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北京市西城区2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题及答案word版


北京市西城区 2014 - 2015 学年高一下学期期末考试数学试题
试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟 A 卷 [必修 模块 3] 本卷满分:50 分 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分。共 32 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合要求的。 1. 对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三

种 不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率依次为 P1,P2,P3,则( A. P1=P2<P3 B. P2=P3<P1 C. P1=P3<P2 D. P1=P2=P3 ) )

2. 从 1,2,3,4 这四个数中一次随机选取两个数,所取两个数之和为 5 的概率是( A.

1 6

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2

3. 执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( )

A. 2

B.

3 2

C.

5 3

D.

8 5

4. 某校对高一年级学生的数学成绩进行统计,全年 级同学的成绩全部介于 60 分与 100 分之间, 将他们的成绩数据绘制成如图所示的频率分布直方图。现从全体学生中,采用分层抽样的方法抽取 60 名同学的试卷进行分析,则从成绩在[90,100]内的学生中抽取的人数为( )

A. 24

B. 18

C. 15

D. 12

5. 投掷一颗骰子,掷出的点数构成的基本事件空间是 ? ={1,2,3,4,5,6}。设事件 A={1,3}, B={3,5,6},C={2,4,6},则下列结论中正确的是( A. A,C 为对立事件 B. A,B 为对立事件 C. A,C 为互斥事件,但不是对立事件 D. A,B 为互斥事件,但不是对立事件 6. 下图是 1,2 两组各 7 名同学体重(单位:千克)数据的茎叶图。设 1,2 两组数据的平均数依 )

次为 x 1 和 x 2 ,标准差依次为 s1 和 s2,那么(



(注:标准差 s= 均数) A. x 1 < x 2 ,s1<s2 C. x 1 > x 2 ,s1>s2 7. 下图给出的是计算 等式为( )

1 [(x 1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ? ( x n ? x) 2 ,其中 x1 为 x1,x2,…,xn 的平 n

B. x 1 < x 2 ,s1>s2 D. x 1 > x 2 ,s1<s2

1 1 1 1 1 ? ? ? ??? 的一个程序框图,则判断框内应填 入关于 i 的不 2 4 6 8 100

A. i<50 B. i>50 C. i<51 D. i>51 8. 袋中装有 5 个小球,颜色分别是红色、黄色、白色、黑色和紫色,现从袋中随机抽取 3 个小球。 设每个小球被抽到的机会均等,则抽到白球或黑球的概率为( A. )

2 5

B.

3 5

C.

2 3

D.

9 10

二、解答题:本大题共 2 小题,共 18 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 9 . (本小题满分 9 分) 从某校高一年级随机抽取 n 名学生,获得了他们日平均睡眠时间(单位:小时)的数据,整理 得到数据分组及频数分布表: 组号 1 2 3 4 5 分组 [5,6) [6,7) [7,8) [8,9) [9,10) a b 0.16 频数 2 频率 0.04 0.20

(I)求 n 的值; (Ⅱ)若 a=10,补全表中数据,并绘制频率分布直方图; (Ⅲ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替。若上述数据的平均值为 7.84,求 a,b 的值,并由此估计该校高一学生的日平均睡眠时间不少于 8 小时的概率。 10. (本小题满分 9 分) 已知关于 x 的一元二次方程 x2-2ax+b2=0,其中 a,b ? R。 (I)若 a 随机选自集合{0,1,2,3,4},b 随机选自集合{0,1,2,3},求方程有实根的概率; (Ⅱ)若 a 随机选自区间[0,4],b 随机选自区间[0,3],求方程有实根的概率。

B 卷[学期综合] 本卷满分:100 分 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合要求的。 1. 数列{an)满足 a1=1,an+1=an-3(n ? N*),则 a4=( A. 10 B. 8 C. -8 ) D. a3>b3 ) 2. 设 a,b ? R,且 a>b,则下列结论中正确的是( A. ) D. -10

a >l b

B.

1 1 < a b

C. a > b

3. 在等比数列{an}中,a1=2,a4= A. 17 B. 16

1 - 。若 am=2 15,则 m=( 4
C. 14 D. 13

? x ? y, ? 4. 若实数 x,y 满足 ? y ? 0, 则 z=x+3y 的最大值是( ?2 x ? y ? 3 ? 0, ?
A. 6 B. 4 C.



3 2

D. 0 )

5. 在△ ABC 中,若 asinA=bsinB,则△ABC 的形状一定是( A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形

D. 钝角三角形 )

6. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn。若 S2k+1>0,则一定有( A. ak>0 B. Sk>0 C. ak+l>0 D. Sk+l>0

7. 已知数列{an}的前 n 项的乘积为 Tn=2n-c,其中 c 为常数,n∈ N*。若 a4=3,则 c=( A. 4 B. 3 C. 2 D. 1



?2 x ? 3y ? 0, ? 8. 设不等式组 ?3x ? 4 y ? 0, 表示的平面区域是 W,则 W 中的整点(横、纵坐标均为整数的 ?5x ? 7 y ? 20 ? 0 ?
点)个数是( A. 231 ) B. 230 C. 219 D. 218

