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导数结合洛必达法则巧解高考压轴题


导数结合洛必达法则巧解高考压轴题
第一部分:历届导数高考压轴题
(全国 2 理)设函数 f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的 x≥0,都有 f(x)≥ax 成立,求 实数 a 的取值范围. (全国 1 理)设函数 f ( x) ? ex ? e? x . (Ⅰ)证明: f ( x) 的导数 f ?( x) ≥ 2 ; (Ⅱ)若对所有 x ≥ 0 都有

f ( x) ≥ ax ,求 a 的取值范围.

(全国 2 理)设函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间;

sin x . 2 ? cos x

(Ⅱ)如果对任何 x ≥ 0 ,都有 f ( x) ≤ ax ,求 a 的取值范围. (全国 1 理)已知函数 f ? x ? ?
1 ? x ? ax e . 1? x

(Ⅰ)设 a ? 0 ,讨论 y ? f ? x ? 的单调性; (Ⅱ)若对任意 x ? ? 0,1? 恒有 f ? x ? ? 1 ,求 a 的取值范围. (辽宁理)设函数 f ( x) ?
ln x ? ln x ? ln( x ? 1) . 1? x

⑴求 f ( x) 的单调区间和极值; ⑵是否存在实数 a ,使得关于 x 的不等式 f ( x) …a 的解集为 (0, ?? ) ?若存在,求 a 的

1

取值范围;若不存在,试说明理由.

(新课标理)设函数 f ( x) = e x ? 1 ? x ? ax 2 . (Ⅰ)若 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若当 x≥0 时 f ( x) ≥0,求 a 的取值范围. (全国大纲理)设函数 f ( x) ? 1 ? e? x . (Ⅰ)证明:当 x ? ?1 时, f ( x ) ? (Ⅱ)设当 x ? 0 时, f ( x) ?
x ; x ?1

x ,求 a 的取值范围. ax ? 1

(新课标文)已知函数 f ( x) ? x(e x ?1) ? ax2 . (Ⅰ)若 f ( x) 在 x ? ?1 时有极值,求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围. (新课标理)已知函数 f ( x) ? 为 x ? 2y ? 3 ? 0 .
a ln x b ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程 x ?1 x

2

(Ⅰ)求 a 、 b 的值; ( Ⅱ)如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ?
ln x k ? , 求 k 的取值范围. x ?1 x

第二部分:泰勒展开式
1. e x ? 1 ?

x x 2 x3 ? ? ? 1! 2! 3!

?

xn x n?1 ? x ? e , 其中 (0 ? ? ? 1) ; n! (n ? 1)!
? (?1)n ?1 xn x n?1 1 n?1 ? Rn , 其中 Rn ? (?1)n ( ) ; n! (n ? 1)! 1 ? ? x

例题:若不等式 sin x ? x ? ax3 对于 x ? (0, ) 恒成立,求 a 的取值范围 2

?

2. ln(1 ? x) ? x ?

x 2 x3 ? ? 2! 3!

x3 x5 3. sin x ? x ? ? ? 3! 5!
4. cos x ? 1 ?

? (?1)

k ?1

x 2k ?1 x 2 k ?1 k ? Rn ,其中 Rn ? (?1) cos ? x ; (2k ? 1)! (2k ? 1)! x 2 k ?2 x2k ? Rn ,其中 Rn ? (?1)k cos ? x ; (2k ? 2)! (2k )!

x2 x4 ? ? 2! 4!

? (?1)k ?1

第三部分:洛必达法则及其解法
洛必达法则:设函数 f ( x) 、 g ( x) 满足: (1) lim f ( x) ? lim g( x) ? 0 ;
x?a x?a

(2)在 U (a) 内, f ?( x ) 和 g ?( x) 都存在,且 g ?( x) ? 0 ; (3) lim x?a
f ?( x ) ? A ( A 可为实数,也可以是 ?? ). g ?( x )

3

则 lim x ?a

f ( x) f ?( x) ? lim ? A. g ( x) x?a g ?( x)

ln x 1 ln x k 1 (k ? 1)( x 2 ? 1) ? ,所以 f ( x) ? ( 由(Ⅰ)知 f ( x ) ? ? )? (2ln x ? ). x ?1 x x ?1 x 1 ? x2 x

(k ? 1)( x 2 ? 1) (k ? 1)( x 2 ? 1) ? 2 x 考虑函数 h( x) ? 2ln x ? . ( x ? 0) ,则 h '( x) ? x2 x

(i)当 k ? 0 时,由 h '( x) ?

k ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1) 2 知,当 x ? 1 时, h '( x) ? 0 .因为 h(1) ? 0 , x2
1 ? h( x ) ? 0 ;当 x ? (1, ??) 时, h( x) ? 0 , 1 ? x2

