 ( A, B 不同时为 0) (6).特殊直线的方程形式:1°垂直于 x 轴的直线方程形式: x ? a ; 2°垂直于 y 轴的直线方程形式: y ? b : ;3°过原点的直线方程: y ? kx 。 注意:1°前四种形式的方程表示直线时都有一定的局限性,其中点斜式、斜截式 不能用于表示平行于 y 轴的直线;两点式不能表示垂直于坐标轴的直线;截距式 不能表示垂直于坐标轴的直线以及过原点的直线。第五种形式一般式可表示平面 内的任意直线。 2°前四种特殊形式的直线方程突出了直线的几何特征, 第五种形 式直线方程的一般式突出了直线的代数特征, 要能根据需要实现各种形式的互化。
36

3、两直线的平行与垂直 (1) 〈1〉当两直线的斜率都存在时: 两直线方程用斜截式给出: l1 : y ? k1 x ? b1

l 2 : y ? k 2 x ? b2 ,则:

1° k1 ? k 2 , b1 ? b2 ? l1、l 2 平行 2° k1 ? k 2 ? ?1 ? l1、l 2 垂直 〈2〉当两直线的斜率至少有一个不存在时: 1° l1、l 2 平行 ? 两条直线的斜率都不存在且不重合 2° l1、l 2 垂直 ? 一条直线的斜率不存在另一条直线的斜率为零 注意: k1 ? k 2 , 是两直线平行的既不充分也不必要条件, k1 ? k 2 ? ?1 是两直线垂直 的充分不必要条件。 3.两条直线的交点: 研究两直线交点的问题即研究方程组 ? 4.点到直线的距离公式 : (1)若点 P( x0 , y0 ) ,直线

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0

的解的问题。

l : Ax ? By ? C ? 0
? | Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

则点 P 到直线 l 距离为: d

注意: 点到直线的距离公式对任意的直线都适应; 但当直线方程 Ax ? By ? C 中 A ? 0 或 B ? 0 时可直接利用图形来求:

?0

C | B C ②若 B ? 0 时, d ?| x 0 ? | A
①若 A ? 0 时, d ?| y 0 ? (2)两条平行线间的距离公式: 若

l1 : Ax ? By ? C1 ? 0

l2 : Ax ? By ? C2 ? 0
d? | C1 ? C 2 | A2 ? B 2

则 l1 , l 2 之间的距离为:

注意:两直线必须平行并且 x、 y 的系数必须相同。 5.直线系方程: 1、平行直线系:与 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线系方程为: Ax ? By ? m ? 0 2、垂直直线系:与 Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线系方程为: Bx ? Ay ? n ? 0 3、两直线过 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 6、圆的方程: ①圆的一般方程:

l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点的直线系方程为: A1 x ? B1 y ? C1 ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 (不包括第二条直线的所有直线)

37

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 )
②圆的标准方程: 1° ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ;2°特别的: x ? y ? r 7、点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系: (1)点与圆的位置关系:利用点到圆心的距离与半径的关系进行判断; (2)直线与圆的位置关系: 代数法:相交 相切 相离 ??0 ??0 ??0 d?r 几何法: d ? r d ?r
2 2 2 2 2 2

( d 为圆心到直线的距离, r 为圆的半径) (3)圆与圆的位置关系: (设两圆半径为 r1 , r2 ,两圆圆心的距离为 d , r1 ? r2 )

两圆外离

d ? r1 ? r2

两圆外切 d

? r1 ?

r2

两圆相交

两圆内切

两圆内含

| r1 ? r2 |? d ? r1 ? r2

d ?| r1 ? r2 |

d ?| r1 ? r2 |

8.直线与圆相离求圆上点到直线距离的最值:

hmax ? d ? r ; hmin ? d ? r
9.直线截圆的弦长的求法:在 Rt ?CDB 中,由勾股定理得:

r

B D

A

d

| AB |? 2 r 2 ? d 2

C

注意:过圆内一点 M 圆的弦长的最值:当直线 l 垂直于圆心与 M 的连线时,直线 被圆所截的弦最短;当直线 l 恰为过 M 点直径所在的直线时,直线被圆所截的弦最 长,即为圆的直径。 10.椭圆. (1)第一定义: 用式子表示: MF 1 ? MF2 ? 2a?2a ? 2c?
38

注意: 1° 2a ?| F1 F2 | : 椭圆; 2° 2a ?| F1 F2 | : 线段 F1 F2 ; 3° 2a ?| F1 F2 | : 不表示任何轨迹; 第二定义:用式子表示: (2)图形:


MF
y

d

? e?0 ? e ? 1?
l l

y

l

A2

l l

d

B2 M
o

B1
x
2 2

F2

A1 F1

x y ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) 2 a b 2 y x2 2)焦点在 y 轴中心在原点: 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) a b (4). a , b , c , e , p 的意义与关系:
(3).标准方程: (1)焦点在 x 轴中心在原点:

B1

F2 A2

F1 A1

B2 M
d

x
‘ l

a 2 ? b 2 ? c 2 (对应的几何线段??) ; e?
(5).几何性质:椭圆

c , a

p?

b2 c

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) :顶点: (? a,0) , (0,?b) ;焦点: A1 a2 b2 ??? cos 2 a c 2 (?c,0) ;准线: x ? ? ;离心率: e ? ? cos? ? ; ??? c a cos 2 2 2 y x 椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )类同 a b x2 y2 (6) .焦半径公式: ( 1 ) M ( x0 , y0 ) 是椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )上一点: a b | MF1 |? a ? ex0 , | MF2 |? a ? ex0 y2 x2 ( 2 ) M ( x0 , y0 ) 是椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )上一点: | MF1 |? a ? ey0 , a b ) y | MF2 |? a ? ey0 (注意:过焦点的焦点弦的弦长常用焦半径公式求。 P
椭圆上点到焦点距离的最值:由焦半径公式可得: 最大和最小的点恰为椭圆长轴的两个端点 (7).通径: | PQ |? 2ep ?

| MF | max ? a ? c ; | MF | min ? a ? c ,并且距离
2b 2 b2 b2 ; P ( c , ) , Q ( c, ? ) a a a
39

o

F

x

Q

2 (8).弦长公式: | AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 | ? 1 ? k

( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2

或 | AB |? 1 ?

1 | y1 ? y 2 | ; k2

(9)直线和椭圆的位置关系:相离、相切、相交 判断方法:代数法 (1) 相离:没有公共点 ? ? ? 0 ; (2) 相切:只有一个公共点 ? ? ? 0 (3) 相交:两个交点 ? ? ? 0 ; 11.双曲线: (1)第一定义:用式子表示:

MF1 ? MF2

? 2a?2a ? 2c?

注意: (1)1° 2a ?| F1 F2 | 双曲线;2° 2a ?| F1 F2 | 以 F1、F2 为端点的射线; 3° 2a ?| F1 F2 | 不表示任何轨迹; (2)满足 | MF1 | ? | MF2 |? 2a ( 2a ? 2c ) 的 动 点 M 的 轨 迹 仅 为 双 曲 线 靠 近 F2 的 一 支 , 满 足 | MF2 | ? | MF1 |? 2a ( 2a ? 2c )的动点 M 的轨迹仅为双曲线靠近 F1 的一支。 第二定义:用式子表示: (2).图形: y y

MF d

? e?e ? 1?

l1
B2
F1 A1
o

d1

l2
l
M

F2 A2 l2
x

M

d2
B2
x

A2 F2

l l1

B1

o

B1
F1

A1

(3).双曲线的标准方程:

x2 y2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0 ) a2 b2 y2 x2 2°中心在原点, 焦点在 y 轴上的双曲线标准方程: 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0 ) a b
1°中心在原点, 焦点在 x 轴上的双曲线标准方程: (4). a , b , c ,

e , p 的意义与关系:
40

c 2 ? a 2 ? b 2 (对应的几何线段??) ;e ?

c b2 ,p? 。 a c

x2 y2 (4).几何性质:双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0 ) :1°范围:2°对称性:3° a b c a2 顶点:4°焦点:5°准线: x ? ? ;6°离心率: e ? ? sec ? ( e ? 1 ); a c b x y 7°渐近线: y ? ? x 或 ? ? 0 。 a b a 2 2 y x 双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )类同 a b a y x 渐近线: y ? ? x 或 ? ? 0 。 a b b
(5).焦半径公式:

x2 y2 1°① M ( x0 , y0 ) 是双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )右支上任意一点, a b 则: | MF1 | ? ex0 ? a , | MF2 | ? ex0 ? a
② M ( x0 , y0 ) 是双曲线

则: | MF1 | ? ?(ex0 ? a) , | MF2 | ? ?(ex0 ? a)

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )左支上任意一点, a2 b2

y2 x2 2°① M ( x0 , y0 ) 是双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )上支上任意一点, a b
则: | MF1 | ? ey0 ? a , | MF2 | ? ey0 ? a

则: | MF1 | ? ?(ey0 ? a) , | MF2 | ? ?(ey0 ? a) (6).直线和双曲线的位置关系: 相离:没有公共点:1° ? ? 0 ;2°渐近线 相切:只有一个公共点, ? ? 0 相交:1°两个交点 ? ? ? 0 ;2°一个交点 ? 二次方程二次项的系数为零,直 线和渐近线平行 (故当直线和双曲线只有一个公共点是包括两种情况:1°相切: ? ? 0 ;2° 一个交点 ? 直线和渐近线平行;也即直线和双曲线只有一个公共点是直线与 双曲线相切的必要不充分条件。 ) (7)弦长公式: | AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 | ? 1 ?

y2 x2 ② M ( x0 , y0 ) 是双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )下支上任意一点, a b

