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北京市重点中学2014-2015学年高二数学下学期期中试卷 文


北京市 2014~2015 学年度第二学期期中考试 高二文科数学试卷
(考试时间: 100 分钟 总分: 100 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 60 分)两部分 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项.

1 .已知集

合 M ? ? x ?2 ? x ? 3? , N ? ? x lg( x ? 2) ? 0? ,则 M
A. (?2, ??) B. (?2,3) C.

N?
D. [?1,3)

(?2, ?1]

2 . “ a ? 1 ”是“函数 f ( x) ? a x ? 2 (a ? 0且a ? 1) 在区间 (0, ??) 上存在零点”的
A . 充分而不必要条件 B .必要而不充分条件

C .充分必要条件

D . 既不充分也不必要条件

3 .已知命题 p : ?x ? (0, ??),3x ? 2x ;命题 q : ?x ? (??,0),3x ? 2 x ,则下列命题为真命题
的是

A. p?q

B . p ? (?q)

C . (?p) ? q

D . (?p) ? (?q)

4 .若 0 ? x ? 1 ,则函数 f ?x? ? x?1 ? x? 的最大值为
A. 1 B.

1 4

C.

1 2

D. 2

? y ? x ? 1, ? 5 .若实数 x , y 满足不等式组 ? y ? x ? 2, 则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ? y ? 0, ?
A .?
1

7 2
1

B . ?2

C .1

D.

5 2

6 .设 a ? 2 2 , b ? 3 3 , c ? log3 2 ,则
A .b ? a ? c
A .1

B .a ? b ? c
B .2

C .c ? b ? a
C . ?i

D .c ? a ? b
D .i

7 .在复平面内,复数 z1 的对应点是 Z1 (1,1) , z2 的对应点是 Z 2 (1, ?1) ,则 z1 ? z2 ?

8 .函数 f ( x) ? x ? 3 ? log2 (6 ? x) 的定义域是
A . C.

?x | x ? 6? ?x | x ? ?3?

B.

?x | ?3 ? x ? 6? D. ?x | ?3 ≤ x ? 6?
-1-

9 .奇函数 f ?x ? 在 (??, 0) 上单调递增,若 f ?? 1? ? 0 ,则不等式 f ?x ? ? 0 的解集是
A .(??, ?1) (0,1) B .(??, ?1)

(1, ??)

C .(?1,0) (0,1)

D .(?1,0) (1, ??)

10 .已知函数 y ? f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? ? ?? , 0? 时, f ? x ? ? xf ? ? x ? ? 0 (其
1? ? 中 f ? ? x ? 是 f ? x ? 的导函数) ,若 a ? f ?1? ,b ? ? log? 3? ? f ? log? 3? , c ? ? log 3 ? ? 9? ? 1? ? f ? log 3 ? ,则 9? ?

a , b , c 的大小关系是
A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. c ? a ? b D. a ? c ? b 第二部分(非选择题 共 60 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.把答案填在答题卡上.

11 .半 径 为 r 的 圆 的 面 积 S ?r ? ? ? ? r 2 ,周 长 C ?r ? ? 2? ? r .若 将 r 看 作 ?0,??? 上 的 变
量,则有

?? ? r ? ? 2? ? r ① , ① 式 可 用 语 言 叙 述 为 “ 圆 的 面 积 函 数 的 导 数 等 于 圆 的
2 '

周长函数” . 对 于 半 径 为 R 的 球 , 若 将 R 看 作 ?0,??? 上 的 变 量 , 请 你 写 出 类 似 于 ①的式子: ②,②式可用语言叙述为 . .

12 . 函 数 f ?x? ? x 2 ? l o g 的零点个数为 1 x
2

? 4 ( x ? 4) ?1 ? , 13.已知函数 f ( x) ? ? x ? ?log 2 x, (0 ? x ? 4)

若关于 x 的方程 f ( x) ? k 有两个不同的实根,

则实数 k 的取值范围是 . 14 .某公司一年购买某种货物 600 吨,每次都购买 x 吨,运费为 3 万元/次,一年的总存储费 用为 2 x 万元,若要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次需购买 吨.

15 .复数 z ? (2 ? i)i 的虚部是

.

?? a ? 2 ? x ? 2a 16 .已知 f ? x ? ? ? ? loga x

? x ? 1? 是 R 上的增函数,则 a 的取值范围是 ? x ≥ 1?



三、解答题:本大题共 4 小题,共 36 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
2 17 . (本小题满分 8 分)已知函数 f ?x? ? x ? ?2a ? 1?x ? 3 .

?1? 当 a ? 2 , x ? ?? 2,3? 时,求函数 f ?x ? 的值域;

?2? 如函数 f ?x ? 在 ?? 1,3? 上的最大值为1 ,求实数 a 的值.
x2 ?1 18 . (本小题满分 6 分)给定函数 f ?x ? ? lg ,完成下列问题: x

?1? 指出函数的奇偶性; (必须说明理由)
-2-

(必须说明理由) ?2? 指出函数的单调区间; ?3? 该函数是否存在最值?如存在,求出该最值.

19 . (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? 1 与函数 g ( x) ? a ln x(a ? 0) .
(I)若 f ( x), g ( x) 的图象在点 (1,0) 处有公共的切线,求实数 a 的值; (II)设 F ( x) ? f ( x) ? 2 g ( x) ,求函数 F ( x) 的极值.

20 . (本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F1 (? 3,0) 、F2 ( 3,0) 的距离之
和是 4,点 M 的轨迹是 C ,直线 l : y ? kx ? 2 与轨迹 C 交于不同的两点 P 和 Q . (Ⅰ)求轨迹 C 的方程; (Ⅱ)是否存在常数 k ,使 OP ? OQ ? 0 ?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由.

-3-


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