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直线与方程知识点归纳


第三章直线与方程 3.1 直线的倾斜角和斜率 3.1 倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角的概念:当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向 上方向之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定α = 0°. 2、 倾斜角α 的取值范围:0°≤α <180°. 当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°

. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α (α ≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表 示,也就是 k = tanα ⑴当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α =0°, k = tan0°=0; ⑵当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线 l 的倾斜角α 一定存在,但是斜率 k 不一定存在. 4、 直线的斜率公式: 给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率: 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 3.1.2 两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们 的斜率相等,那么它们平行,即 (充要条件)

注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的, 缺少这个前提, 结论 并不成立.即如果 k1=k2, 那么一定有 l1∥l2 2、两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们 的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即 k1k2 ? ?1 ? l1 ? l2 (充要条件) 3.2.1 直线的点斜式方程 1、直线的点斜式方程:直线 l 经过点 P ( x0 , y0 ) ,且斜率为 k 0

y ? y0 ? k ( x ? x0 )

2、 、直线的斜截式方程:已知直线 l 的斜率为 k ,且与 y 轴的交点为 (0, b) 3.2.2 直线的两点式方程 1、直线的两点式方程:已知两点 y-y1/y-y2=x-x1/x-x2 2、直线的截距式方程:已知直线 l 与 x 轴的交点为 A ( a,0) ,与 其中 a ? 0, b ? 0 3.2.3 直线的一般式方程 1、直线的一般式方程:关于 x, y 的二元一次方程 Ax 2、各种直线方程之间的互化。

y ? kx ? b

P ( x1 , x2 ), P2 ( x2 , y2 ) 1

其中

( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

y 轴的交点为 B (0, b) ,

? By ? C ? 0 (A,B 不同时为 0)

3.3 直线的交点坐标与距离公式

PP ( y2 ? y1 ) 2 ? ( x2 ? x1 ) 2 1 2 ?
3.3.1 两直线的交点坐标 1、给出例题:两直线交点坐标 L1:3x+4y-2=0 L2:2x+y +2=0 解:解方程组 ?

?3x ? 4 y ? 2 ? 0 ?2 x ? 2 y ? 2 ? 0

得 x=-2,y=2 所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M(-2,2) 3.3.2 两点间距离 两点间的距离公式 3.3.3 点到直线的距离公式 1.点到直线距离公式: 点 P( x0 , y 0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离为: d ? 2、两平行线间的距离公式: 已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 ,

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

l 2 Ax ? By ? C2 ? 0 ,则 l1 与 l 2 的距离为 d ?

C1 ? C2 A2 ? B 2

基础练习
一选择题 1.经过点(-3,2),倾斜角为 60° 的直线方程是( A.y+2= 3(x-3) B.y-2= 3 (x+3) 3 )

C.y-2= 3(x+3) D.y+2= 答案:C 1 2.如下图所示,方程 y=ax+ 表示的直线可能是( a ) 3 (x-3) 3

答案:B 3.已知直线 l1:y=kx+b,l2:y=bx+k,则它们的图象可能为( )

答案:C 4.经过原点,且倾斜角是直线 y= A.x=0 C.y= 2x 答案:D 5. 欲使直线(m+2)x-y-3=0 与直线(3m-2)x-y+1=0 平行, 则实数 m 的值是( A.1 B.2 ) B.y=0 D.y=2 2x 2 x+1 倾斜角 2 倍的直线是( 2 )

C.3

D.不存在

解析:把直线化为斜截式,得出斜率,通过直线平行的条件计算. 答案:B 6.直线 y=k(x-2)+3 必过定点,该定点为( A.(3,2) C.(2,-3) B.(2,3) D. (-2,3) )

解析:直线方程改写为 y-3=k(x-2),则过定点(2,3). 答案:B 7.若直线(m+2)x+(m2-2m-3)y=2m 在 x 轴上的截距是 3,则 m 的值是( 2 A. 5 2 C.- 5 B.6 D.-6 )

解析:令 y=0,得(m+2)x=2m,将 x=3 代入得 m=-6,故选 D. 答案:D 8.过 P1(2,0),P2(0,3)两点的直线方程是( x y A. + =1 3 2 x y C. - =1 3 2 答案:B x y 9.直线 2- 2=1 在 y 轴上的截距为( a b A.|b| 答案:D 10.下列四个命题中是真命题的是( ) B.± b C.b2 ) D.-b2 x y B. + =1 2 3 x y D. - =1 2 3 )

A.经过定点 P0(x0,y0)的直线都可以用方程 y-y0=k(x-x0)表示 B.经过任意两个不同的点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)· (x2-x1) =(x-x1)· (y2-y1)表示 x y C.不经过原点的直线都可以用方程 + =1 表示 a b D.经过定点 A(0,b)的直线都可以用方程 y=kx+b 表示 答案:B 11.直线 ax+by=1(a, b≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是( 1 A. ab 2 1 B. |ab| 2 1 C. 2ab 1 D. 2|ab| )

x y 11 1 1 解析:直线 ax+by=1 可化为 + =1,故其围成的三角形的面积为 S= = . 1 1 2|a||b| 2|ab| a b 答案:D 12.过点(-1,3)且垂直于直线 x-2y+3=0 的直线方程为( A.2x+y-1=0 B.2x+y-5=0 C.x+2y-5=0 D.x-2y+7=0 答案:A 13.直线 l1:x+ay+6=0 与 l2:(a-2)x+3y+2a=0 平行,则 a 的值等于( A.-1 或 3 B.1 或 3 C.-3 D.-1 1 a 6 = ≠ ,∴a=-1 a-2 3 2a ) )

解析:由题意,两直线斜率存在,由 l1∥l2 知 答案:D 14.直线 3x-2y-4=0 的截距式方程是( 3x y A. - =1 4 4 x y B. - =4 1 1 3 2 3x y C. + =1 4 -2 x y D. + =1 4 -2 3 答案:D

)

15.已知点 A(1,2),B(3,1),则线段 AB 的垂直平分线的方程是( A.4x+2y=5 B.4x-2y=5 C.x+2y=5 D.x-2y=5 解析:kAB= 1- 2 1 =- ,由 k· kAB=-1 得 k=2. 2 3- 1

)

1+3 2+1 3 由中点坐标公式得 x= =2,y= = , 2 2 2 3? ∴中点坐标为? ?2,2?.

3 由点斜式方程得 y- =2(x-2),即 4x-2y=5. 2 答案:B 16.直线(a+2)x+(1-a)y-3=0 与(a-1)x+(2a+3)y+2=0 互相垂直,则 a=( A.-1 B.1 C.± 1 3 D.- 2 )

解析:由(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0 化简得 1-a2=0,∴a=± 1. 答案:C 17.直线 l 的方程为 Ax+By+C=0,若直线 l 过原点和二、四象限,则( A.C=0,B>0 B.A>0,B>0,C=0 C.AB<0,C=0 D.AB>0,C=0 答案:D x y 18 直线的截距式方程 + =1 化为斜截式方程为 y=-2x+b,化为一般式方程为 bx a b +ay-8=0.求 a,b 的值() x y 解析:由 + =1,化得 a b b y=- x+b=-2x+b, a 又可化得: bx+ay-ab=bx+ay-8=0, b 则 =2,且 ab=8. a 解得 a=2,b=4 或 a=-2,b=-4. 19.直线 x+2y-2=0 与直线 2x+y-3=0 的交点坐标为( A.(4,1) 4 1? C.? ?3,3? 答案:C 20.已知两直线 a1x+b1y+1=0 和 a2x+b2y+1=0 的交点是 P(2,3),则过两点 Q1(a1, b1),Q2(a2,b2)的直线方程是( A.3x+2y=0 C.2x+3y+1=0 答案:C 21. 两直线 3ax-y-2=0 和(2a-1)x+5ay-1=0 分别过定点 A, B, 则|AB|等于( ) ) B.2x-3y+5=0 D.3x+2y+1=0 B.(1,4) 1 4? D.? ?3,3? ) )

A.

