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全国通用2017年高考数学大二轮专题复习第二讲向量复数算法合情推理课件理

时间:2017-06-11


第二编 专题整合突破
专题一 集合、常用逻辑用语、 向量、复数、算法、合情推理、 不等式及线性规划

第二讲

向量、复数、算法、合情推理

主干知识整合

[必记公式] 1.两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 ①a∥b?a=λb(b≠0,λ∈R)? x1y2-x2y1=0 ②a⊥b?a· b=0? x1x2+y1y2=0 . .

2.复数的四则运算法则
c)+(b± d)i (a,b,c,d∈R). (a+bi)± (c+di)= (a± (a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(bc+ad)i .

ac+bd bc-ad (a+bi)÷ (c+di)= 2 2 + 2 2 i(a,b,c,d∈R,c c +d c +d +di≠0).

[重要结论] 1.若a与b不共线,且λa+μb=0,则 λ=μ=0 . → → → 2.已知 OA =λ OB +μ OC (λ,μ为常数),则A,B,C三 点共线的充要条件是 λ+μ=1 . 3.平面向量的三个性质 (1)若a=(x,y),则|a|= a· a=
x2+y2 .

(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则 → |AB|= (x2,y2),则 a· b cosθ= = |a||b|

?x2-x1?2+?y2-y1?2 .

(3)设θ为a与b(a≠0,b≠0)的夹角,且a=(x1,y1),b=

x1x2+y1y2 2 2 2 x2 + y x + y 1 1 2 2

.

4.复数运算中常用的结论 1+i 1-i ①(1± i) =± 2i;② =i;③ =-i;④-b+ai= 1-i 1+i
2

i(a+bi);⑤i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,其中n ∈N*. 5.归纳推理的思维过程 实验、观察 ―→ 概括、推广 ―→ 猜测一般性结论 6.类比推理的思维过程 实验、观察 ―→ 联想、类推 ―→ 猜测新的结论

7.数学归纳法证题的步骤 (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n=n0(n0∈N*)时,命 题成立; (2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证 明当
n=k+1 时,命题也成立.

只要完成了这两个步骤,就可以断定命题对于任何 n≥n0的正整数都成立.

[失分警示] 1.遇到i2,忘记应化为-1,要注意i的周期性. 2.虚数与纯虚数的条件不要弄混,当b≠0时,复数z =a+bi(a,b∈R)叫做虚数;当a=0且b≠0时,复数z=a+ bi叫做纯虚数. 3.读不懂程序框图的逻辑顺序,不能准确把握判断框 中的条件. 4.分不清当型循环与直到型循环,不注意控制循环的 变量是什么,不清楚何时退出循环、循环体内的程序是什 么.

热点考向探究

考点 典例示法

平面向量的运算及应用

题型1 向量的概念及线性运算 [2015· 北京高考]在△ABC中,点M,N满足 1 → → → → → → → AM=2MC,BN=NC.若MN=xAB+yAC,则x=________ , 2
1 -6 y=________.
→ → [解析] 由 AM =2 MC 知M为AC上靠近C的三等分点, → → 由BN=NC知N为BC的中点,作出草图如右:

典例1

→ 1 → → → → → 1 → 则有 AN = 2 ( AB + AC ),所以 MN = AN - AM = 2 ( AB + → 2→ 1→ 1→ AC)-3AC=2AB-6AC, 1 1 → → → 又因为MN=xAB+yAC,所以x=2,y=-6.

题型2 向量的数量积 典例2
? 已知向量m=? ? ?

[2015· 广东高考]在平面直角坐标系xOy中,
? ? π 2 2? ? ? ? ,- ?,n=(sinx,cosx),x∈?0, ?. 2? 2 2? ?

(1)若m⊥n,求tanx的值; π (2)若m与n的夹角为3,求x的值.
[解] (1)∵m⊥n,∴m· n=0. 2 2 故 2 sinx- 2 cosx=0,∴tanx=1.

π (2)∵m与n的夹角为3, 2 2 2 sinx- 2 cosx 1 m· n ∴cos〈m,n〉= = =2, |m||n| 1×1
? π? 1 ? ? 故sin?x-4?=2. ? ? ? ? ? ? π π π π π π 5π ? ? ? ? 又x∈?0,2?,∴x-4∈?-4,4?,x-4=6,即x=12, ? ? ? ?

5π 故x的值为12.

