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《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)合情推理与演绎推理(含解析)


第五节

合情推理与演绎推理

[知识能否忆起] 一、合情推理

归纳推理 由某类事物的部分对象具有某些特征, 推 定义 出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理, 或者由个别事实概括出一般结论 的推理 特点 一般 步骤 由部分到整体、由个别到一般的推理 (1)通过观察个别情况发现某些相同性 质;(2)从已知的相同性质

中推出一个明 确的一般性命题(猜想)

类比推理 由两类对象具有类似特征和其中一类对 象的某些已知特征推出另一类对象也具 有这些特征的推理 由特殊到特殊的推理 (1)找出两类事物之间的相似性或一致 性;(2)用一类事物的性质去推测另一类 事物的性质,得出一个明确的命题(猜想)

二、演绎推理 1.定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演 绎推理. 2.特点:演绎推理是由一般到特殊的推理. 3.模式:三段论.“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: ①大前提—已知的一般原理; “三段论”的结构 ②小前提—所研究的特殊情况;③结论—根据一般原理, 对特殊情况做出的判断 ①大前提—M 是 P; “三段论”的表示 ②小前提—S 是 M; ③结论—S 是 P

[小题能否全取] 1.(教材习题改编)命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无 限循环小数”是假命题,推理错误的原因是( )

A.使用了归纳推理 B.使用了类比推理 C.使用了“三段论”,但推理形式错误 D.使用了“三段论”,但小前提错误 解析:选 C 由条件知使用了三段论,但推理形式是错误的. 2.数列 2,5,11,20,x,47,?中的 x 等于( A.28 C.33 B.32 D.27 )

解析:选 B 由 5-2=3,11-5=6,20-11=9. 则 x-20=12,因此 x=32. 3.(教材习题改编)给出下列三个类比结论. ①(ab)n=anbn 与(a+b)n 类比,则有(a+b)n=an+bn; ②loga(xy)=logax+logay 与 sin(α+β)类比,则有 sin(α+β)=sin αsin β; ③(a+b)2=a2+2ab+b2 与(a+b)2 类比,则有(a+b)2=a2+2a· 2. b+b 其中结论正确的个数是( A.0 C.2 解析:选 B 只有③正确. 4.在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1∶2,则它们的面积比为 1∶4.类似地, 在空间中,若两个正四面体的棱长的比为 1∶2,则它们的体积比为________. 1 Sh V1 3 1 1 ?S1? h1 1 1 1 解析: = =?S ?· = × = . V2 1 4 2 8 2 h2 S2h2 3 答案:1∶8 5.(2012· 陕西高考)观察下列不等式 1 3 1+ 2< , 2 2 1 1 5 1+ 2+ 2< , 2 3 3 1 1 1 7 1+ 2+ 2+ 2< 2 3 4 4 ?? 照此规律, 第五个不等式为___________________________________________________. 解析:观察得出规律,左边为项数个连续自然数平方的倒数和,右边为项数的 2 倍减 1 1 1 1 1 1 2n-1 的差除以项数,即 1+ 2+ 2+ 2+ 2+?+ 2< (n∈N*,n≥2), 2 3 4 5 n n ) B.1 D.3

1 1 1 1 1 11 所以第五个不等式为 1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< . 2 3 4 5 6 6 1 1 1 1 1 11 答案:1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< 2 3 4 5 6 6 1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理,合情推理具有猜测和发现结论,探索和提供 思路的作用.合情推理的结论可能为真,也可能为假,结论的正确性有待于进一步的证明. 2.应用三段论解决问题时,应首先明确什么是大前提,什么是小前提,如果大前提、 小前提与推理形式是正确的, 结论必定是正确的. 如果大前提错误, 尽管推理形式是正确的, 所得结论也是错误的.

