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高中新课程数学(新课标人教A版)选修1-1《2.3.2 抛物线的简单几何性质》评估训练


双基达标

(限时 20 分钟)
( ).

1.经过抛物线 y2=2x 的焦点且平行于直线 3x-2y+5=0 的直线 l 的方程是

A.6x-4y-3=0 C.2x+3y-2=0

B.3x-2y-3=0 D.2x+3y-1=0

1 1 解析 设直线 l 的方程为

3x-2y+c=0, 抛物线 y2=2x 的焦点 F(2, 0), 所以 3×2 -2×0+c=0, 3 所以 c=-2,故直线 l 的方程是 6x-4y-3=0.选 A. 答案 A 2.过点(1,0)作斜率为-2 的直线,与抛物线 y2=8x 交于 A,B 两点,则弦 AB 的长为( A.2 13 C.2 17 ). B.2 15 D.2 19

解析 不妨设 A,B 两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),其中 x1>x2.由直线 AB 斜 率为-2,且过点(1,0)得直线 AB 的方程为 y=-2(x-1),代入抛物线方程 y2= 8x 得 4(x - 1)2 = 8x ,整理得 x2 - 4x + 1 = 0 , ∴x1 + x2 = 4 , x1x2 = 1 ,故 |AB| = (x1-x2)2+(y1-y2)2 = (x1-x2)2+4(x1-x2)2 = 5(x1-x2)2 =

5[(x1+x2)2-4x1x2] = 2 15 或 |AB| = 1+k2 |x1 - x2| = 5 (x1+x2)2-4x1x2 =2 15. 答案 B 3. 已知抛物线 y2=2px(p>0), 过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A, B 两点, 若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为( A.x=1 C.x=2 B.x=-1 D.x=-2 ).

p p 解析 抛物线的焦点为 F(2,0),所以过焦点且斜率为 1 的直线方程为 y=x-2,

p p 即 x=y+2,代入 y2=2px,得 y2=2p(y+2)=2py+p2,即 y2-2py-p2=0,由根 与系数的关系得 y1+y2 2 =p=2(y1,y2 分别为点 A,B 的纵坐标),所以抛物线方程

为 y2=4x,准线方程为 x=-1. 答案 B 4.抛物线顶点在坐标原点,以 y 轴为对称轴,过焦点且与 y 轴垂直的弦长为 16, 则抛物线方程为________. 解析 ∵过焦点且与对称轴 y 轴垂直的弦长等于 p 的 2 倍. ∴所求抛物线方程为 x2=± 16y. 答案 x2=± 16y → → 5. 已知 O 为坐标原点, F 为抛物线 y2=4x 的焦点, A 是抛物线上一点, 若OA· AF =-4,则点 A 的坐标是________. y2 0 解析 ∵抛物线的焦点为 F(1,0),设 A( 4 ,y0), → y2 → y2 0 0 则OA=( 4 ,y0),AF=(1- 4 ,-y0), → → 由OA·AF=-4,得 y0=± 2, ∴点 A 的坐标是(1,2)或(1,-2). 答案 (1,2)或(1,-2) 6.求适合下列条件的抛物线的标准方程: (1)顶点在原点,对称轴为坐标轴,顶点到准线的距离为 4; (2)顶点是双曲线 16x2-9y2=144 的中心,准线过双曲线的左顶点,且垂直于坐 标轴. p p 解 (1)由抛物线的标准方程对应的图形易知:顶点到准线的距离为2,故2=4, p=8.因此,所求抛物线的标准方程为 y2=± 16x 或 x2=± 16y. x2 y2 (2)双曲线方程 16x -9y =144 化为标准形式为 9 -16=1,中心为原点,左顶点
2 2

为(-3,0),故抛物线顶点在原点,准线为 x=-3.由题意可设抛物线的标准方 p 程为 y2=2px(p>0),可得2=3,故 p=6.因此,所求抛物线的标准方程为 y2=12x.

综合提高
点.若|FA|=2|FB|,则 k=( 1 A.3 2 B. 3 ).

