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江西省南昌二中2015-2016学年高一上学期期中数学试卷


2015-2016 学年江西省南昌二中高一(上)期中数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.设集合 M={﹣1,0,1},N={﹣2,0,1},则 M∩N=( ) A.{﹣1,0,1} B.{0,1} C.{1} D.{0}

2.函数 f(x)=

>
+lg(3x+1)的定义域是(

)

A. (﹣ ,+∞) B. (﹣ ,1)

C. (﹣ , )

D. (﹣∞,﹣ )

3.设 f(x)= A.5 B.6 C.7 D.8

,则 f(1)+f(4)=(

)

4.函数 f(x)=10x+1 的值域是( ) A. (﹣∞,+∞) B.[0,+∞) C. (0,+∞)

D.[1,+∞) )

5.如果函数 f(x)=x2+2(a﹣1)x+2 在(﹣∞,4]上是减函数,那么实数 a 取值范围是( A.a≤﹣3 B.a≥﹣3 C.a≤5 D.a≥5 6.已知 f(x)=x5﹣ax3+bx+2,且 f(﹣5)=3,则 f(5)+f(﹣5)的值为( A.0 B.4 C.6 D.1 7.方程 x3﹣x﹣3=0 的实数解落在的区间是( ) A.[﹣1,0] B.[0,1] C.[1,2] D.[2,3] )

8.已知 f(x)= 成立,那么 a 的取值范围是( A. (0,1) B. ) C.

满足对任意 x1≠x2 都有

<0

D.

9.函数 y=xln|x|的大致图象是(

)

A.

B.

C.

D.

10.对实数 a 与 b,定义新运算“?”:

.设函数 f(x)=(x2﹣2)?(x )

x∈R. ﹣x2) , 若函数 y=f (x) ﹣c 的图象与 x 轴恰有两个公共点, 则实数 c 的取值范围是( A. C. B. D.

11.设奇函数 f(x)在[﹣1,1]上是增函数,且 f(﹣1)=﹣1,若函数 f(x)≤t2﹣2at+1 对所 ) 有的 x∈[﹣1,1]都成立,则当 a∈[﹣1,1]时,t 的取值范围是( A.﹣2≤t≤2 B. C.t≥2 或 t≤﹣2 或 t=0 D. 12.已知函数 f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3) ,若 x1<x2,x1+x2=1﹣a,则( A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)=f(x2) C.f(x1)>f(x2) D.f(x1)与 f(x2)的大小不能确定

)

二、填空题:请把答案填在题中横线上(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.函数 的单调递增区间是__________.

14. x﹣4m﹣2 在 x∈ +∞) 若幂函数 y= (m2﹣2m﹣2) (0, 上为减函数, 则实数 m 的值是__________. 15.函数 y=log4(2x+3﹣x2)值域为__________. 16.给出下列四种说法,说法正确的有__________(请填写序号) ①函数 y=ax(a>0,且 a≠1)与函数 y=logaax(a>0,且 a≠1)的定义域相同; ②函数 f(x)= ③已知对任意的非零实数 x 都有 和 y= 都是既奇又偶的函数; ,则 f(2)=﹣ ;

④函数 f(x)在(a,b]和(b,c)上都是增函数,则函数 f(x)在(a,c)上一定是增函数.

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分,解答题写出必要的文字说明、推演步骤) . 17.求下列各式的值: (1)2

(2) (log25+log4125)?



18.已知集合 A={x|2≤2x≤16},B={x|log3x>1}. (1)分别求 A∩B, (CRB)∪A; (2)已知集合 C={x|1<x<a},若 C?A,求实数 a 的取值范围.

19.已知 f(x)=

是奇函数.

(1)求实数 m 的值; (2)判断函数 f(x)在(﹣∞,﹣1)上的单调性,并加以证明.

20.设函数 f(x)=loga(2x+1)在区间 (1)求实数 a 的取值范围;

上满足 f(x)>0.

(2)若

= ,画出函数 g(x)

的图象,并解不等式 g (x)

< .

