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空间向量及其运算(含答案解析)


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向量及其运算(含答案解析)

●考试目标 主词填空 1.空间向量基本定理及应用 空间向量基本定理:如果三个向量 a、b、c 不共面,那么对空间任一向量 p 存在惟一的 有序实数组 x、y、z,使 p=x a+ y b+ z c. 2.向量的直角坐标运算: 设 a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3

), A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2). 则 a+b= ( a 1 ? b1 , a 2 ? b 2 , a 3 ? b 3 ) . a-b= ( a 1 ? b1 , a 2 ? b 2 , a 3 ? b 3 ) . a?b= a 1 b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b 3 . 若 a、b 为两非零向量,则 a⊥b ? a?b=0 ?
a 1 b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b 3 =0.

? ●题型示例 点津归纳 【例1】 已知空间四边形 OABC 中,∠AOB=∠BOC= ∠AOC,且 OA=OB=OC.M,N 分别是 OA,BC 的中点,G 是 MN 的中点. 求证:OG⊥BC. 【解前点津】 要证 OG⊥BC,只须证明 OG 而要证 OG
? BC ? 0 ? BC ? 0

即可. 例 1 题图

,必须把 OG 、 BC 用一组已知的空间基向量来表示.又已知条件为∠

AOB=∠BOC=∠AOC,且 OA=OB=OC,因此可选 OA , OB , OC 为已知的基向量. 【规范解答】 连 ON 由线段中点公式得:
OG ? 1 2 ( OM ? ON ) ? 1 ?1 1 1 ? OA ? ( OB ? OC ) ? ( OA ? OB ? OC ), ? 2 ?2 2 4 ? ?

又 BC 所
OG ? OB ?

? OC ? OB

, 以

1 4

( OA ? OB ? OC ) ? ( OC ? OB ) ?

1 4

( OA ? OC ? OB ? OC ? OC

2

? OA ? OB ? OB

2

? OC ? OB

)

=

1 4

( OA

? OC ? OA ? OB ? OC

2

? OB

2

). .

因为 OA ? OC

? OA ? OC ? cos ? AOC

OA ? OB ? OA ? OB ? cos ? AOB

1

\ 且 OC
? OB ? OA

,∠AOB=∠AOC.

所以 OG

? BC

=0,即 OG⊥BC.

【解后归纳】 本题考查应用平面向量、空间向量和平面几何知识证线线垂直的能力. 【例 2】 在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, 求: 异面直线 BA1 与 AC 所成的角. 【解前点津】 利用 BA1 ? AC
? BA1 ? AC ? cos ? BA1 , AC ?

,求出向量 BA 1 与

AC

的夹角

〈 BA 1 , AC 〉,再根据异面直线 BA1,AC 所成角的范围确定异面直线所成角. 【规范解答】 因为 BA1 所以 BA1 ? AC = BA ? AB
? BA ? BB 1 , AC ? AB ? BC

,

? ( BA ? BB 1 ) ? ( AB ? BC )

? BA ? BC ? BB 1 ? AB ? BB 1 ? BC

因为 AB⊥BC,BB1⊥AB,BB1⊥BC, 所以 BA ? BC
? 0 , BB 1 ? AB

例2图

=0,

BB 1 ? BC ? 0 , BA ? AB

=-a2.

所以 BA1 ? AC =-a2. 又 BA1 ? AC
? BA1 ? AC ? cos ? BA1 , AC ? ,
?a 2a?
2

cos ? BA1 , AC ??

? ? 2a

1 2

.

所以〈 BA1 , AC 〉=120°. 所以异面直线 BA1 与 AC 所成的角为 60°. 【解后归纳】 求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积,而要求两向 量的数量积,必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示. 【例 3】 如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分 别是 BB1、DC 的中点. (1)求 AE 与 D1F 所成的角; (2)证明 AE⊥平面 A1D1F. 【解前点津】 设已知正方体的棱长为 1,且 DA =e1,
DC

=e2, DD 1 =e3,以 e1,e2,e3 为坐标向量,建立空间直角坐标系 D—xyz, 则:(1)A(1,0,0),E(1,1,
1 2

例3图

),F(0,

1 2

,0),D1(0,0,1),

2

\ 所以 =(0,1,
1 2

AE

),
1 2

D1 F

=(0,

1 2 1 2

,-1). ,-1)=0.

所以 AE ? D1 F =(0,1

),?(0,

所以 AE ⊥ D1 F ,即 AE 与 D1F 所成的角为 90°. (2)又 DA =(1,0,0)= D1 A1 , 且 D1 A1 ? AE =(1,0,0)?(0,1,
1 2

)=0.

所以 AE⊥D1A1,由(1)知 AE⊥D1F,且 D1A1∩D1F=D1. 所以 AE⊥平面 A1D1F. 【解后归纳】 本题考查应用空间向量的坐标运算求异面直线所成的角和证线面垂直的方 法. 【例 4】 证明:四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分(此点称为四面 体的重心). 【规范解答】∵E,G 分别为 AB,AC 的中点, ∴EG
1 2 BC

,同理 HF

1 2

BC

,∴EG HF .

