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2013年武警院校招生考试数学模拟试卷(1)

时间:2013-06-07


2013 年武警院校招生考试数学模拟(1)
1.已知全集 U=R,集合 A={x|3≤x<7},B={x|x2-7x+10<0},则?R(A∩B)等于 ( A.(-∞,3)∪(5,+∞) C.(-∞,3]∪[5,+∞) 4 2.不等式 ≤x-2 的解集是 x-2 A.(-∞,0]∪(2,4] C.[2,4) i 3.复数 z= 在复平面上对应的点位于( 1+

i A.第一象限 B.第二象限 B.[0,2)∪[4,+∞) D.(-∞,2]∪(4,+∞) ) C.第三象限 D.第四象限 B.(-∞,3)∪[5,+∞) D.(-∞,3]∪(5,+∞) ( ) )

4.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,若 a=2bcos C,则此三角形一定 是( ) A.等腰直角三角形 C.等腰三角形 B.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 )

5.设向量 a=(3, 3),b 为单位向量,且 a∥b,则 b 等于( A.? 3 1? ? 3 1? ,- 或 - , 2? ? 2 2? ?2 3 1? ,- 2 2?
n

B.? D.?

3 1? ? 2 ,2?

C.?-

?

3 1? ? 3 1? 或 ? 2 ,2? ?- 2 ,-2? )

6.若数列{an}的通项公式为 an=2 +2n-1,则数列{an}的前 n 项和为( A.2 +n -1
n+1
2

n

2

B.2

n+1 n

+n -1

2

C.2 +n -2 D.2 +n-2 7.如图(1)所示,一只装了水的密封瓶子可以看成是由半径为 1 cm 和半径为 3 cm 的两个 圆柱组成的几何体.当这个几何体如图(2)水平放置时,液面高度为 20 cm,当这个几何体 如 图 (3) 水 平 放 置 时 , 液 面 高 度 为 28 cm , 则 这 个 几 何 体 的 总 高 度 为 ( ) B.30 cm C.32 cm D.48 cm

A.29 cm

1

8.长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=AA1=2,AD=1,E 为 CC1 的中点,则异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为? A. 10 10 B. 30 10 ? 3 10 D. 10

2 15 C. 10

9.已知直线 l1 的方向向量为 a=(1,3),直线 l2 的方向向量为 b=(-1,k).若直线 l2 经过 点(0,5)且 l1⊥l2,则直线 l2 的方程为_______________

10. 若点 O 和点 F 分别为椭圆

x

2

4

?

y
3

2

? 1 的中心和左焦点, P 为椭圆上的任意一点, 点

则 OP ? FP 的最大值为_______________

11.一个乒乓球队里有男队员 5 人,女队员 4 人,从中选出男、女队员各一名组成混合 双打,共有________种不同的选法.

2 2 12.若二项式 ?x -x? n 的展开式中二项式系数的和是 64,则展开式中的常数项为 ? ? _______________

13.若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 g(x)=

f?2x? 的定义域是__________. x-1

ax+b 14.已知函数 f(x)= ,其图象关于点(-3,2)对称,则 f(2)的值是________. x-b

15.设 x1,x2 为 y=f(x)的定义域内的任意两个变量,有以下几个命题: ①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0; ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0; ③ ④ f?x1?-f?x2? >0; x1-x2 f?x1?-f?x2? <0. x1-x2
2

其中能推出函数 y=f(x)为增函数的命题为_______________.

16.将一颗骰子先后抛掷 2 次,观察向上的点数,求: (1)两数之和为 5 的概率; (2)两数中至少有一个奇数的概率; (3)以第一次向上的点数为横坐标 x,第二次向上的点数为纵坐标 y 的点(x,y)在圆 x2+y2=15 内部的概率.

17.如图所示,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AA1⊥BC,∠A1AC=60° 1A=AC=BC=1, ,A A1B= 2. (1)求证:平面 A1BC⊥平面 ACC1A1; (2)如果 D 为 AB 中点,求证:BC1∥平面 A1CD.