21.设函数 f(x)=ax﹣a﹣x(a>0 且 a≠1) . (1)若 f(1)<0,试判断函数 f(x)的单调性,并求使不等式 f(x2+tx)+f(4﹣x)<0 恒 成立时实数 t 的取值范围; (2)若 f(1)= ,且 g(x)=a2x+a﹣2x﹣2mf(x)在[1,+∞)上的最小值为﹣2,求 m 的值.

22.已知函数

,函数

x.

(1)若 g(mx2+2x+m)的定义域为 R,求实数 m 的取值范围; (2)当 x∈[﹣1,1]时,求函数 y=[f(x)]2﹣2af(x)+3 的最小值 h(a) ; (3)是否存在非负实数 m、n,使得函数 2n],若存在,求出 m、n 的值;若不存在,则说明理由. 的定义域为[m,n],值域为[2m,

2015-2016 学年江西省南昌二中高一(上)期中数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.设集合 M={﹣1,0,1},N={﹣2,0,1},则 M∩N=( ) A.{﹣1,0,1} B.{0,1} C.{1} D.{0} 【考点】交集及其运算. 【专题】计算题. 【分析】由 M 与 N,求出两集合的交集即可. 【解答】解:∵M={﹣1,0,1},N={﹣2,0,1}, ∴M∩N={0,1}. 故选 B 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2.函数 f(x)=

+lg(3x+1)的定义域是(

)

A. (﹣ ,+∞) B. (﹣ ,1)

C. (﹣ , )

D. (﹣∞,﹣ )

【考点】对数函数的定义域;函数的定义域及其求法. 【专题】计算题. 【分析】依题意可知要使函数有意义需要 1﹣x>0 且 3x+1>0,进而可求得 x 的范围. 【解答】解:要使函数有意义需 ,

解得﹣ <x<1. 故选 B. 【点评】本题主要考查了对数函数的定义域.属基础题.

3.设 f(x)= A.5 B.6 C.7 D.8

,则 f(1)+f(4)=(

)

【考点】函数的值. 【专题】计算题;函数思想;函数的性质及应用. 【分析】直接利用分段函数求解函数值即可. 【解答】解:f(x)= 则 f(1)+f(4)=21+1+log24=5. ,

故选:A. 【点评】本题考查函数值的求法,分段函数的应用,是基础题. 4.函数 f(x)=10x+1 的值域是( ) A. (﹣∞,+∞) B.[0,+∞) C. (0,+∞)

D.[1,+∞)

【考点】函数的值域. 【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】可以看出 x+1 可以取遍所有的实数 R,从而根据指数函数的值域有 10x+1>0,这便得 出该函数的值域. 【解答】解:x+1∈R; ∴10x+1>0; ∴f(x)的值域为(0,+∞) . 故选:C. 【点评】考查一次函数的值域,指数函数的值域,y=10x 的值域为(0,+∞) ,从而可以根据 x+1 沿 x 轴的平移变换得出函数 f(x)=10 的值域. 5.如果函数 f(x)=x2+2(a﹣1)x+2 在(﹣∞,4]上是减函数,那么实数 a 取值范围是( A.a≤﹣3 B.a≥﹣3 C.a≤5 D.a≥5 )

【考点】二次函数的性质. 【专题】计算题. 【分析】先用配方法将二次函数变形,求出其对称轴,再由“在(﹣∞,4]上是减函数”,知对 称轴必须在区间的右侧,求解即可得到结果. 【解答】解:∵f(x)=x2+2(a﹣1)x+2=(x+a﹣1)2+2﹣(a﹣1)2 其对称轴为:x=1﹣a ∵函数 f(x)=x2+2(a﹣1)x+2 在(﹣∞,4]上是减函数 ∴1﹣a≥4 ∴a≤﹣3 故选 A 【点评】本题主要考查二次函数的单调性,解题时要先明确二次函数的对称轴和开口方向, 这是研究二次函数单调性和最值的关键. 6.已知 f(x)=x5﹣ax3+bx+2,且 f(﹣5)=3,则 f(5)+f(﹣5)的值为( A.0 B.4 C.6 D.1 )

