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广西贵港市2015-2016学年高二数学3月月考试题 理


2016 年春季期高二年级月考(一)数学(理科)试卷
(完卷时间 120 分钟;满分 150 分) 第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题所给的四个答案中有且只有 一个答案是正确的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上. ) 1. 已知复数 z 满足 zi ? 2i ? x ( x ? R ) ,若 z 的

虚部为 2,则 z ? ( A.2
x

) . D. 3

B. 2 2
x

C. 5 )
x

2.已知命题 p : “ ?x ? R, e ? x ?1 ? 0 ” ,则 ?p 为 ( A. ?x ? R, e ? x ?1 ? 0
x

B. ?x ? R, e ? x ?1 ? 0 C . ?x ? R, e x ? x ?1 ? 0

D. ?x ? R, e ? x ?1 ? 0 3.阅读算法框图,如果输出的函数值在区间 [1,8] 上,则输入的实数 x 的取 值范围是( A. [0, 2) ) B. [2, 7] C. [2, 4]
3 2

D. [0, 7]

4.某汽车启动阶段的路程函数为 s(t ) ? 2t ? t ? 2 ,则在 t ? 1 时,汽车 的瞬时速度是. A.3 B.1 C .4 D. -1

? x?2?0 ? 5. 若实数 x, y 满足不等式组 ? y ? 1 ? 0 目标函数 t ? x ? 2 y 的最大值为 ?x ? 2 y ? 0 ?
A. ﹣4 B.4 C.2 D.0 6.如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的表面积是( A. 1 ? 2 ? 3 B. 2 ? 2 ? 3 C. 3 ? 2 ? 3 7. (1 ? x) (1 ? x) 的展开式中 x 的系数是(
6 4
2



D. 4 ? 2 ? 3



A. ?4 B. ?3 C. 3 D. 4 2 8. 已知抛物线 C : y ? 8 x 与直线 y ? k ? x ? 2 ?? k ? 0 ? 相交于 A, B 两点,F 为

C 的焦点,若 FA ? 2 FB ,则 k ? (
A. 9.已知

)

2 2 3
cos 2x

B.

1 3

C.

2 3
)

D.

2 3

? π? 2cos?x+ ? 4? ?

1 = ,则 sin 2x=( 5

24 4 24 2 5 A.- B.- C. D. 25 5 25 5 10. 已 知 三 棱 锥 O ? A B C 底 面 ABC 的 顶 点 在 半 径 为 4 的 球 O 表 面 上 , 且 AB ?6 , B C ? 2 3 , A? C ,则三棱锥 4 3 ) O ? ABC 的体积为( A. 4 3 11 .设 F1 , F2 是双曲线 B. 12 3
2 2

C.18 3

D. 36 3

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点 P ,使 2 a b
1

(OP ? OF2 ) ? F2 P ? 0 ( O 为坐标原点) ,且 PF 1 ? 3 PF 2 ,则双曲线的离心率为(
A.

?

?

?



12 . 已 知 偶 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 可 导 函 数 , 其 导 函 数 为 f ?( x ) , 当 x ? 0 时 有

2 ?1 2

B. 2 ? 1

C.

3 ?1 2

D. 3 ? 1

2 f ( x) ? xf ?( x) ? x 2 ,则不等式 ( x ? 2014)2 f ( x ? 2014) ? 4 f (?2) ? 0 的解集为(
A. ? ??, ?2012? B. ? ?2016, ?2012? C. ? ??, ?2016? D. ? ?2016, 0? 第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分)

)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置上. ) 13.在等比数列 ?an ? 中, a3a7 ? 8 ,则 a5 ?

1 与直线 y ? x , x ? 2 所围成图形的面积为________ x 15.已知在 ?ABC 中, AB ? 4 , AC ? 6 , BC ? 7 其外接圆的圆心为 O , 则 AO ? AB ? _____.
14.曲线 y ? 16. 以下命题正确的是: ①把函数 y ? 3sin(2 x ? .

