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(文数)惠州市2009届高三第三次调研考试


惠州市 2009 届高三第三次调研考试数学试题 (文科)
第Ⅰ卷 选择题 (共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有-项是符合题目要求的.) 1. 若集合 A={1, x), 3, B={l, 2}, x A∪B = {I, x}, 3, 则满足条件的实数 x 的个数有 (

A. 1个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个 ) )

2 已知 m,n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题中正确的是 ( A.若 m∥ ? ,n∥ ? ,则 m∥n C.若 m∥ ? ,m∥ ? ,则 ? ∥ ? B.若 ? ⊥ ? ,则 ? ∥ ? D.若 m⊥ ? ,n⊥ ? ,则 m∥n ) D.第四象限 ) D.4 ) D.80

3.已知复数 z1 =2+i,z2=1-i,则 z = z1·2 在复平面上对应的点位于 ( z A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

4.已知向量 a = (1,n),b= (-1,n-2),若 a 与 b 共线,则 n 等于 ( A.1 B. 2 C.2

5.在等比数列{an}中,如果“a1+ a2=40,a3+ a4=60,那么 a7+ a8= ( A.135 B.100 C.95

x2 y2 6 若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合,则 P 的值为( ) 6 2
A.-2 B.2 C.-4 D.4 7. 若以近续抛掷两次骰子分别得到的点数 m、 作为点 P 的坐标,则点 P 落在圆 x2+2 概率=16 n 内的概率为( ) A.

8.某雷达测速区规定:凡车速大于或等于 70m/h 的汽车 视为“超速”,并将受到处罚,如图是某路段的一个检测 点对 200 辆汽车的乍速进行检测所得结果的频率分布直方 图,则从图中可以石得山将被处罚的汽车人约有 ( )

7 36

B.

2 9

C.

1 6

D.

1 4

1

A.30 辆

B.40 辆

C.60 辆

D.80 辆

9.若函数 f(x)是奇函数,且在(0,+ ? )内是增函数. f(-3)=0,则不等式 x f(x)<0 的解集为 ( A.{x |-3<x<0 或 x >3} C.{x | x <-3 或 x >3} ) B.{ x |x<-3 或 0<x<3} D.{ x|-3<x <0 或 0<x<3} )

10.一束光线从点 A(-1,1)出发, x 轴反射到圆 C: 经 (x-2)2+(y-3)2=1 上的最短路程是 ( A.3 2 -1 B.2 6 C.4 D.5

第Ⅱ卷 非选择题

(共 100 分)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分。其中 14~15 题是选做题,考生 只需选做其中一题,两题全答的,只以第一小题计分。) 11.按下列程序框图来计算: 是 开始 输入 X X=3×X-2 x>200 否 输出 X 结束

如果 x=5.应该运算

次才停止。

12.垂直于直线 2x-6y+l = 0 且与曲线 y=x3+3x2-1 相切的直线方程的一般式是 13.若,则 c + ? )=没,则 cos2 ? = 14.在极坐标系中,过圆 ? =6cos ? 的圆心, 且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 15.如图,PA 切 DO 于点 A.割线 PBC 经过圆心 O, OB=PB=1,OA 绕点 O 逆时针旋转 60°到 OD, 则 PD 的长为 。 。

★(请考生在以下二个小题中任选一题作答,全答的以第一小题计分)

2

三、解答题(本部分共计 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤, 请在指定区域内作答,否则该题计为零分 ) 16.(本小题满分 12 分) 已知 sin

(I)求 tanx 的值: (2)求 cos2x

x x –2cos =0. 2 2
的值.

? 2 cos( +x)sin x 4

17.(本小题满分 12 分) 同时掷两个骰子,计算: (I)一共有多少种不同的结果? (2)其中向上的点数之和中 5 的结果有多少种?概率是多少? (3)向上的点数之和小于 5 的概率是多少?

