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2016年全国高中数学联赛试题与解答A卷(一试)(word版)[1]

时间:2016-10-07


2016 年全国高中数学联合竞赛一试(A 卷)
参考答案及评分标准

说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准.填空题只设 8 分和 0 分两档;其他各题的 评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次给分,解答题中第 9 小题

4 分为一个档次,第 10、11 小题 5 分一个档次,不要增加其他中间档次. 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分 1.设实数 a 满足 a ? 9a 3 ? 11a ?| a | ,则 a 的取值范围是 2.设复数 z , w 满足 | z |? 3 , ( z ? w )(z ? w) ? 7 ? 4i ,其中 i 是虚数单位, z , w 分别 表示 z , w 的共轭复数,则 ( z ? 2w )(z ? 2w) 的模为 3. 正实数 u , v, w 均不等于 1, 若o lg
u

vw ? o lg

v

则l w ? 5 ,logv u ? logw v ? 3 , o g

w

u

的值为 4. 袋子 A 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币,袋子 B 中装有 4 张 5 元纸币和 3 张 1 元纸币.现随机从两个袋子中各取出两张纸币,则 A 中剩下的纸币面值之 和大于 B 中剩下的纸币面值之和的概率为 5.设 P 为一圆锥的顶点,A,B,C 是其底面圆周上的三点,满足 ?ABC =90°,

M 为 AP 的中点.若 AB=1,AC=2, AP ? 2 ,则二面角 M—BC—A 的大小为
6.设函数 f ( x) ? sin 4
kx kx ? cos 4 ,其中 k 是一个正整数.若对任意实数 a ,均 10 10

有 { f ( x) | a ? x ? a ? 1} ? { f ( x) | x ? R} ,则 k 的最小值为 7.双曲线 C 的方程为 x 2 ?
y2 ? 1 ,左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,过点 F2 作直线与 3

双曲线 C 的右半支交于点 P,Q,使得 ?F1 PQ =90°,则 ?F1 PQ 的内切圆半径是 8.设 a1 , a2 , a3 , a4 是 1,2,…,100 中的 4 个互不相同的数,满足
1 2 2 2 2 2 (a1 ? a2 ? a3 )(a2 ? a3 ? a4 ) ? (a1a2 ? a2 a3 ? a3 a4 ) 2

则这样的有序数组 (a1 , a2 , a3 , a4 ) 的个数为

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二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 9. (本题满分 16 分)在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 2BA ? BC ? 3CA ? CB .求 sin C 的最大值. 10. (本题满分 20 分)已知 f ( x) 是 R 上的奇函数, f (1) ? 1 ,且对任意 x ? 0 ,均
x ) ? xf ( x) . x ?1 1 1 1 1 1 1 1 ) ? f ( ) f ( ) ? f ( ) f ( ) ? … ? f ( ) f ( ) 的值. 求 f (1) f ( 50 51 100 2 99 3 98

有 f(

11. (本题满分 20 分)如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,F 是 x 轴正半轴上 的一个动点.以 F 为焦点,O 为顶点作抛物线 C.设 P 是第一象限内 C 上的一点, Q 是 x 轴负半轴上一点, 使得 PQ 为 C 的切线, 且|

PQ|=2.圆 C1 , C2 均与直线 OP 相切于点 P,且均与
轴相切.求点 F 的坐标,使圆 C1 与 C 2 的面积之和 取到最小值.

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