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湖南省长沙市长郡中学2015届高三数学上学期第二次月考试卷 理(含解析)


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湖南省长沙市长郡中学 2015 届高三上学期第二次月考数学试卷(理 科)
一、选择题:本大题共 10 小题,没小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)“x<0”是“ln(x+1)<0”的() A. 充分不必要条件 B.

必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. (5 分)已知函数 y=x ﹣3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则 c=() A. ﹣2 或 2 B. ﹣9 或 3 C. ﹣ 1 或 1 D. ﹣3 或 1
3

3. (5 分)已知函数 f(x)=sinω x 在上单调递增且在这个区间上的最大值为 的一个值可以是() A. B. C. D.

,则实数 ω

4. (5 分)已知向量 与 的夹角为 θ ,定义 × 为 与 的“向量积”,且 × 是一个向量, 它的长度| × |=| || |sinθ ,若 =(2,0) , ﹣ =(1,﹣ A. 4 B. C. 6 ) ,则| ×( + )|=() D. 2

5. (5 分)一几何体的三视图如图,该几何体的顶点都在球 O 的球面上,球 O 的表面积是()

A. 2π

B. 4π

C. 8π

D. 16π

6. (5 分)设 l 为直线,α ,β 是两个不同的平面,下列命题中正确的是() A. 若 l∥α ,l∥β ,则 α ∥β B. 若 l⊥α ,l⊥β ,则 α ∥β C. 若 l⊥α ,l∥β ,则 α ∥β D. 若 α ⊥β ,l∥α ,则 l⊥β 7. (5 分)已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,下列选项中不可能是关于(n,Sn)的图象的是 ()

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A.

B.

C.

D.
n

8. (5 分)在数列{an}中,a1=1,对于任意自然数 n,都有 an+1=an+n?2 ,则 a15=() 15 14 15 15 A. 14?2 +2 B. 13?2 +2 C. 14?2 +3 D. 13?2 +3 9. (5 分)我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而 一,所得开立方除之,即立圆径,“开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V,求其直径 d 的 一个近似公式 d≈ .人们还用过一些类似的近似公式.根据 π =3.14159?..判断,下

列近似公式中最精确的一个是() A. d≈ B. d≈ C. d≈ D. d≈

10. (5 分)已知数列{an}的通项公式为 an=|n﹣13|,则满足 ak+ak+1+?+ak+19=102 的整数 k() A. 有 3 个 B. 有 2 个 C. 有 1 个 D. 不存在

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡中对应题号后的横 线上. 11. (5 分)复数 =.

12. (5 分)已知圆柱 Ω 的母线长为 l,底面半径为 r,O 是上底面圆心,A,B 是下底面圆周 上两个不同的点,BC 是母线,如图,若直线 OA 与 BC 所成角的大小为 ,则 =.

13. (5 分)若△ABC 中,已知

?

=tanA,当 A=

时,△ABC 的面积为.

14. (5 分)定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离,已知 2 2 2 曲线 C1:y=x +a 到直线 l:y=x 的距离等于曲线 C2:x +(y+4) =2 到直线 l:y=x 的距离,则 实数 a=.

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15. (5 分)已知在平面直角坐标系中有一个点列:P1(0,1) ,P2(x2,y2) ,?, .若点 Pn(xn,yn)到点 Pn+1(xn+1,yn+1)的变化关系为:

(n∈N ) ,则|P2013P2014|等于.

*

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知函数 f(x)= x= sin(ω x+φ ) (ω >0,﹣ ≤φ < )的图象关于直线

对称,且图象上相邻两个最高点的距离为 π .

(Ⅰ)求 ω 和 φ 的值; (Ⅱ)若 f( )= ( <α < ) ,求 cos(α + )的值.

17. (12 分)如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠ACB=90°,AA1=3,AC=BC=2,D 为 AB 中点,E 为 BB1 上一点,且 =λ .

(Ⅰ)当 λ = 时,求证:CE⊥平面 A1C1D; (Ⅱ)若直线 CE 与平面 A1DE 所成的角为 30°,求 λ 的值.