【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】计算题;转化思想;函数的性质及应用. 【分析】根据已知中 f(x)=x5﹣ax3+bx+2,可得 f(x)+f(﹣x)=4,解得答案. 【解答】解:∵f(x)=x5﹣ax3+bx+2, ∴f(﹣x)=﹣(x5﹣ax3+bx)+2, ∴f(x)+f(﹣x)=4, 故选:B 【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质,熟练掌握函数奇偶性是性质是解答的关键. 7.方程 x3﹣x﹣3=0 的实数解落在的区间是( ) A.[﹣1,0] B.[0,1] C.[1,2] D.[2,3]

【考点】二分法求方程的近似解. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】令 f(x)=x3﹣x﹣3,易知函数 f(x)=x3﹣x﹣3 在 R 上连续,从而由函数的零点的 判定定理判断即可. 【解答】解:令 f(x)=x3﹣x﹣3, 易知函数 f(x)=x3﹣x﹣3 在 R 上连续, f(1)=﹣3<0,f(2)=8﹣2﹣3=3>0; 故 f(1)?f(2)<0, 故函数 f(x)=2x﹣3 的零点所在的区间为[1,2]; 故选 C. 【点评】本题考查了函数的零点的判定定理的应用,属于基础题.

8.已知 f(x)= 成立,那么 a 的取值范围是( A. (0,1) B. ) C.

满足对任意 x1≠x2 都有

<0

D.

【考点】分段函数的应用;函数恒成立问题. 【专题】函数思想;定义法;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】由题意可得 f(x)在 R 上为减函数,分别考虑各段的单调性,可得 2a﹣1<0,0<a <1,注意 x=1 处的情况,可得 2a﹣1+3a≥a,求交集即可得到所求范围. 【解答】解:对任意 x1≠x2 都有 即有 f(x)在 R 上为减函数, 当 x<1 时,y=(2a﹣1)x+3a,递减,即有 2a﹣1<0,解得 a< ,① 当 x>1 时,y=ax 递减,即有 0<a<1,② 由于 x∈R,f(x)递减,即有 2a﹣1+3a≥a, 解得 a≥ ,③ 由①②③,可得 ≤a< . 故选 C. 【点评】本题考查函数的单调性的判断和运用,考查运算能力,注意定义的运用,属于中档 题和易错题. 9.函数 y=xln|x|的大致图象是( ) <0 成立,

A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】容易看出,该函数是奇函数,所以排除 B 项,再原函数式化简,去掉绝对值符号转 化为分段函数,再从研究 x>0 时,特殊的函数值符号、极值点、单调性、零点等性质进行判 断. 【解答】解:令 f(x)=xln|x|,易知 f(﹣x)=﹣xln|﹣x|=﹣xln|x|=﹣f(x) ,所以该函数是奇 函数,排除选项 B; 又 x>0 时,f(x)=xlnx,容易判断,当 x→+∞时,xlnx→+∞,排除 D 选项; 令 f(x)=0,得 xlnx=0,所以 x=1,即 x>0 时,函数图象与 x 轴只有一个交点,所以 C 选项 满足题意. 故选:C. 【点评】函数图象问题就是考查函数性质的问题.不过,除了分析定义域、值域、单调性、 奇偶性、极值与最值等性质外,还要注意对特殊点,零点等性质的分析,注意采用排除法等 间接法解题.

10.对实数 a 与 b,定义新运算“?”:

.设函数 f(x)=(x2﹣2)?(x )

x∈R. ﹣x2) , 若函数 y=f (x) ﹣c 的图象与 x 轴恰有两个公共点, 则实数 c 的取值范围是( A. C. 【考点】函数与方程的综合运用. 【专题】函数的性质及应用. B. D.

【分析】根据定义的运算法则化简函数 f(x)=(x2﹣2)?(x﹣x2)的解析式,并求出 f(x) 的取值范围,函数 y=f(x)﹣c 的图象与 x 轴恰有两个公共点转化为 y=f(x) ,y=c 图象的交 点问题,结合图象求得实数 c 的取值范围. 【解答】解:∵ ,

∴函数 f(x)=(x2﹣2)?(x﹣x2)=



由图可知,当 c∈ 函数 f(x) 与 y=c 的图象有两个公共点,

∴c 的取值范围是 故选 B.