(限时 25 分钟)

7.已知直线 y=k(x+2)(k>0)与抛物线 C:y2=8x 相交于 A,B 两点,F 为 C 的焦

2 C.3

2 2 D. 3

?y=k(x+2), 解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),易知 x1>0,x2>0,y1>0,y2>0,由? 2 ?y =8x, 得 k2x2+(4k2-8)x+4k2=0, ∴x1x2=4, p ∵|FA|=x1+2=x1+2, p |FB|=x2+2=x2+2,且|FA|=2|FB|, ∴x1=2x2+2. 由①②得 x2=1, 2 2 ∴B(1,2 2),代入 y=k(x+2),得 k= 3 .故选 D. 答案 D 8.过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线与抛物线相交于 M,N 两点,自 M,N 向准线 l 作垂线,垂足分别为 M1,N1,则∠M1FN1 等于( A.45° B.60° C.90° ). D.120° ② ①

解析 如图,由抛物线的定义, 得|MF|=|MM1|,|NF|=|NN1|. ∴∠MFM1=∠MM1F, ∠NFN1=∠NN1F. 设准线 l 与 x 轴的交点为 F1, ∵MM1∥FF1∥NN1, ∴∠MM1F=∠M1FF1, ∠NN1F=∠N1FF1. 而∠MFM1+∠M1FF1+∠NFN1+∠N1FF1=180°, ∴2∠M1FF1+2∠N1FF1=180°,即∠M1FN1=90°.

答案 C 9.边长为 1 的等边三角形 AOB,O 为原点,AB⊥x 轴,以 O 为顶点,且过 A, B 的抛物线方程是________. 3 ? 3 1? ? 3 1? 解析 该等边三角形的高为 2 .因而 A 点坐标为?± , ?或?± ,- ?.可设抛 2? ? 2 2? ? 2 3 物线方程为 y2=2px(p≠0).A 在抛物线上,因而 p=±12 .因而所求抛物线方程为 3 y2=± 6 x. 3 答案 y2=± 6 x 10.设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0).直线 l 与抛物线 C 相 交于 A、B 两点,若 AB 的中点为(2,2),则直线 l 的方程为________. 解析 抛物线的方程为 y2=4x, 设直线 l 与抛物线 C 的交点 A(x1,y1),B(x2,y2),
2 ?y1=4x1, 则有 x1≠x2,? 2 ?y2=4x2. 2 两式相减得,y1 -y2 2=4(x1-x2),

y1-y2 4 ∴ = =1, x1-x2 y1+y2 ∴直线 l 的方程为 y-2=x-2,即 y=x. 答案 y=x 11. 已知顶点在原点, 焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y=2x+1 截得的弦长为 15, 求抛物线的方程. 解 设抛物线的方程为 y2=2px,
2 ?y =2px, 则? 消去 y,得 ?y=2x+1,

4x2-(2p-4)x+1=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2), p-2 1 x1+x2 = 2 ,x1x2=4. |AB|= 1+k2|x1-x2|= 5 (x1+x2)2-4x1x2

= 5 则

p-2 1 ( 2 )2-4×4= 15. p2 2 4 -p= 3,p -4p-12=0,

p=-2 或 6.∴y2=-4x 或 y2=12x. 12.(创新拓展)如图,已知△AOB 的一个顶点为抛物线 y2=2x 的顶点 O,A、B 两点都在抛物线上,且∠AOB=90°. (1)证明直线 AB 必过一定点; (2)求△AOB 面积的最小值. (1)证明 设 OA 所在直线的方程为

1 y=kx(k≠0),则直线 OB 的方程为 y=- kx, 2 ? x=k2, ? ?y=kx, ?x=0, 由? 2 解得? 或? 2 ?y =2x, ?y=0, y = ? ? k, 2 2 即 A 点的坐标为(k2,k). 1 ? ?y=- x, k 解得 B 点的坐标为(2k2,-2k). 同样由? 2 ? ?y =2x, 2 k+2k ∴AB 所在直线的方程为 y+2k= 2 (x-2k2), 2 k2-2k 1 化简并整理,得(k-k)y=x-2. 不论实数 k 取任何不等于 0 的实数,当 x=2 时,恒有 y=0.故直线过定点 P(2, 0). (2)解 +2. ?x=my+2, 由? 2 消去 x 并整理,得 y2-2my-4=0. ?y =2x, ∴y1+y2=2m,y1y2=-4. 由于 AB 所在直线过定点 P(2,0),所以可设 AB 所在直线的方程为 x=my

于是|y1-y2|= (y1-y2)2= (y1+y2)2-4y1y2= (2m)2+16=2 m2+4. 1 S△AOB=2×|OP|×(|y1|+|y2|) 1 =2|OP|·|y1-y2| 1 =2×2×2 m2+4=2 m2+4. ∴当 m=0 时,△AOB 的面积取得最小值为 4.


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