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江苏省苏北四市2014届高三期末统考数学试题


苏 北 四 市 数 学 试 题
数学Ⅰ 必做题部分
(本部分满分 160 分,时间 120 分钟)

注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题) 。本卷满分为 160 分,考试时间为 120 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2.

答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规 定位置。 3.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其它位置作答一律无 效。 4.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等加黑、加粗。
1 参考公式:锥体的体积公式: V ? Sh ,其中 S 是锥体的底面面积, h 是高. 3 一、填空题:本题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡上 . ....

1.设复数 z1 ? 2 ? i , z2 ? m ? i (m ? R ,i 为虚数单位 ) ,若 z1 ? z2 为实数,则 m 的值为 ▲ . 2.已知集合 A ? {2 ? a , a} , B ? {?1,1, 3} ,且 A ? B ,则实数 a 的值是 ▲ . 3.某林场有树苗 3000 棵,其中松树苗 400 棵.为调查树苗的生长情况,采用分层抽样的方法抽取一个容 量为 150 的样本,则样本中松树苗的棵数为 ▲ . 4 .在 ?ABC 的边 AB 上随机取一点 P , 记 ?CAP 和 ?CBP 的面积分别为 S1 和 S 2 ,则 S1 ? 2S2 的概率是 ▲ . 开始 x2 y 2 5.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线方程为 2 x ? y ? 0 ,则该双曲线的离心 a b S ? 0, n ? 1 率为 ▲ . 6.右图是一个算法流程图,则输出 S 的值是 ▲ . n ?n?2 7.函数 f ( x) ? lg(2x ? 3x ) 的定义域为 ▲ . 8.若正三棱锥的底面边长为 2 ,侧棱长为 1,则此三棱锥的体积为 9.在△ ABC 中,已知 AB ? 3 , A ? 120o ,且 ?ABC 的面积为 边长为 ▲ . ▲ .
结束 (第 6 题图)





S ?S ?n
n ? 10
N 输出 S Y

15 3 ,则 BC 4

10.已知函数 f ( x) ? x x ? 2 ,则不等式 f ( 2 ? x) ≤ f (1) 的解集为

? 11.已知函数 f ( x) ? 2sin(2? x ? ) (? ? 0) 的最大值与最小正周期相同,则函数 4 f ( x) 在 [?1, 1] 上的单调增区间为 ▲ .
Sk ? 2 的值为

12.设等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a4 , a3 , a5 成等差数列,且 Sk ? 33 , Sk ?1 ? ?63 ,其中 k ? N? ,则
???? ??? ? ??? ? ??? ? 13. 在平面四边形 ABCD 中, 已知 AB ? 3 , 点 E , F 分别在边 AD, BC 上, 且 AD ? 3 AE , 若 BC ? 3BF . DC ? 2 , ??? ? ???? ??? ? ??? ? ? 向量 AB 与 DC 的夹角为 60 ,则 AB ? EF 的值为 ▲ .





14.在平面直角坐标系 xOy 中,若动点 P(a , b) 到两直线 l1 : y ? x 和 l2 : y ? ? x ? 2 的距离之和为 2 2 ,则
a2 ? b2 的最大值为 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤.

15.(本小题满分 14 分)已知向量 a ? (cos? , sin ? ) , b ? (2 , ? 1) . sin ? ? cos ? (1)若 a ? b ,求 的值; sin ? ? cos ? ? ? (2)若 a ? b ? 2 , ? ? (0 , ) ,求 sin(? ? ) 的值. 2 4 16 . ( 本小题满分 14 分 )如图,在三棱锥 P ? ABC 中,点 E , F 分别是棱 PC, AC 的中点. (1)求证: PA //平面 BEF ; (2)若平面 PAB ? 平面 ABC , PB ? BC ,求证: BC ? PA .

