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湖南省益阳市箴言中学2014届高三第一次模拟考试试题 数学(理) 含解析


2014 届高三第一次模拟考试

理科数学试卷
满分:150 分 时量:120 分钟 一、选择题(5 分 ? 8=40 分) 1、若 i 为虚数单位,则 A、 i 命题:高三数学备课组

1? i 等于 1? i B、 ? i

( C、1 D、-1。



2 2、已

知集合 M ? x x ? 7 ? 9 , N ? x y ? 9 ? x ,且 M , N 都是

?

?

?

?

全集 U 的

子集,则右图中阴影部分表示的集合是 A、 x ? 3 ? x ? ?2





?

?

B、 x x ? 16

?

?

C、 x ? 3 ? x ? ?2

?

?

D、 x x ? 16 (
开始

?

?


3、按 照如图的程序框图 执行,若输出结果为 15,则 M 处条件为 A. k ? 16 4、给出下列命题: ○ 1 向量 a , b 满足 a ? b ? a ? b ,则 a , b 的夹角为 30 0 ; ○ 2 a ? b ? 0 是〈 a , b 〉为锐角的充要条件; ○ 3 将函数 y ? x ? 1 的图象按向量 a ? (?1,0) 平移, 得到函数 y ? x 的图象; ○ 4 若 ( AB ? AC ) ? ( AB ? AC ) ? 0 ,则 ?ABC 为等腰三角形。 以上命题正确的个数是 A、1 个 B、2 个 C、3 个 B. k ? 8 C. k ? 16 D. k ? 8

k=1 S=0 M?
否 是

S=S+k

输出 S 结束

k ? 2? k

( D、4 个



5、已知某几何体的正视图和侧视图均是边长为1的正方形,则这个几何体的体积不可能是 A、

1 2

B、

? 4

C、1

D、

? 3





6、有下列四种说法: ①命题: “ ?x 0 ? R ,使得 x 2 ? x ? 0 ”的否定是“ ?x ? R ,都有 x 2 ? x ? 0 ” ; ○ 2 已知随机变量 x 服从正态分布 N (1, ? ) , P( x ? 4) ? 0.79 ,则 P( x ? ?2) ? 0.21 ;
2

○ 3 函数 f ( x) ? 2 sin x cos x ? 1, ( x ? R) 图像关于直线 x ? 是增函数; ○ 4 设实数 x, y ? ?0,1? ,则满足: x ? y ? 1 的概率为
2 2

3? ? ? ?? 对称,且在区间 ?? , ? 上 4 ? 4 4?
( )

? 。其中错误的个数是 4
D、3。

A、0

B、1

C、2

7、已知函数

f (x ) ?

?

2? x ?1,( x ?0) ,若方程 f ( x ?1),( x ?0)
B、 ?0,1?

f ( x) ? x ? a 有且只有两个不相等的实数根,则
) D、 ?0,??? 。 ( ) (

8、已知 f ( x) 为R上的可导函数,且 ?x ? R ,均有 f ( x) ? f ?( x) ,则有 A、 e B、 e
2013

实数 a 的取值范围为 A、 ?? ?,0?

C、 ?? ?,1?
2013

2013

C、 e 2013 D、 e 2013

f (?2013) f (?2013) f (?2013) f (?2013)

? ? ? ?

f ( 0) , f ( 0) , f ( 0) , f ( 0) ,

f (2013 ) ? e f (2013 ) ? e 2013 f (2013 ) ? e 2013 f (2013 ) ? e 2013

f ( 0) f ( 0) f ( 0) f ( 0) 。

二、填空题(5 分×7=35 分) (一)选做题(任选两题,若多选,按前两题答案计分) 9、如图,割线 PBC 经过圆心 O,PB=OB=1,OB 绕点 O 逆时针旋转 连结 PD 交圆 O 于点 E,则 PE= 10、若直线的极坐标方程为 ? cos(? ? 值为 11、若不等式 a ? 1 ? x ? 2 y ,对满足 x 2 ? y 2 ? 5 的一切实数 x, y 恒成立,则实数 a 的取值范围是 (二)必做题 12、设 n ? 120°到 OD,

?
4

) ? 3 2 ,曲线 C : ? ? 1 上的点到直线的距离为 d ,则 d 的最大

?

?

2 0

6 sin xdx ,则二项式 ? x ?

? ?