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分。把答案填在题中横线上。 9. 不等式 x2<2x 的解集为_____________。 10. 在△ABC 中,若 a=1,b=2,cosC=

1 ,则 c=_____________。 4

11. 已知等差数列{an}的各项均为正整数,且 a8=2015,则 a1 的最小值是_________。 12. 函数 f(x)=x+

1 (x>1)的最小值是_____________;此时 x=_____________。 x ?1

13. 设 a∈R,n∈N*,求和:l+a+a2+a3+…+an=_____________。 14. 设数列{an}的通项公式为 an=3n(n∈N*)。数列{bn}定义如下:对任意 m∈N*,bm 是数列{an} 中不大于 32m 的项的个数,则 b3=_____________;数列{bm}的前 m 项和 Sm=_____________。

三、解答题:本大题共 4 小题,共 44 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15. (本小题满分 10 分) 已知数列{an}是首项为 1,公比为 q 的等比数列。 (I)证明:当 0<q<1 时,{an}是递减数列; (II)若对任意 k∈N*,都有 ak,ak+2,ak+1 成等差数列,求 q 的值。 16. (本小题满分 10 分) 已知△ABC 为锐角三角形,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,且 3 a=2csinA。

(I)求角 C; (II)当 c= 2 3 时,求:△ABC 面积的最大值。 17. (本小题满分 12 分) 设 m ? R,不等式 mx2-(3m+1)x+2(m+1)>0 的解集记为集合 P。 (I)若 P=( x -1<x<2),求 m 的值; (Ⅱ)当 m>0 时,求 集合 P; (III)若{ x -3<x<2} ? P,求 m 的取值范围。 18. (本小题满分 12 分) 已知数列{an}的通项公式为 an=2n+(-1)n+1·(1+ ? n),其中是常数,n∈N*。 (I)当 an=-1 时,求 ? 的值; (Ⅱ)数列{an}是否可能为等差数列?证明你的结论; (Ⅲ)若对于任意 n∈N*,都有 an>0,求 ? 的取值范围。

参考答案 A 卷 [必修 模块 3] 本卷满分:50 分 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分。 1. D 2. C 3. C 4. B 5. C 6. A 7. B 8. D

二、解答题:本大题共 2 小题,共 18 分。 9. (本小题满分 9 分) (I)解:n=

2 ? 50 0.04

1分

(II)解:补全数据见下表(3 分); 组号 1 2 3 4 5 频率分布直方图见下图: 分组 [5,6) [6,7) [7,8) [8,9) 频数 2 10 10 20
]

频率 0.04 0.20 0.20 0.40 0.16

[9,10) 8 5分

?1 ? (2 ? 5.5 ? 10 ? 6.5 ? a ? 7.5 ? b ? 8.5 ? 8 ? 9.5) ? 7.84, (III)解:依题意,得 ? 50 ? ?2 ? 10 ? a ? b ? 8 ? 50,
7分 解得 ?

?a ? 15, ?b ? 15,

8分

设“该校高一学生的日平均睡眠时间不少于 8 小时”为事件 A,

则 P(A)=

15 ? 8 23 ? ? 0.46 。 50 50

9分

10. (本小题满分 9 分) (I) 解: 设 “关于 x 的一元二次方程 x2-2ax+b2=0 有实根” 为事件 A, 由 ? ? (?2a ) 2 ? 4b 2 ? 0 , 得a ? b 。
2 2

因为 a≥0,b≥0, 所以 a≥b 时事件 A 发生。 (I)的基本事件 共 20 个:(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1), (1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2), (3,3),(4,0),(4,1),(4,2),(4,3) 3分 事件 A 包含 14 个基本事件, 所以 P(A)= 4分 5分

14 7 ? 。 20 10

(II)解:因为 a ? [0,4], b ? [0,3] , 则 试 验 的 全 部 结 果 构 成 区 域 ? ={ ( a,b ) 0 ≤ a ≤ 4,0 ≤ a ≤ 4,0 ≤ b ≤ 3}, ? 的 面 积 为

? ? ? 3 ? 4 ? 12

6分

事 件 A 所 构 成 的 区 域 A={ ( a,b ) 0 ≤ a ≤ 4,0 ≤ b ≤ 3,a ≥ b} , A 的 面 积 为

?A ? 3? 4 ?

1 15 ? 3? 3 ? 。 2 2

8分

所以 P(A)=

?A ??

15 5 ? 2 ? 。 12 8

9分

B 卷 [学期综合] 满分 100 分 一、选择题:本大题共 8 小题,每 小题 4 分,共 32 分。 1. C 2. D 3. A 4. B 5. B 6. C 7. A 8. A

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分。 9. { x 0<x<2}; 10. 2

11. 6

12. 3,2

?n ? 1, a ? 1, ? 13. ?1 ? a n ?1 , a ? 1. ? ? 1? a

14. 243, (9 ? 1) 。
m

3 8

注:12、14 题,每空 2 分;13 题少解给 2 分, 有错解不得分。

三、解答题:本大题共 4 小题,共 44 分。 15. (本小题满分 10 分) (I)证明: 因为数列{an}是首项为 1,公比为 q 的等比数列, 所以 an=qn 1, n ? N 。


*

1分
n-1

所以 an+1-an=qn-q

n-1

=q

(q-1)

3分

当 0<q<1 时,有 qn 1>0,q-1<0,


所以 an+1-an<0, n ? N 。
*

5分

所以{an}是递减数列。 (II)解:因为 ak,ak+2,ak+1 成等差数列, 所以 2ak+2-(ak+ak+1)=0, 其中 k ? N 。
*

6分

即 2q

k+1

-(q

k-1

+q )=0, 7分

k

整理得 q k ?1 ? (2q 2 ? q ? 1) ? 0 。 因为 q≠0, 所以 2q2-q-1=0, 解得 q=1,或 q= ?