P

A E F C
(第 16 题图)

B

17.(本小题满分 14 分)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所 示),该扇环面是由以点 O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点 O 的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为 30 米,其中大圆弧所 在圆的半径为 10 米.设小圆弧所在圆的半径为 x 米,圆心角为 ? (弧 度) . (1)求 ? 关于 x 的函数关系式; (2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰 费用为 4 元/米,弧线部分的装饰费用为 9 元/米.设花坛的 面积与装饰总费用的比为 y , 求 y 关于 x 的函数关系式, 并求 出 x 为何值时, y 取得最大值?

18.(本小题满分 16 分)已知 ?ABC 的三个顶点 A(?1 , 0) , B(1, 0) , C(3 , 2) ,其外接圆为 ? H . (1)若直线 l 过点 C ,且被 ? H 截得的弦长为 2,求直线 l 的方程; (2)对于线段 BH 上的任意一点 P ,若在以 C 为圆心的圆上都存在不同的两点 M , N ,使得点 M 是线段
PN 的中点,求 ? C 的半径 r 的取值范围.

19.(本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? x3 ?

5 2 ,其图象是曲线 C . x ? ax ? b ( a, b 为常数) 2 (1)当 a ? ?2 时,求函数 f ( x) 的单调减区间; (2)设函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x) ,若存在唯一的实数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? x0 与 f ?( x0 ) ? 0 同时成立,求实

数 b 的取值范围; (3)已知点 A 为曲线 C 上的动点,在点 A 处作曲线 C 的切线 l1 与曲线 C 交于另一点 B ,在点 B 处作曲 线 C 的切线 l2 ,设切线 l1 , l2 的斜率分别为 k1 , k2 .问:是否存在常数 ? ,使得 k2 ? ? k1 ?若存在,求 出 ? 的值;若不存在,请说明理由.

20. (本小题满分 16 分)已知数列 {a n } 满足 a1 ? x , a2 ? 3x , Sn ?1 ? Sn ? Sn ?1 ? 3n2 ? 2 (n ≥ 2 , n ? N* ) , S n 是 数列 {an } 的前 n 项和. (1)若数列 {a n } 为等差数列. (ⅰ)求数列的通项 an ; (ⅱ)若数列 {b n } 满足 bn ? 2an ,数列 {c n } 满足 cn ? t 2bn ? 2 ? tbn ?1 ? bn ,试比较数列 {bn } 前 n 项和 Bn 与
{c n } 前 n 项和 Cn 的大小;

(2)若对任意 n ? N* , an ? an ?1 恒成立,求实数 x 的取值范围.

数 学 试 题
数学Ⅱ 注意事项
1. 本试卷共 2 页,均为非选择题(第 21 题~第 23 题,共 4 题) 。本卷满分为 40 分,考试时间为 30 分钟。 考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2. 作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其它位置作答一律无效。 21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题 ,并在相应的答题区域内作答 .若多做,则 ....... ............ 按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

附加题部分

A

A.(选修 4—1:几何证明选讲)(本小题满分 10 分) E 如图, 点 D 为锐角 ?ABC 的内切圆圆心, 过点 A 作直线 BD 的垂线, 垂足为 F , F 圆 D 与边 AC 相切于点 E .若 ?C ? 50? ,求 ?DEF 的度数. D B.(选修 4—2:矩阵与变换)(本小题满分 10 分) B ?a 0? (第 21(A)图) 2 2 设矩阵 M ? ? ,若曲线 C : x + y = 1 在矩阵 M 所 b>0 ) ? (其中 a > 0 , 0 b ? ?

