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四川省绵阳市2014届高三数学第一次诊断性考试试题 文(扫描版)新人教A版


绵阳市高 2011 级第一次诊断性考试

数学(文)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. CBDDB AACAD 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.9 14. ( , e2 ) 12. a
5 6

13.5

>1 e

15.m<0 或 m>2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.解: (I) f ( x) ? 2(sin x cos

?
3

? cos x sin ) cos x 3

?

? sin x cos x ? 3 cos2 x
? 1 3 (1 ? cos 2 x) sin 2 x ? 2 2

1 3 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2
? sin(2 x ?

?
3

)?

3 ,……………………………………………6 分 2

∴ T?

2? ? ? ,即 f(x)的最小正周期为 π. …………………………………7 分 2

(II)由 2kπ ?

π π π π 5π ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? ,可得 kπ ? ≤ x ≤ kπ ? ,k∈Z, 3 12 2 2 12 π π 3π 5π 11π 由 2kπ ? ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? ,可得 kπ ? ≤ x ≤ kπ ? ,k∈Z, 3 2 2 12 12 π 5π 即函数 f(x)的单调递减区间为 [kπ ? ,kπ ? ] ,k∈Z, 12 12 ?π 11π 单调递增区间为 [kπ ? ,kπ ? ] ,k∈Z, 12 12 5π 5π π ∴ f (x)在[ 0, ]上是减函数,在[ , ]上是增函数. ………………12 分 12 ?? 2

17.解: (I)设{an}的公差为 d,则由题知

?a1 ? 3d ? 14, 解得 a1=2,d=4. ……………………………………4 分 ? ?a1 ? 4d ? a1 ? 7d ? 48,
∴an=2+4(n-1)=4n-2.…………………………………………………………6 分 (II)设{bn}的公比为 q, 若 q=1,则 S1=b1,S2=2b1,S3=3b1, 由已知 2 ? 2S2 ? 3S1 ? S3 ,代入得 8b1=4b1,而 b1≠0,故 q=1 不合题意. …………………………………………………… ……7 分 若 q≠1,则 S1=b1, S 2 ?
b1 (1 ? q 2 ) b (1 ? q 3 ) , S3 ? 1 , 1? q 1? q

于是 2 ? 2 ?

b1 (1 ? q 2 ) b (1 ? q 3 ) ? 3b1 ? 1 , 1? q 1? q

整理得:4q2=3q+q3,解得 q=0(舍去) ,q=1(舍去) ,q=3, ………10 分 ∴ S4 ?
2 ? (1 ? 34 ) ? 80 . ………………………………………………………12 分 1? 3

18.解: (I)∵ f ?( x) ?

1 a , ? x x2

∴ 由题意知 f ?(1) ? 2 ,即 1-a=2,解得 a=-1. 于是 f(1)=-1-2=-3, ∴ -3=2×1+b,解得 b=-5. (II)由题知 ln x ? …………………………………………………6 分

a ? 2 ≥0 对任意 x>0 恒成立,即 a≥ 2 x ? x ln x , x
………………………………………………8 分

令 g ( x) ? 2 x ? x ln x , ∴ g ?( x) ? 2 ? (ln x ? 1) ? 1 ? ln x . 显然当 0<x<e 时, g ?( x) ? 0 ,即得 g(x)在(0,e)上是增函数, 当 x≥e 时, g ?( x) ≤0,即得 g(x)在 ?e, ? ?? 上是减函数. ∴ g ( x) max ? g (e) ? e . ∴ a≥e,即 a 的最小值为 e.………………………………………………12 分 19.解: (I)由已知 A=2, 且有 2 sin(? ? 0 ? ? ) ? 3 ,即 sin? ? 由| ? |<
3 , 2

?
2

得? ?

?
3



又∵ 最高点为(1,2), ∴ 2 sin(? ?

?
3 ?

) ? 2,解得 ? ?

?
6



∴ y ? 2 sin( x ? ) .…………………………………………………………6 分 6 3 (II)∵ B 点的横坐标为 3,代入函数解析式得 yB ? 2sin( ? 3 ? ) =1, ∴ BD ? 12 ? (4 ? 3)2 ? 2 .…………………………………………………8 分 在△BCD 中,设∠CBD=θ,则∠BDC=180?-120?-θ=60?-θ. 由正弦定理有 ∴ CD ?
BD CD BC ? ? ,? sin120? sin? sin(60? ? ? )

?

π 6

π 3

2 6 2 6 sin? , BC ? sin(60? ? ? ) , 3 3

…………………………………9 分

∴ BC ? CD ?