18.(本小题满分 14 分) 如图,己知正三棱柱 ABC- A1B1C1 的底面边长是 2,D、E 是 CC1、BC 的中点,AE=DE (1) 求此正三棱柱的侧棱长: (2) 正三棱柱 ABC- A1B1C1 表面积:

19.(本小题满分 14 分) 已知点(x,y)在曲线 C 上,将此点的纵坐标变为原来的 2 倍.对应的横坐标不变,得 到的点满足方程 x2+y2=8;定点 M(2,1).平行于 OM 直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m≠0),直 线 l 与曲线 C 交 A、B 两个不同点。 (1)求曲线 C 的方程; (2)求 m 的取值范围.

3

20.(本小题满分 14 分) (I)己知二次函数 f(x) = ax2+bk+c,满足 f(0) =f(1) = 0,且 f(x)的最小值是求 f(x)的解析式;

1 4

(2)设 f(x) =x2—2ax+2.当 x∈[-1,+∞)时,f(x)≥恒成立,求实数 a 的取值范围.

21.(本小题满分 14 分) 已知数列{an}、{bn }满足:a1= , an+bn=1,bn+1= (1)b1,b2,b3,b4; (2)数州{bn}的通项公式: (3)Sn = a1a2+ a2a3+ a3a4…+ anan+1,求实数 a 为何值时 4aSn<bn 恒成立。

1 4

bn . (1 ? an )(1 ? an )

4

参考答案
一.选择题(10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 C 2 D 3 D 4 A 5 A 6 D 7 B 8 B 9 D 10 C

l、解析:A ? B = {l,3,x},所以 x 2=3,x 2=x 解得 x=± 3 ,x=1(舍去) x = 0 即满足条 件的有 3 个;答案:C 2、解:m、n 均为直线,其中 m、n 平行,m,n 可以相交也可以异面,故 A 不正确: M⊥ ? ,n⊥a 则同垂直于一个平面的两条直线平行;选 D。 3、解析:zl·2=3-i, 故选 D z 4、解析:a 与 b 共线∴1× (n-2)-n×(-1)=0 得 n=1 选 A 5、解析:由等比数列的性质知 a1+a2,a3+a4,…,a7+ a8 仍然成等比数列, 公比

q?

a3 ? a 4 60 3 ? ? ,∴ a1 ? a8 ? (a1 ? a2)q4 ? 1 ? 40 ×( 3 )3=135 a1 ? a 2 40 2 2

p 6、解析:由 2 =2 得 p=4,选 D。
7、解析:解 x 2+y2<16,x=1 时.y=l,2,3:x=2 时,y =l,2,3:x =3 时,Y=l,2 即共有 8 点,则所求概率为

2 8 = ∴选 B. 9 6 x6
选 B. ∴选 D

8、解析:由图可知,车速大于或等于 70k~h 的汽车的频率为 0.02× 10=0.2,m0 将被处罚 的汽车大约有 200×0.2=40 辆.

9、解析:由题意作 y=f(x)的图象由图象易得-3<z<0 或 0<X<3

10、解析:先作出已知圆 C 关于 x 轴对称的圆 C?,问题转化为求点 A 到倒 C?上的点的最 短路径,即|AC?|-l=4. ∴选 C.

二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题.考生 只需选做其中—题,两题全答的,只以第-小题计分.) 11、4 12、3x+y+2=0 13、 ? 25

7

14、 ? coS ? =3

15、 7

1l、解析:xn+1 = 3xn-2,x1,=5,x2 = 13,x3=37,x4 = 99,x5 = 295>200,所以运行 4 次。 12、解析:∵所求直线与 2x-6y+l = 0 垂直,k=-3 又由 y=x3+3x2-1,得 y?=3x2+6x=-3,x =--1, 切点为(-1,1) ∴直线方程为 y-1=-3(x+1) ,3x+y+2 = 0