C

x2 对应的变换作用下得到曲线 C ? : ? y 2 ? 1 ,求 a +b 的值. 4 C.(选修 4—4:坐标系与参数方程)(本小题满分 10 分) ? 2 t, ?x ? ? 2 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数) ;以 O 为极点, x 轴 2 ? y? t?4 2 ? ? 2 ? 正半轴为极轴的极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos(? ? ) .由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求 4 切线长的最小值. D.(选修 4—5:不等式证明选讲)(本小题满分 10 分) 1 1 1 已知 a , b , c 均为正数,证明: a 2 ? b2 ? c2 ? ( ? ? )2 ≥ 6 3 . a b c

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题 卡指定区域 内作答,解答时应写出文字 .. ..... 说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 某品牌汽车 4 S 店经销 A, B, C 三种排量的汽车,其中 A, B, C 三种排量的汽车依次有5,4,3 款不同车 型.某单位计划购买 3 辆不同车型的汽车,且购买每款车型等可能. (1)求该单位购买的 3 辆汽车均为 B 种排量汽车的概率; (2)记该单位购买的 3 辆汽车的排量种数为 X ,求 X 的分布列及数学期望.

23. (本小题满分 10 分)

??? ? ??? ? ??? ? 已知点 A(?1 , 0) , F (1, 0) ,动点 P 满足 AP ? AF ? 2 | FP | . (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)在直线 l : y ? 2 x ? 2 上取一点 Q ,过点 Q 作轨迹 C 的两条切线,切点分别为 M , N .问:是否存在 点 Q ,使得直线 MN // l ?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

参考答案
数学Ⅰ部分
一、填空题: 1. 2 8.
1 6

2. 1 9. 7

3. 20 10. ? ?1, ?? ?

4.

1 3

5. 5 12. 129

6. 25 13. 7

7. (?? , 0) 14. 18

1 3 11. [? , ] 4 4

二、解答题: 15. (1)由 a ? b 可知, a ? b ? 2cos? ? sin? ? 0 ,所以 sin? ? 2cos? ,……………………………2 分 所以

sin ? ? cos? 2cos? ? cos ? 1 ? ? . ……………………………………………………6 分 sin ? ? cos? 2cos? ? cos ? 3

(2)由 a ? b ? (cos? ? 2,sin ? ? 1) 可得,
a ? b ? (cos ? ? 2)2 ? (sin ? ? 1)2 ? 6 ? 4cos? ? 2sin ? ? 2 ,

即 1 ? 2cos? ? sin? ? 0 , ①

……………………………………………………………10 分
3 ? sin ? ? ? ? 5 ,…………………12 分 ②,由①②可解得, ? ?cos ? ? 4 ? 5 ?

? 又 cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ,且 ? ? (0, ) 2

? 2 2 3 4 7 2 所以 sin(? ? ) ? . (sin ? ? cos ? ) ? ( ? )? 4 2 2 5 5 10

……………………………14 分 P

16. (1)在 ?PAC 中, E 、 F 分别是 PC 、 AC 的中点,所以 PA // EF , 又 PA ? 平面 BEF , EF ? 平面 BEF , 所以 PA // 平面 BEF .……………………………………6 分 (2)在平面 PAB 内过点 P 作 PD ? AB ,垂足为 D . 因为平面 PAB ? 平面 ABC ,平面 PAB ? 平面 ABC ? AB , A

D

E F C

B

PD ? 平面 PAB ,所以 PD ? 平面 ABC ,………………8 分

又 BC ? 平面 ABC ,所以 PD ? BC ,………………………………………………………10 分 又 PB ? BC , PD ? PB ? P , PD ? 平面 PAB ,

PB ? 平面 PAB ,所以 BC ? 平面 PAB ,…………………………………………………12 分
又 PA ? 平面 PAB ,所以 BC ? PA .………………………………………………………14 分 17.(1)设扇环的圆心角为?,则 30 ? ? ?10 ? x ? ? 2(10 ? x) , 所以 ? ?
10 ? 2 x ,………………………………………………………………………………4 分 10 ? x

1 (2) 花坛的面积为 ? (102 ? x2 ) ? (5 ? x)(10 ? x) ? ? x2 ? 5x ? 50, (0 ? x ? 10) .………………7 分 2

装饰总费用为 9? ?10 ? x ? ? 8(10 ? x) ? 170 ? 10 x , 所以花坛的面积与装饰总费用的比 y = 令 t ? 17 ? x ,则 y ?