89 5

17 B. 5

13 C. 5

11 D. 5

2? 13 解析:易知 A(0,-2),B? ?-1,5?,|AB|= 5 . 答案:C 22.设点 A 在 x 轴上,点 B 在 y 轴上,AB 的中点是 P(2,-1),则|AB|等于( A.5 B .4 2 C.2 5 D.2 10 )

解析: 设 A(x,0), B(0, y), 由中点公式得 x=4, y=-2, 则由两点间的距离公式得|AB| = ?0 -4?2+?-2-0?2= 20=2 5. 答案:C 23.已知 M(1,0),N(-1,0),点 P 在直线 2x-y-1=0 上移动,则|PM|2+|PN|2 的最小 值为________. 答案:2.4 24.已知点(3,m)到直线 x+ 3y-4=0 的距离等于 1,则 m 等于( A. 3 B.- 3 C.- 3 3 D. 3或- 3 3 )

|3+ 3m-4| 3 解析: =1,解得 m= 3或- . 2 3 答案:D 25.两平行线 y=kx+b1 与 y=kx+b2 之间的距离是( A.b1-b2 C.|b1-b2| B. |b1-b2| 1+k2 )

D.b2-b1

解析:两直线方程可化为 kx-y+b1=0,kx-y+b2=0. ∴d= |b1-b2| . 1+k2

答案:B 26.过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( A.x+2y-5=0 C.x+3y-7=0 B.2x+y-4=0 D.3x+y-5=0 )

解析:所求为过 A(1,2),且垂直 OA 的直线, 1 ∴k=- , 2 1 ∴y-2=- (x-1),即 x+2y-5=0. 2 答案:A

x y 27.点 P(m-n,-m)到直线 + =1 的距离等于( m n A. m2+n2 C. n2-m2 B. m2-n2 D. m2± n2

)

解析:直线方程可化为 nx+my-mn=0, |? m -n? n -m2-mn| 故 d= m2+n2 = |mn-n2-m2-mn| = m2+n2. 2 2 m +n

答案:A 28.已知直线 3x+2y-3=0 和 6x+my+1=0 互相平行,则它们之间的距离是( A.4 B. 2 13 13 5 C. 13 26 |-6-1| 36+16 = 7 D. 13 26 )

解析:由题意 m=4,则 d= 答案:D

7 7 7 13 = = . 26 52 2 13

29.垂直于直线 x- 3y+1=0 且到原点的距离等于 5 的直线方程是________. 解析:由题意,可设所求直线方程为 3x+y+c=0, |c| 则 =5. 2 ∴|c|=10,即 c=± 10. 答案: 3x+y-10=0 或 3x+y+10=0 30.点 P(x,y)在直线 x+y-4=0 上,则 x2+y2 的最小值是( A.8 答案:A 31.到直线 3x-4y-1=0 的距离为 2 的直线方程为( A.3x-4y-11=0 B.3x-4x+9=0 C.3x-4y-11=0 或 3x-4y+9=0 D.3x-4y+11=0 或 3x-4y-9=0 答案:C ) B.2 2 C. 2 D.16 )

强化练习
一选择题 1.直线 y=-2x+3 的斜率和在 y 轴上的截距分别是( A.-2,3 B.3,-2 )

C.-2,-2 [答案] A 2.过点(1,3)且斜率不存在的直线方程为( A.x=1 C.y=1 [答案] A 3.方程 y-y0=k(x-x0)( A.可以表示任何直线 B.不能表示过原点的直线 C.不能表示与 y 轴垂直的直线 D.不能表示与 x 轴垂直的直线 [答案] D [解析] )

D.3,3

) B.x=3 D.y=3

直线的点斜式方程不能表示没有斜率的直线,即不能表示与 x 轴垂直的直线. )

4.已知两条直线 y=ax-2 和 y=(2-a)x+1 互相平行,则 a 等于( A.2 C.0 [答案] B B.1 D.-1

[解析] 根据两条直线的方程可以看出它们的斜率分别是 k1=a,k2=2-a.两直线平行, 则有 k1=k2. 所以 a=2-a,解得 a=1. 1 5.方程 y=ax+ 表示的直线可能是( a )

[答案] B 1 1 [解析] 直线 y=ax+ 的斜率是 a,在 y 轴上的截距是 .当 a>0 时,斜率 a>0,在 y 轴 a a 1 1 上的截距是 >0,则直线 y=ax+ 过第一、二、三象限,四个选项都不符合;当 a<0 时,斜 a a 1 1 率 a<0,在 y 轴上的截距是 <0,则直线 y=ax+ 过第二、三、四象限,仅有选项 B 符合. a a 6. 与直线 y=-2x+3 平行, 且与直线 y=3x+4 交于 x 轴上的同一点的直线方程是( A.y=-2x+4 8 C.y=-2x- 3 [答案] C 4 [解析] y=3x+4 与 x 轴交点为(- ,0), 3 又与直线 y=-2x+3 平行, 4 故所求直线方程为 y=-2(x+ ) 3 8 即 y=-2x- 3 故选 C. ) 1 B.y= x+4 2 1 8 D.y= x- 2 3 )

7.直线 l:y-1=k(x+2)的倾斜角为 135° ,则直线 l 在 y 轴上的截距是( A.1 B.-1

C.

2 2

D.-2

[答案] B [解析] ∵倾斜角为 135° , ∴k=tan135° =-tan45° =-1, ∴直线 l:y-1=-(x+2),令 x=0 得 y=-1. 8.等边△PQR 中,P(0,0)、Q(4,0),且 R 在第四象限内,则 PR 和 QR 所在直线的方程 分别为( )

A.y=± 3x B.y=± 3(x-4) C.y= 3x 和 y=- 3(x-4) D.y=- 3x 和 y= 3(x-4) [答案] D [解析] 直线 PR,RQ 的倾斜角分别为 120° ,60° , ∴斜率分别为- 3, 3.数形结合得出. 9.过(x1,y1)和(x2,y2)两点的直线方程是( y-y1 x-x1 A. = y2-y1 x2-x1 y-y1 x-x2 B. = y2-y1 x1-x2 C.(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0 D.(x2-x1)(x-x1)-(y2-y1)(y-y1)=0 [答案] C x y 10.直线 2+ 2=1 在 y 轴上的截距是( a b A.|b| C.b2 [答案] C x y 11.直线 + =1 过一、二、三象限,则( a b A.a>0,b>0 C.a<0,b>0 [答案] C 12.(2012-2013· 邯郸高一检测)下列说法正确的是( y-y1 A. =k 是过点(x1,y1)且斜率为 k 的直线 x-x1 ) ) B.a>0,b<0 D.a<0,b<0 ) B.-b2 D.± b )

x y B.在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 a、b 的直线方程为 + =1 a b C.直线 y=kx+b 与 y 轴的交点到原点的距离是 b D.不与坐标轴平行或重合的直线方程一定可以写成两点式或斜截式 [答案] D 13.已知△ABC 三顶点 A(1,2),B(3,6),C(5,2),M 为 AB 中点,N 为 AC 中点,则中位 线 MN 所在直线方程为( A.2x+y-8=0 C.2x+y-12=0 [答案] A y-2 x-3 [解析] 点 M 的坐标为(2,4),点 N 的坐标为(3,2),由两点式方程得 = ,即 2x 4-2 2-3 +y-8=0. 14.过两点(-1,1)和(3,9)的直线在 x 轴上的截距为( 3 A.- 2 2 C. 5 [答案] A y-9 x-3 [解析] 直线方程为 = , 1-9 -1-3 x y 3 化为截距式为 + =1,则在 x 轴上的截距为- . 3 3 2 - 2 15.已知 2x1-3y1=4,2x2-3y2=4,则过点 A(x1,y1),B(x2,y2)的直线 l 的方程是( A.2x-3y=4 C.3x-2y=4 [答案] A [解析] ∵(x1,y1)满足方程 2x1-3y1=4,则(x1,y1)在直线 2x-3y=4 上.同理(x2,y2) 也在直线 2x-3y=4 上.由两点决定一条直线,故过点 A(x1,y1),B(x2,y2)的直线 l 的方程 是 2x-3y=4. [点评] 利用直线的截距式求直线的方程时,需要考虑截距是否为零. 16.过 P(4,-3)且在坐标轴上截距相等的直线有( A.1 条 C.3 条 [答案] B [解析] 解法一:设直线方程为 y+3=k(x-4)(k≠0). B.2 条 D.4 条 ) B.2x-3y=0 D.3x-2y=0 ) 2 B.- 3 D.2 ) ) B.2x-y+8=0 D.2x-y-12=0