【点评】本题考查二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用,及数形结合的思想.属于 基础题. 11.设奇函数 f(x)在[﹣1,1]上是增函数,且 f(﹣1)=﹣1,若函数 f(x)≤t2﹣2at+1 对所 ) 有的 x∈[﹣1,1]都成立,则当 a∈[﹣1,1]时,t 的取值范围是( A.﹣2≤t≤2 B. C.t≥2 或 t≤﹣2 或 t=0 D. 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【专题】探究型. 【分析】奇函数 f(x)在[﹣1,1]上是增函数,且 f(﹣1)=﹣1,在[﹣1,1]最大值是 1,由 此可以得到 1≤t2﹣2at+1,因其在 a∈[﹣1,1]时恒成立,可以改变变量,以 a 为变量,利用一 次函数的单调性转化求解. 【解答】解:奇函数 f(x)在[﹣1,1]上是增函数,且 f(﹣1)=﹣1,在[﹣1,1]最大值是 1, ∴1≤t2﹣2at+1, 当 t=0 时显然成立 当 t≠0 时,则 t2﹣2at≥0 成立,又 a∈[﹣1,1] 令 r(a)=﹣2ta+t2,a∈[﹣1,1] 当 t>0 时,r(a)是减函数,故令 r(1)≥0,解得 t≥2 当 t<0 时,r(a)是增函数,故令 r(﹣1)≥0,解得 t≤﹣2 综上知,t≥2 或 t≤﹣2 或 t=0 故选 C. 【点评】本题是一个恒成立求参数的问题,此类题求解的关键是解题中关系的转化,本题借 助单调性确定最值进行转化,这是不等式型恒成立问题常用的转化技巧. 12.已知函数 f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3) ,若 x1<x2,x1+x2=1﹣a,则( )

A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)=f(x2) C.f(x1)>f(x2) D.f(x1)与 f(x2)的大小不能确定 【考点】函数单调性的性质. 【专题】计算题. 【分析】函数 f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3)为二次函数,开口向上,对称轴为 x=﹣1, 比较 f(x1)与 f(x2)的大小即看 x1 和 x2 谁到对称轴的距离大. 【解答】解:已知函数 f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3) ,二次函数的图象开口向上,对称轴为 x=﹣1,0<a<3, ∴x1+x2=1﹣a∈(﹣2,1) ,x1 与 x2 的中点在(﹣1, )之间,x1<x2, ∴x2 到对称轴的距离大于 x1 到对称轴的距离, ∴f(x1)<f(x2) , 故选 A. 【点评】本题考查函数单调性的应用,利用单调性比较大小,有较强的综合性.熟练掌握二 次函数的性质是解决本题的关键. 二、填空题:请把答案填在题中横线上(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.函数 的单调递增区间是(﹣∞,1) .

【考点】指数型复合函数的性质及应用;复合函数的单调性. 【专题】计算题;数形结合;配方法;函数的性质及应用. 【分析】根据复合函数单调性的判断规则,要求原函数的单调增区间,只需求指数部分的单 调减区间. 【解答】解:设 u(x)=x2﹣2x+6=(x﹣1)2+5,对称轴为 x=1, 则 u(x)在(﹣∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增, 而 f(x)= ,底 ∈(0,1) ,

所以,u(x)的单调性与 f(x)的单调性相反, 即 f(x)在(﹣∞,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减, 故填: (﹣∞,1) (区间右端点可闭) . 【点评】本题主要考查了复合函数单调性,涉及二次函数和指数函数的单调性,属于基础题. 14.若幂函数 y=(m2﹣2m﹣2)x﹣4m﹣2 在 x∈(0,+∞)上为减函数,则实数 m 的值是 m=3. 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】根据给出的函数为幂函数,由幂函数概念知 m2﹣m﹣1=1,再根据函数在(0,+∞) 上为减函数,得到幂指数应该小于 0,求得的 m 值应满足以上两条. 【解答】解:因为函数 y=(m2﹣2m﹣2)x﹣4m﹣2 既是幂函数又是(0,+∞)的减函数, 所以 ,? ,解得:m=3.