………………………………………9 分 …………………11 分

? x 2 ? 5 x ? 50 x 2 ? 5 x ? 50 , =? 170 ? 10 x 10(17 ? x)

39 1 324 3 12 ? (t ? ) ≤ ,当且仅当 t=18 时取等号,此时 x ? 1,? ? . 10 10 t 10 11 答:当 x ? 1 时,花坛的面积与装饰总费用的比最大.…………………………………………14 分 (注:对 y 也可以通过求导,研究单调性求最值,同样给分)

18.(1)线段 AB 的垂直平分线方程为 x ? 0 ,线段 BC 的垂直平分线方程为 x ? y ? 3 ? 0 , 所以 ?ABC 外接圆圆心 H (0,3) ,半径 12 ? 32 ? 10 , 圆 H 的方程为 x2 ? ( y ? 3)2 ? 10 . …………………………………………………………4 分

设圆心 H 到直线 l 的距离为 d ,因为直线 l 被圆 H 截得的弦长为 2,所以 d ? ( 10) 2 ? 1 ? 3 . 当直线 l 垂直于 x 轴时,显然符合题意,即 x ? 3 为所求;…………………………………6 分 当直线 l 不垂直于 x 轴时,设直线方程为 y ? 2 ? k ( x ? 3) ,则
3k ? 1 1? k
2

? 3 ,解得 k ?

4 , 3

综上,直线 l 的方程为 x ? 3 或 4x ? 3 y ? 6 ? 0 . ……………………………………………8 分 (2)直线 BH 的方程为 3x ? y ? 3 ? 0 ,设 P(m, n)(0 ≤ m ≤1), N ( x, y) , 因为点 M 是线段 PN 的中点,所以 M (
m? x n? y , ) ,又 M , N 都在半径为 r 的圆 C 上, 2 2

?( x ? 3) 2 ? ( y ? 2)2 ? r 2 , 2 2 2 ? ?( x ? 3) ? ( y ? 2) ? r , ? 所以 ? m ? x 即 …………………10 分 ? n? y 2 2 2 ? 3) 2 ? ( ? 2) 2 ? r 2 . ? ?( x ? m ? 6) ? ( y ? n ? 4) ? 4r . ?( ? 2 2

因为该关于 x, y 的方程组有解,即以 (3, 2) 为圆心, r 为半径的圆与以 (6 ? m, 4 ? n) 为圆心,

2r 为半径的圆有公共点,所以 (2r ? r )2 ≤ (3 ? 6 ? m)2 ? (2 ? 4 ? n)2 ≤ (r ? 2r )2 ,…………12 分
又 3m ? n- 12m ?10 ≤9r 2 对 ?m ?[0 , 1] ]成立. 3 ? 0 ,所以 r 2 ≤10m2- 32 32 12m ? 10 在[0,1]上的值域为[ ,10],所以 r 2 ≤ 而 f ? m ? ? 10m2- 且 10 ≤ 9r 2 .……15 分 5 5 又线段 BH 与圆 C 无公共点,所以 (m ? 3)2 ? (3 ? 3m ? 2)2 ? r 2 对 ?m ?[0 , 1] 成立,即 r 2 ? 故圆 C 的半径 r 的取值范围为 [
10 4 10 , ). 3 5

32 . 5

……………………………………………16 分 ………………………………………2 分

19.(1)当 a ? ?2 时, f ?( x) ? 3x2 ? 5x ? 2 ? (3x ? 1)( x ? 2) .