3+4k 令 y=0 得 x= ,令 x=0 得 y=-4k-3. k 3+4k 3 由题意, =-4k-3,解得 k=- 或 k=-1. k 4 因而所求直线有两条,∴应选 B. 解法二:当直线过原点时显然符合条件,当直线不过原点时,设直线在坐标轴上截距为 x y (a,0),(0,a),a≠0,则直线方程为 + =1,把点 P(4,-3)的坐标代入方程得 a=1. a a ∴所求直线有两条,∴应选 B. 17.在 x 轴与 y 轴上的截距分别是-2 与 3 的直线方程是( A.2x-3y-6=0 C.3x-2y+6=0 [答案] C [解析] 因为直线在 x 轴,y 轴上的截距分别为-2,3,由直线方程的截距式得直线方程 为 x y + =1,即 3x-2y+6=0. -2 3 18.若直线 l 的一般式方程为 2x-y+1=0,则直线 l 不经过( A.第一象限 C.第三象限 [答案] D 19.下列各组中的两条直线平行的有( (1)2x+y-11=0,x+3y-18=0 (2)2x-3y-4=0,4x-6y-8=0 (3)3x-4y-7=0,12x-16y-7=0 A.0 组 C.2 组 [答案] B [解析] 第一组相交,第二组重合,第三组平行,故选 B. 20.若直线 x+2ay-1=0 与(a-1)x-ay+1=0 平行,则 a 的值为( 1 A. 2 C.0 [答案] B 1 [解析] 由已知得 1?(-a)-2a(a-1)=0,即 2a2-a=0,解得 a=0 或 ,故选 B. 2 21.直线(3-a)x+(2a-1)y+7=0 与直线(2a+1)x+(a+5)y-6=0 互相垂直,则 a 值是 1 B. 或 0 2 D.-2 ) B.1 组 D.3 组 ) B.第二象限 D.第四象限 ) )

B.3x-2y-6=0 D.2x-3y+6=0

(

) 1 A.- 3 1 C. 2 [答案] B 1 [解析] 由(3-a)(2a+1)+(2a-1)(a+5)=0 得 a= . 7 22.直线 l 过点(-1,2)且与直线 2x-3y+4=0 垂直,则 l 的方程是( A.3x+2y-1=0 C.2x-3y+5=0 [答案] A 3 [解析] 由直线 l 与直线 2x-3y+4=0 垂直,可知直线 l 的斜率是- ,由点斜式可得 2 B.3x+2y+7=0 D.2x-3y+8=0 ) 1 B. 7 1 D. 5

3 直线 l 的方程为 y-2=- (x+1),即 3x+2y-1=0. 2 23.直线 l1:ax-y+b=0,l2:bx+y-a=0(ab≠0)的图像只可能是下图中的( )

[答案] B [解析] l1:y=ax+b,l2:y=-bx+a,在 A 选项中,由 l1 的图像知 a>0,b<0,判知 l2 的图像不符合.在 B 选项中,由 l1 的图像知 a>0, b<0, 判知 l2 的图像符合, 在 C 选项中, 由 l1 知 a<0,b>0,∴-b<0,排除 C;在 D 选项中,由 l1 知 a<0,b<0,由 l2 知 a>0,排除 D.所以应选 B. 24.直线 l 的方程为 Ax+By+C=0,若 l 过原点和二、四象限,则( )

?C=0 ? A.? ? ?B>0 ?C=0 ? C.? ?AB<0 ?

C=0 ? ? B.?B>0 ? ?A>0
?C=0 ? D.? ?AB>0 ?

[答案] D [解析] ∵l 过原点,∴C=0,又 l 过二、四象限, A ∴l 的斜率- <0,即 AB>0. B 25.直线 3x-y=0 与 x+y=0 的位置关系是( A.相交 C.重合 [答案] A [解析] A1B2-A2B1= 3?1-1?(-1)= 3+1≠0, 又 A1A2+B1B2= 3?1+(-1)?1= 3-1≠0,则这两条直线相交,但不垂直. 26.直线 2x+3y+8=0 和直线 x-y-1=0 的交点坐标是( A.(-2,-1) C.(1,2) [答案] B
? ?2x+3y+8=0, [解析] 解方程组? ?x-y-1=0, ? ? ?x=-1, 得? 即交点坐标是(-1,-2). ?y=-2, ?

)

B.平行 D.垂直

)

B.(-1,-2) D.(2,1)

27.直线 ax+3y-5=0 经过点(2,1),则 a 的值等于( A.2 C.0 [答案] B [解析] 由题意得 2a+3-5=0,解得 a=1. B.1 D.-1

)

28. 若三条直线 2x+3y+8=0, x-y=1, 和 x+ky=0 相交于一点, 则 k 的值等于( A.-2 C.2 [答案] B 1 B.- 2 1 D. 2

)

? ?x-y=1 [解析] 由? 得交点(-1,-2), ?2x+3y+8=0 ?

1 代入 x+ky=0 得 k=- ,故选 B. 2 29.直线 kx-y+1=3k,当 k 变动时,所有直线都通过定点( A.(0,0) C.(3,1) [答案] C [解析] 方程可化为 y-1=k(x-3),即直线都通过定点(3,1). 30.已知点 M(0,-1),点 N 在直线 x-y+1=0 上,若直线 MN 垂直于直线 x+2y-3 =0,则 N 点的坐标是( A.(-2,-3) C.(2,3) [答案] C [解析] 将 A、B、C、D 四个选项代入 x-y+1=0 否定 A、B,又 MN 与 x+2y-3=0 垂直,否定 D,故选 C. 31.过两直线 3x+y-1=0 与 x+2y-7=0 的交点,并且与第一条直线垂直的直线方程 是( ) A.x-3y+7=0 C.2x-y+7=0 [答案] B
? ?3x+y-1=0, [解析] 由? 得交点(-1,4). ?x+2y-7=0, ?

)

B.(0,1) D.(2,1)

) B.(2,1) D.(-2,-1)

B.x-3y+13=0 D.3x-y-5=0

∵所求直线与 3x+y-1=0 垂直, 1 1 ∴所求直线斜率 k= ,∴y-4= (x+1), 3 3 即 x-3y+13=0. 32.已知直线 mx+4y-2=0 与 2x-5y+n=0 互相垂直,垂足为(1,p),则 m-n+p 为 ( ) A.24 C.0 [答案] B m2 [解析] ∵两直线互相垂直, ∴k1· k2=-1, ∴- · =-1, ∴m=10.又∵垂足为(1, p), 4 5 ∴代入直线 10x+4y-2=0 得 p=-2, B.20 D.-4

将(1,-2)代入直线 2x-5y+n=0 得 n=-12,∴m-n+p=20. 33.已知点 A(a,0),B(b,0),则 A,B 两点间的距离为( A.a-b C. a2+b2 [答案] D [解析] 代入两点间距离公式. 34.一条平行于 x 轴的线段长是 5 个单位,它的一个端点是 A(2,1),则它的另一个端点 B 的坐标是( ) B.(2,-3)或(2,7) D.(2,-3)或(2,5) B.b-a D.|a-b| )

A.(-3,1)或(7,1) C.(-3,1)或(5,1) [答案] A

[解析] ∵AB∥x 轴,∴设 B(a,1),又|AB|=5,∴a=-3 或 7. 35.已知 A(5,2a-1),B(a+1,a-4),当|AB|取最小值时,实数 a 的值是( 7 A.- 2 1 C. 2 [答案] C [解析] |AB|= ?a-4?2+?a+3?2= 2a2-2a+25= 取最小值. 36.设点 A 在 x 轴上,点 B 在 y 轴上,AB 的中点是 P(2,-1),则|AB|等于( A.5 C.2 5 [答案] C [解析] 设 A(x,0)、B(0,y),由中点公式得 x=4,y=-2,则由两点间的距离公式得|AB| = ?0-4?2+?-2-0?2= 20=2 5. 37.△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(-4,-4)、B(2,2)、C(4,-2),则三角形 AB 边 上的中线长为( A. 26 C. 29 [答案] A [解析] AB 的中点 D 的坐标为 D(-1,-1). ∴|CD|= ?-1-4?2+?-1-?-2??2= 26; 故选 A. ) B. 65 D. 13 B.4 2 D.2 10 ) 1 49 1 2?a- ?2+ , ∴当 a= 时, |AB| 2 2 2 1 B.- 2 7 D. 2 )

38.已知三点 A(3,2),B(0,5),C(4,6),则△ABC 的形状是( A.直角三角形 C.等腰三角形 [答案] C [解析] |AB|= ?3-0?2+?2-5?2=3 2, |BC|= ?0-4?2+?5-6?2= 17, |AC|= ?3-4?2+?2-6?2= 17, ∴|AC|=|BC|≠|AB|, 且|AB|2≠|AC|2+|BC|2. B.等边三角形

)

D.等腰直角三角形

∴△ABC 是等腰三角形,不是直角三角形,也不是等边三角形. 39.两直线 3ax-y-2=0 和(2a-1)x+5ay-1=0 分别过定点 A、B,则|AB|等于( A. 89 5 17 B. 5 11 D. 5 )