8分 10 分

1 。 2 a c ? , sin A sin C

16. (本小题满分 10 分) (I)解:由正弦定理得 1分

将已知代入得 sinC=

3 。 2
? , 2

2分

因为△ABC 为锐角三角形,所以 0<C<

3分

所以 C=

? 。 3

4分 5分 6分

(II)证明:由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcosC, 即 12=a2+b2-ab, 又 a2+b2-ab≥2ab-ab=ab 所以 ab≤12。 所以△ABC 的面积 S=

8分

1 3 absinC= ab≤3 3 , 2 4

9分

当且仅当 a=b,即△ABC 为等边三角形时,△ABC 的面积取到 3 3 。

所以△ABC 面积的最大值为 3 3 。

10 分

17. (本小题满分 12 分) (I)解:因为 P={ x -1<x<2}, 所以方程 mx2-(3m+1)x+2(m+1)=0 的两根为-1 和 2。 将 x=-1 代入上述方程,得 m(-1)2-(3m+1)(-1)+2(m+1)=0, 解得 m= ? 1分 2分

1 。 2

3分 4分

(II)解:不等式 mx2-(3x+1)x+2(2m+1)>0 可化为(x-2)[mx-(m+1)]>0。 当 m>0 时,方程 m(-1)2-(3m+1)(-1)+2(m+1)=0 的两根为

m ?1 和2 2

①当

m ?1 =2,即 m=1 时,解得 x≠2。 m m ?1 m ?1 >2,即 0<m<1 时,解得 x<2 或 x> 。 m m m ?1 m ?1 <2,即 m>1 时,解得 x< 或 x>2。 m m

5分

②当

6分

③当

7分

综上,当 0<m<1 时,P={ x x<2 或 x> P={ x x<

m ?1 };当 m=1 时,P={ x x ? R ,且 x≠2};当 m>1 时, m

m ?1 或 x>2}。 m

(III)解:依题意,当 x ? (?3,2) 时,不等式 mx2-(3m+1)x+2(m+1)>0 恒成立。 当 m=0 时,原不等式化为-x+2>0,即 P={ x x<2},适合题意。 当 m>0 时,由(II)可得 0<m≤1 时,适合题意。 当 m>0 时,因为 9分 8分

m ?1 1 m ?1 ? 2 ,所以 P={ x =1+ <x<2}。 10 分 m m m
11 分

此时必有

m ?1 1 ≤-3 成立,解得 ? ? m ? 0 。 m 4 1 ,1 ]。 4

综上,若{ x -3<x<2} ? P ,则 m 的取值范围是[ ? 18. (本小题满分 12 分) (I)解:因为 an=2n+(-1)n+1 ? (1 ? ?n)(n ? N ) ,
*

12 分

所以 n=2 时,a2=3-2 ? 。 由 3-2 ? =-1,

1分

解得 ? =2。 (II)解:数列{an}不可能为等差数列,证明如下: 由 an=2n+(-1)n+1 ? (1 ? ?n)(n ? N* ) ,得 a1=3+ ? ,a2=3-2 ? ,a3=7+3 ? ,a4=7-4 ? 。 若存在 ? ,使{an}为等差数列,则 2a2=a1+a3, 即 2(3-2 ? )=(3+ ? )+(7+3 ? ), 解得 ? = ?

2分

4分 5分

1 。 2

6分

于是,a2-a1=-3 ? =

3 7 ,a4-a3=-7 ? = ,这与{an}为等差数列矛盾! 2 2
7分

所以,对任意实数 ? ,{an}都不可能是等差数列。 (III)解:由 an>0,得 2n+(-1)n+1 ? (1 ? ?n ) ? 0 ,

(?1) n ?1 * 将上式变形为(-1) ? ? ? 2 ? ,其中 n ? N 。 n
n



(i)当 n 为正偶数时,①式化简为 ? ? 2 ? 因为 2-

1 。 n

1 随着正偶数 n 的增大而增大, n 1 3 = 。 2 2
9分
]

欲使上式对于任意正偶数恒成立,则 ? <2 ?

(ii)当 n 为正奇数时,①式化简为 ? ? ?2 ? 因为 ? 2 ?

1 。 n

1 随着正奇数 n 的增大而增大, n
11 分

欲使上式对于任意正奇 数恒成立,则 ? ? ?2 。
*

综上,若对于任意 n ? N ,都有 an>0,则 ? 的取值范围是[-2,

3 )。 12 分 2


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