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高一数学下期末考试题附答案


高一下数学期末试题
一、选择题 (1)sin 750 的值等于( ) (A)

6? 2 4

(B)

6? 2 4

(C)

3? 2 4
0

(D)

3? 2 4
0

(2) 1

? sin 440 化简为 (
2 0

) (A)cos 220

0

(B)cos80

0

(C)sin 220

(D)sin 80

(3)化简 sin( x ? y)sin x ? cos( x ? y) cos x 等于( ) (A) cos(2 x ? y) (B) cos y (C) sin(2 x ? y) ) (D) sin y

(4)下列函数中是周期为 ? 的奇函数的为( (A) y ? 1? 2 sin x
2

(B) y ? 3 sin(2 x ?

?

x ) (C) y ? tan (D) y ? 2 sin(2 x ? ? ) 3 2

(5)为了得到函数 y ? 3sin ?

?? ?? ?1 ?1 x ? ? , x ? R 的图象,只需把函数 y ? 3sin ? x ? ? 的图象 5? 5? ?2 ?2
2? 个单位长度 5
(B)向右平行移动

上所有点( )(A)向左平行移动 (C)向左平行移动

4? 个单位长度 5

(D)向右平行移动

4? 个单位长度 5

2? 个单位长度 5

(6)已知 tan ? ? 2 , tan ? ? 3 ,且 ? 、 ? 都是锐角,则 ? + ? 等于( ) (A)

? 4

(B)

3? 4

(C)

? 3? 或 4 4

(D)

3? 5? 或 4 4

(7)已知 a=(2,3),b=(x,-6),若 a∥b,则 x 等于( ) (A)9 (B)4 (C)-4 (D)-9 (8)已知 a、b 是两个单位向量,下列四个命题中正确的是( ) (A)a 与 b 相等 (B)如果 a 与 b 平行,那么 a 与 b 相等 (C)a·b=1 (D)a2=b2 (9)在△ABC 中,已知 AB =(3,0), AC =(3,4),则 cos B 的值为( ) (A)0 (B)

??? ?

????

3 5 3 4

(C)

4 5 3 4

(D)1

(10)已知|a|=3,|b|=4(且 a 与 b 不共线),若(ak+b)⊥(ak-b),则 k 的值为( ) (A)-

3 4

(B)

(C)±

(D)±

4 3

(11)已知|a|=3,b=(1,2),且 a∥b,则 a 的坐标为( ) (A)(

3 5 6 5 3 5 6 5 3 5 6 5 , )(B)(- ,- )(C)( ,- ) 5 5 5 5 5 5

(D)(

3 5 6 5 3 5 6 5 , )或(- ,- ) 5 5 5 5 ? ? 1? ? ,若 a·b≥0,则实数 x 的取值范围为( ) x?

(12)已知向量 a=(1,-2),b= ? 3, (A) (0, ) 二、填空题

2 3

(B) (0, ]

2 3

(C) (??,0) ∪ [ , ??) (D) (??,0] ∪ [ , ??)

2 3

2 3

(13)在三角形 ABC 中,已知 a、b、c 是角 A、B、C 的对边,且 a=6,b=3 2 ,A= 角 B 的大小为 (14)已知 cos ? x ? .

? ,则 4

? ?

??

3 ? ? ,则 sin 2x 的值为 4? 5

.

(15)若将向量 a ? ( 2,1) 绕原点按逆时针方向旋转 (16)已知|a|=2,|b|=1,a 与 b 的夹角为 三、解答题) (17)已知 cos ? ? ?

? ,则向量 2a-3b 与 a+5b 的夹角大小为 3
y

? ,得到向量 b ,则向量 b 的坐标是 4
.

12 ? 3? ,? ? ? ? , 2 13 ?

?? ? ? ? ,求 tan ? ? ? ? 的值. 4? ? ?

2 2

(18)已知函数 y ? A sin ?? x ? ? ? , x ? R(其中 A>0,? >0,

? | ? | < ) 的部分图象如图所示,求这个函数的解析式. 2

O

2

6

x

(19)如图,飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内,已知飞机 的高度为海拔 25000 米,速度为 3000 米/分钟,飞行员先在点 A 看到山顶 C 的俯角为 300,经过 8 分钟后到达点 B,此时看到山顶 C 的俯角为 600,则山顶的海拔高度为多少米. (参考数据: 2 =1.414, 3 =1.732, 6 =2.449). (20)已知|a|=3,|b|=2,且 3a+5b 与 4a-3b 垂直求 a 与 b 的夹角.

