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平面向量与四心


一、重心 在 △ ABC 中 , AD 为 BC 边 上 的 中 线 , 根 据 向 量 加 法 的 平 行 四 边 形 法 则 , 可 得

AB ? AC ? 2 AD 。这说明 AB ? AC 所在的直线过 BC 的中点 D,从而一定通过△ABC 的重
心 。 另 外 , G 为 △ ABC 的 重 心 的 充 要 条 件 是 GA ? GB

? GC ? 0 或

1 OG ? (OA ? OB ? OC ) , (其中 O 为△ABC 所在平面内任意一点) ,这也是两个常用的 3
结论。 例 1.已知 A、B、C 是平面上不共线的三点,O 是△ABC 的外心,动点 P 满足

1 OP ? [(1 ? ? )OA ? (1 ? ? )OB ? (1 ? 2? )OC )]( ? ? R) ,则 P 的轨迹一定通过△ABC 的 3
A.内心 B.垂心 C.外心 ( D.重心 )

思路分析:取 AB 边的中点 M,则 OA ? OB ? 2OM , 由 OP

1 ? [(1 ? ? )OA ? (1 ? ? )OB ? (1 ? 2? )OC )]( ? ? R) 可得 3

3OP ? 2OM ? OC ? 2? (OC ? OM ) ? 3OM ? (1 ? 2? ) MC ,所以

MP ?

1 ? 2? MC (? ? R) ,即点 P 的轨迹为三角形中 AB 边上的中线,故选 D。 3
1 时 , MP ? 0 , 此 时 点 P 为 线 段 AB 中 点 。 也 可 当 ? ? 0 时 2

点评:本题当 ? ? ?

1 OP ? (OA ? OB ? OC ) ,则 P 的轨迹也通过△ABC 的重心。但是若取的三角形 3
以 C 为直角顶点,则点 P 过点 C 为垂心,得出了意想不到的错误,因而解题过程中也应注意 解题方法的优化。 二、垂心 在△ABC 中,由向量的数量积公式,可得 (

AB | AB | cos B

?

AC | AC | cos C

) ? BC ? 0 ,这说



AB | AB | cos B

?

AC | AC | cos C

所在直线是 BC 边上的高所在直线,从而它一定通过△ABC 的
-1-

垂心。 例 2(2005 年全国卷)点 O 是△ABC 所在平面内的一点,满足

OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,则点 O 是△ABC 的
A.三个内角的角平分线的交点 C.三条中线的交点 B.三条边的垂直平分线的交点 D.三条高的交点





思路分析:由 OA ? OB ? OB ? OC ,得 OB ? (OA ? OC ) ? OB ? CA ? 0 ,所以 OB ? AC , 即 OB ? AC 。同理 OC ? AB, OA ? BC 。因此 O 是△ABC 三条高的交点,故选 D。 点评:解题中应注意实数运算、向量运算相同与不同之处,由 OA ? OB ? OB ? OC 不能推得

OA ? OC (因为 OA OC 方向不相同) 、 ,因此学生不要生搬硬套地把代数运算照搬过来。
三、内心 在△ABC 中, 由两单位向量相加, 可得

AB | AB |

?

AC | AC |

所在直线是∠A 的平分线所在的直

线,从而一定经过△ABC 的内心。 例 3(2003 年全国卷)O 是平面上定点,A、B、C 是平面上不共线 的三个点,动点 P 满足 OP ? OA ? ? ( 则 P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.外心 B.内心 思路分析:设 (

AB | AB |

?

AC | AC |

), ? ? [0,??) ,

C.重心

D.垂心

AB | AB |

) ? AB ' 为 AB 上的单位向量, (

AC | AC |

) ? AC ' 为 AC 上的单位向量,

则(

AB | AB |

?

AC | AC | AC

) 的 方 向 为 ∠ BAC 的 角 平 分 线 AD 的 方 向 , 又 ? ? ?0,?? ? , 所 以 AB | AB | AC | AC | AB | AB | AC | AC |

?(

AB | AB |

?

)与(

?

) 的方向相同,而 OP ? OA ? ? (

?

) ,所以

| AC |

点 P 在 AD 上移动,故 P 的轨迹一定是通过△ABC 的内心,选 B。 点评:本题要求学生掌握

AB | AB |

为 AB 上的单位向量,以及菱形的对角线平分角等知识。

-2-

例 4. (2006 年陕西卷理)已知非零向量 AB 与 AC 满足 (

AB | AB |

?

AC | AC |


) ? BC ? 0 且

AB

?

AC

?

| AB | | AC |

1 ,则△ABC 为 2



A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 思路分析: 1.根据四个选择支的特点:本题可采用验证法来处理,不妨先验证等边三角形,刚好 适合题意,则可同时排除其他三个选择支,故选 D。 2.由于

AB | AB |

?

AC | AC |

所在直线穿过△ABC 的内心,则由 (

AB | AB |

?

AC | AC |

) ? BC ? 0 知,

AB ? AC (等腰三角形的三线合一定理) ;又

AB

?

AC

?

| AB | | AC |

1 ? ,所以 ?A ? ,即△ABC 2 3

为等边三角形,故选 D。 点评:思路 1 抓住了该题选择支的特点而采用了验证法,是处理本题的巧妙方法;思路 2 要求学生掌握

AB | AB |

是与 AB 同向的单位向量,并能领会向量表达式与三角形的内心的关

系。 四、外心 (人教版第一册(下)第 151 页第 6 题)已知点 O 是△ABC 所在平面内一点,

OA ? OB ? OC ? 0, | OA |?| OB |? OC |? 1 求证:△ABC 是正三角形。由已知条件可知,△
ABC 的重心、外心都是点 O,因此△ABC 为正三角形。 例 5. (2005 年全国卷)△ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H,

OH ? m(OA ? OB ? OC ) ,则实数 m=_____________
思路分析:1.特殊法:设△ABC 为直角三角形,则 O 为斜边 BC 中点,H 与 A 重合,所以

OA ? mOA ,即 m=1。
2 . 由 AH ? OH ? OA ? m(OA ? OB ? OC ) ? OA ? (m ? 1)OA ? m(OB ? OC ) , 又

AH ? BC ,因此 AH ? BC ? 0 ,即 (OH ? OA) ? (OC ? OB ) ? 0 ,所以
(m ? 1)OA ? (OC ? OB ) ? m(OB ? OC ) ? (OC ? OB ) ? 0 ,
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又 (OB ? OC ) ? (OC ? OB ) ? OC ? OB ? 0 ,且 OA ? (OC ? OB ) ? 0 ,因此 m=1。 3 . 利 用 特 殊 法 推 得 m=1 , 下 面 来 证 明 A H G O B C D

2

2

OH ? OA ? OB ? OC ,即 AH ? OB ? OC 。设 BC
中点为 D,连线 AD、OH 且 AD ? OH ? G ,且 G 为重 心,因此 AG ? 2GD ,又 AH ? BC , OD ? BC ,则 AH ∥ OD , 可 得 △ AHG ∽ △ DOG , 所 以

AH ? 2OD ? OB ? OC 。
点评:思路 1 利用特殊法;思路 2 利用实数与向量的乘法进行运算;思路 3 对特殊性进行证 明,运用了△ABC 的外心、垂心、重心三心共线,再利用三角形相似,巧妙地证明结论。

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