? ) 的图象向右平移 个单位,可得到 y ? 3sin 2 x 的图象; 6 3 ②四边形 ABCD 为长方形, AB ? 2, BC ? 1, O 为 AB 中点,在长方形 ABCD 内随机取一点 P ,取得 ? 的 P 点到 O 的距离大于 1 的概率为 1 ? ; 2
③某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选择课 4 门,一位同学从中共选 3 门,若要求两类课程中各至少选 一门,则不同的选法共有 30 种; ④在某项测量中,测量结果 ? 服从正态分布 N ( 2 , ? )(? ? 0) .若 ? 在 ( ? ? , 1) 内取值的概率为
2

?

0.1,则 ? 在 ( 2 , 3 ) 内取值的概率为 0.4. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足 2Sn ? 3an ? 1 ,其中 n ? N * . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 an bn ?

3n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn . n2 ? n

18.(本小题满分 12 分) 某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行 调查,在高三的全体 1000 名学生中随机抽取了 100 名学 生的体检表,并得到如图的频率分布直方图. (1)试估计该校高三学生视力在 5.0 以上的人数; (2)为了进一步调查学生的护眼习惯,学习小组成员进 行分层抽样,在视力 4.2 ~ 4.4 和 5.0 ~ 5.2 的学生中抽 取 9 人, 并且在这 9 人中任取 3 人, 记视力在 4.2 ~ 4.4 的 学生人数为 X ,求 X 的分布列和数学期望.
2

19.(本小题满分 12 分) 已知:矩形 A1 ABB1 ,且 AB ? 2 AA 1 , C1 , C 分别是 A1 B1 、 A B 的中点, D 为 C1C 中点,将 矩形 A1 ABB1 沿着直线 C1C 折成一个 60 的二面角,如图所示. (1)求证: AB1 ⊥ A1D ; (2)求 AB1 与平面 A1B1D 所成角的正弦值.
o

A

A1
1

A

A1 C B D C1 B1

C
B
20.(本小题满分 12 分)

C1
B1
1

1

已知以 A 为圆心的圆 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 64上有一个动点 M , B(?2,0) ,线段 BM 的垂直平分线交

AM 于点 P ,点 P 的轨迹为 E . (1)求轨迹 E 的方程;
(2)过 A 点作两条相互垂直的直线 l1 , l 2 分别交曲线 E 于 D, E , F , G 四个点,求 DE ? FG 的取值 范围.

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? 线 2x ? y ? 0 . (1)实数 a 的值;

a , a ? R ,且函数 f ( x) 在 x ? 1 处的切线平行于直 x

(2)若在 ?1,e? ( e ? 2.718... )上存在一点 x0 ,使得 x0 ?

1 ? mf ( x0 ) 成立,求实数 m 的取值范围. x0

本题有(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明讲 如图, 已知 AB 为圆 O 的一条直径, 以端点 B 为圆心的圆交直线 AB 于 CD 两点,交圆 O 于 E , F 两点,过点 D 作垂直于 AD 的直线,交 直线 AF 于 H 点.
3

(1)求证: B, D, H , F 四点共圆; (2)若 AC ? 2, AF ? 2 2 ,求 ?BDF 外接圆的半径. (23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为: ? 2 ? 4? (cos? ? sin ? ) ? 6 .若以极点 O 为原点,极轴 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系. (1)求圆 C 的参数方程; (2)在直角坐标系中,点 P( x, y ) 是圆 C 上动点,试求 x ? y 的最大值,并求出此时点 P 的直 角坐标.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 m, n 都是实数, m ? 0 , f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 . (1)若 f ( x) ? 2 ,求实数 x 的取值范围; (2)若

m ? n ? m ? n ? m f ( x) 对满足条件的所有 m, n 都成立,求实数 x 的取值范围.

4

2016 年春季期高二年级月考(一)数学(理科)答案 第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题所给的四个答案中有且只有 一个答案是正确的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上. ) 1.B 2.C 3.D 4.C 5.B 6.C 7.B 8.A 9.A 10. A 1 1. D 12.B 第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置上. ) 13. ? 2 2 14.