3

18.已知等差数列{an}的公差d≠0,它的前n项和为Sn,若S5=70,且a2,a7,a22成等比数 列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?
? 1 ? 1 3 ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: ? Tn ? . 6 8 ?Sn ?

sin ,   ) , sin cos ,   ) , ? n cos 19. 已知向量 m ? (   A  B n ? (   B  A m   ? sin 2C , A 、B 、C 且
分别为 ?ABC 的三边 a 、 b 、 c 所对的角, (1)求角 C 的大小; (2)若 sin A, sin B, sin C 成等差数列, CA ? ( AB ? AC) ? 18 , c 边的长及△ ABC 的面 且 求 积。

?

?

?

?

4

? 1? 2 20.已知不等式 x -logax<0,当 x∈?0, ?时恒成立,求实数 a 的取值范围. ? 2?

21.已知 ?ABC 中,点 A、B 的坐标分别为 (? 2,0), B( 2,0) ,点 C 在 x 轴上方。 (1) 若点 C 坐标为 ( 2,1) ,求以 A、B 为焦点且经过点 C 的椭圆的方程; (2)过点 P(m,0) 作倾角为

3 ? 的直线 l 交(1)中曲线于 M、N 两点,若点 Q(1,0)恰在以线段 MN 为直 4

径的圆上,求实数 m 的值。

5

BBAC

DCAB

9. x +3y -15=0 1 14. 5

10.6

11。20

12.240

13.[0,1)

15.①③

16.将一颗骰子先后抛掷 2 次,观察向上的点数,求: (1)两数之和为 5 的概率; (2)两数中至少有一个奇数的概率; (3)以第一次向上的点数为横坐标 x,第二次向上的点数为纵坐标 y 的点(x,y)在圆 x2+y2=15 内部的概率. 16。解 将一颗骰子先后抛掷 2 次,此问题中含有 36 个等可能基本事件. (1)记“两数之和为 5”为事件 A,则事件 A 中含有 4 个基本事件,所以 P(A) = 答 4 1 = . 36 9 1 两数之和为 5 的概率为 . 9

(2)记“两数中至少有一个奇数”为事件 B, 则事件 B 与“两数均为偶数”为对 立事件, 9 3 所以 P(B)=1- = . 36 4 答 3 两数中至少有一个奇数的概率为 . 4

(3)基本事件总数为 36,点(x,y)在圆 x2+y2=15 的内部记为事件 C,则 C 包含 8 个事件, 8 2 所以 P(C)= = . 36 9 答 2 点(x,y)在圆 x2+y2=15 内部的概率为 . 9

17.如图所示,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AA1⊥BC,∠A1AC=60° 1A=AC=BC=1, ,A A1B= 2. (1)求证:平面 A1BC⊥平面 ACC1A1; (2)如果 D 为 AB 中点,求证:BC1∥平面 A1CD.

6

17. 证明 (1)因为∠A1AC=60° 1A=AC=1, ,A 所以△A1AC 为等边三角形.所以 A1C=1. 因为 BC=1,A1B= 2,所以 A1C2+BC2=A1B2. 所以∠A1CB=90° ,即 A1C⊥BC. 因为 BC⊥A1A,BC⊥A1C,AA1∩A1C=A1, 所以 BC⊥平面 ACC1A1. 因为 BC?平面 A1BC,所以平面 A1BC⊥平面 ACC1A1. (2)连接 AC1 交 A1C 于点 O,连接 OD. 因为 ACC1A1 为平行四边形, 所以 O 为 AC1 的中点. 因为 D 为 AB 的中点, 所以 OD∥BC1. 因为 OD?平面 A1CD, BC1?平面 A1CD, 所以 BC1∥平面 A1CD. 18.已知等差数列{an}的公差d≠0,它的前n项和为Sn,若S5=70,且a2,a7,a22成等比数 列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?
? 1 ?Sn ? 1 3 ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: ? Tn ? . 6 8 ?

?S 5 ? 70 ?5a1 ? 10d ? 70 ? ? 18. (Ⅰ)解:依题意,有 ? 2 ,即 ? ? 2分 ?(a1 ? 6d ) 2 ? (a1 ? d )(a1 ? 21d ) ?a 7 ? a 2 a 22 ? ?