归 纳 推 理

典题导入 x [例 1] (2012· 河南调研)已知函数 f(x)= (x>0). 如下定义一列函数:1(x)=f(x),2(x) f f x+2 =f(f1(x)),f3(x)=f(f2(x)),?,fn(x)=f(fn-1(x)),?,n∈N*,那么由归纳推理可得函数 fn(x) 的解析式是 fn(x)=________. x [自主解答] 依题意得,f1(x)= , x+2 x x+2 x x f2(x)= = = , x 3x+4 ?22-1?x+22 +2 x+2 x 3x+4 x x x f3(x)= = = ,?,由此归纳可得 fn(x)= n (x>0). x 7x+8 ?23-1?x+23 ?2 -1?x+2n +2 3x+4 [答案] x (x>0) ?2n-1?x+2n 由题悟法 1.归纳是依据特殊现象推断出一般现象,因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的 范围. 2.归纳的前提是特殊的情况,所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的. [注意] 归纳推理所得结论未必正确,有待进一步证明,但对数学结论和科学的发现很 有用. 以题试法

1.(2012· 枣庄模拟)将正奇数按如图所示的规律排列,则第 21 行从左向右的第 5 个数为 ( ) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 ? A.809 C.786 21 23 25 27 29 31 ? B.852 D.893 ?

解析:选 A 前 20 行共有正奇数 1+3+5+?+39=202=400 个,则第 21 行从左向右 的第 5 个数是第 405 个正奇数,所以这个数是 2×405-1=809.

类 比 推 理

典题导入 [例 2] 在平面几何里,有“若△ABC 的三边长分别为 a,b,c 内切圆半径为 r,则三 1 角形面积为 S△ABC= (a+b+c)r”,拓展到空间,类比上述结论,“若四面体 ABCD 的四个 2 面的面积分别为 S1, 2, 3, 4, S S S 内切球的半径为 r, 则四面体的体积为________________”. [自主解答] 三角形的面积类比为四面体的体积,三角形的边长类比为四面体四个面的 1 1 面积,内切圆半径类比为内切球的半径.二维图形中 类比为三维图形中的 ,得 V 四面体 ABCD 2 3 1 = (S1+S2+S3+S4)r. 3 1 [答案] V 四面体 ABCD= (S1+S2+S3+S4)r 3

由题悟法 1.类比推理是由特殊到特殊的推理,命题有其特点和求解规律,可以从以下几个方面 考虑类比:类比定义、类比性质、类比方法、类比结构. 2.类比推理的一般步骤: (1)找出两类事物之间的相似性或一致性; (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想). 以题试法 2.若{an}是等差数列,m、n、p 是互不相等的正整数,则有:(m-n)ap+(n-p)am+(p -m)an=0,类比上述性质,相应地,对等比数列{bn},有__________________.

解析:设{bn}的首项为 b1,公比为 q,则 bm n·n p·n bm bp p =(b1qp 1)m n· 1qm 1)n p· 1qn 1)p (b (b =b0·0=1. 1q 答案:bm n·n p·p bm bn p
- - -m - - - - - -m





-m

=1

演 绎 推 理

典题导入 [例 3] 数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1=
?Sn? (1)数列? n ?是等比数列; ? ?

n+2 S (n∈N*).证明: n n

(2)Sn+1=4an. n+2 [自主解答] (1)∵an+1=Sn+1-Sn,an+1= S, n n ∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即 nSn+1=2(n+1)Sn. 故 Sn+1 Sn =2· ,(小前提) n n+1
? ?

? Sn ? 故?n ?是以 2 为公比,1 为首项的等比数列.(结论)

(大前提是等比数列的定义,这里省略了) (2)由(1)可知 Sn+1 Sn-1 =4· (n≥2), n+1 n-1

Sn-1 n-1+2 ∴Sn+1=4(n+1)· =4· ·n-1=4an(n≥2).(小前提) S n-1 n-1 又∵a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提) ∴对于任意正整数 n,都有 Sn+1=4an.(结论) 由题悟法 演绎推理是从一般到特殊的推理,其一般形式是三段论,应用三段论解决问题时,应当 首先明确什么是大前提和小前提,如果前提是显然的,则可以省略. 以题试法

3.如图所示,D,E,F 分别是 BC,CA,AB 上的点,∠BFD=∠ A,且 DE∥BA.求证:ED=AF(要求注明每一步推理的大前提、小前 提和结论,并最终把推理过程用简略的形式表示出来).