13 C. 5 [答案] C 2 [解析] 易得 A(0,-2),B(-1, ). 5

40.在直线 2x-3y+5=0 上求点 P,使 P 点到 A(2,3)距离为 13,则 P 点坐标是( A.(5,5) C.(5,5)或(-1,1) [答案] C 2x+5 [解析] 设点 P(x,y),则 y= , 3 2x+5 由|PA|= 13得(x-2)2+( -3)2=13, 3 即(x-2)2=9,解得 x=-1 或 x=5, 当 x=-1 时,y=1, 当 x=5 时,y=5,∴P(-1,1)或(5,5). 41.点(0,5)到直线 y=2x 的距离是( 5 A. 2 3 C. 2 [答案] B [解析] 由 y=2x 得:2x-y=0,∴由点到直线的距离公式得:d= 5 = 5,故选 B. 5 ) B. 5 D. 5 2 B.(-1,1) D.(5,5)或(1,-1)

)

42.已知直线 3x+2y-3=0 和 6x+my+1=0 互相平行,则它们之间的距离是( A.4 5 13 C. 26 [答案] D 6 m [解析] ∵两直线平行,∴ = ,∴m=4, 3 2 ∴两平行直线 6x+4y-6=0 和 6x+4y+1=0 的距离 d= |1+6| 6 +4
2 2=

)

2 13 B. 13 7 13 D. 26

7 13 . 26 )

43.已知点 A(3,4),B(6,m)到直线 3x+4y-7=0 的距离相等,则实数 m 等于( 7 A. 4 C.1 [答案] D |9+16-7| |18+4m-7| [解析] 由题意得 = , 5 5 7 29 解得 m= 或 m=- . 4 4 44.点 P 为 x 轴上一点,点 P 到直线 3x-4y+6=0 的距离为 6,则点 P 的坐标为( A.(8,0) C.(8,0)或(-12,0) [答案] C [解析] 设 P(a,0),则 |3a+6| 32+42 =6, B.(-12,0) D.(0,0) 29 B.- 4 7 29 D. 或- 4 4

)

解得 a=8 或 a=-12, ∴点 P 的坐标为(8,0)或(-12,0). 45.过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程为( A.x+2y-5=0 C.x+3y-7=0 [答案] A [解析] 由已知得,所求直线过(1,2)且垂直于(0,0)与(1,2)两点的连线, 1 ∴所求直线的斜率 k=- , 2 1 ∴y-2=- (x-1),即 x+2y-5=0. 2 )

B.2x+y-4=0 D.3x+y-5=0

46.已知直线 l 过点(3,4)且与点 A(-2,2),B(4,-2)等距离,则直线 l 的方程为( A.2x+3y-18=0 B.2x-y-2=0 C.3x-2y+18=0 或 x+2y+2=0 D.2x+3y-18=0 或 2x-y-2=0 [答案] D [解析] 设所求直线方程为 y-4=k(x-3),即 kx-y+4-3k=0. |-2k-2+4-3k| |4k+2+4-3k| 2 由已知有 = ,所以 k=2 或 k=- , 2 2 3 k +1 k +1 所以直线方程为 2x-y-2=0 或 2x+3y-18=0. 47.P,Q 分别为 3x+4y-12=0 与 6x+8y+6=0 上任一点,则|PQ|的最小值为( 9 A. 5 C.3 [答案] C 18 B. 5 D.6

)

)

[解析] |PQ|的最小值是这两条平行线间的距离.在直线 3x+4y-12=0 上取点(4,0), 然后利用点到直线的距离公式得|PQ|的最小值为 3. 48.点 P(x,y)在直线 x+y-4=0 上,则 x2+y2 的最小值是( A.8 C. 2 [答案] A [解析] x2+y2 表示直线上的点 P(x,y)到原点距离的平方, |-4| ∵原点到直线 x+y-4=0 的距离为 =2 2, 2 ∴x2+y2 最小值为 8.故选 A. 二填空题 1.过点(-1,3),且斜率为-2 的直线的斜截式方程为________. [答案] y=-2x+1 [解析] 点斜式为 y-3=-2(x+1),化为斜截式为 y=-2x+1. 2.已知直线 l1 过点 P(2,1)且与直线 l2:y=x+1 垂直,则 l1 的点斜式方程为________. [答案] y-1=-(x-2) [解析] 设 l1 的斜率为 k1,l2 的斜率为 k2, ∵l1⊥l2,∴k1k2=-1. 又 k2=1,∴k1=-1. ∴l1 的点斜式方程为 y-1=-(x-2). B.2 2 D.16 )

3.已知点(1,-4)和(-1,0)是直线 y=kx+b 上的两点,则 k=________,b=________. [答案] -2 -2
?-4=k+b, ? [解析] 由题意,得? 解得 k=-2,b=-2. ?0=-k+b, ?

4.△ABC 的顶点 A(5,-1),B(1,1),C(2,m),若△ABC 为直角三角形,则直线 BC 的方程为________. [答案] 8x+y-9=0 或 2x-y-1=0 或 y=x 或 3x+y-4=0 [解析] 若∠A 为直角,则 AC⊥AB, ∴kAC· kAB=-1, 即 m+1 1+1 · =-1,得 m=-7; 2-5 1-5

此时 BC:8x+y-9=0. 若∠B 为直角,则 AB⊥BC,∴kAB· kBC=-1, 1 m-1 即- · =-1,得 m=3; 2 2-1 此时直线 BC 方程为 2x-y-1=0. 若∠C 为直角,则 AC⊥BC,∴kAC· kBC=-1, 即 m+1 m-1 · =-1,得 m=± 2. -3 2-1

此时直线 BC 方程为 y=x 或 3x+y-4=0. x y 5.直线 - =1 在两坐标轴上的截距之和为________. 4 5 [答案] -1 x y [解析] 直线 - =1 在 x 轴上截距为 4,在 y 轴上截距为-5,因此在两坐标轴上截距 4 5 之和为-1. 6.过点(0,1)和(-2,4)的直线的两点式方程是________. [答案] y-1 x-0 y-4 x+2 = (或 = ) 4-1 -2-0 1-4 0+2

7.过点(0,3),且在两坐标轴上截距之和等于 5 的直线方程是________. [答案] 3x+2y-6=0
? ?b=3, x y [解析] 设直线方程为 + =1,则? a b ?a+b=5, ?

x y 解得 a=2,b=3,则直线方程为 + =1, 2 3 即 3x+2y-6=0.

8.直线 l 过点 P(-1,2),分别与 x,y 轴交于 A,B 两点,若 P 为线段 AB 的中点,则直 线 l 的方程为________. [答案] 2x-y+4=0

[解析] 设 A(x,0),B(0,y). 由 P(-1,2)为 AB 的中点, 0 =-1, ?x+ 2 ∴? 0+y ? 2 =2,
? ?x=-2, ∴? ?y=4 ?

由截距式得 l 的方程为 x y + =1,即 2x-y+4=0. -2 4 9.经过点 A(-4,7),且倾斜角为 45° 的直线的一般式方程为________. [答案] x-y+11=0 [解析] 直线的斜率 k=tan45° =1,则直线的方程可写为 y-7=x+4,即 x-y+11=0. 10.如下图所示,直线 l 的一般式方程为________.

[答案] 2x+y+2=0 [解析] 由图知,直线 l 在 x 轴,y 轴上的截距分别为-1,-2,则直线 l 的截距式方程



x y + =1,即 2x+y+2=0. -1 -2 11. 若直线(a+2)x+(a2-2a-3)y-2a=0 在 x 轴上的截距为 3, 则实数 a 的值为________. [答案] -6 [解析] 把 x=3,y=0 代入方程(a+2)x+(a2-2a-3)y-2a=0 中得 3(a+2)-2a=0,a

=-6. 1 12. 已知直线的斜率为 , 且和坐标轴围成面积为 3 的三角形, 该直线的方程为________. 6 [答案] x-6y+6=0 或 x-6y-6=0 x y [解析] 设直线的方程为 + =1, a b 1 b 1 ∵直线的斜率 k= ,∴- = , 6 a 6 1 又∵ |ab|=3, 2
? ? ?a=-6, ?a=6, ∴? 或? ?b=1 ?b=-1. ? ?

∴所求直线方程为:x-6y+6=0 或 x-6y-6=0. 13. 过原点和直线 l1: x-3y+4=0 与 l2: 2x+y+5=0 的交点的直线的方程为________. [答案] 3x+19y=0
?x-3y+4=0, ? 19 3 [解析] 由? 得交点坐标(- , ), 7 7 ? 2 x + y + 5 = 0 , ?

3 ∴所求方程为 y=- x,即 3x+19y=0. 19 14.在△ABC 中,高线 AD 与 BE 的方程分别是 x+5y-3=0 和 x+y-1=0,AB 边所 在直线的方程是 x + 3y - 1 = 0 ,则△ ABC 的顶点坐标分别是 A________ ; B________ ; C________. [答案] (-2,1) (1,0) (2,5) [解析] 高线 AD 与边 AB 的交点即为顶点 A,高线 BE 与边 AB 的交点即为顶点 B,顶 点 C 通过垂直关系进行求解. 15.两条直线 x+my+12=0,2x+3y+m=0 的交点在 y 轴上,则 m 的值是________. [答案] ± 6
? ?mb+12=0, [解析] 设交点坐标为(0,b),则有? 解得 m=± 6. ?3b+m=0, ?