2? ? 的展开式中, x 2 项的系数为 x?

n

13、设实数 x,y 满足条件:○ 1 x ? 0, y ? 0 ;○ 2 3x ? y ? 6 ? 0 ;○ 3 x ? y ? 2 ? 0 ,目标函数

2 3 ? 的最小值是 a b 14、设数列 ?a n ?, ?bn ? 都是正项等比数列, S n , Tn 分别为数列 ?lg a n ? 与 ?lg bn ? 的前 n 项和,且
z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 的最大值为 12,则
Sn n ? ,则 log b5 Tn 2n ? 1

a5 =

15、已知点F为抛物线 y 2 ? ?8 x 的焦点,O 为原点,点P是抛物线准线上一动点,A在抛物线上,且 AF =4,则 PA + PO 的最小值是 16 、设集合 M ? {1, 2,3, 4,5,6} ,对于 ai , bi ? M ,记 ei ?

ai ,且 ai ? bi ,由所有 ei 组成的集合记为: bi

A ? {e1 , e2 ,?, ek } , (1) k 的值为________;
(2)设集合 B ? {ei? | ei? ?

1 , ei ? A} ,对任意 ei ? A , e?j ? B , ei
座位号

则 ei ? e?j ? M 的概率为________.

理科数学答卷
一、选择题(5 分 ? 8=40 分)

题 号 答 案

1

2

3

4

5

6

7

8

二、填空题(5 分×7=35 分) (一)选做题(任选两题,若多选,按前两题答案计分) 9、 (二)必做题 12、 13、 14、 15、 16、 (1) (2) 10、 11、

考号

三、解答题(75 分) 17、在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a, b, c ,已知向量 m ? (cos A, cos B) , n ? ( 2c ? b, a ) , 且m ? n。 (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 4 ,求 ?ABC 面积的最大值。 (12 分)

班级
18、在 2012 年“双节”期间,高速公路车辆较多。某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中,按 进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法,抽取了40名驾驶员进行调查, 将他们在某段高速公路上的车速(km/t)分成6段:?60,65? ,?65,70 ? ,?70,75? ,?75,80 ? ,?80,85? ,

姓名

?85,90? 后得到如图4的频率分布直方图。问:

(1)该公司在调查取样中,用到的是什么抽样方法? (2)求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值; (3)若从车速在 ?60,70 ? 中的车辆中任取2辆,求抽出的2辆中

速度在 ?65,70 ? 中的车辆数 x 的分布列及其数学期望。 (12分)

19、 (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? PB ? AB ? 2 , BC ? 3 , ?ABC ? 90 °, 平面 PAB ? 平面 ABC , D 、 E 分别为 AB 、 AC 中点. (1)求证: DE ∥平面 PBC ; (2)求证: AB ? PE ; (3)求二面角 A ? PB ? E 的大小.
P

A D B E C

20、 (13 分)如图,某隧道设计为双向四车道, 车道总宽 20m,要求通行车辆限高 5m,隧道全 长 2.5km,隧道的两侧是与地面垂直的墙,高 度为 3 米, 隧道上部拱线近似地看成半个椭圆。 (1)若最大拱高 h 为 6 m,

5m 20m 3m

h

?
l

0

则隧道设计的拱宽 ? 是多少? (2)若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程 量最小,则应如何设计拱高 h 和拱宽 ? ?

x2 y2 + =1 的面积公式为 S= ?ab ,柱体体积为底面积乘以高。 ) a2 b2 (3)为了使隧道内部美观,要求在拱线上找两个点 M、N,使它们所在位置的高度恰好是限高 5m,现 以 M、N 以及椭圆的左、右顶点为支点,用合金钢板把隧道拱线部分连接封闭,形成一个梯形, 若 l=30m,梯形两腰所在侧面单位面积的钢板造价是梯形顶部单位面积钢板造价的 2 倍,试确 定 M、N 的位置以及 h 的值,使总造价最少。
(已知:椭圆

21、 已知椭圆 C 的中心在原点, 离心率等于

1 , 它的一个短轴端点点恰好是抛物线 x 2 ? 8 3 y 的焦点。 2

(13 分) (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知 P(2,3) 、Q(2,-3)是椭圆上的两点,A,B 是椭圆上位于直线PQ两侧的动点, ①若直线AB的斜率为

1 ,求四边形APBQ面积的最大值; 2

②当A、B 运动时,满足 ?APQ = ?BPQ , 试问直线 AB 的斜率是否为定值,请说明理由。

22、已知函数 g ( x) = x 2 ? (2a ? 1) x ? a ln x 。 (1)当 a ? 1 时,求函数 g ( x) 的单调增区间; (2)求函数 g ( x) 在区间 ?1, e ? 上的最小值; (3)在(1)的条件下,设 f ( x) = g ( x) + 4 x ? x 2 ? 2 ln x , 求证:

1 3n 2 ? n ? 2 ? ? n(n ? 1) k ?2 k ? f (k )
n

( n ? 2) ) ,参考数据: ln 2 ? 0.6931 。 (13 分)

箴言中学 2014 届高三第一次模拟考试 理科数学试题参考答案
一、1~4 ACAB 二、9、 5~8 DACD

3 7 ;10、 3 2 ? 1;11、 a ? 6 或 a ? ?4 ;12、60; 7 25 9 6 13、 ;14、 ;15、 2 13 ;16、(1) 11 ; (2) . 6 19 121

三、17、 (1)由 m ? n ,得 m ? n ? (2c ? b) cos A ? a cos B ? 0 ,???????1 分

1 2? ????????6 分 ,A? 2 3 16 2 2 2 2 2 (2)由余弦定理可得, a ? b ? c ? 2bc cos A ,16= b ? c ? bc ? 3bc , bc ? 3 1 3 4 3 4 3 由 S ? bc sin A ? 知Δ ABC 面积最大值为 12 分 bc ? 2 4 3 3
由正弦定理可得, sin C (1 ? 2 cos A) ? 0 cos A ? ? 18、(1)系统抽样 2分 (2)众数与中位数的估计值均为 77 .5 (说明:一个答案得 2 分) 6分 (3)由图可知,车速在 ?60,65? 的车有 2 辆,在 ?65,70 ? 的车有 4 辆, x 的取值是 0,1,2 P(x=0)=
2 0 C2 C4 1 = ??, x 的分布列为 C 62 15

x

0

1

2

E? ? 0 ? 1?

8 6 4 ? 2? ? 15 15 3

12 分

19、解: (Ⅰ)? D、E 分别为 AB、AC 中点, ?DE//BC . ?DE?平面 PBC,BC?平面 PBC, 3分 ?DE//平面 PBC . (Ⅱ)连结 PD, ?PA=PB, 4分 ? PD ? AB. ? DE / / BC ,BC ? AB, 又? PD ? DE ? D , 6分 ?AB ? 平面 PDE ?PE?平面 PDE, ? AB ? PE . 7分 (Ⅲ)?平面 PAB ? 平面 ABC,平面 PAB ? 平面 ABC=AB,PD ? AB,PD ? 平面 ABC. 8分 如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 DE ? AB. 5分

3 ?B(1,0,0),P(0,0, 3 ),E(0, ,0) , 2 ??? ? ??? ? 3 ? 3 ),PE =(0, , ? 3 ) 0, . ? PB =(1, 2 ?? 设平面 PBE 的法向量 n1 ? ( x, y, z ) ,
? x ? 3 z ? 0, ? 令z? 3 ? ?3 y ? 3 z ? 0, ? ?2 ?? 得 n1 ? (3, 2, 3) . ?DE ? 平面 PAB,

z P _

A _

9分
B _

D _

_ E y C _

x

?? ? ?平面 PAB 的法向量为 n2 ? (0,1, 0) . 10 分 设二面角的 A ? PB ? E 大小为 ? , ?? ?? ? ?? ?? ? | n1 ? n2 | 1 由 图 知 , cos ? ? cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? ? , 所 以 ? ? 60?, 即 二 面 角 的 A ? PB ? E 大 小 为 n1 ? n2 2

60? .
20、解: (1)如下图建立直 点 P(10,2) ,椭圆方程为 将 b=h-3=3 与点 P 坐标代 得 a= 6 5 ,l=2a= 12 5 , 约为 12 5 m。 5 分 (2) 要使隧道上方半椭圆部 程量最小,由柱体的体积公 5m

12 分 y

角坐标系, 则 P

x 3m

o
20m 0 l 半椭

h

x2 y2 + =1, a2 b2 入椭圆方程,
隧道的拱宽

分的土方工 式可知: 只需

圆的面积最小即可。 由椭圆方程

10 2 10 2 2 ?10 ? 2 x2 y2 + 2 =1,得 2 + 2 =1。因为 2 + 2 ≥ ,即 ab≥40,?8 分 2 a b a b ab a b
2 2 2 2

所以半椭圆面积 S= l=2a=20 2 , 方工程量最小

10 2 1 π ab 40 π ≥ ? 20? 。当 S 取最小值时,有 2 = 2 = ,得 a=10 2 ,b= 2 2 ,此时 2 a b 2 2

2

2

h=b+3= 2 2 +3,故当拱高为( 2 2 +3)m、拱宽为 20 2 m 时,隧道上方半椭圆部分的土 13 分
2 2

(3)设 M ( x, 2), N ( ? x, 2), 则10 ? x ? 15 ,设 f ( x) = 2 x + 2 2 · ( x ? 15) ? (2 ? 0) =2 x ?

x 2 ? 30 x ? 229 令 f ?( x) ? 0 得 x ? 13 或 17(舍)∴ x ? 13 时, f ( x) 取最小值,此时 M (13, 2), N ( ?13, 2) ,代入椭圆方程得
b? 25 14 14
∴h ? 3?b ? 3?