1 1 令 f ?(x)<0,解得 ?2 ? x ? ,所以 f(x)的单调减区间为 (?2 , ) . …………………………4 分 3 3

2 ?3x0 ? 5 x0 ? a ? 0 ? 2 (2) f ?( x) ? 3x ? 5x ? a ,由题意知 ? 3 5 2 消去 a , ? x0 ? x0 ? ax0 ? b ? x0 ? 2

5 2 x0 ? x0 ? b ? 0 有唯一解.……………………………………………………………6 分 2 5 令 g ( x) ? 2 x3 ? x 2 ? x ,则 g ?( x) ? 6 x2 ? 5x ? 1 ? (2 x ? 1)(3x ? 1) , 2 1 1 1 1 所以 g ( x) 在区间 (??, ? ) , (? , ??) 上是增函数,在 (? , ? ) 上是减函数,……………8 分 2 3 2 3 1 1 1 7 又 g ( ? ) ? ? , g (? ) ? ? , 2 8 3 54 7 1 故实数 b 的取值范围是 (??, ? ) ? (? , ??) . ……………………………………………10 分 54 8 (3)设 A( x0 , f ( x0 )) ,则点 A 处切线方程为 y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) , 5 与曲线 C : y ? f ( x) 联立方程组,得 f ( x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ,即 ( x ? x0 )2 [ x ? (2 x0 ? )] , 2 5 所以 B 点的横坐标 xB ? ?(2 x0 ? ) . …………………………………………………………12 分 2 5 25 由题意知, k1 ? f ?( x0 ) ? 3x02 ? 5x0 ? a , k2 ? f ?(?2 x0 ? ) ? 12 x02 ? 20 x0 ? ?a, 2 4

得 2 x03 ?

25 ? a ? ? (3x02 ? 5x0 ? a) , 4 25 即存在常数 ? ,使得 (4 ? ? )(3x02 ? 5x0 ) ? (? ? 1)a ? , 4 ?4 ? ? ? 0, 25 ? 所以 ? 解得 ? ? 4 , a ? . ………………………………………………15 分 25 12 (? ? 1)a ? ? 0. ? ? 4 25 25 故a ? 时,存在常数 ? ? 4 ,使 k2 ? 4k1 ; a ? 时,不存在常数 ? ,使 k2 ? ? k1 .……16 分 12 12

若存在常数 ? ,使得 k2 ? ? k1 ,则 12 x02 ? 20 x0 ?

20.(1)(ⅰ)因为 Sn?1 ? Sn ? Sn ?1 ? 3n2 ? 2(n ≥ 2, n ? N* ) ,所以 S3 ? S2 ? S1 ? 14 , 即 a3 ? 2a2 ? 3a1 ? 14 ,又 a1 ? x, a2 ? 3x ,所以 a3 ? 14 ? 9 x , ………………………………2 分

又因为数列 {a n } 成等差数列,所以 2a2 ? a1 ? a3 ,即 6 x ? x ? ?14 ? 9 x ? ,解得 x ? 1 , 所以 an ? a1 ? ? n ? 1? d ? 1 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n ? 1? n ? N* ? ; ………………………………4 分

(ⅱ)因为 an ? 2n ? 1? n ? N* ? ,所以 bn ? 2an ? 22n?1 ? 0 ,其前 n 项和 Bn ? 0 , 又因为 cn ? t 2bn ? 2 ? tbn ?1 ? bn ? ?16t 2 ? 4t ? 1? bn ,………………………………………………5 分 所以其前 n 项和 Cn ? ?16t 2 ? 4t ? 1? Bn ,所以 Cn ? Bn ? 2 ? 8t 2 ? 2t ? 1? Bn ,…………………7 分
1 1 1 1 当 t ? ? 或 t ? 时, Cn ? Bn ;当 t ? ? 或 t ? 时, Cn ? Bn ; 4 2 4 2

1 1 当 ? ? t ? 时, Cn ? Bn .……………………………………………………………………9 分 4 2

(2)由 Sn?1 ? Sn ? Sn ?1 ? 3n2 ? 2(n ≥ 2, n ? N* ) 知 Sn ? 2 ? Sn ?1 ? Sn ? 3 ? n ? 1? ? 2(n ? N* ) ,
2