18. (12 分)函数 f(x)=ax +3x +3x(a≠0) . (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)若 f(x)在区间(1,2)是增函数,求 a 的取值范围. 19. (12 分)已知函数 f(x)=m+logax(a>0 且 a≠1)的图象过点(8,2) ,点 P(3,﹣1) 关于直线 x=2 的对称点 Q 在 f(x)的图象上. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)令 g(x)=2f(x)﹣f(x﹣1) ,求 g(x)的最小值及取得最小值时 x 的值.

3

2

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 20. (13 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若对任意的正整数 n,总存在正整数 m,使得 Sn=am, 则称{an}是“H 数列”. n * (1)若数列{an}的前 n 项和为 Sn=2 (n∈N ) ,证明:{an}是“H 数列”; (2)设{an}是等差数列,其首项 a1=1,公差 d<0,若{an}是“H 数列”,求 d 的值; * (3)证明:对任意的等差数列{an},总存在两个“H 数列”{bn}和{cn},使得 an=bn+cn(n∈N ) 成立. 21. (14 分)已知函数 f(x)= (其中 k∈R) ,f′(x)为 f(x)的导函数.

(Ⅰ)求证:曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线不过点(2,0) ; (Ⅱ)若在区间(0,1]中存在 x0,使得 f′(x0)=0,求 k 的取值范围; (Ⅲ)若 f′(1)=0,试证明:对任意 x>0,f′(x)< 恒成立.

湖南省长沙市长郡中学 2015 届高三上学期第二次月考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 10 小题,没小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)“x<0”是“ln(x+1)<0”的() A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点: 充要条件. 专题: 计算题;简易逻辑. 分析: 根据不等式的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论. 解答: 解:∵x<0,∴x+1<1,当 x+1>0 时,ln(x+1)<0; ∵ln(x+1)<0,∴0<x+1<1,∴﹣1<x<0,∴x<0, ∴“x<0”是 ln(x+1)<0 的必要不充分条件. 故选:B. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的性质是解决本题的关键, 比较基础. 2. (5 分)已知函数 y=x ﹣3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则 c=() A. ﹣2 或 2 B. ﹣9 或 3 C. ﹣ 1 或 1 D. ﹣3 或 1 考点: 利用导数研究函数的极值;函数的零点与方程根的关系. 专题: 计算题. 3 分析: 求导函数,确定函数的单调性,确定函数的极值点,利用函数 y=x ﹣3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,可得极大值等于 0 或极小值等于 0,由此可求 c 的值. 解答: 解:求导函数可得 y′=3(x+1) (x﹣1) ,
3

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 令 y′>0,可得 x>1 或 x<﹣1;令 y′<0,可得﹣1<x<1; ∴函数在(﹣∞,﹣1) , (1,+∞)上单调增, (﹣1,1)上单调减, ∴函数在 x=﹣1 处取得极大值,在 x=1 处取得极小值. 3 ∵函数 y=x ﹣3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点, ∴极大值等于 0 或极小值等于 0. ∴1﹣3+c=0 或﹣1+3+c=0, ∴c=﹣2 或 2. 故选:A. 点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与极值,解题的关键是利用极大值等 于 0 或极小值等于 0.

3. (5 分)已知函数 f(x)=sinω x 在上单调递增且在这个区间上的最大值为 的一个值可以是() A. B. C. D.

,则实数 ω

考点: 三角函数的周期性及其求法;正弦函数的定义域和值域. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 由增函数的意义可知,f( )= ,从而可求实数 ω 的一个值. ,

解答: 解:∵f(x)=sinω x 在上单调递增且在这个区间上的最大值为 ∴f( )=sin ω= ω= , ,

依题意知, ∴ω = .

故选 C. 点评: 本题考查正弦函数的单调性与最值,考查三角函数的周期,属于中档题.

4. (5 分)已知向量 与 的夹角为 θ ,定义 × 为 与 的“向量积”,且 × 是一个向量, 它的长度| × |=| || |sinθ ,若 =(2,0) , ﹣ =(1,﹣ A. 4 B. C. 6 ) ,则| ×( + )|=() D. 2

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用数量积运算和向量的夹角公式可得 = .再利用

平方关系可得

,利用新定义即可得出.
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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解:由题意 则 ∴ =6, , = =2 , =2. ,



=

=

=



即 得 由定义知

, , ,

故选:D. 点评: 本题考查了数量积运算、向量的夹角公式、三角函数的平方关系、新定义,考查了 计算能力,属于基础题. 5. (5 分)一几何体的三视图如图,该几何体的顶点都在球 O 的球面上,球 O 的表面积是()