16. 已知直线 l1: a1x+b1y=1 和直线 l2: a2x+b2y=1 相交于点 P(2,3), 则经过点 P1(a1, b1)和 P2(a2,b2)的直线方程是________. [答案] 2x+3y=1

[解析] 由题意得 P(2,3)在直线 l1 和 l2 上,
? ?2a1+3b1=1, 所以有? 则点 P1(a1,b1)和 P2(a2,b2)的坐标是方程 2x+3y=1 的解, ?2a2+3b2=1, ?

所以经过点 P1(a1,b1)和 P2(a2,b2)的直线方程是 2x+3y=1. 17.已知点 M(m,-1),N(5,m),且|MN|=2 5,则实数 m=________. [答案] 1 或 3 [解析] 由题意得 ?m-5?2+?-1-m?2=2 5,解得 m=1 或 m=3. 18.已知 A(1,-1),B(a,3),C(4,5),且|AB|=|BC|,则 a=________. [答案] [解析] 1 2 ?a-1?2+?3+1?2= ?4-a?2+?5-3?2,

1 解得 a= . 2 19. 已知点 A(4,12), 在 x 轴上的点 P 与点 A 的距离等于 13, 则点 P 的坐标为________. [答案] (9,0)或(-1,0) [解析] 设 P(a,0),则 ?a-4?2+122=13, 解得 a=9 或 a=-1,∴点 P 的坐标为(9,0)或(-1,0). 20.已知△ABC 的顶点坐标为 A(7,8)、B(10,4)、C(2,-4),则 BC 边上的中线 AM 的长 为________. [答案] 65

21.已知点 A(0,4),B(2,5),C(-2,1),则 BC 边上的高等于________. [答案] 2 2

[解析] 直线 BC:x-y+3=0, 则点 A 到直线 BC 的距离 d= 即 BC 边上的高等于 2 . 2 |0-4+3| 2 = , 2 2

22.过点 A(-3,1)的所有直线中,与原点距离最远的直线方程是________. [答案] 3x-y+10=0 1 [解析] 当原点与点 A 的连线与过点 A 的直线垂直时,距离最大.∵kOA=- ,∴所求 3 直线的方程为 y-1=3(x+3),即 3x-y+10=0. 23.直线 l1:2x+4y+1=0 与直线 l2:2x+4y+3=0 平行,点 P 是平面直角坐标系内 任一点,P 到直线 l1 和 l2 的距离分别为 d1,d2,则 d1+d2 的最小值是________.

[答案]

5 5 |3-1| 5 = , 5 4+16

[解析] l1 与 l2 的距离 d= 则 d1+d2≥d= 5 , 5 5 . 5

即 d1+d2 的最小值是

24 . 两条平行线分别经过点 (1,0) 和 (0,5) ,且两条直线的距离为 5 ,它们的方程是 ____________. [答案] y=5 和 y=0 或者 5x-12y+60=0 和 5x-12y-5=0. [解析] 设 l1:y=kx+5,l2:x=my+1,在 l1 上取点 A(0,5). 由题意 A 到 l2 距离为 5, ∴ |0-5m-1| 12 2 =5,解得 m= 5 , 1+m

∴l2:5x-12y-5=0. 在 l2 上取点 B(1,0).则 B 到 l1 的距离为 5, ∴ |k-0+5| =5, 1+k2

5 ∴k=0 或 k= , 12 ∴l1:y=5 或 5x-12y+60=0, 结合 l2 斜率不存在的情况知两直线方程分别为: l1:y=5,l2:y=0; 或 l1:5x-12y+60=0,l2:5x-12y-5=0. 三解答题 1.已知直线 l1 的方程为 y=-2x+3,l2 的方程为 y=4x-2,直线 l 与 l1 平行且与 l2 在 y 轴上的截距相同,求直线 l 的方程. [解析] 由斜截式方程知直线 l1 的斜率 k1=-2. 又∵l∥l1,∴l 的斜率 k=k1=-2. 由题意知 l2 在 y 轴上的截距为-2, ∴l 在 y 轴上的截距 b=-2, ∴由斜截式可得直线 l 的方程为 y=-2x-2. 2.已知△ABC 的三个顶点分别是 A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),试求 BC 边上的高所 在直线的点斜式方程. [分析] BC 边上的高与边 BC 垂直,由此求得 BC 边上的高所在直线的斜率,从而由点

斜式得直线方程. [解析] 设 BC 边上的高为 AD,则 BC⊥AD, ∴kBCkAD=-1. ∴ 2+3 3 k =-1,解得 kAD= . 5 0-3 AD

3 ∴BC 边上的高所在直线的点斜式方程是 y-0= (x+5). 5 3 即 y= x+3. 5 3.已知直线 y=- 条件的直线 l 的方程. (1)过点 P(3,-4); (2)在 x 轴上截距为-2; (3)在 y 轴上截距为 3. [解析] 直线 y=- 3 3 x+5 的斜率 k=tanα=- ,∴α=150° , 3 3 3 . 3 3 x+5 的倾斜角是直线 l 的倾斜角的大小的 5 倍,分别求满足下列 3

故所求直线 l 的倾斜角为 30° ,斜率 k′= (1)过点 P(3,-4),由点斜式方程得: y+4= ∴y= 3 (x-3), 3

3 x- 3-4. 3

(2)在 x 轴截距为-2,即直线 l 过点(-2,0), 由点斜式方程得:y-0= 3 3 2 3 (x+2),∴y= x+ . 3 3 3 3 x+3. 3

(3)在 y 轴上截距为 3,由斜截式方程得 y=

3 4.求与两坐标轴围成面积是 12,且斜率为- 的直线方程. 2 3 [解析] 设直线方程为 y=- x+b, 2 2 令 y=0 得 x= b, 3 1 2 由题意知 · |b|· | b|=12,∴b2=36, 2 3 3 ∴b=± 6,∴所求直线方程为 y=- x± 6. 2 5.求过点 P(6,-2),且在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 1 的直线方程.

x y [解析] 设直线方程的截距式为 + =1. a+1 a 则 -2 6 + =1,解得 a=2 或 a=1, a+1 a

x y x y 则直线方程是 + =1 或 + =1, 2+1 2 1+1 1 即 2x+3y-6=0 或 x+2y-2=0. 6.已知三角形的顶点是 A(8,5)、B(4,-2)、C(-6,3),求经过每两边中点的三条直线 的方程. 3 [解析] 设 AB、BC、CA 的中点分别为 D、E、F,根据中点坐标公式得 D(6, )、E(- 2 3 y- 2 x-6 1 1, )、F(1,4).由两点式得 DE 的直线方程为 = .整理得 2x-14y+9=0,这就是 2 1 3 -1-6 - 2 2 直线 DE 的方程. 1 y- 2 x-?-1? 由两点式得 = , 1 1-?-1? 4- 2

整理得 7x-4y+9=0,这就是直线 EF 的方程. 3 y- 2 x-6 由两点式得 = 3 1-6 4- 2 整理得 x+2y-9=0 这就是直线 DF 的方程. 7.△ABC 的三个顶点分别为 A(0,4),B(-2,6),C(-8,0). (1)分别求边 AC 和 AB 所在直线的方程; (2)求 AC 边上的中线 BD 所在直线的方程; (3)求 AC 边的中垂线所在直线的方程; (4)求 AC 边上的高所在直线的方程; (5)求经过两边 AB 和 AC 的中点的直线方程.