? 2

5

13、解析:由 sin( 答案;-

- ? )=

5 3

可知 cos ? =

3 3 7 ;而 cos2 ? =2 cos2 ? -1=2×( )-1=5 5 25

7 25

14、解析:由题意可知圆的标准方程为(x-3)2+y2=9,圆心是(3.0) 所求直线标准方程 x=3,则坐标方程为 ? cos ? =3. 15、解所 l:∵PA 切⊙O 于点 A,B 为 PO 中点,AB=OB=OA,∴∠AOB=60°∴ ∠POD=120°, 在△POD 中由余弦定理 PD2=PO2+DO2-2PD· DOcos∠POD=4+1-4× (∴PD= 7 解析 2:过点 D 作 DE⊥PC 垂足为 E,∠POD=120°.∠DOB=60°, 可得 OE=

1 )=7 2

1 3 .DE= .在 Rt△PED 中(1.1) 2 2

∴ PD ?

PE ? DE ?

25 3 ? ? 7 4 4

三.解答题(本部分共计 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤.) 16.(本题满分 12 分) ???

x x 解.(1) 由 sin -2cos =0, ? tan =2 2 2 x 2 t an 2 = 2 ? 2 =﹣ 4 ? tanx -

1 ? t an
(2) 原式=

2

x 2

1 ? 22

3

? 2? ? ?

cos2 x ? sin 2 x ? 2 2 cos x ? sin x ? sin x ? 2 2 ?



?cos x ? sin x ??cos x ? sin x ? ?cos x ? sin x ?sin x
cosx + sinx sinx
3 4 1 4
……………………1 分
6

= =cosx+1

=(- )+1= 17. (本小题满分 12 分)

解: (1)掷一个骰子的结果有 6 种。

我们把两个骰子标上记号 1,2 以便区分.由于 1 号骰子每一个结果都可以与 2 号骰子的任意一个结果配对,组成同时掷两个骰子的结果,因此同时掷两个骰子的结 36 种。 (2)在上面的所有结果中,向上的点数之和为 5 的结果有 (l,4),(2,3),(3,2).(4,1)共 4 种 ……………………6 分 ……………………4 分

由于所有 36 种结果是等可能的,其中向上的点数之和为 5 的结果有 4 种,因此 由古典概型的概率计算公式可得 P5= =

(3)向上的点数之和为 2 的结果有(1,1) 一种情况, 向上的点数之和为 3 的结果有(1,2),(2,1)两种情况, 向上的点数之羽 l 为 4 的结}泉有(1,3),(3,1),(2,2)三种情况。……… 10 分 记向上的点数之和为 2 的概率为 P2, 向上的点数之和为 3 的概率为 P3,向上的点数和为 4 的 概率为 P,因此,向上的点数之和小于 5 的概率

4 36

1 9

……………………8 分

P =P 2+P3+P 4+=
18.(本小题满分 14 分)

1 2 3 1 + + = 36 36 36 6

……… 12 分

解;(1)设正三棱柱 ABC-ABC 的侧棱长为 x 取 BC 中点 E,连结 AE

? △ABC 是正二角形,? AE⊥BC……………………………………………………2 分
又底面 ABC⊥BB1C1C,且交线为 BC ∴AE⊥侧面 BB1C1C,进结 ED, 在 Rt△AED 中,由 AE=DE,得 1 ?

解得 x=2 2 …………………………………………………6 分 (2)S=S 矩+S 底……………………………8 分 S 侧=3× 2×2 2 =12 2× S 底=2×

x2 ,……………………………………………4 分 ? 3 4

3 2 × =2 3 ……………………………4 分 2 4

∴S=S 侧+ S 底=12 2 +2 3 ……………………14 分 19.(本小题满分 14 分) 解:(1)在曲线 C 上任取一个动点 P(x,y), 则点(x,2y)在圆 x2+y2=8 上. …3 分 所以 x +(2y)2=2
2

? 整理得曲线 C 的方程为

(2)? 直线 l 平行于 OM,且在 y 轴上的截距为 m,又 KOM=

y2 + =1.……6 分 2 8 1

x2

2 1 直线 ? · l 的方程为 y= x+m.………………………………………9 分 2 1 ? ? y ? 2 x ? m, ? 2 2 由= ? 得,x +2mx+2m -4=0……………………………10 分 2 2 ?x ? y ?1 ?8 7 2 ?