A. 2π

B. 4π

C. 8π

D. 16π

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离;球. 分析: 几何体为三棱锥,且三棱锥的一条侧棱与底面垂直,底面为等腰直角三角形,取 O 为 SC 的中点,可证 OS=OC=OA=OB,由此求得外接球的半径,代入球的表面积公式计算. 解答: 解:由三视图知:几何体为三棱锥,且三棱锥的一条侧棱与底面垂直,高为 2, 底面为等腰直角三角形,如图:SA⊥平面 ABC,SA=2,AC 的中点为 D, 在等腰直角三角形 SAC 中,取 O 为 SC 的中点,∴OS=OC=OA=OB, ∴O 为三棱锥外接球的球心,R= , ∴外接球的表面积 S=4π × 故选:C. =8π .

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点评: 本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积,判断几何体的特征性质及数据所 对应的几何量是关键. 6. (5 分)设 l 为直线,α ,β 是两个不同的平面,下列命题中正确的是() A. 若 l∥α ,l∥β ,则 α ∥β B. 若 l⊥α ,l⊥β ,则 α ∥β C. 若 l⊥α ,l∥β ,则 α ∥β D. 若 α ⊥β ,l∥α ,则 l⊥β 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系;空间中直线与平面之间的位置关系;平面与平 面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法,可判断 A; 根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征,可判断 B; 根据线面平行的性质定理,线面垂直及面面垂直的判定定理,可判断 C; 根据面面垂直及线面平行的几何特征,可判断 D. 解答: 解:若 l∥α ,l∥β ,则平面 α ,β 可能相交,此时交线与 l 平行,故 A 错误; 若 l⊥α ,l⊥β ,根据垂直于同一直线的两个平面平行,可得 B 正确; 若 l⊥α ,l∥β ,则存在直线 m? β ,使 l∥m,则 m⊥α ,故此时 α ⊥β ,故 C 错误; 若 α ⊥β ,l∥α ,则 l 与 β 可能相交,可能平行,也可能线在面内,故 D 错误; 故选 B 点评: 本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系,直线与平面的位置关系及平面 与平面之间的位置关系,熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键. 7. (5 分)已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,下列选项中不可能是关于(n,Sn)的图象的是 ()

A.

B.

C.

D.

考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 2 * 分析: 根据等差数列{an}的前 n 项和是 sn=an +bn, (其中 a、b 为常数,且 n∈N ) ,它表示 过原点的一条曲线,对每一个选项进行判定即可.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解:∵Sn 是等差数列{an}的前 n 项和, 2 * ∴设 sn=an +bn, (a、b 为常数,且 n∈N ) , 它表示过原点的一条曲线,当 a=0 时,是直线,如选项 C, 当 a≠0 时,是抛物线,如选项 A、B; 选项 D 的曲线不过原点,∴不合题意. 故选:D. 点评: 本题考查了等差数列的前 n 项和公式的应用问题,解题时应根据等差数列的前 n 项 和公式进行分析,是基础题. 8. (5 分)在数列{an}中,a1=1,对于任意自然数 n,都有 an+1=an+n?2 ,则 a15=() 15 14 15 15 A. 14?2 +2 B. 13?2 +2 C. 14?2 +3 D. 13?2 +3 考点: 数列递推式. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 在数列递推式中依次取 n=1,2,3?,n﹣1.得到 n﹣1 个等式,累加后再利用错位 相减法求解 an,则答案可求. n 解答: 解:∵an+1=an+n?2 , ∴ , , ? , . 累加得:an﹣a1=1?2 +2?2 +3?2 +?+(n﹣1)?2 ① 2 3 4 n﹣1 n 又 2an﹣2a1=1?2 +2?2 +3?2 +?+(n﹣2)?2 +(n﹣1)?2 ② 2 3 4 n﹣1 n ①﹣②得:﹣an+a1=2+2 +2 +2 +?+2 ﹣(n﹣1)?2 = ∴
15 1 2 3 n﹣1 n



=(2﹣n)?2 ﹣2. .

n

∴a15=13?2 +3. 故选:D. 点评: 本题考查数列递推式,考查了累加法求数列的通项公式,训练了错位相减法求数列 的和,是中档题. 9. (5 分)我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而 一,所得开立方除之,即立圆径,“开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V,求其直径 d 的