x y [解析] (1)由 A(0,4),C(-8,0)可得直线 AC 的截距式方程为 + =1,即 x-2y+8= -8 4 0. y-4 x-0 由 A(0,4),B(-2,6)可得直线 AB 的两点式方程为 = ,即 x+y-4=0. 6-4 -2-0 (2)设 AC 边的中点为 D(x,y),由中点坐标公式可得 x=-4,y=2,所以直线 BD 的两 y-6 x+2 点式方程为 = ,即 2x-y+10=0. 2-6 -4+2 4-0 1 (3)由直线 AC 的斜率为 kAC= = , 故 AC 边的中垂线的斜率为 k=-2.又 AC 的中点 0+8 2 D(-4,2), 所以 AC 边的中垂线方程为 y-2=-2(x+4), 即 2x+y+6=0. (4)AC 边上的高线的斜率为-2,且过点 B(-2,6),所以其点斜式方程为 y-6=-2(x+ 2),即 2x+y-2=0. (5)AB 的中点 M(-1,5),AC 的中点 D(-4,2), y-2 x-?-4? ∴直线 DM 方程为 = , 5-2 -1-?-4? 即 x-y+6=0. 8.求分别满足下列条件的直线 l 的方程: 3 (1)斜率是 ,且与两坐标轴围成的三角形的面积是 6; 4 (2)经过两点 A(1,0),B(m,1); (3)经过点(4,-3),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等. [分析]欲求直线的方程,关键是根据已知条件选择一种最合适的形式. 3 [解析](1)设直线 l 的方程为 y= x+b. 4 4 令 y=0,得 x=- b, 3 1 4 ∴ |b· (- b)|=6,b=± 3. 2 3 4 ∴直线 l 的方程为 y= x± 3 3 (2)当 m≠1 时,直线 l 的方程是 y-0 x-1 1 = ,即 y= (x-1) 1-0 m-1 m-1 当 m=1 时,直线 l 的方程是 x=1. (3)设 l 在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a、b.

x y 当 a≠0,b≠0 时,l 的方程为 + =1; a b 4 3 ∵直线过 P(4,-3),∴ - =1. a b 又∵|a|=|b|, 4 3 ? ? ? ?a-b=1, ?a=1, ?a=7, ∴? 解得? 或? ?b=1 ?b=-7. ? ? ?a=± ? b. 当 a=b=0 时,直线过原点且过(4,-3), 3 ∴l 的方程为 y=- x. 4 x y 3 综上所述,直线 l 的方程为 x+y=1 或 + =1 或 y= x. 7 -7 4 [点评]明确直线方程的几种特殊形式的应用条件,如(2)中 m 的分类,再如(3)中,直线 在两坐标轴上的截距相等包括截距都为零的情况. 9.把直线 l 的一般式方程 2x-3y-6=0 化成斜截式,求出直线 l 的斜率以及它在 x 轴 与 y 轴上的截距,并画出图形. [分析] 求 l 在 x 轴上的截距, 即求直线 l 与 x 轴交点的横坐标. 在 l 的方程中令 y=0, 解出 x 值,即为 x 轴上的截距,令 x=0,解出 y 值,即为 y 轴上的截距. [解析] 由 2x-3y-6=0 得 3y=2x-6, 2 ∴y= x-2, 3 2 2 即直线 l 的一般式方程化成斜截式为 y= x-2,斜率为 . 3 3 在 l 的方程 2x-3y-6=0 中,

令 y=0,得 x=3;令 x=0,得 y=-2. 即直线 l 在 x 轴与 y 轴上的截距分别是 3,-2. 则直线 l 与 x 轴,y 轴交点分别为 A(3,0),B(0,-2),过点 A,B 作直线,就得直线 l 的图形,如右图所示.

[点评] 已知一般式方程讨论直线的性质:①令 x=0,解得 y 值,即为直线在 y 轴上的 截距,令 y=0,解得 x 值,即为直线在 x 轴上的截距,从而确定直线与两坐标轴的交点坐 标,从而画出图形.当然也可将一般式方程化为截距式来解决;②化为斜截式可讨论斜率与 倾斜角,以及在 y 轴上的截距. 10.(1)已知三直线 l1?2x-4y+7=0,l2?x-2y+5=0,l3?4x+2y-1=0,求证:l1 ∥l2,l1⊥l3; (2)求过点 A(2,2)且分别满足下列条件的直线方程: ?与直线 l:3x+4y-20=0 平行; ?与直线 l:3x+4y-20=0 垂直. [解析] (1)把 l1、l2、l3 的方程写成斜截式得 1 7 1 5 l1?y= x+ ;l2?y= x+ ; 2 4 2 2 1 l3?y=-2x+ , 2 1 7 5 ∵k1=k2= ,b1= ≠ =b2,∴l1∥l2. 2 4 2 ∵k3=-2,∴k1· k3=-1,∴l1⊥l3. 3 (2)解法 1:已知直线 l:3x+4y-20=0 的斜率 k=- . 4 ?过 A(2,2)与 l 平行的直线方程为 3 y-2=- (x-2).即 3x+4y-14=0. 4 1 4 ?过 A 与 l 垂直的直线的斜率 k1=- = k 3 4 方程为 y-2= (x-2).即 4x-3y-2=0 为所求. 3 解法 2:?设所求直线方程为 3x+4y+c=0, 由(2,2)点在直线上,∴3?2+4?2+c=0, ∴c=-14.∴所求直线为 3x+4y-14=0. ?设所求直线方程为 4x-3y+λ=0, 由(2,2)点在直线上,∴4?2-3?2+λ=0, ∴λ=-2.∴所求直线为 4x-3y-2=0. 11.求与直线 3x-4y+7=0 平行,且在两坐标轴上截距之和为 1 的直线 l 的方程. [解析] 解法 1:由题意知:可设 l 的方程为 3x-4y+m=0, m m 则 l 在 x 轴、y 轴上的截距分别为- , . 3 4 m m 由- + =1 知,m=-12. 3 4

∴直线 l 的方程为:3x-4y-12=0. x y 解法 2:设直线方程为 + =1, a b a+b=1, ? ? ? ?a=4 由题意得? b 3 解得? . ?b=-3 ? ?-a=4. ? x y ∴直线 l 的方程为: + =1. 4 -3 即 3x-4y-12=0. 12.设直线 l 的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条件分别确定 实数 m 的值. (1)l 在 x 轴上的截距为-3; (2)斜率为 1. [解析] (1)令 y=0,依题意得 m -2m-3≠0 ① ? ? ? 2m-6 =-3 ② 2 ? ?m -2m-3 由①得 m≠3 且 m≠-1; 5 由②得 3m2-4m-15=0,解得 m=3 或 m=- . 3 5 综上所述,m=- 3 2m +m-1≠0 ③ ? ? (2)由题意得?-?m2-2m-3? , =1 ④ 2 ? ? 2m +m-1 1 由③得 m≠-1 且 m≠ , 2 4 4 解④得 m=-1 或 , ∴m= . 3 3 13.判断下列各对直线的位置关系,若相交,求出交点坐标: (1)l1:2x-y+3=0,l2:x+2y-1=0; (2)l1:3x+4y+2=0,l2:6x+8y+3=0; (3)l1:x-y+1=0,l2:2x-2y+2=0.
? ? ?2x-y+3=0, ?x=-1, [解析] (1)解方程组? 得? ?x+2y-1=0, ?y=1, ? ?
2 2

所以直线 l1 与 l2 相交,交点坐标为(-1,1).

? ?3x+4y+2=0, ① (2)解方程组? ?6x+8y+3=0, ② ?

①?2-②得 1=0,矛盾,方程组无解. 所以直线 l1 与 l2 无公共点,即 l1∥l2.
?x-y+1=0, ① ? (3)解方程组? ? ?2x-2y+2=0, ②

①?2 得 2x-2y+2=0. 因此,①和②可以化为同一个方程,即①和②表示同一条直线,所以直线 l1 与 l2 重合. 14.已知直线 x+y-3m=0 和 2x-y+2m-1=0 的交点 M 在第四象限,求实数 m 的取 值范围. [分析] 解方程组得交点坐标,再根据点 M 在第四象限列出不等式组,解得 m 的取值 范围.
? ?x+y-3m=0, 由? 得 ?2x-y+2m-1=0, ?

[解析]

1 , ?x=m+ 3 ? 8m-1 ?y= 3 .

m+1 8m-1 ∴交点 M 的坐标为( , ). 3 3 ∵交点 M 在第四象限, 1 >0, ?m+ 3 ∴? 8m-1 ? 3 <0,

1 1 解得-1<m< .∴m 的取值范围是(-1, ). 8 8

15.直线 l 过定点 P(0,1),且与直线 l1:x-3y+10=0,l2:2x+y-8=0 分别交于 A、B 两点.若线段 AB 的中点为 P,求直线 l 的方程. [解析] 解法 1:设 A(x0,y0),由中点公式,有 B(-x0,2-y0),∵A 在 l1 上,B 在 l2 上,
?x0-3y0+10=0 ?x0=-4 ? ? ∴? ?? , ? ? ?-2x0+?2-y0?-8=0 ?y0=2

∴kAP=

1-2 1 =- , 4 0+4

1 故所求直线 l 的方程为:y=- x+1, 4 即 x+4y-4=0. 解法 2:设所求直线 l 方程为: y=kx+1,l 与 l1、l2 分别交于 M、N.

? ?y=kx+1 10k-1 7 解方程组? ?N( , ) 3 k - 1 3k-1 ?x-3y+10=0 ? ?y=kx+1 ? 8k+2 7 解方程组? ?M( , ) k+2 k+2 ?2x+y-8=0 ?