证明:(1)同位角相等,两条直线平行,(大前提) ∠BFD 与∠A 是同位角,且∠BFD=∠A,(小前提) 所以 DF∥EA.(结论) (2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提) DE∥BA 且 DF∥EA,(小前提) 所以四边形 AFDE 为平行四边形.(结论) (3)平行四边形的对边相等,(大前提) ED 和 AF 为平行四边形的对边,(小前提) 所以 ED=AF.(结论) 上面的证明可简略地写成: ∠BFD=∠A?DF∥EA? ? ??四边形 AFDE 是平行四边形?ED=AF. ? DE∥BA ?

1.推理“①矩形是平行四边形;②三角形不是平行四边形;③三角形不是矩形”中的 小前提是( A.① C.③ ) B.② D.①和②

解析:选 B 由演绎推理三段论可知,①是大前提;②是小前提;③是结论.故选 B. 2.(2012· 合肥模拟)正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此 f(x)=sin(x2 +1)是奇函数,以上推理( A.结论正确 C.小前提不正确 ) B.大前提不正确 D.全不正确

解析:选 C 因为 f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数,所以小前提不正确. 3.(2012· 泰兴模拟)在平面几何中有如下结论:正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1,外接 S1 1 圆面积为 S2,则 = ,推广到空间可以得到类似结论;已知正四面体 P-ABC 的内切球体 S2 4 V1 积为 V1,外接球体积为 V2,则 =( V2 1 A. 8 1 C. 64 ) 1 B. 9 1 D. 27

V1 1 解析:选 D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为 1∶3,故 = . V2 27 4.(2012· 德州模拟)给出下面类比推理(其中 Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复数集): ①“若 a,b∈R,则 a-b=0?a=b”类比推出“a,c∈C,则 a-c=0?a=c”; ②“若 a,b,c,d∈R,则复数 a+bi=c+di?a=c,b=d”类比推出“a,b,c,d∈ Q,则 a+b 2=c+d 2?a=c,b=d ”; ③“a,b∈R,则 a-b>0?a>b”类比推出“若 a,b∈C,则 a-b>0?a>b”; ④“若 x∈R,则|x|<1?-1<x<1”类比推出“若 z∈C,则|z|<1?-1<z<1”. 其中类比结论正确的个数为( A.1 C.3 ) B.2 D.4

解析:选 B 类比结论正确的有①②. 5.观察如图所示的正方形图案,每条边(包括两个端点)有 n(n≥2,n∈N*)个圆点,第 n 个图案中圆点的总数是 Sn.按此规律推断出 Sn 与 n 的关系式为( )

A.Sn=2n C.Sn=2n

B.Sn=4n D.Sn=4n-4

解析:选 D 由 n=2,n=3,n=4 的图案,推断第 n 个图案是这样构成的:各个圆点 排成正方形的四条边,每条边上有 n 个圆点,则圆点的个数为 Sn=4n-4. 6.(2012· 武汉市适应性训练)下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )

A.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.由 an=2n-1,求出 S1=12,S2=22,S3=32,?,推断: Sn=n2 B.由 f(x)=xcos x 满足 f(-x)=-f(x)对? x∈R 都成立,推断:f(x)=xcos x 为奇函数 x2 y2 C.由圆 x2+y2=r2 的面积 S=πr2,推断:椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的面积 S=πab a b D.由(1+1)2>21,(2+1)2>22,(3+1)2>23,?,推断:对一切 n∈N*,(n+1)2>2n 解析:选 A 选项 A 由一些特殊事例得出一般性结论,且注意到数列{an}是等差数列, n?1+2n-1? 2 其前 n 项和等于 Sn= =n ,选项 D 中的推理属于归纳推理,但结论不正确.因 2 此选 A. 1 1 1 3 5 7. (2013· 杭州模拟)设 n 为正整数, f(n)=1+ + +?+ , 计算得 f(2)= , f(4)>2, f(8)> , 2 3 n 2 2 f(16)>3,观察上述结果,可推测一般的结论为________.