两式作差,得 an? 2 ? an ?1 ? an ? 6n ? 3(n ≥ 2, n ? N* ) ,…………………………………………10 分 所以 an?3 ? an? 2 ? an?1 ? 6 ? n ? 1? ? 3(n ? N* ) ,作差得 an?3 ? an ? 6(n ≥ 2, n ? N* ) , ……………11 分 所以,当 n ? 1 时, an ? a1 ? x ; 当 n ? 3k ? 1 时, an ? a3k ?1 ? a2 ? ? k ? 1? ? 6 ? 3x ? 6k ? 6 ? 2n ? 3x ? 4 ; 当 n ? 3k 时, an ? a3k ? a3 ? ? k ? 1? ? 6 ? 14 ? 9 x ? 6k ? 6 ? 2n ? 9 x ? 8 ; 当 n ? 3k ? 1时, an ? a3k ?1 ? a4 ? ? k ? 1? ? 6 ? 1 ? 6 x ? 6k ? 6 ? 2n ? 6 x ? 7 ;………………14 分 因为对任意 n ? N* , an ? an ?1 恒成立,所以 a1 ? a2 且 a3k ?1 ? a3k ? a3k ?1 ? a3k ? 2 ,
? x ? 3x ?6k ? 3 x ? 6 ? 6k ? 9 x ? 8 13 7 ? 13 7 ? ? 所以 ? ,解得, ? x ? ,故实数 x 的取值范围为 ? , ? .…16 分 15 6 ? 15 6 ? ?6k ? 9 x ? 8 ? 6 k ? 6 x ? 5 ? ?6k ? 6 x ? 5 ? 6k ? 3 x

数学Ⅱ部分
21. 【选做题】 A.(选修 4—1:几何证明选讲) 由圆 D 与边 AC 相切于点 E ,得 ?AED ? 90? ,因为 DF ? AF ,得 ?AFD ? 90? , 所以 A, D, F , E 四点共圆,所以 ?DEF ? ?DAF . ……………………………………5 分
1 1 1 又 ?ADF ? ?ABD ? ?BAD ? (?ABC ? ?BAC ) ? (180? ? ?C ) ? 90? ? ?C , 2 2 2
1 所以 ?DEF ? ?DAF ? 90? ? ?ADF ? ?C ,由 ?C ? 50? ,得 ?DEF ? 25? .……………10 分 2

B. (选修 4-2:矩阵与变换) 设曲线 C :x 2 + y 2 = 1上任意一点 P( x, y) ,在矩阵 M 所对应的变换作用下得到点 P 1 ( x1 , y1 ) ,

? ax ? x1 ? a 0 ? ? x ? ? x1 ? ? ? ? ,即 ? 则? . …………………………………………………………5 分 ? ? ? ? 0 b ? ? y ? ? y1 ? ?by ? y1

x12 x2 ax 2 2 ? 又点 P ? y12 ? 1 ,则 ? by 2 ? 1 为曲线 C 的方程. 1 ( x1 , y1 ) 在曲线 C : ? y ? 1 上,所以 4 4 4
又曲线 C 的方程为 x 2 + y 2 = 1 ,故 a 2 = 4 , b2 = 1 , 因为 a > 0 , b > 0 ,所以 a + b = 3 . …………………………………………………………10 分

C. (选修 4-4:坐标系与参数方程) 因为圆 C 的极坐标方程为 ? ?
2

2 cos? ? 2 sin ? ,所以 ? 2 ? 2 ? cos? ? 2 ? sin ? ,
2

所以圆 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 x ?

? 2 2? ? ,半径为 1,…4 分 , ? 2 y ? 0 ,圆心为 ? ? 2 ? 2 ? ?

? ?x ? ? 因为直线 l 的参数方程为 ? ? y? ? ?

2 t, 2 ( t 为参数) , 2 t?4 2 2

? 2t 2t ? 所以直线 l 上的点 P ? ? 2 , 2 ?4 2? ? 向圆 C 引切线长是 ? ?
? 2t 2 ? ? 2t 2? PC ? R ? ? ? 2 ? 2 ? ? ?? ? 2 ?4 2? 2 ? ? ?1 ? ? ? ? ?
2 2 2 2

?t ? 4?