题型3 平面向量的综合应用 典例3 [2016· 江苏高考]如图,在△ABC中,D是BC → → → → 的中点,E,F是AD上的两个三等分点,BA· CA=4,BF· CF 7 → → =-1,则BE· CE的值是________ . 8

[解析] 解法一:以D为坐标原点,BC所在直线为x 轴,线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,设B(-
?2 ?1 2 ? 1 ? → ? ? ? a,0),C(a,0),A(b,c),则E ?3b,3c? ,F ?3b,3c? , BA =(b ? ? ? ? ?

c? → → ? → ?b +a,c),CA=(b-a,c),BF=?3+a,3? , CF = ?
? ?

?b c? ? ? - a , ? 3? ?3 ?

?2 ?2 2 ? 2 ? → → ? ? ? , BE = ?3b+a,3c? , CE = ?3b-a,3c? ? ,由 ? ? ? ?

2 2 b c → → → → BA· CA=b2-a2+c2=4,BF· CF= 9 -a2+ 9 =-1,解得b2

45 2 13 7 → → 4 2 2 2 +c = 8 ,a = 8 ,则BE· CE=9(b +c )-a =8.
2

→ → → → 解法二:设 BD =a, DF =b,则 BA · CA =(a+3b)· (-a → → +3b)=9|b| -|a| =4, BF · CF =(a+b)· (-a+b)=|b|2-|a|2
2 2

13 5 → → 2 =-1,解得|a| = 8 ,|b| = 8 ,则 BE · CE =(a+2b)· (-a+
2

7 2b)=4|b| -|a| =8.
2 2

1.解决平面向量及线性运算问题应注意的几点 (1)a∥b?a=λb(b≠0)是判定两个向量共线的重要依 据. (2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注 意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有 公共点时,才能得出三点共线. (3)若a与b不共线且λa=μb,则λ=μ=0. → → → (4) OA =λ OB +μ OC (λ,μ为实数),若A、B、C三点共 线,则λ+μ=1.

(5)平面向量的线性运算包括向量的加法、向量的减法 及实数与向量的积,在解决这类问题时,经常出现的错误 有:忽视向量的起点与终点,导致加法与减法混淆;错用 数乘公式.对此,要注意三角形法则和平行四边形法则适 用的条件. 2.数量积、模和夹角的问题 (1)涉及数量积和模的计算问题,通常有两种求解思 路: ①直接利用数量积的定义; ②建立坐标系,通过坐标运算求解.

(2)在利用数量积的定义计算时,要善于将相关向量分 解为图形中模和夹角已知的向量进行计算. 求平面向量的模时,常把模的平方转化为向量的平 方. (3)两个向量夹角的范围是[0,π],在使用平面向量解 决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况,如 已知两个向量的夹角为钝角时,不单纯就是其数量积小于 零,还要求不能反向共线.

3.解向量与其他知识的综合问题应注意 向量、不等式、解三角形的结合是现在高考的主流趋 势,对于向量而言,要掌握相关的夹角、模、垂直、平行 等重要公式.而在三角形中有关最值的求解通常借助于正 弦型或余弦型函数的范围,或归结为二次函数的最值、或 利用基本不等式等进行,无论采用哪种形式,都要强调变 量的范围.处理三角形中的问题也要注意灵活地边角转 化,并且注意一些隐含条件,如内角和为180° 、大角对大 边等内在属性.

考点 典例示法 典例4 A.1 C. 3

复数的概念及运算

(1)[2016· 全国卷Ⅰ]设(1+i)x=1+yi,其中 ) B. 2 D.2

x,y是实数,则|x+yi|=(

[解析] 因为(1+i)x=x+xi=1+yi,所以x=y=1,|x +yi|=|1+i|= 12+12= 2,选B.

2i (2)[2015· 郑州质检二]设i是虚数单位,复数z= ,则 1+i |z|=( C. 3 ) B. 2 D.2
? 2i ? ? |z|=? ? ?= 1 + i ? ?

A.1

[解析]

2 = 2. 2

本例条件不变求 z ?
答案 1-i

2i 2i?1-i? 解析 由z= = 2 =1+i,所以 z =1-i. 1+i

复数的基本概念与运算问题的解题思路 (1)与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题, 一般是先变形分离出实部和虚部,把复数的非代数形式化 为代数形式,然后再根据条件,列方程(组)求解. (2)与复数z的模|z|和共轭复数有关的问题,一般都要先 设出复数z的代数形式z=a+bi(a,b,∈R),代入条件,用 待定系数法解决.

针对训练 2i 1.[2015· 安徽高考]设i是虚数单位,则复数 在复平 1-i 面内所对应的点位于( A.第一象限 C.第三象限 ) B.第二象限 D.第四象限

2i?1+i? 2i 解析 = =-1+i,其在复平面内所对 1-i ?1-i??1+i? 应的点位于第二象限.