故答案为:m=3. 【点评】本题考查了幂函数的概念及性质,解答此题的关键是掌握幂函数的定义,此题极易 把系数理解为不等于 0 而出错,属基础题.

15.函数 y=log4(2x+3﹣x2)值域为(﹣∞,1]. 【考点】对数函数的值域与最值;复合函数的单调性. 【专题】计算题;函数思想;配方法;函数的性质及应用. 【分析】运用复合函数的单调性分析函数最值,再通过配方求得值域. 【解答】解:设 u(x)=2x+3﹣x2=﹣(x﹣1)2+4, 当 x=1 时,u(x)取得最大值 4, ∵函数 y=log4x 为(0,+∞)上的增函数, ∴当 u(x)取得最大值时,原函数取得最大值, 即 ymax=log4u(x)max=log44=1, 因此,函数 y=log4(2x+3﹣x2)的值域为(﹣∞,1], 故填: (﹣∞,1]. 【点评】本题主要考查了函数值域的求法,涉及对数函数的单调性,用到配方法和二次函数 的性质,属于基础题. 16.给出下列四种说法,说法正确的有①③(请填写序号) ①函数 y=ax(a>0,且 a≠1)与函数 y=logaax(a>0,且 a≠1)的定义域相同; ②函数 f(x)= ③已知对任意的非零实数 x 都有 和 y= 都是既奇又偶的函数; ,则 f(2)=﹣ ;

④函数 f(x)在(a,b]和(b,c)上都是增函数,则函数 f(x)在(a,c)上一定是增函数. 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】函数思想;定义法;简易逻辑. 【分析】①函数 y=ax 的定义域为 R,函数 y=logaax(a>0,且 a≠1)的定义域为 ax>0,x∈R; ②函数 f(x)= 不关于原点对称, ③由 ,得 f( )+2f(x)= +1,联立可得 f(x)= , 的定义域为{﹣1,1},y= 的定义域为{1}

代入求值即可; ④函数 f(x)在(a,b]和(b,c)上都是增函数,只能说明函数的增区间为(a,b]和(b,c) . x x x 【解答】解:①函数 y=a 的定义域为 R,函数 y=logaa (a>0,且 a≠1)的定义域为 a >0, x∈R,故正确; ②函数 f(x)= y= ③由 得则 f(2)=﹣ ,故正确; ④函数 f(x)在(a,b]和(b,c)上都是增函数,只能说明函数的增区间为(a,b]和(b,c) , 但函数 f(x)在(a,c)上不一定是增函数,故错误. 的定义域为{﹣1,1},且 f(x)=0,是既奇又偶的函数, 的定义域为{1}不关于原点对称,故是非奇非偶函数,故错误; ,得 f( )+2f(x)= +1,联立可得 f(x)= ,

故答案为①③. 【点评】 考查了函数定义域的求法, 函数奇偶性的判定, 抽象函数的求解和单调区间的确定. 属 于基础题型,应熟练掌握. 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分,解答题写出必要的文字说明、推演步骤) . 17.求下列各式的值: (1)2

(2) (log25+log4125)?



【考点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 【专题】计算题;转化思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)利用根式与分数指数幂的性质、运算法则求解. (2)利用对数的性质、运算法则和换底公式求解. 【解答】解: (1)2 = = . ﹣2

(2) (log25+log4125)?