(21)已知向量 a=( cos

3x 3x x ? x , sin ),b=( cos ,- sin ),且 x ? [0, ] . 2 2 2 2 2

(Ⅰ)用 cosx 表示 a·b 及|a+b|; (Ⅱ)求函数 f(x)=a·b+2|a+b|的最小值. (22)已知向量 a、b、c 两两所成的角相等,并且|a|=1,|b|=2,|c|=3. (Ⅰ)求向量 a+b+c 的长度; (Ⅱ)求 a+b+c 与 a 的夹角.

参考答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题 (13) 1 A 2 B 3 B 4 D 5 D 6 B 7 C 8 D 9 A 10 D 11 D 12 C

? 6

(14)

7 25

(15) (

2 3 2 , ) 2 2

(16)

? 2

三、解答题 (17)解:∵ cos ? ? ?

12 ? 3? ,且 ? ? ? ? , 2 13 ?

5 ? ? ,∴ sin ? ? ? , 13 ?

5 ?1 5 7 ? ? tan ? ? 1 ? 则 tan ? ? , ∴ tan ? ? ? ? = = 12 =- . 5 4 ? 1 ? tan ? 12 17 ? ?1 12 T (18)解:(Ⅰ)根据题意,可知 A= 2 2 , 且 =6-2=4,所以 T=16, 4
于是

?=

2? ? ?? ? 将点(2, 2 2 )代入 y ? 2 2 sin ? x ? ? ? ,得 ? T 8 ?8 ?

? ? ?? ? ?? ? 2 2 ? 2 2 sin ? ? 2 ? ? ? , 即 sin ? ? ? ? =1, 又 | ? | < ,所以 ? = . 2 4 ?8 ? ?4 ?
从而所求的函数解析式为: y ? 2 2 sin ?

?? ?? x ? ? , x?R 4? ?8

(19)解:如图,过 C 作 AB 的垂线,垂足为 D, 依题意,AB=3000·8=24000 米, 由∠BAC=300,∠DBC=600, 则∠BCA=300,∴ BC=24000 米, 在直角三角形 CBD 中, CD=BC· sin 60
0

=24000·0.866=20784 米, 故山顶的海拔高度为 25000-20784= 米. (20) 解:∵ 3a+5b 与 4a-3b 垂直, ∴ (3a+5b)·(4a-3b)=0, 即 12|a|2+11a·b-15|b|2=0, 4216

由于|a|=3,|b|=2,∴ a·b=- 则 cos ? a, b ??

48 , 11

a ?b 8 ? 8? =- , 故 a 与 b 的夹角为 arccos ? ? ? . | a |?| b | 11 ? 11 ?

(21)解:(Ⅰ)a·b= cos
2

3x x 3x x cos - sin sin = cos 2x =2cos2x-1, 2 2 2 2
2

3x x? ? 3x x? ? ? cos ? ? ? sin ? sin ? = 2 ? 2cos 2x =2| cos x |, |a+b|= ? cos 2 2? ? 2 2? ?
∵ x ? [0,

?
2

] ,∴ cos x ≥0,∴ |a+b|=2 cos x .

(Ⅱ)f(x)=a·b+2|a+b|=2cos2x-1+4 cos x =2( cos x +1)2-3, ∵ x ? [0,

?

2

] ,∴ 0≤ cos x ≤1, ∴ 当 cos x =0 时,f(x)取得最小值-1. 2? , 3

(22)解:(Ⅰ)设向量 a、b、c 两两所成的角均为 ? ,则 ? =0 或 ? =

又|a|=1,|b|=2,|c|=3. 则当 ? =0 时, a·b=|a|·|b| cos ? =2, b·c=|b|·|c| cos ? =6, c·a=|c|·|a| cos ? =3, 此时 |a+b+c|2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=14+22=36,∴ |a+b+c|=6; 当? =

2? 时, 3

a·b=|a|·|b| cos ? =-1, b·c=|b|·|c| cos ? =-3, c·a=|c|·|a| cos ? =-

3 , 2

此时 |a+b+c|2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=14-11=3,∴ |a+b+c|= 3 . (Ⅱ)当 ? =0,即|a+b+c|=6 时,a+b+c 与 a 的夹角显然为 0; 当? =

2? 3 ,即|a+b+c|= 3 时,∵ (a+b+c)·a=- ,且|a+b+c|·|a|= 3 , 3 2
3 5? ,∴ a+b+c 与 a 的夹角为 . 2 6

cos <a

+b+c,a>=-


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