2.[2016· 天津高考]已知a,b∈R,i是虚数单位.若(1 a 2 +i)(1-bi)=a,则b的值为________ .

解析 (1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a,所以b=1,a a =2,b=2.

考点 典例示法

程序框图

题型1 求输入或输出的值 典例5 [2016· 全国卷Ⅰ]执 行如图所示的程序框图,如果输入 的x=0,y=1,n=1,则输出x,y 的值满足( A.y=2x C.y=4x ) B.y=3x D.y=5x

[解析] 输入x=0,y=1,n=1,得x=0,y=1,x2+ 1 y =1<36,不满足条件,执行循环:n=2,x= 2 ,y=2,
2

1 1 x +y = 4 +4<36,不满足条件,执行循环:n=3,x= 2 +
2 2

3 9 2 2 1= 2 ,y=6,x +y = 4 +36>36,满足条件,结束循环, 3 所以输出的x=2,y=6,满足y=4x,故选C.

题型2 完善程序框图 典例6 [2015· 重庆高考]执行如图所示的程序框图, ) 若输出k的值为8,则判断框内可填入的条件是(

3 A.s≤4

5 B.s≤6

11 25 C.s≤12 D.s≤24 1 [解析] 第一次循环,得k=2,s= 2 ;第二次循环,

1 1 3 3 1 得k=4,s= 2 + 4 = 4 ;第三次循环,得k=6,s= 4 + 6 = 11 11 1 25 12 ;第四次循环,得k=8,s= 12 + 8 = 24 ,此时退出循 11 环,输出k=8,所以判断框内可填入的条件是s≤12,故选 C.

解答程序框图(流程图)问题的关注点 (1)首先要读懂程序框图,要熟练掌握程序框图的三种 基本结构,特别是循环结构,在如累加求和、累乘求积、 多次输入等有规律的科学计算中,都有循环结构. (2)准确把握控制循环的变量,变量的初值和循环条 件,弄清在哪一步结束循环;弄清循环体和输入条件、输 出结果.

(3)对于循环次数比较少的可逐步写出,对于循环次数 较多的可先依次列出前几次循环结果,找出规律. 提醒:解答循环结构的程序框图(流程图)问题要注意 输出循环次数的情况,防止多一次或少一次的错误.

考点

合情推理

典例示法 题型1 利用归纳推理求解相关问题 典例7 [2015· 山东枣庄四校联考]如图所示的三角形 数阵叫“莱布尼茨调和三角形”,它是由正整数的倒数组 1 成的,第n行有n个数,且两端的数均为 n (n≥2,n∈N*), 1 1 1 1 1 每个数是它下一行左右相邻两数的和,如1=2+2,2=3+ 1 1 1 1 6,3=4+12,则第n(n≥3)行第3个数(从左往右数)为 2 n?n-1??n-2? __________________ .

1 1 1 1 2 2 1 1 1 3 6 3 1 1 1 1 4 12 12 4 1 1 1 1 1 5 20 30 20 5 ??

[解析] 将杨辉三角形中的每一个数C

r n

都换成分数

1 ,就得到题中的“莱布尼茨调和三角形”. ?n+1?Cr n ∵杨辉三角形中第n(n≥3)行第3个数是C2 n-1, ∴“莱布尼茨调和三角形”中第n(n≥3)行第3个数为 1 2 = . nC2 n ? n - 1 ?? n - 2 ? n-1

题型2 利用类比推理求解相关问题 典例8 [2015· 衡水中学调研]椭圆中有如下结论:椭 x2 y2 x y 圆 a2 + b2 =1(a>b>0)上斜率为1的弦的中点在直线 a2 + b2 =0 x 2 y2 上,类比上述结论:双曲线 a2 - b2 =1(a>0,b>0)上斜率为1 x y 的弦的中点在直线____________ a2-b2=0 上.

x2 y 2 [解析] 将椭圆方程a2 + b2=1中的x2变为x,y2变为y, x2 y2 右边变为0,得到椭圆 a2 + b2 =1上斜率为1的弦的中点在直 x y 线 a2 + b2 =0上.类比上述结论,将双曲线的方程作上述变 x2 y2 x 换可知,双曲线 a2 - b2 =1上斜率为1的弦的中点在直线 a2 y - b2 =0上.不妨设弦的两个端点为(x1,y1),(x2,y2),则 y2-y1 x1+x2 y1+y2 =1,弦中点设为(x0,y0),则x0= 2 ,y0= 2 . x2-x1 将上述两端点代入双曲线方程,

2 2 ? x y 1 ? 1 2- 2=1, ?a b 得? 2 2 x y ? 2 2 2- 2=1, ? b ?a

2 2 2 x2 - x y - y 2 1 2 1 两式相减,得 a2 - b2 =0,

?x2-x1??x2+x1? ?y2-y1??y2+y1? 即 - =0, a2 b2 ?x2-x1??x2+x1? ?x2-x1??y2+y1? 所以 - = 0 , 2 2 a b x2+x1 y2+y1 2 x 0 2 y0 化简,得 a2 - b2 =0, a2 - b2 =0, x0 y0 x y 所以a2-b2=0,于是(x0,y0)在直线a2-b2=0上.

