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讲座1、值域(最值)问题常见类型及解法


讲座1、值域(最值)问题常见类型 及解法

函数的值域与最值是两个不同的概念,一般来说,求出
了一个函数的最值,未必能确定该函数的值域;反之,一个函 数的值域被确定,这个函数也未必有最大值或最小值。但是,

在许多常见的函数中,函数的值域与最值的求法是相通的、类
似的。关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的,但是有

许多方法是类似的,下面就这些方法逐一举例说明。

一、直接法:
【理论阐释】 利用常见函数的值域来求: 一次函数 y=ax+b(a

? 0)的定义域为 R,值域为 R;

k (k ? 0) 的定义域为{x|x ? 0},值域为{y|y ? 0}; 反比例函数 y ? x
二次函数 f (x)

? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 的定义域为 R,
4ac - b 2 };当 a<0 时, y| y? 4a

当 a>0 时,值域为{

2 值域为{ y | y ? 4ac - b }。

4a

典例导悟
求下列函数的值域
① y=3x+2 (-1

? x ? 1)

② f (x)

? 2? 4?x

③y ?

【解析】①∵ -1 ∴ -1 ②∵

? x ? 1,∴-3 ? 3x ? 3,

x x ?1

王新敞
奎屯

新疆

? 3x+2 ? 5,即-1 ? y ? 5,∴函数 y=3x+2 的值域是[-1,5]。
4 ? x ?[0, ??) ,∴ f (x) ? [2, ??) 。

即函数 f (x)

? 2 ? 4 ? x 的值域是

{ y| y

? 2}

王新敞
奎屯

新疆



y?

x x ?1 ?1 1 ? ? 1? , x ?1 x ?1 x ?1

1 ? 0 ,∴ y ? 1 ∵ x ?1
即函数的值域是 { y| y?R 且 y?1}(此法亦称分离常数法)
王新敞
奎屯 新疆

二、配方法

【理论阐释】 利用二次函数的有关性质、图象作出分析,特别是求某

一给定区间的最值与值域。此方法一般可解决形如y=
a[f(x)]2+bf(x)+c(a≠0)的函数的值域与最值。

典例导悟
1 设函数 f (x) ? x ? x ? , 4
2

(1)若定义域为[0,3],求

f (x) 的值域;

1 1 ],求 a 的值. (2) 若定义域为[a,a ? 1] 时,f (x) 的值域为[ ? , 2 16

1 1 2 1 【解析】? f (x) ? (x ? ) ? ,∴对称轴为 x ? ? , 2 2 2 1 ? 3 ? x ? 0 ? ? (1) ,∴ f (x) 的值域为[f (0),f (3)] ,即 2

1 47 [? , ] ; 4 4

(2)? [f (x)]min

1 ? ? ,?对称轴 2

1 x ? ? ? [a,a ? 1] , 2
1 ? a?? ? 3 1 ? 2 ?? ?? ?a?? , 2 2 ?a ? 1 ? ? 1 ? 2 ?

1 ∵区间[a,a ? 1] 的中点为 x 0 ? a ? , 2

①当

a?

1 1 1 ? ? , 即 ? 1 ? a ? ? 时, 2 2 2
1 1 1 ,? (a ? 1) 2 ? (a ? 1) ? ? , 16 4 16

[f (x)]max ? f (a ? 1) ?

3 9 ?16a 2 ? 48a ? 27 ? 0 ? a ? ? (a ? ? 不适合,应舍去) ; 4 4
②当

a?

1 1 3 1 ? ? , 即 ? ? a ? ?1 时,[f (x)]max ? f (a) ? , 2 2 2 16

?a2 ? a ? ?a2 ? a ?

1 1 5 1 ? ,?16a 2 ? 16a ? 5 ? 0 ? a ? ? (a ? 4 16 4 4

1 1 5 1 ? ,?16a 2 ? 16a ? 5 ? 0 ? a ? ? (a ? 不适合,应舍去) ; 4 16 4 4
综上,

3 5 a ? ? 或a ? ? . 4 4

三、 判别式法( ? 法):
【理论阐释】 判别式法一般用于分式函数,其分子或分母至少有一个

为二次式,解题中要注意二次项系数是否为0的讨论。

典例导悟
x 2 ? 5x ? 6 求函数 y ? 的值域。 2 x ? x ?6
【解析】方法一:去分母得 (y?1)

x 2 +(y+5)x?6y?6=0



2 当 y?1 时,∵x?R ,∴ ? =(y+5) +4(y?1)× 6(y+1)

? 0,

由此得 (5y+1)

2

? 0,此时 y 可取任意实数.

