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第5课 两角和与差的正弦、余弦和正切公式


第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin αcos β+cos αsin ;β
sin αcos β-cos αsin ;β

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)S(α+β):sin(α+β)= (2)S(α-β):sin(α-β)= (3)C(α-β):cos(α-β)= (4)C(α+β

):cos(α+β)=

cos αcos β+sin αsin ;β
cos αcos β-sin αsin ;β

(5)T(α+β):tan(α+β)=

tan α+tan β 1-tan α; tan β

(6)T(α-β):tan(α-β)=

tan α-tan β 1+tan α . tan β

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)S2α:sin 2α=
(2)C2α:cos 2α=

2sin αcos α cos2α-sin2α


2α- 1 2cos =

2α 1 - 2sin =_______________;

(3)T2α:tan 2α=

2tan α 1-tan2α

.

3.常用的公式变形 (1)tan α±tan β=tan(α±β)(1?tan αtan β); 1+cos 2α 1-cos 2α 2 (2)cos α= ,sin α= ; 2 2
2

(3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2, π?? sin α±cos α= 2sin α±4?. ?
? ? ? ?

三角函数公式的应用
1 π? [例 1] 已知函数 f(x)=2sin 3x-6? ?,x∈R. ? 5π? (1)求 f 4 ? ?的值; ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

[解析]

? 5π? π? π ? ?5π (1) f 4 ?=2sin?12- 6? ?=2sin = 2. 4 ? ? ?

? ? ? ?

? π? π? 10 6 ? ? ? (2)设 α,β∈ 0,2?,f?3α+2?= ,f(3β+2π)= ,求 cos(α+β)的值. 13 5 ? ? ?

? ? π? π 10 6 ? ? ? (2)∵α,β∈ 0,2?,f?3α+2?= ,f(3β+2π)= , 13 5 ? ? ? ? ? π 10 6 5 3 ? ? ∴2sin α= ,2sin?β+2?= .即 sin α= ,cos β= . 13 5 13 5 ? ?

? ? ? ?

12 4 ∴cos α= ,sin β= . 13 5 16 ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β= . 65

练习 π π? 3 7 ? 1.(2014 年杭州质检)若 θ∈ 4,2?,sin 2θ= ,则 sin θ=( 8 ? 3 A. 5 4 B. 5 7 C. 4 3 D. 4
? ? ? ?

)

解析:利用二倍角的三角函数公式和同角三角函数关系求解.
? ? π π? ? ?π ∵θ∈ 4,2?,∴2θ∈?2,π? ?. ? ? ? ? ? ? ?

∴cos 2θ=- ∴sin θ=

1 1-sin 2θ=- , 8
2

1-cos 2θ 3 = . 2 4

三角函数公式的逆用与变形应用

π ?? [例 2] (1)(2014 年舟山模拟)函数 f(x)= 3sin x+cos 3+x?的最大值为( ? A.2 B. 3 C.1 1 D. 2

? ? ? ?

)

π π [解答] (1)f(x)= 3sin x+cos · cos x-sin sin x 3 3
? ? π 1 3 = cos x+ sin x=sin??x+6??. 2 2 ? ?

∴f(x)max=1.

1 2cos x-2cos x+ 2 (2)(2014 年温州月考)化简 ? ? ? ?=________. ?π ? 2?π 2tan?4-x?sin ?4+x?? ? ? ? ?
4 2

1 ?4cos4x-4cos2x+1? 2 (2)原式= ? ? π ? sin? ? - x? ? ? π ?4 ? ? 2? - x 2× · cos ? ? ? ? 4 π ? ? ? - x cos? ? ? ?4 ? ?2cos2x-1?2 cos22x = ? ? ? ?= π π π ? ? ? ? 4sin?4 -x?cos? 4-x? 2sin? 2-2x? ? ? ? ? cos22x 1 = = cos 2x. 2cos 2x 2

? π? π? 4 3 ? ? 2.(1)已知 sin α+6?+cos α= ,则 sin?α+3? ?的值为( 5 ? ? ?

? ? ? ?

)

4 A. 5

3 B. 5

3 C. 2

3 D. 5

? ? π 3 3 4 3 1 3 4 ? ? 4 解析:(1) sin α+ cos α= ,即 sin α+ cos α= .∴sin?α+3?= . 2 2 5 2 2 5 ? ? 5

3π (2)若 α+β= ,则(1-tan α)(1-tan β)的值是________________. 4
tan α+tan β 3π 解析 (2)-1=tan =tan(α+β)= , 4 1-tan αtan β ∴tan αtan β-1=tan α+tan β. ∴1-tan α-tan β+tan αtan β=2, 即(1-tan α)(1-tan β)=2.

角的变换

sin α+cos α [例 3] (1)若 =3,tan(α-β)=2,则 tan(β-2α)=________. sin α-cos α
sin α+cos α tan α+1 [解答] (1)由条件知 = =3,则 tan α=2. sin α-cos α tan α-1 故 tan(β-2α)=tan [(β-α)-α] tan?β-α?-tan α = 1+tan?β-α?tan α -2-2 4 = = . 1+?-2?×2 3

? ? π?? 4 π [例 3] (2)设 α 为锐角,若 cos α+6?= ,则 sin??2α+12??的值为________. ? 5 ? ?