∵M、N 的中点为 P(0,1)则有: 1 7 7 1 ( + )=0?∴k=- . 2 3k-1 k+2 4 故所求直线 l 的方程为 x+4y-4=0. 解法 3:设所求直线 l 与 l1、l2 分别交于 M(x1,y1)、N(x2,y2),P(0,1)为 MN 的中点,则 有:
?x1+x2=0, ?x2=-x1, ? ? ? ?? ? ? ?y1+y2=2 ?y2=2-y1.

代入 l2 的方程,得: 2(-x1)+2-y1-8=0 即 2x1+y1+6=0.
? ?x1-3y1+10=0 解方程组? ?M(-4,2). ?2x1+y1+6=0 ?

由两点式:所求直线 l 的方程为 x+4y-4=0. 解法 4:同解法 1,设 A(x0,y0),
?x0-3y0+10=0 ? ? ,两式相减得 x0+4y0-4=0,(1) ?2x0+y0+6=0 ?

考察直线 x+4y-4=0,一方面由(1)知 A(x0,y0)在该直线上;另一方面,P(0,1)也在该 直线上, 从而直线 x+4y-4=0 过点 P、 A.根据两点决定一条直线知, 所求直线 l 的方程为: x+4y-4=0. 16. 求证: 不论 m 取什么实数, 直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0 都经过一个定点, 并求出这个定点的坐标. [分析] 题目所给的直线方程的系数中含有字母 m,给定 m 一个实数值,就可以得到一 条确定的直线,因此所给的方程是以 m 为参数的直线系方程,要证明这个直线系中的直线 都过一定点,就是证明它是一个共点的直线系,我们可以给出 m 的两个特殊值,得到直线 系中的两条直线,它们的交点即是直线系中任何直线都过的定点. 另一思路是:由于方程对任意的 m 都成立,那么就以 m 为未知数,整理为关于 m 的一 元一次方程,再由一元一次方程有无数个解的条件求得定点的坐标. [解析] 证法一:对于方程(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0, 令 m=0,得 x-3y-11=0;令 m=1,得 x+4y+10=0.

? ?x-3y-11=0, 解方程组? 得两直线的交点为(2,-3). ?x+4y+10=0, ?

将点(2,-3)代入已知直线方程左边,得 (2m-1)?2+(m+3)?(-3)-(m-11)=4m-2-3m-9-m+11=0. 这表明不论 m 取什么实数,所给直线都经过定点(2,-3). 证法二:将已知方程以 m 为未知数,整理为(2x+y-1)m+(-x+3y+11)=0.
? ? ?2x+y-1=0, ?x=2, 因为 m 可以取任意实数,所以有? 解得? ?-x+3y+11=0, ?y=-3. ? ?

所以不论 m 取什么实数所给的直线都经过定点(2,-3). 规律总结: (1)分别令参数取两个特殊值得方程组, 求出点的坐标, 代入原方程满足, 则此点为定点. (2)直线过定点,即与参数无关,则参数的同次幂的系数为 0,从而求出定点. 17.已知△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(-3,1),B(3,-3),C(1,7), (1)求 BC 边上的中线 AM 的长; (2)证明△ABC 为等腰直角三角形. [解析] (1)设点 M 的坐标为(x,y), 1 =2, ?x=3+ 2 ∵点 M 为 BC 边的中点,∴? -3+7 ?y= 2 =2, 由两点间的距离公式得: |AM|= ?-3-2?2+?1-2?2= 26. ∴BC 边上的中线 AM 长为 26. (2)由两点间的距离公式得 |AB|= ?-3-3?2+?1+3?2=2 13, |BC|= ?1-3?2+?7+3?2=2 26, |AC|= ?-3-1?2+?1-7?2=2 13, ∵|AB|2+|AC|2=|BC|2,且|AB|=|AC|, ∴△ABC 为等腰直角三角形. 18.求证:等腰梯形的对角线相等. [证明] 已知:等腰梯形 ABCD. 求证:AC=BD. 证明:以 AB 所在直线为 x 轴,以 AB 的中点为坐标原点建立如图平面直角坐标系.

即 M(2,2),

设 A(-a,0)、D(b,c),由等腰梯形的性质知 B(a,0),C(-b,c). 则|AC|= ?-b+a?2+?c-0?2= ?a-b?2+c2, |BD|= ?b-a?2+?0-c?2= ?a-b?2+c2, ∴|AC|=|BD|. 即:等腰梯形的对角线相等. 19. 已知直线 l1: 2x+y-6=0 和 A(1, -1), 过点 A 作直线 l2 与已知直线交于点 B 且|AB| =5,求直线 l2 的方程. [解析] 当直线 l2 的斜率存在时,设其为 k,则 l2:y+1=k?x-1?? ? ??(k+2)x=k+7, ? 又由2x+y-6=0 ? k+7 k+7 4k-2 而 k≠-2,故解得 x= ,所以 B( , ), k+2 k+2 k+2 又由|AB|=5,利用两点间距离公式得 k+7 4k-2 3 ? -1?2+? +1?2=5?k=- , 4 k+2 k+2 此时 l2 的方程为 3x+4y+1=0. 而当 l2 的斜率不存在时,l2 的方程为 x=1. 此时点 B 坐标为(1,4),则|AB|=|4-(-1)|=5,也满足条件综上,l2 的方程为 3x+4y+1 =0 或 x=1. 20.如下图所示,一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路,已知矩形花园的长 AD= 5 m, 宽 AB=3 m, 其中一条小路定为 AC, 另一条小路过点 D, 问是否在 BC 上存在一点 M, 使得两条小路 AC 与 DM 相互垂直?若存在,则求出小路 DM 的长.

[分析] 建立适当的坐标系,转几何问题为代数运算.

[解析] 以 B 为坐标原点, BC、 BA 所在直线为 x、 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系.

因为 AD=5 m,AB=3 m, 所以 C(5,0),D(5,3),A(0,3). 设点 M 的坐标为(x,0),因为 AC⊥DM, 所以 kAC· kDM=-1, 即 3-0 3-0 · =-1. 0-5 5-x

所以 x=3.2,即 BM=3.2, 即点 M 的坐标为(3.2,0)时,两条小路 AC 与 DM 相互垂直. 故在 BC 上存在一点 M(3.2,0)满足题意. 3 由两点间距离公式得 DM= ?5-3.2?2+?3-0?2= 34. 5 21.已知正方形的中心为直线 2x-y+2=0 和 x+y+1=0 的交点,其一边所在直线的 方程为 x+3y-5=0,求其它三边的方程.
? ? ?2x-y+2=0, ?x=-1, [解析] 由? 解得? ?x+y+1=0, ?y=0, ? ?

即该正方形的中心为(-1,0). 所求正方形相邻两边方程 3x-y+p=0 和 x+3y+q=0. ∵中心(-1,0)到四边距离相等, ∴ |-3+p| |-1+q| 6 6 = , = , 10 10 10 10

解得 p1=-3,p2=9 和 q1=-5,q2=7, ∴所求方程为 3x-y-3=0,3x-y+9=0,x+3y+7=0. 22.在△ABC 中,A(3,2),B(-1,5),点 C 在直线 3x-y+3=0 上,若△ABC 的面积为 10,求点 C 的坐标. [解析] 由题知|AB|= ?3+1?2+?2-5?2=5, 1 ∵S△ABC= |AB|· h=10,∴h=4. 2

3 设点 C 的坐标为(x0,y0),而 AB 的方程为 y-2=- (x-3),即 3x+4y-17=0. 4 3x -y +3=0, ? ? 0 0 ∴?|3x0+4y0-17| =4, ? 5 ?