1 ? ?5 1 5 检验:当 y ? ? 时,代入①求根, x ? ? ?2 6 5 2 ? (? ) 5

x 2 ? 5x ? 6 又由 x +x-6≠ 0 得函数 y ? 的定义域为 2 x ? x ?6
2

{ x|x≠ 2 且 x≠-3}.

∵ 2 ? { x| x?2 且

1 x?-3},∴ y ? ? 。 5

再检验 y=1 代入①求得 x=2,∴y?1,

x 2 ? 5x ? 6 综上所述,函数 y ? 的值域为{ 2 x ? x ?6

y| y?1 且

1 y? ? }。 5

方法二:把已知函数化为函数 y ? 由
6 ? 0 可得 y?1, x+ 3

( x ? 2)( x ? 3) x ? 3 6 (x?2), ? ? 1? ( x ? 2)( x ? 3) x ? 3 x+3



1 1 当 x=2 时 y ? ? ,即 y ? ? , 5 5
y| y?1 且

x 2 ? 5x ? 6 ∴函数 y ? 的值域为 { 2 x ? x ?6

1 y? ? }。 5

说明:此法是利用方程思想来处理函数问题,一般称

判别式法。判别式法一般用于分式函数,其分子或分母至
少有一个为二次式,解题中要注意二次项系数是否为0的 讨论。

四、换元法:
【理论阐释】 当题目的条件与结论看不出直接的联系(甚至相去甚远)

时,为了沟通已知与未知的联系,我们常常引进一个或
几个新的量来代替原来的量,掌握它的关键在于通过观 察、联想、发现并构造出变换式(或新元换旧式、或新 式换旧元、或新式换旧式)。

典例导悟
求函数

y ? 2x ? 3 ? 13 ? 4x 的值域。

【解析】由于题中含有

13 ? 4x

不便于计算,但如果令

t ? 13 ? 4x ,注意 t ? 0 ,从而得:
13 ? t 2 13 ? t 2 x? ,? y ? ? 3 ? t (t ? 0) ,变形得 4 2

2y ? ?(t ?1)2 ? 8(t ? 0) 。即 y ? (??, 4] 。

五、 基本不等式法:
【理论阐释】
b a?b f ( x ) ? ax ? ? ab , a 2 ? b 2 ? 2ab 对形如 (或可转化为) , 可利用 x 2

求得最值。注意“一正、二定、三等” 。

典例导悟
典例导悟
(2010·四川高考文科·T11)设 a ? b ? 0 ,则 a 2 ? 是( ). (B)2 (C)3 (D)4

1 1 的最小值 ? ab a ? a ? b ?

(A )1

【解析】选 D. a 2 ?

1 1 1 1 = a 2 ? ab ? ab ? ? ? ab a(a ? b) ab a ? a ? b ?

= ab ?

1 1 ? a ( a ? b) ? ? 2+2=4 . ab a ( a ? b)

?ab ? 1, 2 当且仅当 ? 即 a ? 2, b ? 时,等号成立 . 2 ?a(a ? b) ? 1.

六、函数的单调性法:
【理论阐释】

在确定函数在指定区间上的最值时,一定要考虑函数在已
知区间上的单调情况。

典例导悟
设函数 f ( x) 是奇函数,对任意 x 、 y ? R 均有关系式 f ( x ? y) ?
f ( x) ? f ( y ) ,

若 x ? 0 时, f ( x) ? 0 且 f (1) ? ?2 ,求 f ( x) 在 ??3,3? 上的最大值和最小值。

【解析】先确定 f ( x) 在 ??3,3? 上的单调性,设任意 x1 、 x2 ???3,3? 且 x1 ? x2 , 则 x2 ? x1 ? 0 ,

? f ( x ) ? f ( x ) ? f ( x ) ? f (? x ) ? f ( x
2 1 2 1

2

? x1 ) ? 0 ,

即 f ( x2 ) ?

f ( x1 ) 。

? f ( x) 在 ??3,3? 上是减函数。

因此 f ( x) 的最大值是 f (?3) ? ? f (3) ? ? f (2 ? 1) ? ?? f (1) ? f (1) ? f (1)? ? 6 ,
f ( x) 的最小值是 f (3) ? 3 f (1) ? ?6 .