1 | y1 ? y 2 | k2

41

2b 2 b2 b2 ; P ( c , ) , Q ( c, ? ) a a a 2 2 (8).等轴双曲线的方程: x ? y ? ? ( ? ? 0 )
通径: | PQ |? 2ep ? 离心率: e ?
2

2 渐近线: y ? ? x 或 x ? y ? 0

x y2 ? ?1 ( m ? n ? 0 )有共同渐近线的双曲线系方程: (9)与双曲线 m n x2 y2 ? ? ? (其中 ? 为参数, ? ? 0 ) m n x y x2 y2 (10)渐近线方程是 ? ? 0 的双曲线系方程: 2 ? 2 ? ? ( ? ? 0 ) m n m n
12. (1).定义:用式子表示: | MF |? d (2).抛物线的标准方程:

y 2 ? 2 px( p ? 0) y 2 ? ?2 px( p ? 0) x 2 ? 2 py( p ? 0) x 2 ? ?2 py( p ? 0)
(3).抛物线的图形与性质:

标 准 方 程

y 2 ? 2 px
? p ? 0?
y

y 2 ? ?2 px
? p ? 0?
P
y

x 2 ? 2 py ? p ? 0?
P
o y

x 2 ? ?2 py
? p ? 0?
y

l:x??
P
o

p 2

l:x?

p 2

图 形

˙
向右

F( p ,0) x 2

˙
F o
向左

x

p l:y?? 2
向上

˙
F

l:y?
x o

p 2
P
x

˙
F
向下





开 口 范 围 对 称 轴 顶 点 焦 点

x ? 0, y ? R

x ? 0, y ? R

y ? 0, x ? R

y ? 0, x ? R

x轴
原点 O(0,0)

y轴

p F ( ,0 ) 2

F (?

p ,0) 2
42

p F (0, ) 2

p F (0,? ) 2

准 线 离 心 率 焦 半 径 通 径

x??

p 2

x?

p 2

y??

p 2

y?

p 2

e ?1
| PF |? x 0 ? p 2
| PF |? ? x 0 ? p 2 | PF |? y 0 ? p 2 | PF |? ? y 0 ? p 2

2p

(4). 直线和抛物线的位置关系: (1)直线和抛物线位置关系的判定方法:代数法 1°相离:没有公共点: ? ? 0 ; 2°相切:只有一个公共点, ? ? 0 3°相交:1°两个交点 ? ? ? 0 ;2°一个交点 ? 直线和抛物线的对称轴平行。 (故当直线和抛物线只有一个公共点时,包括两种情况:1°相切: ? ? 0 ;2° 一个交点 ? 直线和抛物线对称轴平行) (5)直线和抛物线的相交弦的弦长的求法: 1°弦长公式: |

AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 | ? 1 ?

1 | y1 ? y 2 | k2

2 2 °焦点弦 长的求法 :设过抛 物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦 点 F 的弦为 AB ,

A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , AB 的倾斜角为 ? ,则有:
①|

AB |? x1 ? x2 ? p ;
2

②|

AB |?

2p sin 2 ?

(6)抛物线的焦点弦的有关结论: 设抛物线 y ? 2 px( p ? 0) ,过其焦点 F 的弦 AB 的两个端点为 A( x1 , y1 ) , y B( x2 , y2 ) ,则:

p2 1° y1 y 2 ? ? p ; x1 x 2 ? (证明: ) 4
2

A1 C1
B1
B
o

A

2°若 AB 的倾斜角为 ? ,则 | AB |?

2p sin 2 ?

C
F



1 1 2 ? ? 为定值(证明: ) | FA | | FB | p
43

y

C

x

M
5

A
2
1

4°(如图 1)过 A , B 分别作准线的垂线, 垂足分别为 M , N ,则 MF ? NF (如图 1) (证法分析: ①等腰三角形底角相等得: ?1 ? ?5 , ?4 ? ?6 ②平行内错角相等得: ? 2 ? ?5 , ?3 ? ?6 ③从而 ?1 ? ?2 ? ?3 ? ?4 ,? ?1 ? ?2 ? ?3 ? ?4 ? 180 ? ? ?2+?3=90? ? MF ? NF ) 5°(如图 2)以 AB 为直径的圆和准线相切(证明: ) (注;椭圆:相离;双曲线;相交。 ) 6°(如图 3)过抛物线的焦点弦的两端点 的切线互相垂直(证明: ) y

图1

图2
A

l2
l
N
o y B

p p 7°(如图 4)通径: | PQ |? 2 p ; P ( , p ) , Q ( ? , p ) l1 2 2

F A F

图3

x

P
o

x

三 . 注意点 ⑴设直线方程时,应注意对斜率 k 是否存在进行讨论,有时为避免讨论或 B 方便起见,可设直线方程为 x=my+n ,但应注意此时直线不可能垂直于 y 轴 . ⑵判断两直线位置关系时,要注意对系数是否可能为零的情况进行讨论. 例如直线 mx+y=6 与 x+my+1=0 垂直 . ⑶直线与双曲线右支(或左支)相交于两点时,联立它们的方程,消 y 得 关于 x 的一元二次方程,此方程应满足:

Q

?二次项系数 ? 0 ?二 次 项 系 数? 0 ? ? ?? ? 0 ?? ? 0 (或 ? ) ? ? x1 ? x 2 ? 0 ? x1 ? x 2 ? 0 ? ? ? x1 x 2 ? 0 ? x1 x 2 ? 0
⑷直线与圆相交时弦长问题用勾股定理解较简单 .

x2 y2 c b 2 ⑸椭圆 2 ? 2 =1 中, a 2 - b 2 =c 2 (a 最大 ),e= ? 1 ? ( ) . ; a a a b
双曲线

x2 y2 c b ? 2 =1 中, a 2 +b 2 =c 2 (c 最大 ),e= ? 1 ? ( ) 2 2 a a a b
44

a2 b2 2b 2 相同的有:焦准距 | - c|= ,通径 = . c c a
⑹直线与圆锥曲线位置关系的题型,一般是先联立它们的方程,然后消 y (或 x )得 x( 或 y) 的一元二次方程,要考虑到判别式△,要注意有意识地应 用距离公式,夹角(或方向角)公式,韦达定理 、定比分点公式、三角形面 .... 积公式等,有时还需要要用基本量思想设参数等等。有时要注意对向量条件 如 AM ? BM =0 即 M 为 AB 中点,AM ? BM =0 即∠ AMB=90 °;AM // BM 即 A 、 M 、 B 共线等的转化 . ⑺涉及焦点、准线问题可考虑用第一或第二定义解题,有时还可考虑焦准 距、心准距、顶准距等;涉及焦点三角形问题可考虑用解三角形知识解题; 涉及顶点三角形问题可考虑用斜率公式或方向角公式解题;涉及圆锥曲线上 两点的对称、弦的中点问题可考虑用韦达定理或代点相减法解题 . 四.典题训练: 1.如果直线 y=kx+1 与圆 x 2 ? y 2 ? kx ? my ? 4 ? 0 交于 M、N 两点,且 M、N 关于

?kx ? y ? 1 ? 0 ? 直线 x+y=0 对称,则不等式组: ?kx ? m y ? 0 表示的平面区域的面积是 ?y ? 0 ?
1 4 1 2

A.

B.

C.1

D.2

2.已知双曲线 E 的离心率为 e,左、右两焦点分别为 F1、F2,抛物线 C 以 F2 为顶点, F1 为焦点,点 P 为抛物线与双曲线右支上的一个交点,若 a|PF2|+c|PF1|=8a2,则 e 的值为 ( ) A. 3 B. 3 C. 2 D. 6

x2 y2 ? ? 1 的焦距与 k 无关,则它的焦点坐标是__________. 3.若圆锥曲线 k ?2 k ?5
4. 已知曲线 C :

y2 ? x2 ? 1 ; m
45

(1)由曲线 C 上任一点 E 向 x 轴作垂线,垂足为 F ,点 P 分 EF 所成的比为

1 ? 。问:点 P 的轨迹可能是圆吗?请说明理由; 3
(2)如果直线 l 的斜率为 2 ,且过点 M (0, ?2) ,直线 l 交曲线 C 于 A , B 两 点,又 | MA | ? | MB |?

9 ,求曲线 C 的方程。 2

5. (本小题满分 14 分)已知定点 R 的坐标为(0,-3) ,点 P 在 x 轴上, PR ? PM , 线段 PM 与 y 轴交于点 Q 轴,且满足 QM ? 2PQ . (I)若点 P 在 x 轴上运动,求点 M 的轨迹 E ; (II)求轨迹 E 的倾斜角为

? 的切线的方程; 4

(III)若(II)中切线 l0 与 y 轴交于点 G ,过 G 的直线 l 与轨迹 E 交于 A、B 两 点,点 D 的坐标为(0,2).当 ? ADB 为钝角时, 求直线 l 的斜率 k 的取值范围.

第九部分

排列组合与二项式定理

[ 知识点 ] 一 . 排列与组合 1. 基本原理:分类计数原理 N=m 1 +m2 + ? +m n 分步计数原理 N=m 1 m2 ? m n 2. 定义与公式 排列 从 n 个不同元素中取出 m 个元素,按照一定的顺序 排成一列,叫从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的一 个 数列 . 所有排列的个数叫排列 数 ,记为 A n m 。 m、 n ∈ N * 且 组合 从 n 个不同元素中取出 m 个元素并成 一组,叫从 n 个不同元素中取出 m 个 元素的一个 组合 。 所有组合的个数叫 组 m 合数 ,记为 C n . m、 n ∈ N *且 m≤ n.

