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抽象函数定义域、值域

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抽象函数的定义域、值域问题
1、 定义域: 解决抽象函数的定义域问题——明确定义、 等价转换。
f ( x ? 1)

材料一:若函数 y ? 义域。 解析:由
?1 ? x ?1 ? 4

的定义域为 [ ? 2 ,3 ) ,求函数

y ? f(

1 x


? 2)

的定

y ? f ( x ? 1)

的定义域为 [ ? 2 ,3 ) ,知 x ? 1 中的 x ? [? 2 ,3 ) ,从而
y ? f( 1 x ? 2)

,对函数
1 2 1 x , ?? )

而言,有

?1 ?

1 x

?2 ? 4

,解之得:

x ? ( ?? , ?

1 3

]? (

。 的定义域为
( ?? , ? 1 3 ]? ( 1 2 , ?? )

所以函数

y ? f(

? 2)

总结:函数的定义域是指自变量的取值范围,求抽象函数的定义域的 关键是括号内式子的地位等同 (即同一对应法则后括号内的式子具有
1

相同的取值范围) ,如本题中的 x ? 1 与 x 2、

?2

的范围等同。

值域:解决抽象函数的值域问题——定义域、对应法则决定。
f ( x ? 1)

材料二:若函数 y ? 解析: 函数 y ?

的值域为 [ ? 1,1] ,求函数 y ?

f (3 x ? 2 ) f ( x ? 1)

的值域。

f (3 x ? 2 )

中定义域与对应法则与函数 y ?
f (3 x ? 2 )

的定义域

与对应法则完全相同,故函数 y ?

的值域也为 [ ? 1,1] 。

总结:当函数的定义域与对应法则不变时,函数的值域也不会改变。 例 1.函数 y ?
f (x)

的定义域为 ( ? ? ,1] ,则函数 y ?

f [lo g 2 ( x ? 2 )] 的定
2

义域是__________。
o2 x 2 解析:因为 l g( ?? )相当于 f ( x ) 中的 x ,所以 lo g
2 ? x?2
2

( x ? 2 ) ? 1 ,得
2

或 ?2 ?

x? ? 2



例 2.若函数 y ? 域为___________。

f (x)

的值域是 [

1 2

, 3] ,则函数 F ( x ) ? f ( x ) ?

1 f (x)

的值

1

解析:令 t ?

f (x)

,则 2

?t ?3

,由函数

g (t ) ? t ?

1 t

在区间

[

1 2

,1]

是减函
[ 2, 10 3 ]

1 5 g( ) ? 数, [1, 3] 上是增函数, 在 则 2 2

,g (1) ? 2 ,

g (3) ?

10 3

, 故值域为




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