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浙江省温州中学2010学年第一学期期中考试高二数学试卷(文科)


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温州中学 2010-2011 学年上学期期中考试高二数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 10 题,每题 4 分,共 40 分)
1.三个平面把空间分成7部分时,它们的交线有( A.1条 B.2条 C.3条 ) D.1或3条 ) D. a ? ? , b

? ?

2.若直线 a, b 是两条异面直线,则总存在唯一确定的平面满足( A. a // ? , b // ? B. a ? ? ,b // ? ) C. a ? ? , b ? ?

3.下列四个结论中正确的是(

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行;
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④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④ )

4.设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列结论正确的是( A.若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? C.若 l //? , m ? ? ,则 l //m B.若 l ? ? , l //m ,则 m ? ? D.若 l //? , m//? ,则 l //m

5.若一个三角形采用斜二测画法作出其直观图,则其直观图的面积是原来三角形面积的(



A.

2 倍 4

B. 2 倍

C.

2 倍 2

D. 2 倍 )

6.一个三棱锥,如果它的底面是直角三角形,那么它的三个侧面( A.必定都不是直角三角形 C.至多有两个直角三角形 B.至多有一个直角三角形 D.可能都是直角三角形

7. 若直线 y ? kx ? 3 与直线 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 的交点位于第一象限 ,则实数 k 的取值范围是 ( )

A. [

3 , 3) 3

B. (

3 ,??) 3

C. ( 3,??)

D.[

3 ,??) 3

8. 已知直线 l 方程为 f ( x, y) ? 0, P ( x1 , y1 ) 和 P2 ( x2 , y 2 ) 分别为直线 l 上和 l 外的点,则方程 1

f ( x, y) ? f ( x1 , y1 ) ? f ( x2 , y2 ) ? 0 表示(



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A.过点 P1 且与 l 垂直的直线 C.过点 P2 且与 l 平行的直线

B.与 l 重合的直线 D.不过点 P2 ,但与 l 平行的直线
C1 A1 D B1

9.在正三棱柱 ABC?A1 B 1 C1 中,已知 AB=1,D 在棱 BB 1 上,且 BD=1, 若 AD 与平面 AA 1 C1 C 所成的角为? ,则 sin? =( )

A.

3 2

B.

2 2

C.

10 4

D.

6 4

C A

B

10. ? 是 底 面 边 长 为 1 , 高 为 2 的 正 三 棱 柱 被 平 面 DEF 截 去 几 何 体

A1B1C1DEF 后得到的几何体,其中 D 为线段 AA1 上异于 A 、 A1 的动点, E 为线段 BB1 上异
于 B 、 B1 的动点, F 为线段 CC1 上异于 C 、C1 的动点,且 DF ∥ A1C1 ,则下列结论中不正确的 ... 是( ) B. △DEF 是锐角三角形 D. ? 可能是棱柱

A. DF ? BB1 C. ? 可能是棱台

二、填空题(本大题共 4 题,每题 4 分,共 16 分)
11.过点 (2,1) 且与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直的直线方程为 12.直线 l1 : 2 x ? 3 y ? 4 ? 0 关于直线 x ? y ? 0 的对称直线 l2 的方程为 . .

13.圆柱形容器内部盛有高度为 8 cm 的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相 同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是 cm.

14.设直线系 M : x cos? ? ( y ? 2)sin ? ? 1 (0 ? ? ? 2? ) ,对于下列四个结论: (1).当直线垂直 y 轴时, ? ? 0或? ; (2).当? ?

?
6

时,直线的倾斜角为 120 ;

?

(3). M 中所有直线均经过一个定点; (4).存在定点 P 不在 M 中的任意一条直线上。 其中正确的是 (写出所有正确的代号).

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三、解答题(本大题共 4 题,共 44 分) 15.已知直线 l 过两直线 3x ? y ? 10 ? 0 和 x ? y ? 2 ? 0 的交点,且直线 l 与点 A(1,3) 和点 B(5,2) 的距离相等,求直线 l 的方程。

16.已知直线 l : y ? 4 x 和点 P(6,4) ,点 A 为第一象限内的点且在直线 l 上,直线 PA 交 x 轴正 半轴于点 B ,求△ OAB 面积的最小值,并求当△ OAB 面积取最小值时的 B 的坐标。

17.如图,矩形 ABCD 与正三角形 APD 中, AD ? 2 , DC ? 1 , E 为 AD 的中点。现将正三角 形 APD 沿 AD 折起,得到四棱锥的三视图如下: (1)求四棱锥 P ? ABCD 的体积; (2)求异面直线 BE, PD 所成角的大小。
2

正视图

侧视图

A P D

B
1 1

C

俯视图

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18.如图,已知 P 、 O 分别是正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 上、下底面的中心, E 是 AB 的中点,
AB ? kAA,其中 k 为非零实数, 1
D1 C1 P A1 B1

(1)求证: A1 E ∥平面 PBC ; (2)当 k ? 2 时,求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值; (3) k 取何值时,O 在平面 PBC 内的射影恰好为 ?PBC 的 当 重心?
A E
1

D O B

C

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三、解答题(本大题共 4 题,共 44 分) 15.解: (解一)由 ?

?3x ? y ? 10 ? 0 得交点为 (3,?1) ,设直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 3) , ?x ? y ? 2 ? 0
? | 2k ? 3 | k ?1
2



| ?2k ? 4 | k ?1
2

解得 k ? ?

1 , 4

所以直线 l 的方程为 y ? 1 ? ? ( x ? 3)即x ? 4 y ? 1 ? 0 ; 又当直线 l 的斜率不存在时,其方程为 x ? 3 ,也满足题意 故 x ? 4 y ? 1 ? 0 或 x ? 3 为所求。 (解二)由直线 l 与 A, B 的距离相等可知, l // AB 或 l 过 AB 的中点,

1 4

1 ?由l // AB 得 l 的方程为 y ? 1 ? ? ( x ? 3)即x ? 4 y ? 1 ? 0 4

由l过AB 的中点得 l 的方程为 x ? 3 ,故 x ? 4 y ? 1 ? 0 或 x ? 3 为所求。
(解三)设直线 l 的方程为 3x ? y ? 10 ? ? ( x ? y ? 2) ? 0 即 (3 ? ? ) x ? (? ? 1) y ? 10 ? 2? ? 0 , 由题意得

| (3 ? ? ) ? (? ? 1)3 ? 10 ? 2? | (3 ? ? )2 ? (? ? 1)2

?

| (3 ? ? )5 ? (? ? 1)2 ? 10 ? 2? | (3 ? ? )2 ? (? ? 1)2

13 或? ? 1 ,故 x ? 4 y ? 1 ? 0 或 x ? 3 为所求。 3 5a 16. 解:设 A(a,4a), B(b,0) ,则由 A, B, P 共线得 b ? ,则 a ? 1 a ?1
解得 ? ? ?

? S?OAB ?

1 5a 10a 2 (a ? 1)2 ? 2(a ? 1) ? 1 1 ? ? 4a ? ? 10 ? 10[(a ? 1) ? ? 2] ? 40 2 a ?1 a ?1 a ?1 a ?1

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当且仅当 a ? 1 ?

1 即a ? 2 时,取到最小值 a ?1

此时 B 的坐标为 (10,0) 。

17.解: (1)

2 2 ; (2) 45? 3

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