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 一个近似公式 d≈ .人们还用过一些类似的近似公式.根据 π =3.14159?..判断,下

列近似公式中最精确的一个是() A. d≈ B. d≈ C. d≈ D. d≈

考点: 进行简单的演绎推理. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 根据球的体积公式求出直径,然后选项中的常数为 ,表示出 π ,将四个选项逐一代 入,求出最接近真实值的那一个即可. 解答: 解:由 V= ,解得 d= 设选项中的常数为 ,则 π =

选项 A 代入得 π = 选项 C 代入得 π =

=3.375;选项 B 代入得 π = =3; =3.14;选项 D 代入得 π = =3.142857

由于 D 的值最接近 π 的真实值 故选 D. 点评: 本题主要考查了球的体积公式及其估算,同时考查了计算能力,属于中档题. 10. (5 分)已知数列{an}的通项公式为 an=|n﹣13|,则满足 ak+ak+1+?+ak+19=102 的整数 k() A. 有 3 个 B. 有 2 个 C. 有 1 个 D. 不存在 考点: 数列的概念及简单表示法. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 根据数列的通项公式,去绝对值符号,因此对 k 进行讨论,进而求得 ak+ak+1+?+ak+19 的表达式,解方程即可求得结果. 解答: 解:∵an=|n﹣13|= ∴若 k≥13,则 ak=k﹣13, ∴ak+ak+1+?+ak+19= =102,与 k∈N 矛盾,
*



∴1≤k<13, ∴ak+ak+1+?+ak+19=(13﹣k)+(12﹣k)+?+0+1+?+(k+6) = =102

解得:k=2 或 k=5 ∴满足 ak+ak+1+?+ak+19=102 的整数 k=2,5, 故选 B. 点评: 本题考查根据数列的通项公式求数列的和,体现了分类讨论的数学思想,去绝对值 是解题的关键,考查运算能力,属中档题.

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二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡中对应题号后的横 线上. 11. (5 分)复数 =﹣2i.

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数,可得结果. 解答: 解:复数 = = =﹣2i,

故答案为:﹣2i. 点评: 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用,属于基础题. 12. (5 分)已知圆柱 Ω 的母线长为 l,底面半径为 r,O 是上底面圆心,A,B 是下底面圆周 上两个不同的点,BC 是母线,如图,若直线 OA 与 BC 所成角的大小为 ,则 = .

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 空间角. 分析: 过 A 作与 BC 平行的母线 AD,由异面直线所成角的概念得到∠OAD 为 形 ODA 中,直接由 得到答案. .在直角三角

解答: 解:如图, 过 A 作与 BC 平行的母线 AD,连接 OD, 则∠OAD 为直线 OA 与 BC 所成的角, 大小为 . ,所以 .

在直角三角形 ODA 中,因为 则 .

故答案为

点评: 本题考查了异面直线所成的角,考查了直角三角形的解法,是基础题.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 13. (5 分)若△ABC 中,已知 ? =tanA,当 A= 时,△ABC 的面积为 .

考点: 平面向量数量积的运算;三角形的面积公式. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由条件利用两个向量的数量积的定义,求得 AB?AC= ,再根据△ABC 的面积为 AB?AC?sinA,计算求得结果. 解答: 解:△ABC 中,∵ ∴当 A= 时,有 AB?AC? = ? =AB?AC?cosA=tanA, ,解得 AB?AC= ,

△ABC 的面积为 故答案为: .

AB?AC?sinA= × × = ,

点评: 本题主要考查两个向量的数量积的定义,三角形的面积公式,属于基础题. 14. (5 分)定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离,已知 2 2 2 曲线 C1:y=x +a 到直线 l:y=x 的距离等于曲线 C2:x +(y+4) =2 到直线 l:y=x 的距离,则 实数 a= .

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;点到直线的距离公式. 专题: 导数的概念及应用. 2 2 2 分析: 先根据定义求出曲线 C2: x+ (y+4)=2 到直线 l: y=x 的距离, 然后根据曲线 C1: y=x +a 的切线与直线 y=x 平行时,该切点到直线的距离最近建立等式关系,解之即可. 2 2 解答: 解:圆 x +(y+4) =2 的圆心为(0,﹣4) ,半径为 , 圆心到直线 y=x 的距离为
2 2

=2

, ﹣ = .