3 ? ln 2 2

15. 8 16. ①③④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)

3 1 3 1 an ? (n ? N * ) , ①当 n ? 1, S1 ? a1 ? ,∴ a1 ? 1 ,?2 分 2 2 2 2 3 1 3 3 当 n ? 2 ,∵ S n ?1 ? an ?1 ? , ②;①-②: an ? an ? an ?1 ,即: an ? 3an ?1 (n ? 2) ?4 分 2 2 2 2 an ?1 又∵ a1 ? 1 , a2 ? 3 ,∴ ? 3 对 n ? N * 都成立,所以 ?an ? 是等比数列, an
解:(1)∵ S n ? ∴ an ? 3n ?1 (n ? N * ) .????6 分 (2)∵ an bn ?

1 1 1 1 1 3n 3 ), ,∴ bn ? 2 ,?9 分 ? Tn ? 3(1 ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 3 n n ?1 n ?n n ?n 3n 1 3 ∴ Tn ? 3(1 ? ,即 Tn ? .??????12 分 ) ? 3? n ?1 n ?1 n ?1

18.(本小题满分 12 分) 解: (1)设各组的频率为 f i (i ? 1, 2,3, 4,5, 6) , f1 ? 0.03, f 2 ? 0.07, f3 ? 0.27, f 4 ? 0.26, f5 ? 0.23 , 所以视力在 5.0 以上的频率为 1 ? (0.03 ? 0.07 ? 0.27 ? 0.26 ? 0.23) ? 0.14, 估计该校高三学生视力在 5.0 以上的人数约为 1000 ? 0.14 ? 140 人. ?????4 分 (2)依题意 9 人中视力在 4.2 ~ 4.4 和 5.0 ~ 5.2 的学生分别有 3 人和 6 人, X 可取 0、1、2、3

P( X ? 0) ?

3 C6 20 , ? 3 C9 84

P ( X ? 1) ?

2 1 C6 C3 45 , ? 3 84 C9

1 2 C6 C3 18 , P( X ? 2) ? ? 3 84 C9

3 C3 1 .??10 分 P( X ? 3) ? 3 ? C9 84

X 的分布列为 X

0

1

2

3

P

20 84

45 84

18 84

1 84

X 的数学期望 E ( X ) ? 0 ?

20 45 18 1 ? 1? ? 2? ? 3? ? 1 .?12 分 84 84 84 84

19.(本小题满分 12 分) (1) 解法一:连结 AB 、 A1B1 ,∵ C1 , C 分别是矩形 A1 ABB 1 边 A1 B1 、
5

A B 的中点,∴ AC ? CC1 , BC ? CC1 , AC ? BC ? C
∴ CC1 ? 面ABC ∴ ?ACB 为二面角 A ? CC ? ? A? 的平面角,则 ?ACB ? 60
O

∴ ?ABC 为正三角

形,即几何体 ABC ? A1 B1C1 是正三棱柱.∴四边形 ABB 1A 1 为正方形∴ AB 1 ? A 1 B ,???2 分 取 BC 中点 O , 连结 AO , 则 AO ? BC .∵正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 平面 ABC ⊥平面 BCC1 B1 , ∴ AO ⊥平面 BCC1 B1 ,∵ BD ? 平面 BCC1 B1 ,∴ AO ⊥ BD 在正方形 BCC1 B1 中,∴ B1O ? BD ????3 分∵ AO ? B1O ? O ,∴ BD ⊥面 AB1O ,∴ BD ⊥

AB1 .∴ AB1 ⊥平面 AB1 D .∴ AB1 ⊥ A1D .?6 分
(1)解法二:连结 AB 、 A1B1 ,∵ C1 , C 分别是矩形 A1 ABB 1 边 A1 B1 、 A B 的中点, ∴ AC ? CC1 , BC ? CC1 , AC ? BC ? C ∴ CC1 ? 面ABC ∴ ?ACB 为二面角 A ? CC ? ? A? 的 平面角,则 ?ACB ? 60
O

∴ ?ABC 为正三角形,即几何体 ABC ? A1 B1C1 是正三棱柱.