定义

46

m≤ n. A n m =n(n - 1)(n - 2) ? (n - m+1) A n n =n!, 0!=1 A n m=
m An n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) Cn = m ? m! Am
m

公式

n! (n ? m)!

C n m=

n! , m!(n ? m)!

C n 0 =1


性质 区别 排列与元素顺序有关 排列先取后排

C n m =C n n m - C n+1 m=C n m+C n m 1 组合与元素顺序无关 组合只取不排

二 . 二项式定理 - - 1. 定理: (a+b) n =C n 0 a n +C n 1 a n 1 b+ ? +C n r a n r b r + ? +C n n b n , n ∈ N * 2. 二项式系数: C n r , r=0,1,2,, ? n. - 3. 通项 T r+1 =C n r a n r b r (r=0,1,2 ? n) 4. 二项式系数性质 ⑴对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。 - - 即 C n 0 =C n n , C n 1 =C n n 1 ,C n 2 =C n n 2 , ? ⑵增减性: f(r)=C n r ,当 r< ⑶最大值: 幂指数 n 偶数 奇数
0 1 2 n n

n ?1 n ?1 时, C n r 递增,当 r ≥ 时, C n r 递减 2 2
二项式系数最大 项 ( 中间项 ) Tn
2 ?1

展开式项数 n+1 奇数 偶数


n 2 Cn

T n ?1 、 T n?1
2 2

n ?1

n ?1

?1

C n2 = C n2

⑷ C n +C n +C n + ? +C n =2 - C n 0 +C n 2 +C n 4 + ? =2 n 1 - C n 1 +C n 3 +C n 5 + ? =2 n 1 另:⑴二项式系数表(杨辉三角)略。 ⑵ Cm ? Cm?1 ? Cm?2 ? ? ? Cm?n ? Cm?n?1
m m m m m?1

⑶ (a - b) n =C n 0 a n - C n 1 a n 1 b+C n 2 a n 2 b 2 -? +( - 1) n C n n b n ⑷ (1+x) n =C n 0 +C n 1 x+C n 2 x 2 + ? +C n n x n [ 易错点提示 ]
- -

47

1. 应用两个基本原理解题时,应正确区分是分类还是分步 . 2. 解排列组合应用题时,应注意方法及分类标准的选择,并做到层次清晰, 不重不漏。 3. 在 二 项式 定 理中 ,注意 系 数 与二 项式 系 数、奇 数 项 与偶 数项 、 奇次项 与 - 偶次项的区别 . C n r a n r b r 是第 r+1 项 . 4. 多项式展开通常化为二项式展开处理, 求展开式中某些项的系数 ( 值 ) 关系 时,常用赋值法 . 5. 用二项式定理计算余数问题时,余数不能为负数 . 如:∵ 2 33 =8 11 =(9 - 1) 11 =9k - 1 ∴ 2 33 被 9 除余数为 8. 6. 证明形如: 2 n >2n (n ≥ 3 且 n ∈ N) , 比较 2 n 与 n 2 (n ∈ N * ) 大 小,此类问题常用二项式定理 . 三..典题训练: 1.某人制定了一项旅游计划,从 7 个旅游城市中选择 5 个进行游览.如果 A、B 为 必选城市, 并且在游览过程中必须按先 A 后 B 的次序经过 A、B 两城市(A、B 两城市可以 不相邻) , 则有不同的游览线路 ( ) A.120 种 B.240 种 C.480 种 D.600 种

1 1? ? 2. 若 ? 2 x ? ? 展开式中含 项的系数为 560,则 n 等于( x? x ?
A. 4 B. 6 C. 7 D. 10

n

)

3. 2008 年北京奥运会足球赛预计共有 24 个球队参加比赛,第一轮分成 6 个组进行
单循环赛(在同一组的每两个队都要比赛) ,决出每个组的一、二名,然后又在剩下 的 12 个队中按积分取 4 个队(不比赛) ,共计 16 个队进行淘汰赛来确定冠亚军,则 一共需比赛( )场次。 A.53 B.52 C.51 D.50 4.已知 ( x ? 1) (ax ?1) 的展开式中, x 系数为 56,则实数 a 的值为
6 2
3

A.6 或 5 5 .设( 2- 3x )
100

B.-1 或 4
2

C.6 或-1
100

D.4 或 5 求下列各式的值:

=a 0 +a 1 x+a 2 x + ??+a 100 x

48

( 1) a 0 ( 2) a 1 ( 3) a +a 2 + ??+a 100
1 +a 3 +a 5 +

??+a 99
2

( 4 ) (a 0 +a 2 + ??+a 100 ) _ ( a

1 +a 3 +

??+a 99 ) 2

第十部分
一、考试要求 1.概率 (1)事件与概率

概率与统计

① 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率 与概率的区别. ② 了解两个互斥事件的概率加法公式. (2)古典概型 ① 理解古典概型及其概率计算公式. ② 会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率. (3)随机数与几何概型 ① 了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率. ② 了解几何概型的意义. (4)概率(仅理科) ① 理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念, 了解分布列对于刻画 随机现象的重要性. ② 理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用. ③ 了解条件概率和两个事件相互独立的概念, 理解 n 次独立重复试验的模型及 二项分布,并能解决一些简单的实际问题. ④ 理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型随 机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.
49