2

? 24 ≥ 2 6 ,

所以直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 2 6 . ……………………………………10 分 D. (选修 4-5:不等式选讲)
2

证法一:因为 a , b, c 均为正数,由均值不等式得 a 2 ? b 2 ? c 2 ≥ 3(abc) 3 ,………………………2 分 因为
1 2 ? ? 1 1 1 1 1 1 ? ? ≥ 3(abc) 3 ,所以 ( ? ? )2 ≥ 9(abc) 3 .…………………………………5 分 a b c a b c 2 2 ? 1 1 1 故 a 2 ? b2 ? c 2 ? ( ? ? )2 ≥ 3(abc) 3 ? 9(abc) 3 . a b c
2

又 3 (abc ) 3 ? 9(abc ) 3 ≥ 2 27 ? 6 3 ,所以原不等式成立.…………………………………10 分 证法二:因为 a , b, c 均为正数,由基本不等式得 a 2 +b2 ≥ 2ab , b2 +c 2 ≥ 2bc , c2 + a 2 ≥ 2ca . 所以 a2 +b2 + c2 ≥ ab ? bc ? ca .……………………………………………………………………2 分 1 1 1 1 1 1 同理 2 + 2 + 2 ≥ ? ? ,…………………………………………………………………5 分 a b c ab bc ca 1 1 12 3 3 3 2 2 2 所以 a +b + c ? ( + + ) ≥ ab ? bc ? ca ? ? ? ≥6 3 . a b c ab bc ca 所以原不等式成立.………………………………………………………………………………10 分 3 C4 1 ? . 22. (1)设该单位购买的 3 辆汽车均为 B 种排量汽车为事件 M ,则 P( M ) ? 3 C12 55 所以该单位购买的 3 辆汽车均为 B 种排量汽车的概率为 (2)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3. 则 P( X ? 1) ?
3 3 3 1 1 C5 ? C4 ? C3 C1C4 C3 3 3 ? , ? , P( X ? 3) ? 5 3 3 C12 11 C12 44

?

2

1 . ………………………………4 分 55

P( X ? 2) ? 1 ? P( X ? 1) ? P( X ? 3) ?

29 . 44

所以 X 的分布列为

X P


3 44


29 44


3 11

……………………………8 分 3 29 3 97 数学期望 E ( X ) ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? .………………………………………………10 分 44 44 11 44 ??? ? ??? ? ??? ? 23.(1)设 P( x, y) ,则 AP ? ( x ? 1, y) , FP ? ( x ? 1, y) , AF ? (2,0) ,
??? ? ??? ? ??? ? 由 AP ? AF ? 2 | FP | ,得 2( x ? 1) ? 2 ( x ? 1)2 ? y 2 ,化简得 y 2 ? 4 x .

故动点 P 的轨迹 C 的方程 y 2 ? 4 x .

…………………………………………………………5 分

(2)直线 l 方程为 y ? 2( x ? 1) ,设 Q( x0 , y0 ) , M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) . 过点 M 的切线方程设为 x ? x1 ? m( y ? y1 ) ,代入 y 2 ? 4 x ,得 y 2 ? 4my ? 4my1 ? y12 ? 0 , y 由 ? ? 16m2 ? 16my1 ? 4 y12 ? 0 ,得 m ? 1 ,所以过点 M 的切线方程为 y1 y ? 2( x ? x1 ) ,……7 分 2 同理过点 N 的切线方程为 y2 y ? 2( x ? x2 ) .所以直线 MN 的方程为 y0 y ? 2( x0 ? x) ,………9 分 2 又 MN // l ,所以 ? 2 ,得 y0 ? 1 ,而 y0 ? 2( x0 ? 1) , y0
1 故点 Q 的坐标为 (? ,1) . ……………………………………………………………………10 分 2


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