∴曲线 C2:x +(y+4) =2 到直线 l:y=x 的距离为 2 2 则曲线 C1:y=x +a 到直线 l:y=x 的距离等于 , 令 y′=2x=1 解得 x= ,故切点为( , +a) , 切线方程为 y﹣( +a)=x﹣ 即 x﹣y﹣ +a=0, 由题意可知 x﹣y﹣ +a=0 与直线 y=x 的距离为 ,



解得 a= 或﹣ .
2

当 a=﹣ 时直线 y=x 与曲线 C1:y=x +a 相交,故不符合题意,舍去.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 故答案为: . 点评: 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及点到直线的距离的计算, 同时考查了分析求解的能力,属于中档题. 15. (5 分)已知在平面直角坐标系中有一个点列:P1(0,1) ,P2(x2,y2) ,?, .若点 Pn(xn,yn)到点 Pn+1(xn+1,yn+1)的变化关系为:

(n∈N ) ,则|P2013P2014|等于 2

*

1006



考点: 进行简单的合情推理. 专题: 计算题;推理和证明. 分析: 由题设知 P1(0,1) ,P2(1,1) ,P3(0,2) ,P4(2,2) ,P5(0,4) ,?,寻找其规 律,即可求出|P2013P2014|. 解答: 解:由题设知 P1(0,1) ,P2(1,1) ,P3(0,2) ,P4(2,2) ,P5(0,4) ,? ∴|P1P2|=1,|P2P3|= ,|P3P4|=2,|P4P5|= ,?, ∴|P2013P2014|=
1006

=2

1006



故答案为:2 . 点评: 本题考查合情推理,考查学生对新定义的理解,考查学生分析解决问题的能力,属 于中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知函数 f(x)= x= sin(ω x+φ ) (ω >0,﹣ ≤φ < )的图象关于直线

对称,且图象上相邻两个最高点的距离为 π .

(Ⅰ)求 ω 和 φ 的值; (Ⅱ)若 f( )= ( <α < ) ,求 cos(α + )的值.

考点: 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换;运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)由题意可得函数 f(x)的最小正周期为 π 求得 ω =2.再根据图象关于直线 x= 对称,结合﹣ ≤φ < 可得 φ 的值. )= .再根据 α ﹣ 的范围求得 cos(α ﹣ )的值,再根

(Ⅱ)由条件求得 sin(α ﹣ 据 cos(α +

)=sinα =sin,利用两角和的正弦公式计算求得结果. =π ,∴ω =2.

解答: 解: (Ⅰ)由题意可得函数 f(x)的最小正周期为 π ,∴

- 12 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 再根据图象关于直线 x= 结合﹣ ≤φ < )= )= < 对称,可得 2× . ) , )= . +φ =kπ + ,k∈z.

可得 φ =﹣ (

(Ⅱ)∵f( ∴

<α <

sin(α ﹣

,∴sin(α ﹣ ,

再根据 0<α ﹣ ∴cos(α ﹣ ∴cos(α + = + )=

= )cos

, +cos(α ﹣ )sin

)=sinα =sin=sin(α ﹣ = .

点评: 本题主要考查由函数 y=Asin(ω x+φ )的部分图象求函数的解析式,两角和差的三 角公式、的应用,属于中档题. 17. (12 分)如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠ACB=90°,AA1=3,AC=BC=2,D 为 AB 中点,E 为 BB1 上一点,且 =λ .

(Ⅰ)当 λ = 时,求证:CE⊥平面 A1C1D; (Ⅱ)若直线 CE 与平面 A1DE 所成的角为 30°,求 λ 的值.

考点: 直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)建立空间直角坐标系,证明 ,即可证明 CE⊥平面

A1C1D; (Ⅱ) 求出平面 A1DE 的一个法向量, 直线 CE 的向量, 根据直线 CE 与平面 A1DE 所成的角为 30°, 利用向量的夹角公式,即可求 λ 的值. 解答: (Ⅰ)证明:建立空间直角坐标系如图所示,则 C(0,0,0) ,A(2,0,0) ,B(0, 2,0) ,A1(2,0,3) ,B1(0,2,3) ,C1(0,0,3) ,D(1,1,0) ,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∵ ∴ 又 ∴ ∴CE⊥平面 A1C1D;?(6 分) (Ⅱ)解:由题知 , ∴平面 A1DE 的一个法向量为 ?(9 分) , , , , ,∴ , ?(3 分)





