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§5 简单复合函数的求导法则


§5 简单复合函数的求导法则 教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则. 教学重点 复合函数的求导方法:复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量 的导数乘以中间变量对自变量的导数之积. 教学难点 正确分解复合函数的复合过程,做到不漏,不重,熟练,正确. 一.创设情景 (一)基本初等函数的导数公式表 函数 导数

y?c

y'

? 0
y' ? nxn?1

y ? f ( x) ? xn (n ? Q* )
y ? sin x
y ? cos x

y' ? cos x
y ' ? ? sin x y' ? a x ? ln a (a ? 0)

y ? f ( x) ? a x
y ? f ( x) ? e x f ( x) ? loga x
f ( x) ? ln x
(二)导数的运算法则 导数运算法则
' ' 1. ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? g ( x ) '

y' ? ex
f ( x) ? log a xf ' ( x) ? 1 (a ? 0且a ? 1) x ln a 1 x

f ' ( x) ?

' ' 2. ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) g ( x) ? f ( x) g ( x) '

? f ( x) ? f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) ( g ( x) ? 0) 3. ? ? ? 2 ? g ( x) ? ? g ( x) ?
' (2)推论: ? cf ( x ) ? ? cf ( x ) '

'

(常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数) 二.新课讲授 复合函数的概念 一般地,对于两个函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) ,如果通过变量 u ,

y 可以表示成 x 的函数,那么称这个函数为函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 的复合函数,记作

y ? f ? g ( x) ? 。

复合函数的导数

复合函数 y ? f ? g ( x) ? 的导数和函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 的导数

间的关系为 y x? ? yu? ? u x? ,即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.

? 若 y ? f ? g ( x) ? ,则 y? ? ? ? f ? g ( x) ?? ? ? f ? ? g ( x) ? ? g ?( x)
三.典例分析 例 1 求下列函数的导数: (1) y ? (2 x ? 3)2 ; (2) y ? e?0.05 x ?1 ; (3) y ? sin(? x ? ? ) (其中 ? , ? 均为常数) . 解: (1)函数 y ? (2 x ? 3)2 可以看作函数 y ? u 2 和 u ? 2 x ? 3 的复合函数。根据复合 函数求导法则有

? (u 2 )' (2 x ? 3)' ? 4u ? 8x ? 12 。 y x? ? yu?? u x=
(2)函数 y ? e?0.05x ?1 可以看作函数 y ? eu 和 u ? ?0.05 x ? 1 的复合函数。根据复合 函数求导法则有

? (eu )' (?0.05x ? 1)' ? ?0.005eu ? ?0.005e?0.05 x?1 。 y x? ? yu?? u x= (3)函数 y ? sin(? x ? ?) 可以看作函数 y ? sin u 和 u ? ? x ? ? 的复合函数。根据复
合函数求导法则有

? (sin u)' (? x ? ? )' ? ? co s u ? ? co s(? x ? ? ) 。 y x? ? yu?? u x=
例 2 求 y ? sin(tan x2 ) 的导数. 解: y ? [sin(tan x )] ? cos(tan x ) ? sec ( x ) ? 2 x
' 2 ' 2 2 2

? 2x cos(tan x2 ) ? sec2 ( x2 ) y' ? 2x cos(tan x2 ) ? sec2 ( x2 )
【点评】 求复合函数的导数,关键在于搞清楚复合函数的结构,明确复合次数,由外层向内层 逐层求导,直到关于自变量求导,同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果. 例3求y?

x?a x 2 ? 2ax

的导数.

1 ? x 2 ? 2ax ? ( x ? a ) ?
解: y ?
'

2 x ? 2a 2 x 2 ? 2ax

x 2 ? 2ax

?

?a 2 x 2 ? 2ax x 2 ? 2ax
a 2 x 2 ? 2ax ( x 2 ? 2ax)2

??

a 2 x 2 ? 2ax , ( x 2 ? 2ax)2

y' ? ?

【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数.求导数后要予以化简整理. 例 4 求 y =sin4x +cos 4x 的导数. 【解法一】y =sin 4x +cos 4x=(sin2x +cos2x)2-2sin2cos2x=1-

1 2 sin 2 x 2

=1-

【解法二】y′=(sin 4 x)′+(cos 4 x)′=4 sin 3 x(sin x)′+4 cos 3x (cos x)′ =4 sin 3 x cos x +4 cos 3 x (-sin x)=4 sin x cos x (sin 2 x -cos 2 x) =-2 sin 2 x cos 2 x=-sin 4 x 【点评】 解法一是先化简变形,简化求导数运算,要注意变形准确.解法二是利用复合函数求 导数,应注意不漏步. 例 5 曲线 y =x(x +1) (2-x)有两条平行于直线 y =x 的切线,求此二切线之间 的距离. 【解】y =-x 3 +x 2 +2 x y′=-3 x 2+2 x +2 令 y′=1 即 3 x2-2 x -1=0,解得 x =- 于是切点为 P(1,2) ,Q(-

1 3 1 (1-cos 4 x)= + cos 4 x.y′=-sin 4 x. 4 4 4

1 或 x =1. 3

1 14 ,- ) , 3 27

过点 P 的切线方程为,y -2=x -1 即 x -y +1=0. 显然两切线间的距离等于点 Q 到此切线的距离,故所求距离为

1 14 |? ? ?1| 16 3 27 2. = 27 2
四.课堂练习 1.求下列函数的导数 2.求 ln(2 x ? 3x ? 1) 的导数
2

(1) y =sinx3+sin33x; (2) y ?

sin 2 x ;(3) loga ( x 2 ? 2) 2x ? 1

五.回顾总结

六.布置作业


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