? ? ? ?

π? 4 ? (2)因为 α 为锐角,cos α+6?= , 5 ?
? π? π? 3 24 ? ? ? 所以 sin α+6?= ,sin 2?α+6?= , 5 25 ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ?

π? 7 ? cos 2 α+6?= , 25 ?
? ? π? π? π? ? ? ? 所以 sin 2α+12?=sin?2?α+6 ?-4 ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?

? ? ? ?

24 2 7 2 17 2 = × - × = . 25 2 25 2 50

由题生法

1.当“已知角”有两个时,一般把“所求角”表示为两个
“已知角”的和或差的形式; 2.当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已 知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角” 变成“已知角”.
3.常见的配角技巧: α α=2· ;α=(α+β)-β;α=β-(β-α); 2 1 1 α= [(α+β)+(α-β)];β= [(α+β)-(α-β)]; 2 2
? ? π π ? π ? ?π ? ?π +α= -?4-α?;α= -?4-α? ?. 4 2 ? 4 ? ? ?

练习
? ? π?? 1 π?? 2 ? ? 3.(1)设 tan(α+β)= ,tan?β-4?= ,则 tan?α+4?=( 5 ? ? 4 ? ?

) 1 D. 6

13 A. 18
? ? ? ?

13 B. 22

3 C. 22

? ? π?? π???? ? ? 解析:(1)tan α+4?=tan??α+β?-?β-4?? ? ? ? ??

π?? tan?α+β?-tan β-4? 3 ? = ? ?= . π ? ? 22 1+tan?α+β?tan?β-4? ? ?

? ? ? ?

? ? ? ? ? β?? π π 3 ?π ? 1 ?π β? ? (2)若 0<α< , - <β<0, cos?4+α?= , cos?4-2?= , 则 cos?α+2?=( 2 2 3 ? ? 3 ? ? ? ?

)

3 A. 3
? ? ? ?

3 B.- 3

5 3 C. 9

6 D.- 9

?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? β?? π π β π π β π π β (2) cos α+2?=cos????4+α??-??4-2????=cos??4+α??cos??4-2??+sin??4+α??sin??4-2??, ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?

π ?? ??π 3π?? ??π β?? ??π π?? 而 4+α?∈?4, 4 ?,?4-2?∈?4-2?, ? ? ? ? ? ? ?
? ? π ?? 2 2 6 ?π β? 因此 sin 4+α?= ,sin?4-2?= , 3 3 ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ?

β?? 1 3 2 2 6 5 3 则 cos α+2?= × + × = . 3 3 3 9 ? 3

? ? ? ?

?? ? [典例]已知函数 f ?x ? ? 2 cos??x ? ? (其中 ? 6? ?

? 0, x ? R )的最小正

周期为10 ?.

2π 1 [解析](1) T=10π= ω ,∴ω= . 5 (1)求 ? ; 5? ? 6 ? 5? ? 16 ? ?? ? (2)设 ? , ? ? ?0, ?, f ? 5? ? ? ? ? , f ? 5? ? ? ? , 求cos?? ? ? ?
3 ? ? π?? ?1 (2)由(1)知 f(x)=2cos?5x+6?, ? ? ? 2? ? 5 ? 6 ? 17

? ?1? 5π?? π? π?? 6 3 8 ? ? ? ? ∴2cos 5?5α+ 3 ?+6 =- ,即 cos?α+2?=- ,同理 cos β= , 5 5 17 ? ? ? ? ? ?

3 4 15 于是 sin α= ,cos α= ,sin β= , 5 5 17 4 8 3 15 13 ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β= × - × =- . 5 17 5 17 85

π π? 1.(2014 年丽水月考)已知 α,β∈ -2,2? ?,且 tan α,tan β 是 ? 方程 x2+6x+7=0 的两个根,则 α+β=________.
?tan α+tan β=-6<0, 解析:由根与系数的关系知? tan β=7>0, ?tan α·
? ? ?tan α<0, π ∴? ∴α,β∈??-2,0??,∴α+β∈(-π,0),且 tan(α+β) ? ? ?tan β<0,

? ? ? ?

tan α+tan β 3π = =1,故 α+β=- . 4 1-tan α· tan β

? ? ? ? π π 3 12 2.已知 sin(2α-β)= ,sin β=- ,且 α∈??2,π??,β∈??-2,0??,求 cos 2α. 5 13 ? ? ? ?

π 解析:∵ <α<π,∴π<2α<2π. 2 π π 5π ∵- <β<0,∴0<-β< ,π<2α-β< , 2 2 2 3 5π 4 而 sin(2α-β)= >0,∴2π<2α-β< ,cos(2α-β)= . 5 2 5 π 12 5 又- <β<0 且 sin β=- ,∴cos β= , 2 13 13 56 ∴cos 2α=cos[(2α-β)+β]=cos(2α-β)cos β-sin(2α-β)sin β= . 65

高考总复习 数学(ZJ ·理)

作业布置: 课堂作业:课时作业(十七); 课外作业:《五三》§3.3(做2天)

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