解得 λ =2.?(13 分)

点评: 本题考查线面垂直,考查直线与平面所成的角,考查向量知识的运用,确定向量的 坐标是关键. 18. (12 分)函数 f(x)=ax +3x +3x(a≠0) . (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)若 f(x)在区间(1,2)是增函数,求 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用.
3 2

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: (Ⅰ) 求出函数的导数, 通过导数为 0, 利用二次函数的根, 通过 a 的范围讨论 f (x) 的单调性; (Ⅱ)当 a>0,x>0 时,f(x)在区间(1,2)是增函数,当 a<0 时,f(x)在区间(1,2) 是增函数,推出 f′(1)≥0 且 f′(2)≥0,即可求 a 的取值范围. 3 2 解答: 解: (Ⅰ)函数 f(x)=ax +3x +3x, 2 ∴f′(x)=3ax +6x+3, 2 令 f′(x)=0,即 3ax +6x+3=0,则△=36(1﹣a) , ①若 a≥1 时,则△≤0,f′(x)≥0,∴f(x)在 R 上是增函数; ②因为 a≠0, ∴当 a≤1, △>0, f′ (x) =0 方程有两个根, x1= , x2= ,

当 0<a<1 时,则当 x∈(﹣∞,x2)或(x1,+∞)时,f′(x)>0,故函数在(﹣∞,x2) 或(x1,+∞)是增函数;在(x2,x1)是减函数; 当 a<0 时,则当 x∈(﹣∞,x1)或(x2,+∞) ,f′(x)<0,故函数在(﹣∞,x1)或(x2, +∞)是减函数;在(x1,x2)是增函数; (Ⅱ)当 a>0, x>0 时,f′(x)=3ax +6x+3>0 故 a>0 时,f(x)在区间(1,2)是增 函数, 当 a<0 时,f(x)在区间(1,2)是增函数, 当且仅当:f′(1)≥0 且 f′(2)≥0,解得﹣ ,
2

a 的取值范围=

(x>1) ,

∵ 当且仅当 即 x=2 时,“=”成立,



而函数 y=log2x 在(0,+∞)上单调递增,则



故当 x=2 时,函数 g(x)取得最小值 1. 点评: 本题考查了函数解析式的求解及常用方法,考查了利用基本不等式求函数最小值, 利用基本不等式求最值一定要注意应满足的条件,即“一正、二定、三相等”,是中档题. 20. (13 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若对任意的正整数 n,总存在正整数 m,使得 Sn=am, 则称{an}是“H 数列”. n * (1)若数列{an}的前 n 项和为 Sn=2 (n∈N ) ,证明:{an}是“H 数列”; (2)设{an}是等差数列,其首项 a1=1,公差 d<0,若{an}是“H 数列”,求 d 的值; * (3)证明:对任意的等差数列{an},总存在两个“H 数列”{bn}和{cn},使得 an=bn+cn(n∈N ) 成立. 考点: 数列的应用;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: (1)利用“当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1,当 n=1 时,a1=S1”即可得到 an,再利用“H” 数列的意义即可得出. * * (2)利用等差数列的前 n 项和即可得出 Sn,对? n∈N ,? m∈N 使 Sn=am,取 n=2 和根据 d<0 即可得出; (3)设{an}的公差为 d,构造数列:bn=a1﹣(n﹣1)a1=(2﹣n)a1,cn=(n﹣1) (a1+d) ,可 证明{bn}和{cn}是等差数列.再利用等差数列的前 n 项和公式及其通项公式、“H”的意义即 可得出. n n﹣1 n﹣1 解答: 解: (1)当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=2 ﹣2 =2 , 当 n=1 时,a1=S1=2. 当 n=1 时,S1=a1. 当 n≥2 时,Sn=an+1. ∴数列{an}是“H”数列. (2)Sn=
* *