取 BC 中点 O ,连结 AO 则 AO ? BC ,∵正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,平面 ABC ⊥平面 BCC1 B1 , ∴ AO ⊥平面 BCC1 B1 ?????1 分 取 B1C1 中点 O1 ,以 O 为原点, OB , OO1, OA 的方向为 x, y, z 轴的正方向建立空间直角坐标系,不妨 设 AA 1 ? 2 ,则 B(1,0,0) , D(?1,1,0) , A(0,0, 3 ) , A 1 (0,2, 3) , B1 (1,2,0) 则 AB1 ? (1,2 ? 3) , A 1D ? (?1, ?1, ? 3) ,???????????4 分 ∴ AB1 ? A 1 D .??6 分 1 ? A 1 D ∴ AB1 ⊥ A 1D ? (?1, ?1, ? 3) ? (1,2 ? 3) ? ?1 ? 2 ? 3 ? 0 ,∴ AB ( 2 ) 解 : 设 平 面 B1 A1 D 的 法 向 量 为 n ? ( x, y, z) ∵

????

???? ?

???? ???? ?

????

???? ?

A1 B1 ? (1,0,? 3) , A1 D ? (?1,?1,? 3) ∵ n ? A1 B1 , n ? A1 D ? ? ? ? x ? 3z ? 0, ? y ? ?2 3z, ?n. A1 B1 ? 0 ∴? ?8 分∵ ? ∴? ? ? ? ?? x ? y ? 3z ? 0, ? x ? 3z ?n. A1 D ? 0 ? 令 z ? 1 得 n ? ( 3, ?2 3,1) 为平面 B1 A1 D 的一个法向量.?10 分 ???? 由(1)得 AB1 ? (1,2, ? 3) ???? n· AB1 3?4 3? 3 4 3 6 ? = ? = . AB1 与平面 A1B1D 所成角的 正弦值 ? ???? |n|AB1| 2 2.4 8 2 4
AB1 与平面 A1B1D 所成角的正弦值为
6 .????????????????12 分 4

21.(本小题满分 12 分) 解(1)连接 PB ,依题意得 PB ? PM ,所以 PB ? PA ? PM ? 8 所以点 P 的轨迹 E 是以 A, B 为焦点,长半轴长为 4 的椭圆,所以 a ? 4 , c ? 2 , b ? 2 3

x2 y2 ? ? 1 . ??????????4 分 所以 E 的轨迹方程式 16 12 (2) 当直线 l1 , l 2 中有一条直线的斜率不存在时, DE ? FG ? 6 ? 8 ? 14
当直线 l1 的斜率存在且不为 0 时,设直线 l1 的方程 y ? k ( x ? 2) ,设 D ( x1 , y1 ) , E ( x2 , y 2 )

6

? y ? k ( x ? 2) ? 联立 ? x 2 ,整理得 (3 ? 4k 2 ) x2 ?16k 2 x ? 16k 2 ? 48 ? 0 ????6 分 y2 ?1 ? ? ? 16 12 16k 2 16k 2 ? 48 x1 ? x2 ? x x ? , 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 24(1 ? k 2 ) 2 2 2 2 所以 DE ? (1 ? k )( x1 ? x2 ) ? 1 ? k ? ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ? ????8 分 3 ? 4k 2 1 24(1 ? k 2 ) 设直线 l 2 的方程为 y ? ? ( x ? 2) ,所以 FG ? k 4 ? 3k 2 168(k 2 ? 1) 2 所以 DE ? FG ? ????9 分 (4 ? 3k 2 )(3 ? 4k 2 ) t ?1 1 168 2 设 t ? k ? 1 ,所以 t ? 1 ,所以 DE ? FG ? 因为 t ? 1 ,所以 0 ? 2 ? ,所以此时 t ?1 4 t 12 ? 2 t 96 96 ?| DE | ? | FG |? 14 。综上, DE ? FG 的取值范围是 [ , 14 ] .???12 分 7 7
21.(本小题满分 12 分) 解: (1) f ( x) 的定义域为 (0, ??) , ??1 分 ∵ f ?( x) ?

1 a ? ,函数 f ( x) 在 x ? 1 处的切线 x x2

平行于直线 2 x ? y ? 0 .∴ f ?(1) ? 1 ? a ? 2 ∴ a ? ?1 ????????4 分 (2)若在 ?1,e? ( e ? 2.718... )上存在一点 x0 ,使得 x0 ? 构造函数 h( x) ? x ?