合情推理的解题思路、数学归纳法的应用 (1)合情推理的应用 ①在进行归纳推理时,要先根据已知的部分个体,把 它们适当变形,找出它们之间的联系,从而归纳出一般结 论. ②在进行类比推理时,要充分考虑已知对象性质的推 理过程,然后通过类比,推导出类比对象的性质. ③归纳推理关键是找规律,类比推理关键是看共性.

(2)数学归纳法注意事项 第一步验证时,n 取的第一个值不一定是 n=1,要看清 题目中 n 的取值条件, 验证时把 n 代入已知式子的左右两端 即可.在书写 f(k+1)时,一定要把包含 f(k)的式子写出来, 尤其是 f(k)中的最后一项.除此之外,多了哪些项,少了哪 些项都要清楚.在这一步中,应分析 f(k)与 f(k+1)的差异及 联系,利用拆、添、并、放、缩等手段,或从归纳假设出发, 或从 f(k+1)中分离出 f(k)再进行局部调整,也可以考虑寻求 二者的“结合点”,以便顺利过渡.

高考随堂演练

[全国卷高考真题调研] 1+z 1.[2015· 全国卷Ⅰ]设复数z满足 =i,则|z|=( 1-z A.1 C. 3 B. 2 D.2 )

解析 由题意知1+z=i-zi,所以z= ?i-1?2 =i,所以|z|=1. ?i+1??i-1?

i-1 i+1



→ 2.[2015· 全国卷Ⅰ]设D为△ABC所在平面内一点, BC → =3CD,则( )

1→ 4→ → A.AD=-3AB+3AC → 1→ 4→ B.AD=3AB-3AC → 4→ 1→ C.AD=3AB+3AC → 4→ 1→ D.AD=3AB-3AC

→ → → → 1→ → 1→ 解析 由题意得AD=AC+CD=AC+3BC=AC+3AC 1→ 1→ 4→ -3AB=-3AB+3AC,故选A.

3.[2015· 全国卷Ⅰ]执行如图所示的程序框图,如果输 入的t=0.01,则输出的n=( A.5 C.7 B.6 D.8 )

解析 由程序框图可知, 1 1 1 1 S=1-2=2,m=4,n=1,2>0.01; 1 1 1 1 1 S=2-4=4,m=8,n=2,4>0.01; 1 1 1 1 1 S=4-8=8,m=16,n=3,8>0.01; 1 1 1 1 1 S=8-16=16,m=32,n=4,16>0.01;

1 1 1 1 1 S=16-32=32,m=64,n=5,32>0.01; 1 1 1 1 1 S=32-64=64,m=128,n=6,64>0.01; 1 1 1 1 1 S=64-128=128,m=256,n=7,128<0.01.故选C.

4.[2016· 全国卷Ⅰ]设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+

-2 b|2=|a|2+|b|2,则m=________.
解析 由|a+b|2=|a|2+|b|2得a⊥b,则m+2=0,所以m =-2.

[其它省市高考题借鉴] 5.[2016· 天津高考]阅读如图所示的程序框图,运行相 应的程序,则输出S的值为( A.2 C.6 B.4 D.8 )

解析 第一次循环,S=8,n =2;第二次循环,S=2,n=3; 第三次循环,S=4,n=4,故输 出S的值为4.

6.[2015· 陕西高考]观察下列不等式: 1 1 1-2=2, 1 1 1 1 1 1-2+3-4=3+4, 1 1 1 1 1 1 1 1 1-2+3-4+5-6=4+5+6, ? 据此规律,第n个等式可为

1 1 1 1 1 1 1 1 1-2+3-4+?+ -2n= + +?+2n 2 n - 1 n + 1 n + 2 ________________________________________________.

解析 等式左边的特征:第1个等式有2项,第2个有4 项,第3个有6项,且正负交错,故第n个等式左边有2n项 1 1 1 1 1 且正负交错,应为1- 2 + 3 - 4 +?+ - 2n ;等式右 2n-1 边的特征:第1个有1项,第2个有2项,第3个有3项,故第 n个有n项,且由前几个的规律不难发现第n个等式右边应 1 1 1 为 + +?+2n. n+1 n+2


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