n+2 解析:由前四个式子可得,第 n 个不等式的左边应当为 f(2n),右边应当为 ,即可得 2 n+2 一般的结论为 f(2n)≥ . 2 n+2 答案:f(2n)≥ 2 8.(2011· 陕西高考)观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ?? 照此规律,第 n 个等式为________. 解析:每行最左侧数分别为 1、2、3、?,所以第 n 行最左侧的数为 n;每行数的个数 分别为 1、3、5、?,则第 n 行的个数为 2n-1.所以第 n 行数依次是 n、n+1、n+2、?、 3n-2.其和为 n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=(2n-1)2. 答案:n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=(2n-1)2 9.(2012· 杭州模拟)在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的 一个直角三角形,按图所标边长,由勾股定理有:c2=a2+b2.设想正方形换成正方体,把截 线换成如图的截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 O-LMN,如果用 S1, S2,S3 表示三个侧面面积,S4 表示截面面积,那么类比得到的结论是________.

解析:将侧面面积类比为直角三角形的直角边,截面面积类比为直角三角形的斜边,可
2 得 S2+S2+S2=S4. 1 2 3

答案:S2+S2+S2=S2 1 2 3 4 10.平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质,例如在三角形中:(1)三 1 角形两边之和大于第三边;(2)三角形的面积 S= ×底×高;(3)三角形的中位线平行于第三 2 1 边且等于第三边的 ;?? 2 请类比上述性质,写出空间中四面体的相关结论. 解:由三角形的性质,可类比得空间四面体的相关性质为: (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积;

1 (2)四面体的体积 V= ×底面积×高; 3 1 (3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的 . 4 11. 定义“等和数列”: 在一个数列中, 如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数, 那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列,且 a1 =2,公和为 5. (1)求 a18 的值; (2)求该数列的前 n 项和 Sn. 解:(1)由等和数列的定义,数列{an}是等和数列,且 a1=2,公和为 5,易知 a2n-1=2, a2n=3(n=1,2?),故 a18=3. (2)当 n 为偶数时, Sn=a1+a2+?+an=(a1+a3+?+an-1)+(a2+a4+?+an) 5 =2+2+?+n个2+3+3+?+n个3= n; 2 3 2 2 2 当 n 为奇数时, 5 5 1 Sn=Sn-1+an= (n-1)+2= n- . 2 2 2

?2n,n为偶数, 综上所述:S =? 5 1 ?2n-2,n为奇数.
5
n

12.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四 个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣 (小正方形的摆放规律相同),设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形.

(1)求出 f(5)的值; (2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出 f(n+1)与 f(n)之间的关系式,并根据你得 到的关系式求出 f(n)的表达式; (3)求 1 1 1 1 + + +?+ 的值. f?1? f?2?-1 f?3?-1 f?n?-1

解:(1)f(5)=41. (2)因为 f(2)-f(1)=4=4×1, f(3)-f(2)=8=4×2,

f(4)-f(3)=12=4×3, f(5)-f(4)=16=4×4, ? 由上式规律,所以得出 f(n+1)-f(n)=4n. 因为 f(n+1)-f(n)=4n, 所以 f(n+1)=f(n)+4n, f(n)=f(n-1)+4(n-1) =f(n-2)+4(n-1)+4(n-2) =f(n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3) =? =f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+?+4 =2n2-2n+1. (3)当 n≥2 时, 1 1 1 1 1 = = ( - ), 2 n-1 n f?n?-1 2n?n-1? ∴ 1 1 1 1 + + +?+ f?1? f?2?-1 f?3?-1 f?n?-1

1 1 1 1 1 1 1 1 =1+ ?1-2+2-3+3-4+?+n-1-n? 2? ? 1 1 =1+ ?1-n? ? 2? 3 1 = - . 2 2n

1.(2012· 江西高考)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+ b5=11,?,则 a10+b10=( A.28 C.123 ) B.76 D.199

解析:选 C 记 an+bn=f(n),则 f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7; f(5)=f(3)+f(4)=11.通过观察不难发现 f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n∈N*,n≥3),则 f(6)=f(4)+ f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)=76;f(10)=f(8)+f(9) =123.所以 a10+b10=123.