从而四边形 EGFH 为平行四边形,故其对角线 EF, GH 相交于一点 O,且 O 为它们的中点,连接 OP,OQ. 只要能证明向量 OP =- OQ 就可以说明 P,O,Q 三点共线且 O 为 PQ 的中点,事实上, OP ∴ OG ∴ GP
? OH ? 0 , GP ? OG ? GP , OQ ? OH ? HQ
1 2 ? 1 2 CD , QH ? 1 2 1 2 CD ? 1 2 CD 1 2

,而 O 为 GH 的中点,

例4图

CD,QH

CD,

CD .

∴= OP ∴ OP

? OQ ? OG ? OH ? GP ? HQ ? 0 ?

=0.

? ? OQ

=,∴PQ 经过 O 点,且 O 为 PQ 的中点.

【解后归纳】本例要证明三条直线相交于一点 O,我们采用的方法是先证明两条直线相 交于一点,然后证明 OP , OQ 两向量共线,从而说明 P、O、Q 三点共线进而说明 PQ 直线过 O 点. ●对应训练 分阶提升 一、基础夯实 1.在下列条件中,使 M 与 A、B、C 一定共面的是( A. OM C. MA
? 2 OA ? OB ? OC

)
OM ? 1 5 OA ? 1 3 OB ? 1 2 OC

B.

? MB ? MC ? 0

D. OM
3

? OA ? OB ? OC ? 0

\ 2.与向量 a=(12,5)平行的单位向量是( A. ? 12 ? C. ? 12 ?
? 13 , 5 ? ? 13 ? 5 ? ? 12 5 ? ,? ?或 ? ? ? 13 ? ? 13 13 ?

) B. ? ? ?
? 12 13 12 13 ,? ,? 5 ? ? 13 ? 5 ? ? 13 ?

? 13

,

D. ? ? ?
?

3.若向量{a, b,c}是空间的一个基底,向量 m=a+b,n=a-b,那么可以与 m、n 构成空 间另一个基底的向量是( )? A.a B.b ? C. c D.2a ? 4. a、b 是非零向量,则〈a,b〉的范围是 ( )? A.(0,
? ?

)

B.[0,

? ?

]?

C.(0,π )?

D.[0,π ]?

5.若 a 与 b 是垂直的,则 a?b 的值是( )? A.大于 0 B.等于零? ? C.小于 0 D.不能确定 6.向量 a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4),则 a 与 b( ) A.相交 B.垂直? C.平行 ? D.以上都不对 7. A(1,1,-2)、B(1,1,1),则线段 AB 的长度是( )? ? A.1 ? B.2 ? C.3 ? D.4 8. m={8,3,a},n={2b,6,5},若 m∥n,则 a+b 的值为( ) ? A.0 ? B.
5 2

C.

21 2

D.8 )?

9. a={1,5,-2},b={m,2,m+2},若 a⊥b,则 m 的值为( ? A.0 ? B.6 ? C.-6 ? D.±6

10. A(2,-4,-1),B(-1,5,1),C(3,-4,1),令 a= CA ,b= CB ,则 a+b 对应的点为( ? A.(5,-9,2) B.(-5,9,-2) ? C.(5,9,-2) 11. a=(2,-2,-3),b=(2,0,4),则 a 与 b 的夹角为( ) ? A.arc cos
4 85 85

)

D.(5,-9,2)

?

B. arcsin

69 85

?

C. ? ? arccos

4 85 85 x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2

D.90° 是 a 与 b 同向或反向

12.若非零向量 a={x1,y1,z1},b={x2,y2,z2},则 的( ) ? A.充分不必要条件 ? C.充要条件

B.必要非充分条件? D.不充分不必要条件

二、思维激活 13.已知向量 a, b, c 满足 a+b+c=0,|a|=3,| b|=1,| c|=4.则 ab+bc+ca= 14.已知|a|=2
2

.? .

,|b|=

2 2

,ab=-

2

,则 a、b 所夹的角为

15.已知空间三点 A、B、C 坐标分别为(0,0,2),(2,2,0),(-2,-4,-2),点 P 在 xOy 平 面上且 PA⊥AB,PA⊥AC,则 P 点坐标为 . 16.已知 a= {8,-1,4} b= , {2,2,1} 则以 a、 为邻边的平行四边形的面积为 , b . 三、能力提高 17.已知线段 AB 在平面α 内,线段 AC⊥α ,线段 BD⊥AB,且与α 所成的角是 30°,如果
4

\ AB=a,AC=BD=b,求 C、D 之间的距离.

18.长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别为 AB、B1C1 中点,若 AB=BC=2,AA1=4,试 用向量法求: (1) A1 E 与 CF 的夹角的大小. (2)直线 A1E 与 FC 所夹角的大小.