2 6 [sin? ? sin(60? ? ? )] 3

?

2 6 3 1 [sin ? ? cos ? ? sin? ] 3 2 2

?

2 6 ? sin(? ? ) . 3 3

∴ 当且仅当 ? ?

?
6

时,折线段 BCD 最长,最长为

2 6 千米.……………12 分 3

20.解: (I)由于 f(1+x)=f(2-x)知函数 f(x)关于 x ? 即?

3 对称, 2

b 3 2 ? ,解得 b=-3,于是 f(x)=x -3x+2.………………………………3 分 2 2

? x2 ? 1, x ? ?1或x ? 1, ? g ( x) ? ? 2 ? 1 ? x ? 1, ? ?1 ? x ,
当 x≤-1,或 x≥1 时,由 f(x)≥g(x)有 x2-3x+2≥x2-1,解得 x≤1, ∴ 此时 x 的范围为 x≤-1,或 x=1. 当-1<x<1 时,由 f(x)≥g(x)有 x2-3x+2≥1-x2,解得 x≤ ∴ 此时 x 的范围为-1<x≤

1 或 x≥1, 2

1 . 2

∴ 综上知,使不等式 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合为{x|x≤

1 或 x=1}. 2

……………………………………………………………… 7分

?2 x 2 ? bx ? 3,x ? ?1或x ? 1, (II) h( x) ? ? ? 1 ? x ? 1, ?bx ? 5, ?2 x2 ? 3,x ? ?1或x ? 1, 若 b=0 时, h( x) ? ? 显然 h(x)>0 恒成立,不满足条件. ? 1 ? x ? 1. ?5,
…………………………………………………………………9 分 若 b≠0 时,函数 ? (x)=bx+5 在(0,1)上是单调函数, 即 ? (x)在(0,1)上至多一个零点,不妨设 0<x1<x2<2. ①如果 0<x1<1,1≤x2<2 时,则 ? (0)? (1) ? 0 ,且 h(1)h(2) ≤0,即

?b ? 5 ? 0, 11 解得 ? ≤ b ? ?5 . ? 2 ?(b ? 5)(2b ? 11) ? 0,

10 11 11 时, h( x) 的零点为 ,2(舍去) ,∴ ? < b ? ?5 . 2 11 2 ②若 1≤x1<x2<2 时,
经检验 b ? ?

? h(1) ? 1, ?b ? 5 ? 0, ? h(2) ? 0, ?2b ? 11 ? 0, ? ? ? 即? 得:-5≤ b ? ?2 6 . b ? ?1 ? ? 4 ? 2, ?? 8 ? b ? ?4, ? 2 ?b ? ?2 6或b ? 2 6, ? ? ?b ? 24 ? 0,
∴ 综上所述 b 的取值范围为 ?

11 ? b ? ?2 6 . ……………………………12 分 2

21.解: (I)∵ f ?( x) ? e x ? 2x ? a(a ? 0) , ∴ 当 x∈[-2,0]时, f ?( x) ? 0 ,即 f (x)在[-2,0]上是增函数, ∴ f ( x) max ? f (0) ? 1 . …………………………………………………………4 分 (II)∵ 函数 f(x)恰有两个不同的极值点 x1,x2, ∴ 方程 ex-2x-a=0 有两个不同的零点 x1,x2. 令 h(x)=ex-2x-a. ① h?( x) ? e x ? 2 , 当 x ? ln 2 时, h?( x) ? 0 ,h(x)是减函数; 当 x ? ln 2 时, h ? (x)>0,h(x)是增函数, ∴ h( x) 在 x=ln2 时取得最小值. ∴ x1<ln2.………………………………………………………………………9 分 ②∵ h(x1)=0,即 e x1 ? 2 x1 ? a ? 0 , ∴ a ? e x1 ? 2 x1 .
2 2 于是 f ( x1) ? e x1 ? x1 , ? (e x1 ? 2x1) ? x1 ? (1 ? x1)ex1 ? x1

∴ f ?( x1) ? x1(2 ? ex1 ) . ∵ x1<ln2, ∴ 2 ? e x1 ? 0 . ∴ 当 x1<0 时, f ?( x1 ) ? 0 ,f(x1)是减函数; 当 0≤x1<ln2 时, f ?( x2 ) ? 0 , f ( x1 ) 是增函数. ∴ f (x1)在(-∞,ln2)上的最小值为 f(0)=1,此时 a=1.…………………14 分


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