所以当 x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,可得 可得

1.(新课标理)已知函数 f ( x) ? 程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 . (Ⅰ)求 a 、 b 的值;

a ln x b ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方 x ?1 x

1 ln x k ln x k ? h( x ) ? 0 , ? ) ? 0, ? ; 从而当 x ? 0 且 x ? 1 时, f ( x) ? ( 即 f ( x) ? 2 1? x x ?1 x x ?1 x 1 ) 时, (k ?1)( x2 ? 1) ? 2x ? 0 ,故 h '( x) ? 0 , (ii)当 0 ? k ? 1 时,由于当 x ? (1, 1? k 1 1 ? h( x) ? 0 ,与题设矛盾. ) 时, h( x) ? 0 ,可得 而 h(1) ? 0 ,故当 x ? (1, 1 ? x2 1? k

( iii )当 k ? 1 时, h '( x) ? 0 ,而 h(1) ? 0 ,故当 x ? (1, ?? )时, h( x ) ? 0 ,可得
1 ? h( x ) ? 0,与题设矛盾.综上可得, k 的取值范围为 (??, 0] . 1 ? x2

( Ⅱ)如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ? 常规解法 (Ⅰ)略解得 a ? 1 , b ? 1 . (Ⅱ)方法一:分类讨论、假设反证法

ln x k ? , 求 k 的取值范围. x ?1 x

注: 分三种情况讨论: ①k ? 0; ② 0 ? k ? 1; ③ k ? 1 不易想到.尤其是② 0 ? k ? 1 时,许多考生都停留在此层面,举反例 x ? (1,
1 ) 更难想到.而这方面根据不同题 1? k

型涉及的解法也不相同,这是高中阶段公认的难点,即便通过训练也很难提升.

4

出来的函数 g ( x ) ?

2 x ln x ? 1求导,研究其单调性、极值 .此时遇到了“当 x=1 时, 1 ? x2

函数 g ( x) 值没有意义”这一问题,很多考生会陷入困境.如果考前对优秀的学生讲 洛必达法则解法
ln x k ln x 1 ln x k ? ,即 ? ? ? , x ?1 x x ? 1 x x ?1 x x ln x 1 x ln x 2 x ln x 2 x ln x ? ? ? ? 1,记 g ( x) ? ? 1 , x ? 0 ,且 x ? 1 也即 k ? 2 x ?1 x x ?1 1 ? x 1 ? x2

洛必达法则的应用,再通过强化训练就能掌握解决此类难题的这一有效方法. 2.(新课标理)设函数 f ( x) ? ex ?1 ? x ? ax2 . (Ⅰ)若 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围. 应用洛必达法则和导数 (Ⅱ)当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,即 e x ? 1 ? x ? ax 2 . ①当 x ? 0 时, a ? R ;②当 x ? 0 时, e x ? 1 ? x ? ax 2 等价于 a ?
ex ?1 ? x ( x ? 2)e x ? x ? 2 x ? (0 , + ? ) ,则 . g '( x ) ? x2 x3
x x ? (0, +?) , 则 h '( x )? (x? 1) , + ? )时 , e ? , 1 当 x?(0

当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ?

2( x2 ? 1)ln x ? 2(1 ? x2 ) 2( x 2 ? 1) 1 ? x2 则 g '( x) ? = (ln x ? 2 ) , (1 ? x 2 )2 (1 ? x2 )2 x ?1

记 h( x) ? ln x ?

1? x 1 ?4 x (1 ? x ) ,则 h '( x) ? + = ? 0, 2 2 2 x ?1 x (1+x ) x(1+x 2 )2
2

2 2

从而 h( x) 在 (0, ??) 上单调递增,且 h(1) ? 0,因此当 x ? (0,1)时, h( x) ? 0 ,当
x ? (1, ??) 时, h( x ) ? 0 ;当 x ? (0,1) 时, g '( x) ? 0 ,当 x ? (1, ??) 时, g '( x ) ? 0 ,

ex ?1 ? x . x2

所以 g ( x) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增. 由洛必达法则有
lim g ( x) ? lim(
x ?1 x ?1

记 g ( x) ?

