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2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第7章 第3节 空间点、直线、平面间的位置关系]

时间:2015-04-11


课时作业 一、选择题 1.(2014· 杭州模拟)若 a,b,c,d 是空间四条直线.如果“a⊥c,b⊥c,a⊥d,b⊥d” ,则 ( A.a∥b 且 c∥d B.a,b,c,d 中任意两条可能都不平行 C.a∥b D.a 与 b,c 与 d 中至少有一对直线互相平行 D [(1)若 a,b,c,d 在同一平面内,则 a∥b,c∥d. )

(2)若 a,b,c,d 不在同一平面内, ①若 a,b 相交,则 a,b 确定平面 α, 此时 c⊥α,d⊥α,故 c∥d. ②若 a,b 异面,则可平移 a 与 b 相交确定平面 β, 此时,c⊥β,d⊥β,c∥d. ③若 a,b 平行,则 c,d 关系不定. 同理,若 c,d 相交,异面也可推出 a∥b, 若 c,d 平行,则 a,b 关系不确定. 综上知,a,b,c,d 中至少有一对直线互相平行.] 2.(2013· 浙江高考)设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面 ( A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m∥α,m∥β,则 α∥β C.若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α D.若 m∥α,α⊥β,则 m⊥β C [A 选项中直线 m,n 可能平行,也可能相交或异面,直线 m,n 的关系是任意的;B )

选项中,α 与 β 也可能相交,此时直线 m 平行于 α,β 的交线;D 选项中,m 也可能平行 于 β.故选 C.]

3.设四棱锥 P-ABCD 的底面不是平行四边形,用平面 α 去截此四棱 锥(如图),使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面 α ( A.不存在 C.恰有 4 个 B.只有 1 个 D.有无数多个 )

D

[设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m,n,直线 m,n 确定了一个平面 β,作与 β

平行的平面 α,与四棱锥的各个侧面相截,则截得的四边形必为平行四边形,而这样的 平面 α 有无数多个.] 4.在正四棱锥 V-ABCD 中,底面正方形 ABCD 的边长为 1,侧棱长为 2,则异面直线 VA 与

BD 所成角的大小为
( A. C. D π 6 π 3 B. D. π 4 π 2 )

[如图所示,设 AC∩BD=O,连接 VO,由于四棱锥 V-ABCD 是正

四棱锥,所以 VO⊥平面 ABCD,故 BD⊥VO.又四边形 ABCD 是正方形, 所以 BD⊥AC,所以 BD⊥平面 VAC.所以 BD⊥VA,即异面直线 VA 与

BD 所成角的大小为 .]
5.(2012· 重庆高考)设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2和 a, 且长为 a 的棱与长为 2的棱异面,则 a 的取值范围是 ( A.(0, 2) C.(1, 2) A B.(0, 3) D.(1, 3) )

π 2

[如图所示的四面体 ABCD 中,设 AB=a,则由题意可得 CD= 2,其

他边的长都为 1, 故三角形 ACD 及三角形 BCD 都是以 CD 为斜边的等腰直 角三角形,显然 a>0.取 CD 中点 E,连接 AE,BE,则 AE⊥CD,BE⊥CD 且 AE=BE= 1-? 2 ? 2?2 ? =2, ?2?

显然 A,B,E 三点能构成三角形,应满足任意两边之和大于第三边, 可得 2× 2 >a, 2

解得 0<a< 2.] 二、填空题 6.已知 E,F,G,H 是空间四点,命题甲:E,F,G,H 四点不共面,命题乙:直线 EF 和 GH 不相交,则甲是乙成立的________条件. 解析 E,F,G,H 四点不共面时,EF,GH 一定不相交,否则,由于两条相交直线共面, 则 E,F,G,H 四点共面,与已知矛盾,故甲可以推出乙;反之,EF,GH 不相交,含有

EF,GH 平行和异面两种情况,当 EF,GH 平行时,E,F,G,H 四点共面,故乙不能推出
甲.即甲是乙的充分不必要条件. 答案 充分不必要 7.如图是一几何体的平面展开图,其中 ABCD 为正方形,E,F 分别为 PA,PD 的中点.在此 几何体中,给出下面四个结论: ①直线 BE 与 CF 异面; ②直线 BE 与 AF 异面; ③直线 EF∥平面 PBC; ④平面 BCE⊥平面 PAD. 其中正确的有________个. 解析 如图, 易得 EF∥AD,AD∥BC,

∴EF∥BC,即 B,E,F,C 四点共面,则①错误,②正确,③正确,④不一定正确. 答案 2 8.(2014· 金华模拟)如图,G,N,M,H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线

GH,MN 是异面直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号)

解析 图①中,直线 GH∥MN; 图②中,G,H,N 三点共面,但 M?面 GHN, 因此直线 GH 与 MN 异面; 图③中,连接 MG,GM∥HN, 因此 GH 与 MN 共面; 图④中,G,M,N 共面,但 H?面 GMN, 因此 GH 与 MN 异面. 所以图②④中 GH 与 MN 异面.

答案 ②④

三、解答题 9.(2014· 大连模拟)在空间四边形 ABCD 中,已知 AD=1,BC= 3, 且 AD⊥BC,对角线 BD= 13 3 ,AC= ,求 AC 和 BD 所成的角. 2 2

解析 如图,分别取 AD,CD,AB,BD 的中点 E,F,G,H,连接

EF,FH,HG,GE,GF.
由三角形的中位线定理知,

EF∥AC, 且 EF=

3 13 , GE∥BD, 且 GE= .GE 和 EF 所成的锐角(或 4 4

直角)就是 AC 和 BD 所成的角. 1 3 同理,GH= ,HF= ,GH∥AD,HF∥BC. 2 2 又 AD⊥BC,∴∠GHF=90°,∴GF =GH +HF =1. 在△EFG 中,EG +EF =1=GF , ∴∠GEF=90°,即 AC 和 BD 所成的角为 90°. 10.(2014· 许昌调研)如图,平面 ABEF⊥平面 ABCD,四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形,∠
2 2 2 2 2 2

BAD=∠FAB=90°,BC 綊 AD,BE 綊 FA,G,H 分别为 FA,FD 的中点.
(1)求证:四边形 BCHG 是平行四边形; (2)C,D,F,E 四点是否共面?为什么? 解析 (1)证明:由题设知,FG=GA,FH=HD, 1 1 所以 GH 綊 AD.又 BC 綊 AD,故 GH 綊 BC. 2 2 所以四边形 BCHG 是平行四边形. (2)C,D,F,E 四点共面.理由如下: 1 由 BE 綊 AF,G 是 FA 的中点知,BE 綊 GF, 2 所以 EF 綊 BG. 由(1)知 BG∥CH,所以 EF∥CH,故 EC,FH 共面. 又点 D 在直线 FH 上,所以 C,D,F,E 四点共面.

1 2

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