=

, , ,

对? n∈N ,? m∈N 使 Sn=am,即 取 n=2 时,得 1+d=(m﹣1)d,解得

∵d<0,∴m<2, * 又 m∈N ,∴m=1,∴d=﹣1. (3)设{an}的公差为 d,令 bn=a1﹣(n﹣1)a1=(2﹣n)a1, * 对? n∈N ,bn+1﹣bn=﹣a1, cn=(n﹣1) (a1+d) , * 对? n∈N ,cn+1﹣cn=a1+d, 则 bn+cn=a1+(n﹣1)d=an,且数列{bn}和{cn}是等差数列. 数列{bn}的前 n 项和 Tn= 令 Tn=(2﹣m)a1,则 . ,

当 n=1 时,m=1;当 n=2 时,m=1. * 当 n≥3 时,由于 n 与 n﹣3 的奇偶性不同,即 n(n﹣3)为非负偶数,m∈N . * * 因此对? n∈N ,都可找到 m∈N ,使 Tn=bm 成立,即{bn}为 H 数列. 数列{cn}的前 n 项和 Rn= 令 cm=(m﹣1) (a1+d)=Rn,则 m=
* *

, .

∵对? n∈N ,n(n﹣3)为非负偶数,∴m∈N . * * 因此对? n∈N ,都可找到 m∈N ,使 Rn=cm 成立,即{cn}为 H 数列. 因此命题得证. 点评: 本题考查了利用“当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1,当 n=1 时,a1=S1”求 an、等差数列的前 n 项和公式及其通项公式、新定义“H”的意义等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和 计算能力、构造法,属于难题.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 21. (14 分)已知函数 f(x)= (其中 k∈R) ,f′(x)为 f(x)的导函数.

(Ⅰ)求证:曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线不过点(2,0) ; (Ⅱ)若在区间(0,1]中存在 x0,使得 f′(x0)=0,求 k 的取值范围; (Ⅲ)若 f′(1)=0,试证明:对任意 x>0,f′(x)< 恒成立.

考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求出曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程,代入点(2,0)验证, 即可得出结论; (Ⅱ)由 f′(x0)=0 得 k= ,确定其单调性,可求 k 的取值范围;

(Ⅲ)令 g(x)=(x +x)f′(x) ,对任意 x>0,g(x)<e +1 等价于 1﹣x﹣xlnx<
﹣2

2

﹣2

(e

+1) .再构造函数,研究单调性,即可证明结论. 得 f′(x)= ,x∈(0,+∞) ,

解答: (Ⅰ)证明:由 f(x)=

所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线斜率为 f′(1)= 因为 f(1)= ,所以曲线 y=f(x)切线方程为 y﹣ = 假设切线过点(2,0) ,代入上式得:为 0﹣ =



(x﹣1) ,

(2﹣1) ,得到 0=1 产生矛盾,所以假设

错误, 故曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线不过点(2,0)?(4 分) (Ⅱ)解:由 f′(x0)=0 得 k= 因为 0<x0≤1,所以 k′<0,所以 k(x0)在(0,1]上单调递减,故 k≥1?(7 分) (Ⅲ)证明:令 g(x)=(x +x)f′(x) ,当 x0=1 时,k=1,所以 g(x)= x∈(0,+∞) , 因此,对任意 x>0,g(x)<e +1 等价于 1﹣x﹣xlnx<
﹣2 2

(1﹣x﹣xlnx) ,

(e +1) .?(9 分)

﹣2

由 h(x)=1﹣x﹣xlnx,x∈(0,+∞) , 所以 h′(x)=﹣lnx﹣2,x∈(0,+∞) , ﹣2 ﹣2 因此,当 x∈(0,e )时,h′(x)>0,h(x)单调递增;x∈(e ,+∞)时,h′(x) <0,h(x)单调递减. ﹣2 ﹣2 ﹣2 所以 h(x)的最大值为 h(e )=e +1,故 1﹣x﹣xlnx≤e +1.?(12 分) x 设 φ (x)=e ﹣(x+1) ,
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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 因为 φ ′(x)=e ﹣1,所以 x∈(0,+∞)时 φ ′(x)>0,φ (x)单调递增,φ (x)> φ (0)=0, 故 x∈(0,+∞)时,φ (x)=e ﹣(x+1)>0,即 所以故 1﹣x﹣xlnx≤e +1<
﹣2 x x

>1.

(e +1) .

﹣2

因此,对任意 x>0,f′(x)<

恒成立

?(14 分)

点评: 本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程,考查利用导数研究函数的单调性,考 查不等式的证明,构造函数,确定单调性是关键.

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