19.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别为 BB1、DC 的中点,求证:D1F⊥平面 ADE.

20.如图所示,已知 ABCD,O 是平面 AC 外的一点, OA1 求证:A1,B1,C1,D1 四点共面.

? 2 OA , OB 1 ? 2 OB , OC 1 ? 2 OC , OD 1 ? 2 OD

,

第 20 题 图

5

\

第 11 课 空间向量及其运算习题解答 1.C 由向量共线定义知.?
2 ? 2 ?x ? y ? 1 设此向量为(x,y),∴ ? ?12 y ? 5 x ?

2.C

12 12 ? ? x ? x ? ? ? ? ? ? 13 13 或 ? ,?∴ ? 5 ?y ? ?y ? ? 5 ? ? 13 13 ? ?

3.C 4.D 根据两向量所成的角的定义知选 D. 5. B 当 a⊥b 时,a?b=0(cos 〈a, b〉=0)? 6.C a=(1,2,-2)=7.C |AB|=
2

1 2

?b
2

∴a∥b.
2

(1 ? 1) ? (1 ? 1) ? (1 ? 2 )

=3.?

8.C ∵m∥n,故(8,3,a)=k(2b,6,5),?∴8=2bk,3=6k,a=5k,? ∴k=
1 2

故 a=

5 2

,b=8,∴a+b=

5 2

+8=

21 2

9.B ∵a⊥b ∴1?m+5?2-2(m+2)=0. 10.B
CA

∴m=6.

=(-1,0,-2), CB =(-4,9,0),∴a+b=(-5,9,-2).
2? 2 ? 3? 4 2 ? ( ? 2 ) ? ( ? 3) ?
2 2 2

11.C cos(a?b)=

=2 ?4
2 2

4 85

?

? 4 85 85

.

12.A ?若 13.-13

x1 x2

?

y1 y2

?

z1 z2

,则 a 与 b 同向或反向,反之不成立.

∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0,?
1 2

∴ab+bc+ca=14.
3 4 ?

(a2+b2+c2)=? 2 ?

1 2

(9+1+16)=-13.
? 2 2 2 ? ? 2 2

? cos〈a, b〉=

a ? b

.∴a,b 所夹的角为

3? 4

.

2 2 ?

15.(-8,6,0) 16.9
5

由向量的数量的积求得.

S=|a||b|sin〈a, b〉求得.

17.如图,由 AC⊥α ,知 AC⊥AB.? 过 D 作 DD′⊥α ,D′为垂足,则∠DBD′=30°, 〈 CA , BD 〉=120°, ∴|CD|2= = CA
2

CD ? CD ? ( CA ? AB ? CD )
2

2

? AB

? BD

2

? 2 CA ? AB ? 2 CA ? BD ? 2 AB ? BD

第 17 题 图

=b2+a2+b2+2b2cos120°=a2+b2.
6

\ ∴CD=

a ?b

2

2

点评:本题把线段转化成向量表示,然后利用向量进行运算. 18.如图,建立空间坐标系,则 D(0,0,0)、A(2,0,0),B(2,2,0) 、C(0,2,0)、A1(2,0,4)、B1(2,2,4)、C1(0,2,4). 由题设可知 E(2,1,0),F(1,2,4). (1)令 A1 E 与 CF 的夹角为θ ,? 则 cosθ =
A1 E ? CF A1 E ? CF ? ? 16 17

.

第 18 题 图

∴ A1 E 与 CF 的夹角为π -arccos 16 .
17

(2)∴直线 A1E 与 FC 的夹角为 arccos 16
17

19.如图所示,不妨设正方体的棱长为 1,且设 DA =i, DC =j, DD 1 =k, 以 i、j、k 的坐标向量建立空间直角坐标系 D—xyz, 则 AD =(-1,0,0), D1 F =(0,
AD
1 2

,-1),?

? D1 F =(-1,0,0)?(0,
1 2

1 2

,-1)=0,∴AD⊥D1F.
1 2 1 2

又 AE =(0,1,

), D1 F =(0,
1 2

,-1), ,-1)=
1 2

第 19 题 图 1 2

∴ AE ? D1 F =(0,1,

)?(0,

=0.

∴AE⊥D1F,又 AE∩AD=A, ∴D1F⊥平面 ADE. 点评:利用向量法解决立体几何问题,首先必须建立适当的坐标系. 20.证明:∵ A1C1 =2
? OC 1 ? OA 1 ? 2 OC ? 2 OA ? 2 ( OC ? OA ) ? 2 AC ? 2 ( AB ? AD )

?(OB ? OA ) ? (OD ? OA ? ? ( 2 OB ? 2 OA ) ? ( 2 OD ? 2 OA )
A1 B1 ? A1 D1

= ( OB 1 ? OA1 ) ? ( OD 1 ? OA1 ) ? ∴A1,B1,C1,D1 四点共面.

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