记 h( x) ? ( x ? 2)e x ? x ? 2

2 x ln x 2 x ln x 2 ln x ? 2 ? 1) ? 1 ? lim ? 1 ? lim ?0, 2 2 x ?1 1 ? x x ?1 1? x ?2 x

x +?) 上单调递增,且 h '( x) ? h '(0) ? 0 , ,所以 h '( x) ? ( x ?1)e x ? 1 在 (0, h ''(x )? xe ? 0 x +?) 上 单 调 递 增 , 且 h( x) ? h( 0 ? ) 0 所 以 h( x) ? ( x? 2 )e 在 (0, ,因此当 ? x? 2

即当 x ? 1 时, g ( x) ? 0 ,即当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, g ( x) ? 0 . 因为 k ? g ( x) 恒成立,所以 k ? 0 .综上所述,当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ? 成立, k 的取值范围为 (??, 0] .
ln x k ? x ?1 x

x?( 0 , + ? ) 时, g '( x) ?

h( x ) ex ?1 ? x ? 0 +?) 上单调递增. g ( x ) ? ,从而 在 (0, x3 x2

由洛必达法则有, 注:本题由已知很容易想到用分离变量的方法把参数 k 分离出来.然后对分离

5

lim g ( x) ? lim
x ?0

ex ?1 ? x ex ?1 ex 1 ? lim ? lim ? x ?0 x ?0 2 x x ?0 2 x2 2
1 1 1 ,所以当 x ? (0, +?) 时,所以 g ( x ) ? ,因此 a ? . 2 2 2

lim f ( x) ? lim
x ?0 x ?0

x ? sin x 1 ? cos x sin x cos x 1 ? lim ? lim ? lim ? , 3 2 x ? 0 x ? 0 x ? 0 x 3x 6x 6 6

即当 x ? 0 时, g ( x) ? 综上所述,当 a ?

1 且 x ? 0 时, f ( x) ? 0 成立. 2

1 1 即当 x ? 0 时, g ( x) ? ,即有 f ( x ) ? . 6 6

例题:若不等式 sin x ? x ? ax3 对于 x ? (0, ) 恒成立,求 a 的取值范围. 2 应用洛必达法则和导数 当 x ? (0, ) 时,原不等式等价于 a ? 2

?

故a ?

1 ? 时,不等式 sin x ? x ? ax3 对于 x ? (0, ) 恒成立. 6 2

通过以上例题的分析,我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足: ① 可以分离变量; ②用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性;
0 ③出现“ ”型式子. 0

?

x ? sin x . x3

x ? sin x 3sin x ? x cos x ? 2 x 记 f ( x) ? ,则 f '( x) ? . 3 x x4

记 g ( x) ? 3sin x ? x cos x ? 2 x ,则 g '( x) ? 2cos x ? x sin x ? 2 . (海南宁夏文) 因为 g ''( x) ? x cos x ? sin x ? cos x( x ? tan x) , 已知函数 f ( x) ? x(e x ?1) ? ax2 . (Ⅰ)若 f ( x) 在 x ? ?1 时有极值,求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围. 解: (Ⅰ)略 (Ⅱ)应用洛必达法则和导数 当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,即 x(e x ? 1) ? ax2 .

? g '''( x) ? ? x sin x ? 0 ,所以 g ''( x) 在 (0, ) 上单调递减,且 g ''( x) ? 0 , 2
所以 g '( x ) 在 (0, ) 上单调递减,且 g '( x) ? 0 .因此 g ( x) 在 (0, ) 上单调递减, 2 2 且 g ( x) ? 0 ,故 f '( x) ? 由洛必达法则有
g ( x) x ? sin x ? ? 0 ,因此 f ( x) ? 在 (0, ) 上单调递减. 4 3 x x 2

?

?

6

①当 x ? 0 时, a ? R ;
ex ?1 ②当 x ? 0 时, x(e ? 1) ? ax 等价于 e ? 1 ? ax ,也即 a ? . x
x 2
x

(全国大纲理)设函数 f ( x) ? 1 ? e? x . (Ⅰ)证明:当 x ? ?1 时, f ( x ) ? (Ⅱ)设当 x ? 0 时, f ( x) ? 解: (Ⅰ)略 (Ⅱ)应用洛必达法则和导数 由题设 x ? 0 ,此时 f ( x) ? 0 .
1 x x ? 0 , f ( x) ? ①当 a ? 0 时,若 x ? ? ,则 不成立; a ax ? 1 ax ? 1 x x ②当 a ? 0 时,当 x ? 0 时, f ( x) ? ,即 1 ? e? x ? ; ax ? 1 ax ? 1 x ; x ?1

记 g ( x) ?

ex ?1 ( x ? 1)e x ? 1 , x ? (0, ??) ,则 g '( x) ? . x x

x ,求 a 的取值范围. ax ? 1

x x 记 h( x) ? ( x ?1)ex ? 1 , x ? (0, ??) , 则 h '( x )? xe 在 ? 0, 因 此 h( x) ? ( x ? 1)e ?1

(0, ??) 上单调递增,且 h( x) ? h(0) ? 0 ,所以 g '( x) ? (0, ??) 上单调递增.
由洛必达法则有
lim g ( x) ? lim
x ?0

h( x ) ex ?1 ? 0 ,从而 g ( x) ? 在 x x

若 x ? 0 ,则 a ? R ;
e ?1 e ? lim ? 1 , x ?0 x ?0 1 x
x x

若 x ? 0 ,则 1 ? e? x ?