七、数形结合法:

【理论阐释】 适用于函数本身可和其几何意义相联系的函数类型.

典例导悟
求函数

f (x) ? x 2 ? 6x ? 18 ? x 2 ? 10x ? 26 的最小值。
f (x) ? x 2 ? 6x ? 18 ? x 2 ? 10x ? 26

【解析】

=

(x ? 3) 2 ? (0 ? 3) 2 ? (x ? 5) 2 ? (0 ? 1) 2
P(x,0) 到定点 A(?3,3) , B(5, ?1) 的距离之和,而 A、B 两

表示动点

点分别位于 X 轴的上下两侧,由此连接

AB交 X 轴于一点,易证该点即是所求


1 3 x? , 的 P 点。 由题意及分析易得直线 AB 的方程为 y ? ? 令y ? 0 2 2
。此时 f ( x) 的最小值是 f (3) ? 4 x ? 3 即所求的 P 点为(3,0)

5。

八、求导法:
【理论阐释】

求函数最值的步骤:
在闭区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导,f(x)在 [a,b]上求最大值与最小值的步骤:①求f(x)在(a,

b)内的极值;②将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比
较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值。

典例导悟
( 2010 · 重 庆 高 考 文 科 · T 19 ) 已 知 函 数 f ( x) ? ax3 ? x2 ? bx ( 其 中 常 数 a , b ∈ R ) ,
g ( x) ? f ( x) ? f '( x) 是奇函数.

(1 )求 f ( x) 的表达式; (2 )讨论 g ( x) 的单调性,并求 g ( x) 在区间 ?1,2? 上的最大值与最小值.

【解析】 (1)因为 f ( x) ? ax3 ? x2 ? bx ,所以 f ?( x) ? 3ax2 ? 2x ? b , 所以 g ( x) ? f ( x) ? f '( x) ? ax3 ? x2 ? bx ? 3a 2 x2 ? 2 x ? b

? ax3 ? (3a ? 1) x2 ? (b ? 2) x ? b ,
因为 g ( x) 是奇函数,所以 g (? x) ? ? g ( x) ,即对任意 x 的都有

?ax3 ? (3a ? 1) x2 ? (b ? 2) x ? b ? ?ax3 ? (3a ? 1) x2 ? (b ? 2) x ? b ,

即 2(3a ? 1) x2 ? 2b ? 0 对任意 x 都成立,所以 3a ? 1=0 且 2b ? 0 ,
1 1 所以 a ? ? , b ? 0 ,所以 f ( x ) ? ? x 3 ? x 2 . 3 3 1 ( 2) 由 (1) 可得 g ( x) ? ? x3 ? 2 x , 所以 g?( x) ? ?x2 ? 2 ? ?( x ? 2)( x ? 2) , 3
g ?( x) ? 0 , 令 g ?( x) ? 0 , 则x?? 2或x? 2; 所以当 x ? ? 2 时, 函数 g ( x)

是减函数;当 ? 2 ? x ? 2 时, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 是增函数; 当 x ? 2 时, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 是减函数;

综上可知,函数 g ( x) 在区间 (??, ? 2) 和 ( 2, ??) 上是减函数,在区间

(? 2, 2) 上是增函数 .
函数 g ( x) 在区间[1,2]内有极值点 x ? 2 , 所以函数 g ( x) 的最大值与最小值只能在 x ? 1, 2, 2 三点处取得,

5 4 2 4 4 2 , g (2) ? ,所以函数 g ( x) 的最大值是 因为 g (1) ? , g ( 2) ? , 3 3 3 3
最小值是
4 . 3


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