解得 a1=6,d=4.?????????????????????????? 4 分 ∴数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 4n ? 2 ( n ? N ) .??????????? 5 分
*

(Ⅱ)证明:由(1)可得 Sn ? 2n2 ? 4n .??????????????? 6 分 ∴

1 1 1 1?1 1 ? ? 2 ? ? ? ? ? .???????????? 7 分 S n 2n ? 4n 2n ? n ? 2 ? 4 ? n n ? 2 ?
1 1 1 1 1 ? ? ??? ? S1 S 2 S 3 S n ?1 S n

∴ Tn ?

1? 1? 1?1 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? 1?1 1 ? ???? 8 分 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 4? 3? 4? 2 4? 4? 3 5? 4 ? n ?1 n ? 1 ? 4 ? n n ? 2 ?

1? 1 1 1 ? 3 1? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ?? ? ? ? ??????????? 9 分 4 ? 2 n ?1 n ? 2 ? 8 4 ? n ?1 n ? 2 ?
7

3 3 1? 1 1 ? ?? ? ? ? ? 0 ,∴ Tn ? 8 .???????????? 10 分 8 4 ? n ?1 n ? 2 ? 1 1? 1 1 ? ∵ Tn ?1 ? Tn ? ? ? ? ? 0 ,所以数列 ?Tn ? 是递增数列.∴ Tn ? T1 ? 6 . 4 ? n ?1 n ? 3 ? 1 3 ∴ ? Tn ? .?????????????????????????? 12 分 6 8
∵ Tn ?

sin ,   ) , sin cos ,   ) , ? n cos 19. 已知向量 m ? (   A  B n ? (   B  A m   ? sin 2C , A 、B 、C 且
分别为 ?ABC 的三边 a 、 b 、 c 所对的角, (1)求角 C 的大小; (2)若 sin A, sin B, sin C 成等差数列, CA ? ( AB ? AC) ? 18 , c 边的长及△ ABC 的面 且 求 积。

?

?

?

?

?? ? ?? ? ? 19、解: (1) m ? n ? sin A cos B ? sin B cos A ? sin( A ? B) ? sin C ,又 ∵ m ? n ? sin 2C ,
? ∴ sin C ? sin 2C ? 2sin C cos C

∴ coC? ? s

1 , 又 ?0 ? C ? ? , 2

∴C? ?

?
3

.

(2)由已知得 sin A ? sin B ? 2sin C ,由正弦定理可知 a ? b ? 2c , 又∵ CA ? ( AB ? AC ) ? 18 ,∴ CA ? CB ? 18 , 即ab ? 36
2 2 2 由余弦定理得: c ? a ? b ? 2ab cos C ? 36

??? ??? ???? ? ?

??? ??? ? ?

∴ c ? 6.

∴ S ?ABC ?

1 1 3 absin C ? ? 36 ? ?9 3 2 2 2

? 1? 2 20.已知不等式 x -logax<0,当 x∈?0, ?时恒成立,求实数 a 的取值范围. ? 2?
20.解 由 x -logax<0,得 x <logax.
2 2

设 f(x)=x ,g(x)=logax.

2

? 1? 由题意知,当 x∈?0, ?时,函数 f(x)的图象在函数 g(x)的图象的下方, ? 2? ?0<a<1, ? ,可知? ?1? ?1? ?f?2?≤g?2?, ? ? ? ? ? ?0<a<1, ? 即??1?2 1 ??2? ≤loga2, ?? ?
8

1 ?1 ? 解得 ≤a<1.∴实数 a 的取值范围是? ,1?. 16 ?16 ? 21.已知 ?ABC 中,点 A、B 的坐标分别为 (? 2,0), B( 2,0) ,点 C 在 x 轴上方。 (1) 若点 C 坐标为 ( 2,1) ,求以 A、B 为焦点且经过点 C 的椭圆的方程; (2)过点 P(m,0) 作倾角为

3 ? 的直线 l 交(1)中曲线于 M、N 两点,若点 Q(1,0)恰在以线段 MN 为直 4

径的圆上,求实数 m 的值。 21.【解析】 (Ⅰ)设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,c= 2 ,2a= AC ? BC ? 4 ,b= 2 椭圆 a 2 b2

x2 y 2 ? ? 15 分 方程为 4 2

即 m2 ? 1 ? (m ? 1)( x1 ? x2 ) ? 2x1x2 ? 0 , 3m2 ? 4m ? 5 ? 0, 解得m ?

2 ? 19 . 3

9


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