即当 x ? 0 时, g ( x) ? 1 所以 g ( x) ? 1 ,即有 a ? 1 . 综上所述,当 a ? 1 , x ? 0 时, f ( x) ? 0 成立.

x 1 ? e? x 1 xe x ? e x ? 1 ? 等价于 ,即 a ? . ax ? 1 x ax ? 1 xe x ? x

xe x ? e x ? 1 e2 x ? x 2e x ? 2e x ? 1 ex 记 g ( x) ? ,则 g '( x) ? = (e x ? x 2 ? 2 ? e ? x ) . x x 2 x 2 xe ? x ( xe ? x) ( xe ? x)

记 h( x) ? ex ? x2 ? 2 ? e? x ,则 h '( x) ? ex ? 2 x ? e? x , h ''( x) ? ex +e? x ? 2 ? 0 .
? ?) 上单调递增,且 h '(0) ? 0 ,所以 h '( x) ? 0 , 因此, h '( x) ? ex ? 2 x ? e? x 在 (0, ? ?) 上单调递增,且 h(0) ? 0 ,所以 h( x) ? 0 . 即 h( x) 在 (0,

ex ? ?) 上单调递增. 因此 g '( x)= h( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 (0, ( xe x ? x)2

7

由洛必达法则有
xe x ? e x ? 1 xe x e x ? xe x 1 lim g ( x) ? lim ? lim x ? lim x ? ,即当 x ? 0 时, x x x x?0 x?0 x ? 0 x ? 0 xe ? x e ? xe ? 1 2e ? xe 2
g ( x) ?

2π 2π ? ? 因此 f ( x) 在每一个区间 ? 2kπ ? , 2kπ ? ? ( k ? Z )是增函数, 3 3 ? ? 2π 4π ? ? f ( x) 在每一个区间 ? 2kπ ? , 2kπ ? ? ( k ? Z )是减函数. 3 3 ? ?

1 1 1 1 ,即有 g ( x ) ? ,所以 a ? .综上所述, a 的取值范围是 (??, ] . 2 2 2 2

解: (Ⅰ)略 (Ⅱ)应用洛必达法则和导数
f ( x) ? sin x ? ax 2 ? cos x

若 x ? 0 ,则 a ? R ; 若 x ? 0 ,则 (全国 2 理)设函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; 记 h( x) ? 2 x cos x ? 2sin x ? sin x cos x ? x , (Ⅱ)如果对任何 x ≥ 0 ,都有 f ( x) ≤ ax ,求 a 的取值范围. 解: (Ⅰ) f ?( x) ?
(2 ? cos x) cos x ? sin x(? sin x) 2cos x ? 1 ? . 2 (2 ? cos x) (2 ? cos x) 2
sin x . 2 ? cos x

sin x sin x sin x ? ax 等价于 a ? ,即 g ( x) ? 2 ? cos x x(2 ? cos x) x(2 ? cos x)

则 g '( x) ?

2 x cos x ? 2sin x ? sin x cos x ? x . x 2 (2 ? cos x)2

h '( x) ? 2cos x ? 2 x sin x ? 2cos x ? cos 2 x ? 1 ? ?2 x sin x ? cos 2 x ? 1 ? 2sin 2 x ? 2 x sin x ? 2sin x(sin x ? x)
h '( x) ? 0 , h( x) 在 (0, ? ) 上单调递减, 因此, 当 x ? (0, ? ) 时, 且 h(0) ? 0 , 故 g(')x 0? ,

2π 2π 1 ? x ? 2kπ ? 当 2kπ ? ( k ? Z )时, cos x ? ? ,即 f ?( x) ? 0 ; 3 3 2 2π 4π 1 ? x ? 2kπ ? 当 2kπ ? ( k ? Z )时, cos x ? ? ,即 f ?( x) ? 0 . 3 3 2

所以 g ( x) 在 (0, ? ) 上单调递减, 而 lim g ( x) ? lim
x?0 x?0

sin x cos x 1 ? lim ? . x(2 ? cos x) x?0 2+cos x ? x sin x 3

8

另一方面,当 x ?[? , ??) 时, g ( x) ?

1 sin x 1 1 1 ? ? ? ,因此 a ? . 3 x(2 ? cos x) x ? 3

9


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