? 直线 l 与椭圆交'“A、B 两个不同点,
? △=(2m)22-4(2m2-4)>0'
解得—2< m <2 且 m≠0

? m 的取值范围是-2<m<0 或 O<m<2
20.(本小题满分 14 分) 解:(1)由二次函数图象的对称性.可设 f(x)= a? x ? 故 f ( x) ? x 2 ? x

? ?

1? 1 ? ? ,又 f (0) ? 0 ,∴a=1 2? 4

2

…………………………4 分

(2)当 a≤-1 时, f ( x)min ? f (?1) ? 3 ? 2a …………6 分 x∈[-1,+∞),f(x)≥a 恒成立?f(x)min≥a 即 3+2a≥a?a≥-3.故此时-3≤a≤-1 …………._8 分 当 a>-1 时, f ( x)min ? f (a) ? a2 ? 2a2 ? 2 ? 2 ? a2 , x∈[-1,+∞),f(x)>a 恒成立? f(x)min≥a 即 2-a2≥a? a2+a-2≤0 ?-2≤a≤1。故此时-1<a≤1.…………12 分 故. 当-3≤a≤1 时。x∈[一 1.+∞),f(x) ≥a 恒成立. 21.(本小题满分 14 分) 解: (1) bn ?1 ? ∵ a1 ? …………14 分

bn bn 1 ? ? (1 ? an )(1 ? an ) bn (2 ? bn ) 2 ? bn
∴ b2 ?

1 3 , b1 ? 4 4

4 5 6 , b3 ? , b4 ? 5 6 7

…………3 分

(2) ∵ bn ?1 ? 1 ?

1 1 2 ? bn 1 ………………5 分 ?1 ∴ ? ? ?1 ? 2 ? bn bn ?1 ? 1 bn ? 1 bn ? 1

∴数列{

1 }是以-4 为首项。-1 为公差的等差数列 bn ? 1



1 ? ?4 ? (n ? 1) ? ?n ? 3 ……………………………7 分 bn ? 1
1 n?2 ? ………………………………………9 分 n?3 n?3

∴ bn ? 1 ?

8

(3) an ? 1 ? bn ?

1 n?3

∴ sn ? a1a2 ? a3a4 ? .... ? an an ?1 ?

1 1 1 1 1 n ? ? ... ? ? ? 4? 5 5? 6 (n ? 3)(n ? 4) 4 n ? 4 4(n ? 4)

an n ? 2 (a ? 1)n 2 ? (3a ? 6)n ? 8 4aSn ? bn ? ? ? ∴ n?4 n?3 (n ? 3)(n ? 4)
2

…………11 分

由条件可知(a 一 1)n +(3a-6)n 一 8<0 恒成立即可满足条件,设 f(n)=(a-1)n +(3a 一 6)n 一 8 当 a=1 时.f(n)=-3n 一 8<0 恒成立 当 a>1 时,由二次函数的性质知不可能成立 当 a<l 时·对称轴 n ? ?
2

3 a?2 3 1 ? ? ? (1 ? )?0 2 a ?1 2 a ?1

f(n)在( ? ?,1 〕为单调递减函数. f(1)=(a 一 1)n2+(3a-6)n 一 8=(a 一 1)+(3a 一 6)一 8=4a 一 15<0 ∴a<

15 4

∴a<l 时 4aSn<6 恒成立

综上知:a≤ l 时,4aSn<6 恒成立…………………………………………14 分

9


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