⑤ 利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 2.统计 (1)随机抽样 ① 理解随机抽样的必要性和重要性. ② 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;了解分层抽样和系统抽样方法. (2)总体估计 ① 了解分布的意义和作用,会列频率分布表、会画频率分布直方图、频率折线 图、茎叶图,理解它们各自的特点. ② 理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差. ③ 能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差) ,并给出合理的 解释. ④ 会用样本的频率分布估计总体分布, 会用样本的基本数字特征估计总体的基 本数字特征,理解用样本估计总体的思想. ⑤ 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题. (3)变量的相关性 ① 会作两个有关联变量的数据的散点图, 会利用散点图认识变量间的相关关系. ② 了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归 方程. 3.统计案例 了解下列一些常见的统计方法,并能应用这些方法解决一些实际问题. (1)独立性检验 了解独立性检验(只要求 2?2 列联表)的基本思想、方法及其简单应用. (2)假设检验 了解假设检验的基本思想、方法及其简单应用. (3)回归分析 了解回归的基本思想、方法及其简单应用. 二.知识方法与技巧 (一).随机事件的概率 1、事件的分类:必然事件、不可能事件、随机事件
50

2、概率定义:在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率

m 总是接近于 n

某个常数,在它附近摆动,这个常数叫事件 A 的概率.记为 P(A),范围:0≤P(A)≤1. 3、等可能性事件的概率:如果一次试验由 n 个基本事件组成,而且所有结果出 现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是 果有 m 个,那么事件 A 的概率 P(A)=

1 ,如果某个事件 A 包含的结 n

m . n

[注意]: ①应明确,等可能事件概率的前提是:a.试验的结果数 n 是有限的;b.每种结果 发生的可能性是相等的;c.事件 A 所包含的结果数 m 是可以确定的. ②P(A)=

m 既是等可能事件概率的定义, 又是计算这种概率的基本方法, 求 P(A) n

时,要首先判定是否满足等可能事件的特征,其计算步骤是: a.算出基本事件的总个数 n;b.算出事件 A 中包含的基本事件的个数 m;c.算出 A 的概率,即 P(A)=

m . n
3 A4

[例题]将三个不同的小球随意放入 4 个不同的盒子中, 求 3 个小球恰好在 3 个不 同盒子中的概率.(P(A)=

4

3

?

3 ) 8

(二) 、互斥事件有一个发生的概率 1、互斥事件,对立事件定义 2、互斥事件的充要条件 A、B 互斥 ? P(A+B)=P(A)+P(B) A1,A2,?,An 彼此互斥 ? P(A1+A2+?+An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An). 3、对立事件的概率:P(A)+P( A )=P(A+ A )=1 ∴P(A)=1-P( A ). [注意] ①互斥事件是对立事件的必要不充分条件; ②如果 A、B 互斥,则 A 与 B , A 与 B,A 与 B 不一定互斥; ③把一个复杂事件分解成几个彼此互斥事件时要做到不重复不遗漏; ④计算稍复杂事件的概率通常有两种方法:a.将所求事件化成彼此互斥事件和; b.先去求事件的对立事件概率,然后再求所求事件概率. [例题]从一副扑克牌(52 张)抽出 1 张,放回后重新洗牌,再抽出 1 张,前后

51

1 1 C13 C13 1 两次所抽的牌为同花的概率.(P= ?4= ) 2 4 52

(三) 、相互独立事件同时发生的概率 (1)相互独立事件定义. ⑵两个相互独立事件的充要条件:A、B 相互独立 ? P(A?B)=P(A)?P(B). ⑶独立重复试验:如果一次试验中某事件发生的概率为 P,那么在 n 次独立重 - 复试验中这个事件恰好发生 K 次的概率是 Pn(k)=CnkPk (1-P)n k. [注意]①如果 A、B 相互独立,那么 A 与 B , A 与 B, A 与 B 也是相互独立的。 ②独立重复试验应满足条件:a.每次试验之间是相互独立的;b.试验结果只有 发生与不发生两种之一;c.每次试验过程重复,且发生的机会是均等的. [例题]某人向某个目标射击,直至击中为止,每次射击击中目标的概率为 求在第 n 次才击中目标的概率并证明,这样无限继续下去,目标迟早被击中.

