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函数的表示法知识点


函数的表示法
1.函数的三种表示法: 图象法、列表法、解析法 2.分段函数:在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为 分段函数。 3.映射:一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使 对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么 就称对应 f:A→B 为从集合 A 到集合 B

的一个映射。记作“f:A→B” 给定一个集合 A 到 B 的映射,如果 a∈A,b∈B.且元素 a 和元素 b 对应,那么, 我们把元素 b 叫做元素 a 的象,b=f(a),元素 a 叫做元素 b 的原象. 说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合 A、B 及对应法 则 f 是确定的;②对应法则有“方向性”,即强调从集合 A 到集合 B 的对应,它与 从 B 到 A 的对应关系一般是不同的;③对于映射 f:A→B 来说,则应满足:(Ⅰ) 集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的;(Ⅱ)集合 A 中不 同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个;(Ⅲ)不要求集合 B 中的每一个元 素在集合 A 中都有原象。 注意:(1)函数一定是映射,映射不一定是函数;(2)函数三要素:定义域、值 域、对应法则;(3)B 中的元素未必有原象,即使有原象,也未必唯一;(4)原象集合 =定义域,值域=象集合. 4.常用的函数表示法及各自的优点:函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、 折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据;2 解析法:必须 注明函数的定义域;3 图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数 的解析式;观察函数的特征;4 列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义 域的特征. 注意:解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量 出函数值 5.分段函数:在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里 求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同 的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各 部分的自变量的取值情况. (1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数; (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集. 6.复合函数:如果 y 是 u 的函数,u 又是 x 的函数,即 y=f(u) ,u=g(x) ,那么 y 关于 x 的函数 y=f(g(x) )叫做函数 y=f(u) (外函数)和 u=g(x) (内函数)的复 合函数,其中 u 是中间变量,自变量为 x 函数值为 y.例如:函数 y ? 2
x2 ?1

是由 y=2u

和 u=x2+1 复合而成立。 复合函数的定义域:①已知 f(x)的定义域为(a,b) ,求 f(g(x) )的定义 域的方法:已知 f(x)的定义域为(a,b) ,求 f(g(x) )的定义域.实际上是已知 中间变量的 u 的取值范围,即 u∈(a,b) ,g(x) (a,b).通过解不等式 a<g(x) <b 求得 x 的范围,即为 f(g(x) )的定义域。② 已知 f(g(x) )的定义域为(a, b) ,求 f(x)的定义域的方法:若已知 f(g(x) )的定义域为(a,b) ,求 f(x) 的定义域。实际上是已知直接变量 x 的取值范围,即 x∈(a,b).先利用 a<x<b 求得 g(x)的范围,则 g(x)的范围即是 f(x)的定义域. 7.函数的解析表达式:(1)函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之 间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.(2) 求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,如果已知函数解 析式的构造时,可用待定系数法;已知复合函数 f[g(x)]的表达式时,可用换元法, 这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可用凑配法;若已知抽象函 数表达式,则常用解方程组消参的方法求出 f(x).