?

2( x 2 ? 30 x ? 229 ) (10 ? x ? 15 ) ,则 f ?( x) ?

?

2[ x 2 ? 30 x ? 229 ? 2( x ? 15)]

25 14 ? 14

13 分

x2 y2 c 1 2 2 2 ? 2 ? 1(a>b>0) ,则 b ? 2 3 。由 ? , a ? b ? c ,得 a ? 4 故椭 2 a 2 a b x2 y2 ? ? 1 。????????4 分 圆 C 的方程为 16 12 x2 y2 1 ? ? 1 中整理得 (2)①设 A ( x1 , y1 ) ,B( x 2 , y 2 ) ,直线 AB 的方程为 y ? x ? t ,代入 16 12 2 x 2 ? tx ? t 2 ? 12 ? 0 ,△>0 ? -4< t <4, x1 + x 2 = ? t , x1 x 2 = t 2 ? 12 1 2 四边形 APBQ 的面积 S ? ? 6 ? x1 ? x2 = 3 48 ? 3t ,当 t ? 0 时 S max ? 12 3 2 ②当 ?APQ = ?BPQ 时,PA、PB 的斜率之和为 0,设直线 PA 的斜率为 k ,则 PB 的斜率为- k ,PA 的直
21、 (1)设 C 方程为 线方程为 y ? 3 ? k ( x ? 2) ,代入

x2 y2 ? ? 1 中整理得 16 12 8(2k ? 3)k (3 ? 4k 2 ) x 2 + 8(3 ? 2k )kx 4(3 ? 2k ) 2 ? 48 =0,2+ x1 = , 3 ? 4k 2

同理 2+ x 2 = 从而 k AB

16 k 2 ? 12 8(2k ? 3)k ? 48 k , + = , x1 - x 2 = , x x 1 2 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k 2 y ? y1 k ( x1 ? x 2 ) ? 4k 1 ? 2 ? ,即直线 AB 的斜率为定值?????13 分 = x 2 ? x1 x1 ? x 2 2
2

22、(1)当 a ? 1 时, g ( x) = x ? 3x ? ln x , g ?( x) ?

2 x 2 ? 3x ? 1 1 ? 0 ,得 x ? 1或 x ? ,故 g ( x) 的 x 2

单调增区间是 (0, ) , (1,? ?) 。?????????????3 分 (2) g ( x) = x ? (2a ? 1) x ? a ln x , g ?( x) = 2 x ? (2a ? 1) ?
2

1 2

a (2 x ? 1)( x ? a) = , x x

1 ? ?1, e? 。 2 当 a ? 1时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 递增, g ( x) min ? ?2a ; 6分 当 1 ? a ? e 时, x ? (1, a) , g ?( x) <0, g ( x) 递减; x ? (a, e) , g ?( x) ? 0 , g ( x) 递增, g ( x) min = g (a ) = ? a 2 ? a ? a ln a ?????????????????????7 分 2 当 a ? e 时, x ? ?1, e?, g ?( x) ? 0, g ( x) 递减, g ( x) min = g (e) = e ? (2a ? 1)e ? a ?8 分
令 g ?( x) =0 得 x ? a 或 (3)令 h( x ) = ln x —

2 ? x2 1 2 ? 0 , h( x) 递减, ( x ? 1) , x ? ?2,?? ? 。 h?( x) ? 2x 4 1 4 1 1 3 1 ? ? 2( ? ) h( x) ? h(2) , h(2) ? ln 2 ? ? 0 ,∴ ln x ? ( x 2 ? 1) , ln x ( x ? 1)( x ? 1) x ?1 x ?1 4 4 n n 1 1 1 1 1 1 1 1 = = ? ? ? ? 2(1 ? ? ? ? ? ? ? ln 2 ln 3 3 2 4 ln n k ? 2 k ? f (k ) k ? 2 ln k

?

?

1 1 1 3n 2 ? n ? 2 1 1 1 1 )? ? ? ? ) = 2(1 ? ? ? 2 n n ?1 n(n ? 1) n ? 2 n n ?1 n ?1

( n ? 2) )??13 分


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