1 , 3

1 n-1 1 ) ?( ),??,如此下去, 3 3 2 1 ? ( )n 1 2 1 2 1 2 - 1 1 3 →1. 得 P= + ? +( )2? +?+( )n 1? = ? 2 3 3 3 3 3 3 3 3 1? 3
略解:第 n 次才击中目标,Pn=(1- (四) 、几何槪型 1.定义:如果事件发生的概率只与构成事件区域的长度(面积或体积)成正比, 则称这样的概率模型为几何模型。 2. 公式: P( A) ? (五) 、条件概率 1.条件概率的定义:在已知事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的概率叫做条件概率。 用符号 P( B | A) 表示。 2.条件概率公式: P( B | A) ? P( AB) ( P( A) ? 0) P( A) 注:1°一般的概率乘法公式: P( A ? B) ? P( A) ? P( B | A) 2°求条件概率的方法:
构成事件A的区域长度(面积、体 积) 试验的全部结果所构成 的区域长度(面积、体 积)

n( AB) ①用公式: P( B | A) ? P( AB) ②依据: P( B | A) ? n( A) P( A) (六) 、几个重要分布 1.两点分布:若随机变量 X 的分布列为两点分布列,则 X 服从两点分布。 两点分布列
52

?

P

1? p

0

1

p

2.二项分布:如果在一次随机试验中,某事件发生的概率为 p ,那么在 n 次独立重 复试验中, 这个事件发生的次数 ? 是一个随机变量, 并且 P(? ? k ) ? Cn p q (其
k k n?k

? 1 ? p , 0 ? p ? 1, k ? 1, 2, 3?,n ) ,则称这样的随机变量服从参数为 n 和 p 的二项分布,记为: ? ~ B(n, p) ,其分布列为:
中q

?
P

0
0 0 n Cn p q

1 1 1 n ?1 Cn p q
k n ?k CM CN ?M , n CN

? ?

k
k k n?k Cn p q

? ?

n
n n 0 Cn p q

3.超几何分布:在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次品 的 概 率 为 P( X ? k ) ?

k ? 0,1, 2?m 其 中 m ? m i n { M , n, }且

? n ? N , M ? N , n, M , N ? N 。则称分布列 为 ? ? 0 1

k

? ?
m M

m
n ?m C CN ?M n CN

P

0 n CM CN ?M n CN

C C C

1 M

n ?1 N ?M n N

?

k n ?k CM CN ?M n CN

超几何分布列。 如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列, 则称随机变量 X 服从超 几何分布列。 (七) 、离散型随机变量的分布列及期望与方差 1.随机变量的定义及其分类 2.离散型随机变量的分布列的定义 3. 求离散型随机变量的概率分布的步骤: ①设出随机变量,定出随机变量 ? 的所有可能值 ②求出随机变量 ? 取各值的概率 P(? ? xi ) =

xi ;

pi ;

③列出表格。 4.离散型随机变量的期望与方差 (1)期望与方差的定义:一般地,若离散型随机变量的概率分布为:

?
P

x1

x2
p2

? ?

xi pi

? ?

p1

则称 E? ? x1 p1 ? x2 p2 ??? xi pi ??? xn pn 为 ? 的数学期望或均值, 简称为期望。 一般地,若离散型随机变量的概率分布为:
53

?
P
则称

x1
p1

x2
p2

? ?

xi pi

? ?

随机变量 ? 的方差。 注:①期望是随机变量的一种特征数(或数字特征) ,其由随机变量的分布列唯一确 定,它反映了离散型随机变量取值的平均水平。 ②方差 D? 的算术平方根 D? ,叫做随机变量 ? 的标准差,记作: ?? ③方差和标准差也是是随机变量的一种特征数(或数字特征) ,其由随机变量的 分布列唯一确定,它们都反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与 离散的程度,并且标准差与随机变量本身有相同的单位。 (2)期望与方差的性质: E (a? ? b) ? aE? ? b (其中 a , b 是常数) 特别地:① E (a? ) ? aE? ;② E (b) 特别地:① D(a? ) ? a (3)常见离散型随机变量的期望与方差: 二项分布:若 ?
2

D? ? ( x1 ? E? )2 ? p1 ? ( x2 ? E? )2 ? p2 ??? ( xi ? E? )2 ? pi ??? ( xn ? E? )2 ? pn 为

?b

D(a? ? b) ? a 2 D? (其中 a , b 是常数)

D? ;② D(b) ? 0

两点分布:若随机变量 ? 服从两点分布,则 E? ? p ; D?