OA OB 2.对于命题:若 O 是线段 AB 上一点,则有| OB |· +| OA |· =0.
将它类比到平面的情形是:

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

OA OB OC 若 O 是△ABC 内一点,则有 S△OBC· +S△OCA· +S△OBA· =0,将它类比到空间

??? ?

??? ?

??? ?

情形应该是:若 O 是四面体 ABCD 内一点,则有________. 解析: 将平面中的相关结论类比到空间, 通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的 几何体的体积, 因此依题意可知若 O 为四面体 ABCD 内一点, 则有 VO-BCD· +VO-ACD· OA OB +VO-ABD· +VO-ABC· =0. OC OD 答案:VO-BCD· +VO-ACD· +VO-ABD· +VO-ABC· =0 OA OB OC OD 3.(2012· 福建高考)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个 常数: (1)sin213° +cos217° -sin 13° 17° cos ; (2)sin215° +cos215° -sin 15° 15° cos ; (3)sin218° +cos212° -sin 18° 12° cos ; (4)sin2(-18° )+cos248° -sin(-18° )cos 48° ; (5)sin2(-25° )+cos255° -sin(-25° )cos 55° . (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 解:(1)选择(2)式,计算如下: 1 sin215° +cos215° -sin 15° 15° cos =1- sin 30° 2 1 3 =1- = . 4 4 3 (2)三角恒等式为 sin2α+cos2(30° -α)-sin α· cos(30° -α)= . 4 证明如下: 法一:sin2α+cos2(30° -α)-sin αcos(30° -α) =sin2α+(cos 30° α+sin 30° α)2-sin α(cos 30°cos α+sin 30° α) cos sin · sin 3 3 1 3 1 =sin2α+ cos2α+ sin αcos α+ sin2α- sin αcos α- sin2α 4 2 4 2 2 3 3 = sin2α+ cos2α 4 4 3 = . 4 法二:sin2α+cos2(30° -α)-sin αcos(30° -α) = 1-cos 2α 1+cos?60° -2α? + -sin α(cos 30° α+sin 30° α) cos sin 2 2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

1 1 1 1 3 1 = - cos 2α+ + (cos 60° 2α+sin 60° 2α)- sin αcos α- sin2α cos sin 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 1 = - cos 2α+ + cos 2α+ sin 2α- sin 2α- (1-cos 2α) 2 2 2 4 4 4 4

1 1 1 3 =1- cos 2α- + cos 2α= . 4 4 4 4

1.(2012· 江西高考)观察下列事实:|x|+|y|=1 的不同整数解(x,y)的个数为 4,|x|+|y| =2 的不同整数解(x,y)的个数为 8,|x|+|y|=3 的不同整数解(x,y)的个数为 12,?,则|x| +|y|=20 的不同整数解(x,y)的个数为( A.76 C.86 B.80 D.92 )

解析:选 B 由特殊到一般,先分别计算|x|+|y|的值为 1,2,3 时,对应的(x,y)的不同整 数解的个数,再猜想|x|+|y|=n 时,对应的不同整数解的个数.通过观察可以发现|x|+|y|的 值为 1,2,3 时,对应的(x,y)的不同整数解的个数为 4,8,12,可推出当|x|+|y|=n 时,对应的 不同整数解(x,y)的个数为 4n,所以|x|+|y|=20 的不同整数解(x,y)的个数为 80. 2.(2012· 豫东、豫北名校测试)已知如下等式: 1 3-4= (32-42), 7 1 32-3×4+42= (33+43), 7 1 33-32×4+3×42-43= (34-44), 7 1 34-33×4+32×42-3×43+44= (35+45), 7 则由上述等式可归纳得到 3n-3n 1×4+3n 2×42-?+(-1)n4n=________(n∈N*). 1 + - - 解析:依题意及不完全归纳法得,3n-3n 1×4+3n 2×42-?+(-1)n4n= [3n 1-(-4)n 7
+1 - -

]. 1 + + 答案: [3n 1-(-4)n 1] 7


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