=(log425+log4125)? =log43125×log252 = = . 【点评】本题考查对数式和指数式的化简求值,是基础题,解题时要认真审题,注意指数、 对数性质、运算法则和换底公式的合理运用. 18.已知集合 A={x|2≤2x≤16},B={x|log3x>1}. (1)分别求 A∩B, (CRB)∪A; (2)已知集合 C={x|1<x<a},若 C?A,求实数 a 的取值范围. 【考点】集合的包含关系判断及应用;交、并、补集的混合运算. 【专题】计算题;分类讨论;分类法;集合. 【分析】 (1)解指数不等式和对数不等式求出集合 A,B,结合集合的交集,交集,补集运算 的定义,可得答案. (2)分 C=?和 C≠?两种情况,分别求出满足条件的实数 a 的取值范围,综合讨论结果,可得 答案. 【解答】解: (1)∵集合 A={x|2≤2x≤16}=[1,4],

B={x|log3x>1}=(3,+∞) . ∴A∩B=(3,4], CRB=(﹣∞,3], (CRB)∪A=(﹣∞,4]; (2)∵集合 C={x|1<x<a},C?A, 当 a≤1 时,C=?,满足条件; 当 a>1 时,C≠?,则 a≤4,即 1<a≤4, 综上所述,a∈(﹣∞,4]. 【点评】本题考查的知识点是集合的交集,交集,补集运算,难度不大,属于基础题.

19.已知 f(x)=

是奇函数.

(1)求实数 m 的值; (2)判断函数 f(x)在(﹣∞,﹣1)上的单调性,并加以证明. 【考点】函数奇偶性的性质;函数单调性的判断与证明. 【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)根据 f(x)为奇函数,从而有 f(﹣x)=﹣f(x) ,进一步得到 这样即可求出 m=0; (2)f(x)变成 ,可看出 f(x)在(﹣∞,﹣1)上单调递增,根据增函数的 ,

定义,可设任意的 x1<x2<﹣1,然后作差,通分,提取公因式 x1﹣x2,证明 f(x1)<f(x2) 即可得出 f(x)在(﹣∞,﹣1)上单调递增. 【解答】解: (1)∵f(x)是奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x) ; 即 ;

∴ ∴m=﹣m; ∴m=0; (2) 证明:



在(﹣∞,﹣1)上是单调增函数; ,设 x1<x2<﹣1,则:

= ∵x1<x2<﹣1;



∴x1﹣x2<0,x1x2>1,



∴f(x1)<f(x2)<0; ∴f(x)在(﹣∞,﹣1)上是单调增函数. 【点评】考查奇函数的定义,增函数的定义,根据增函数的定义判断并证明一个函数为增函 数的方法和过程,作差的方法比较 f(x1) ,f(x2) ,作差后是分式的一般要通分,一般要提取 公因式 x1﹣x2. 20.设函数 f(x)=loga(2x+1)在区间 (1)求实数 a 的取值范围; 上满足 f(x)>0.

(2)若

= ,画出函数 g(x)

的图象,并解不等式 g (x)

< .

【考点】对数函数的图像与性质. 【专题】数形结合;分类讨论;转化法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)根据 x 的取值范围,结合对数函数的图象与性质,求出 a 的取值范围; (2)根据题意求出 a 的值,再画出函数 g(x)的图象,结合图形把不等式 g(x)< 化为对 数或指数不等式,从而求出不等式的解集. 【解答】解: (1)∵x∈ ∴2x+1∈(0,1) , 又 f(x)>0, ∴实数 a 的取值范围是 0<a<1; … (2)由 解得 ,… ,得 loga(2×(﹣ )+1)=1, ,∴2x∈(﹣1,0) ,

所以 g(x)=

,…

画出函数的图象,如图所示:

… 当 时,不等式 g(x)< 可化为

,即



解得 当 , 解得 x<﹣1;…

;… 时,不等式 g(x)< 可化为

综上,不等式的解集为

.…

【点评】本题考查了指数、对数函数的图象与性质的应用问题,也考查了分段函数的应用问 题,是综合性题目. 21.设函数 f(x)=ax﹣a﹣x(a>0 且 a≠1) . (1)若 f(1)<0,试判断函数 f(x)的单调性,并求使不等式 f(x2+tx)+f(4﹣x)<0 恒 成立时实数 t 的取值范围; (2)若 f(1)= ,且 g(x)=a2x+a﹣2x﹣2mf(x)在[1,+∞)上的最小值为﹣2,求 m 的值. 【考点】函数奇偶性的性质;函数单调性的判断与证明;函数的最值及其几何意义. 【专题】函数的性质及应用. f 【分析】 本题 (1) 利用条件 f (1) <0, 得到 0<a<1. (x) 在 R 上单调递减, 从而将 f (x2+tx) <f(x﹣4)转化为 x2+tx>x﹣4,研究二次函数得到本题结论; (2)令 t=f(x)=2x﹣2﹣x,得