? p(1 ? p)

~ B(n, p) ,则 E? ? np ; D? ? npq (其中 q ? 1 ? p ) 2 2 正态分布:若 ? ~ N (? , ? ) ,则 E? ? ? ; D? ? ?
(八) 、正态曲线: 1. 正态曲线的特点: ①曲线在 x 轴的上方,与 x 轴不相交; ②曲线是单峰的,它关于直线 x ? ? 对称; ③当 x ? ? 时,曲线上升;当 x ? ? 时,曲线下降。并且当曲线向左、右两边无 限延伸时,以 x 轴为渐进线,向它无限靠近;曲线在 x ? ? 出达到峰值 1 ; ? 2? ④正态曲线下方, 轴上方的总面积为 1。 ⑤当 ? 一定时,曲线随着 ? 的变化而沿 x 轴平移; ⑥当 ? 一定时,曲线的形状由 ? 确定。? 越大,曲线越“矮胖”,表示总体分布 越分散; ? 越小,曲线越“瘦高”,表示总体分布越集中。 2.正态分布在三个特殊区间内取值的概率: 若?

x

~ N (?, ? 2 ) ,则: P(? ? ? ? ? ? ? ? ? ) = 0.6826 P(? ? 2? ? ? ? ? ? 2? ) ? 0.9544 P(? ? 3? ? ? ? ? ? 3? ) ? 0.9974
54

(九) 、统计 ⑴总体、个体、样本、样本容量、频数、频率、平均数、方差、标准 差. x ?

x1 ? x 2 ? ? ? x n 1 2 2 2 ;S2= [( x1 ? x) ? ( x 2 ? x) ? ? ? ( x n ? x) ] n n
2 1 2 2 2 ( x1 ? x 2 ? ? ? xn ? nx ) . n

或 S2=

例如:已知数据 x1,x2??xn,其平均数为 x ,方差为 S2. 则:kx1+m,kx2+m,?kxn+m 的平均数为 k x +m.方差为 k2S2. ⑵抽样方法:①简单随机抽样;②系统抽样(了解) ;③分层抽样的各自特点及适用 范围;它们的共同点都是等概率抽样.对于简单随机抽样的概念中, “每次抽取时的 各个个体被抽到的概率相等” 。如从含有 N 个个体的总体中,采用随机抽样法,抽 取 n 个个体, 则每个个体第一次被抽到的概率为 1 , 第二次被抽到的概率为 1 , ??
N

N

故每个个体被抽到的概率为

n n ,即每个个体入样的概率为 . N N

⑶总体分布的估计 用样本去估计总体。用样本平均数估计总体平均数,用样本方差估计总体方差; 平均数反映了一组数据的平均水平,而方差(标准差)是描述一组数据的波动情况, 即偏离平均数的大小,或者说数据的稳定性. ⑷频率分布直方图 频率分布直方图就是以图形面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小. 频数 频率 频率= .小长方形面积=组距? =频率.所有小长方形面积的和=各组频 样本容量 组距 率和=1.

三.典题训练: 1.某企业三月中旬生产,A、B、C 三种产品共 3000 件,根据分层抽样的结果;企 业统计员制作了如下的统计表格: 产品类别 产品数量(件) 样本容量(件) A B 1300 130 C

由于不小心,表格中 A、C 产品的有关数据已被污染看不清楚,统计员记得 A 产品的样本容量比 C 产品的样本容量多 10, 根据以上信息, 可得 C 的产品数量
55



件。

2. 如果随机变量ξ ~N ( ? 1, ? 2 ),且 P( ?3 ? ? ? ?1 )=0.4,则 P( ? ? 1 )= 3.某校化学教师随机调查了选化学的一些学生情况,具体数据如下表: 性别 专业 化学专业 非化学专业 男 15 10 女 5 20 为了判断选修化学是否与性别有关系,根据表中的数据,得到 ? 2 ≈ 根据下面临界值表,可知选化学与性别有关系 的可信程度为 . ... P( ? 2 ≥ x0 ) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 .

0.025 0.010 0.005

0.001

x0

0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

4.为检查某工厂所产 8 万台电扇的质量,抽查了其中 20 台的无故障连续使用时限如 下: 248 256 232 243 188 268 278 266 302 289 312 274 296 288 分 组 频数 频率 频率 组距

295 228 287 217 329 283

[180, 200) [200, 220)
[220, 240) [240, 260) [260, 280) [280, 300) [300, 320)

(1)完成下面的频率分布表,并在给出的 坐标系中作出频率分布直方图. (2)估计 8 万台电扇中有多少台无故障 连续使用时限会超过 280 小时. (3)用组中值估计样本的平均无故障连 续使用时限.

[320, 340]





0.05

解:(1)

56

5.计算机考试分理论考试与上机操作考试两部分进行,每部分考试成绩只记“合格” 与“不合格” ,两部分考试都“合格”则计算机考试“合格”并颁发“合格证书” 。
3 2 3 甲、乙、丙三人在理论考试中合格的概率分别为 , , ;在上机操作考试中合 4 3 5

格的概率分别为

5 7 9 , , 。所有考试是否合格相互之间没有影响。 6 8 10

(Ⅰ)甲、乙、丙三人在同一次计算机考试中谁获得“合格证书”可能性最大? (Ⅱ)求这三人计算机考试都获得“合格证书”的概率; (Ⅲ)(文科)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率; (理科)用 ? 表示甲、乙、丙三人在理论考核中合格人数,求 ? 的分布列和数学期 望 E? 。

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