1 ? mf ( x0 ) 成立, x0

1 1 m ? mf ( x) ? x ? ? m ln x ? 在 ?1,e? 上的最小值小于零. x x x

1 m m x 2 ? mx ? m ? 1 ( x ? 1)( x ? m ? 1) ? ? ? ? ???6 分 x2 x x2 x2 x2 ①当 m ? 1 ? e 时,即 m ? e ? 1 时, h( x) 在 ?1,e? 上单调递减,???????8 分 h?( x) ? 1 ?
1? m e2 ? 1 ? m ? 0 可得 m ? 所以 h( x) 的最小值为 h(e) ,由 h(e) ? e ? , e e ?1

e2 ? 1 e2 ? 1 ? e ? 1 m ? 因为 ,所以 ; e ?1 e ?1

???? ??10 分

②当 m ? 1 ? 1 ,即 m ? 0 时, h ( x ) 在 ?1, e? 上单调递增, 所以 h( x) 最小值为 h (1) ,由 h(1) ? 1 ? 1 ? m ? 0 可得 m ? ?2 ; ??11 分 ③当 1 ? m ? 1 ? e ,即 0 ? m ? e ? 1 时, 可得 h( x) 最小值为 h(1 ? m) ,因为 0 ? ln(1 ? m) ? 1 ,

1 ? m) ? 2 此时, h(1 ? m) ? 0 不成立. 所以, 0 ? m ln(1 ? m) ? m h(1 ? m) ? 2 ? m ? m ln(
7

综上所述:可得所求 m 的范围是: m ?

e2 ? 1 或 m ? ?2 . e ?1

?????12 分

本题有(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明讲 证明:(1) ? AB 为圆 O 的一条直径 ? BF ? FH , DH ? BD ? B, D, H , F 四点共圆 ?4 分 解:(2) AH 与圆 B 相切于点 F ,由切割线定理得 AF 2 ? AC ? AD , 即 2 2

?

?

2

? 2 ? AD ,解得 AD ? 4 ,
1 ? AD ? AC ? ? 1, BF ? BD ? 1 ,又 ?AFB ~ ?ADH , 2

所以 BD ?



DH AD ? ,得 DH ? 2 ,????????7 分 BF AF

连接 BH ,由(1)知 BH 为 ?BDF 的外接圆直径, BH ? 故 ?BDF 的外接圆半径为

BD2 ? DH 2 ? 3 ,

3 .?????????10 分 2

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解 :( 1 ) 因 为

? 2 ? 4? (cos? ? sin ? ) ? 6 , 所 以 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 6 , 所 以

x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 6 ? 0 , 2 2 即 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 2 为圆 C 的普通方程.?????????????4 分
所以所求的圆 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 2 ? 2 cos ? ? ? y ? 2 ? 2 sin ?

( ? 为参数) .?????????6 分

(2)由(Ⅰ)可得, x ? y ? 4 ? 2(sin ? ? cos ? ) ? 4 ? 2sin(? ? 当 ? ?

?
4

)

??7 分

?
4

时,即点 P 的直角坐标为 (3,3) 时,?9 分 x ? y 取到最大值为 6.??10 分

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

?3 ? 2 x, x ? 1 ?3 ? 2 x ? 2 ? x ? 2 1 5 ? 解:(1) f ( x) ? ?1,1 ? x ? 2 由 f ( x) ? 2 得 ? 或? ,解得 x ? 或 x ? . 2 2 ?x ? 1 ?2 x ? 3 ? 2 ?2 x ? 3, x ? 2 ?
故所求实数 x 的取值范围为 ( ? ? ,

1 5 ) ? ( , ? ? ) .??5 分 2 2 (2)由 m ? n ? m ? n ? m f ( x) 且 m ? 0 得[

m?n ? m?n m

? f ( x) 又∵

m?n ? m?n m

?

m?n?m?n m

? 2 ?7 分∴ f ( x) ? 2 .
8

∵ f ( x) ? 2 的解集为 ( ? ? ,

1 5 1 5 ) ? ( , ? ? ) ,∴ f ( x) ? 2 的解集为 [ , ] , 2 2 2 2 1 5 2 2

∴所求实数 x 的取值范围为 [ , ] .??????????10 分

9


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