到二次函数 h(t)=t2﹣2mt+2 在区间[ ,+∞)上的最小值,分类讨论研究得到 m=2,得到本 题结论. 【解答】解: (1)∵f(﹣x)=a﹣x﹣ax=﹣f(x) , ∴f(x)是定义域为 R 的奇函数, ∵f(x)=ax﹣a﹣x(a>0 且 a≠1) ,且 f(1)<0, ∴ ,又∵a>0,且 a≠1,

∴0<a<1. ∵ax 单调递减,a﹣x 单调递增, ∴f(x)在 R 上单调递减. 不等式 f(x2+tx)+f(4﹣x)<0 化为:f(x2+tx)<f(x﹣4) , 2 2 ∴x +tx>x﹣4,即 x +(t﹣1)x+4>0 恒成立, ∴△=(t﹣1)2﹣16<0,解得:﹣3<t<5. (2)∵f(1)= ,∴ ∴a=﹣ (舍去)或 a=2, ∴a=2, ∴g(x)=22x+2﹣2x﹣2m(2x﹣2﹣x)=(2x﹣2﹣x)2﹣2m(2x﹣2﹣x)+2. 令 t=f(x)=2x﹣2﹣x, 由(1)可知 t=f(x)=2x﹣2﹣x 为增函数, ∵x≥1, ∴t≥f(1)= , 令 h(t)=t2﹣2mt+2=(t﹣m)2+2﹣m2(t≥ ) , 若 m≥ , 当 t=m 时,h(t)min=2﹣m2=﹣2,∴m=2 若 m< ,当 t= 时,h(t)min= ﹣3m=﹣2,解得 m= > ,舍去 ,即 2a2﹣3a﹣2=0.

综上可知 m=2. 【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性,还考查了转化化归和分类讨论的数学思想,本 题难度适中,属于中档题.

22.已知函数

,函数

x.

(1)若 g(mx2+2x+m)的定义域为 R,求实数 m 的取值范围; (2)当 x∈[﹣1,1]时,求函数 y=[f(x)]2﹣2af(x)+3 的最小值 h(a) ; (3)是否存在非负实数 m、n,使得函数 2n],若存在,求出 m、n 的值;若不存在,则说明理由. 的定义域为[m,n],值域为[2m,

【考点】对数函数的图像与性质. 【专题】分类讨论;转化思想;分类法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)若 的定义域为 R,则真数大于 0 恒

成立,结合二次函数的图象和性质,分类讨论满足条件的实数 m 的取值范围,综合讨论结果, 可得答案; (2)令 ,则函数 y=[f(x)]2﹣2af(x)+3 可化为:y=t2﹣2at+3, ,

结合二次函数的图象和性质,分类讨论各种情况下 h(a)的表达式,综合讨论结果,可得答 案; (3)假设存在,由题意,知 解得答案.

【解答】解: (1)∵



∴ 令 u=mx2+2x+m,则 当 m=0 时,u=2x, 当 m≠0 时,若



, 的定义域为(0,+∞) ,不满足题意; 的定义域为 R,

则 解得 m>1, 综上所述,m>1 (2)





= x∈[﹣1,1], 令 ,则 ,y=t2﹣2at+3,



∵函数 y=t2﹣2at+3 的图象是开口朝上,且以 t=a 为对称轴的抛物线, 故当 当 时, 时, ; ;

时,t=a 时,

当 a>2 时,t=2 时,h(a)=ymin=7﹣4a.

综上所述,



(3)



假设存在,由题意,知

解得



∴存在 m=0,n=2,使得函数

的定义域为[0,2],值域为[0,4]…

【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质,熟练掌握对数函数的图象和性质,是 解答的关键.


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