? ? ?x0=3, ?x0=-1, ? 解得 或? ?y0=0 ? ? ?y0=8.
5 ∴点 C 的坐标为(-1,0)或( ,8). 3 23.求经过点 P(1,2)的直线,且使 A(2,3),B(0,-5)到它的距离相等的直线方程. [分析] 解答本题可先设出过点 P 的点斜式方程,注意斜率不存在的情况,要分情况讨 论, 然后再利用已知条件求出斜率, 进而写出直线方程. 另外, 本题也可利用平面几何知识, 先判断直线 l 与直线 AB 的位置关系,再求 l 方程.事实上,l∥AB 或 l 过 AB 中点时,都满 足题目的要求. [解析] 方法一:当直线斜率不存在时,即 x=1,显然符合题意,当直线斜率存在时, 设所求直线的斜率为 k,即直线方程为 y-2=k(x-1), |2k-3-k+2| |5-k+2| 由条件得 = ,解得 k=4, k2+1 k2+1 故所求直线方程为 x=1 或 4x-y-2=0. 方法二:由平面几何知识知 l∥AB 或 l 过 AB 中点. ∵kAB=4, 若 l∥AB,则 l 的方程为 4x-y-2=0. 若 l 过 AB 中点(1,-1),则直线方程为 x=1, ∴所求直线方程为 x=1 或 4x-y-2=0. 规律总结:针对这个类型的题目常用的方法是待定系数法,即先根据题意设出所求 方程,然后求出方程中有关的参量.有时也可利用平面几何知识先判断直线 l 的特征,然后 由已知直接求出直线 l 的方程. 24.直线 l 在两坐标轴上的截距相等,且 P(4,3)到直线 l 的距离为 3 2,求直线 l 的方 程. [解析] (1)当所求直线经过坐标原点时, 设其方程为 y=kx,由点到直线的距离公式可得 3 2= |4k-3| 1+k
2,解得

5

3 k=-6± 14. 2

3 故所求直线的方程为 y=(-6± 14)x. 2

(2)当直线不经过坐标原点时, x y 设所求直线方程为 + =1,即 x+y-a=0. a a |4+3-a| 由题意可得 =3 2.解得 a=1 或 a=13. 2 故所求直线的方程为 x+y-1=0 或 x+y-13=0. 综上可知,所求直线的方程为 3 y=(-6± 14)x 或 x+y-1=0 或 x+y-13=0. 2

章节测试
一、选择题 1.下列直线中与直线 x-2y+1=0 平行的一条是(). A.2x-y+1=0 C.2x+4y+1=0 B.2x-4y+2=0 D.2x-4y+1=0

2.已知两点 A(2,m)与点 B(m,1)之间的距离等于 13 ,则实数 m=(). A.-1 B.4 C.-1 或 4 D.-4 或 1

3.过点 M(-2,a)和 N(a,4)的直线的斜率为 1,则实数 a 的值为(). A.1 B.2 C.1 或 4 D.1 或 2

4.如果 AB>0,BC>0,那么直线 Ax―By―C=0 不经过的象限是(). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

5.已知等边△ABC 的两个顶点 A(0,0),B(4,0),且第三个顶点在第四象限,则 BC 边所在的直线方程是(). A.y=- 3 x C.y= 3 (x-4) B.y=- 3 (x-4) D.y= 3 (x+4)

6.直线 l:mx-m2y-1=0 经过点 P(2,1),则倾斜角与直线 l 的倾斜角互为补角的一 条直线方程是(). A.x―y―1=0 C.x+y-3=0 B.2x―y―3=0 D.x+2y-4=0

7.点 P(1,2)关于 x 轴和 y 轴的对称的点依次是(). A.(2,1),(-1,-2) C.(1,-2),(-1,2) B.(-1,2),(1,-2) D.(-1,-2),(2,1)

8. 已知两条平行直线 l1 : 3x+4y+5=0, l2 : 6x+by+c=0 间的距离为 3, 则 b+c=(). A.-12 B.48 C.36 D.-12 或 48

9.过点 P(1,2),且与原点距离最大的直线方程是(). A.x+2y-5=0 C.x+3y-7=0 B.2x+y-4=0 D.3x+y-5=0

10.a,b 满足 a+2b=1,则直线 ax+3y+b=0 必过定点().
? 1 1? A . ?- , ? ? 6 2? 1? ?1 B. ? ,- ? 6? ?2 ?1 1? C. ? , ? ?2 6? 1? ?1 D. ? ,- ? 2? ?6

二、填空题 11.已知直线 AB 与直线 AC 有相同的斜率,且 A(1,0),B(2,a),C(a,1),则实数

a 的值是____________. 12.已知直线 x-2y+2k=0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于 1,则实数 k 的 取值范围是____________. 13.已知点(a,2)(a>0)到直线 x-y+3=0 的距离为 1,则 a 的值为________. 14.已知直线 ax+y+a+2=0 恒经过一个定点,则过这一定点和原点的直线方程是 ____________________. 15.已知实数 x,y 满足 5x+12y=60,则 x 2 + y 2 的最小值等于____________. 三、解答题 16.求斜率为
3 ,且与坐标轴所围成的三角形的周长是 12 的直线方程. 4

17.过点 P(1,2)的直线 l 被两平行线 l1 : 4x+3y+1=0 与 l2 : 4x+3y+6=0 截得的线 段长|AB|= 2 ,求直线 l 的方程. 18.已知方程(m2―2m―3)x+(2m2+m-1)y+6-2m=0(m∈R). (1)求该方程表示一条直线的条件; (2)当 m 为何实数时,方程表示的直线斜率不存在?求出这时的直线方程; (3)已知方程表示的直线 l 在 x 轴上的截距为-3,求实数 m 的值; (4)若方程表示的直线 l 的倾斜角是 45° ,求实数 m 的值. 19.△ABC 中,已知 C(2,5),角 A 的平分线所在的直线方程是 y=x,BC 边上高线所 在的直线方程是 y=2x-1,试求顶点 B 的坐标.

参考答案
一、选择题 1.D 解析:利用 A1B2-A2B1=0 来判断,排除 A,C,而 B 中直线与已知直线重合. 2.C
2 2 解析:因为|AB|= (2 -m) +(m-1) = 13 ,所以 2m2-6m+5=13.

解得 m=-1 或 m=4. 3.A 解析:依条件有 4.B
4 - a  =1,由此解得 a=1. a+2

解析:因为 B≠0,所以直线方程为 y=

A C A C x- ,依条件 >0, >0.即直线的斜 B B B B

率为正值,纵截距为负值,所以直线不过第二象限. 5.C 解析:因为△ABC 是等边三角形,所以 BC 边所在的直线过点 B,且倾斜角为 所以 BC 边所在的直线方程为 y= 3 (x-4). 6.C 解析:由点 P 在 l 上得 2m―m2―1=0,所以 m=1.即 l 的方程为 x―y―1=0. 所以所求直线的斜率为-1,显然 x+y-3=0 满足要求. 7.C 解析:因为点(x,y)关于 x 轴和 y 轴的对称点依次是(x,-y)和(-x,y), 所以 P(1,2)关于 x 轴和 y 轴的对称的点依次是(1,-2)和(-1,2). 8.D 解析:将 l1 : 3x+4y+5=0 改写为 6x+8y+10=0, 因为两条直线平行,所以 b=8. 由
10 - c 6 2 + 82

π , 3

=3,解得 c=-20 或 c=40.所以 b+c=-12 或 48.

9.A 解析:设原点为 O,依条件只需求经过点 P 且与直线 OP 垂直的直线方程, 因为 kOP=2,所以所求直线的斜率为- 所以满足条件的直线方程为 y-2=- 10.B 解析:方法 1:因为 a+2b=1,所以 a=1-2b. 所以直线 ax+3y+b=0 化为(1-2b)x+3y+b=0. 整理得(1-2x)b+(x+3y)=0. 所以当 x=
1 1 ,y=- 时上式恒成立. 2 6 1 ,且过点 P. 2

1 (x-1),即 x+2y-5=0. 2

1 ? ? 1 所以直线 ax+3y+b=0 过定点 ? ,- ? . 6 ? ? 2

方法 2:由 a+2b=1 得 a-1+2b=0.进一步变形为 a?

1 ? 1? +3? ?- ? +b=0. 2 ? 6?

这说明直线方程 ax+3y+b=0 当 x=

1 1 ,y=- 时恒成立. 2 6

1 ? ? 1 所以直线 ax+3y+b=0 过定点 ? ,- ? . 6 ? ? 2

二、填空题 11.
1? 5 . 2 1? 5 a - 0 1- 0 = ,所以 a2―a―1=0.解得 a= . 2 2 -1 a -1

解析:由已知得

12.-1≤k≤1 且 k≠0. 解析:依条件得
1 ?|2k|?|k|≤1,其中 k≠0(否则三角形不存在). 2

解得-1≤k≤1 且 k≠0. 13. 2 -1. 解析:依条件有
a - 2+3 12 +12

=1.解得 a= 2 -1,a=- 2 -1(舍去).

14.y=2x. 解析:已知直线变形为 y+2=-a(x+1),所以直线恒过点(―1,―2). 故所求的直线方程是 y+2=2(x+1),即 y=2x.

15.

60 . 13 解析:因为实数 x,y 满足 5x+12y=60,

所以 x 2 + y 2 表示原点到直线 5x+12y=60 上点的距离. 所以 x 2 + y 2 的最小值表示原点到直线 5x+12y=60 的距离. 容易计算 d= 三、解答题 16.解:设所求直线的方程为 y=
3 x+b, 4 60 60 60 = .即所求 x 2 + y 2 的最小值为 . 13 13 25 +144

令 x=0,得 y=b,所以直线与 y 轴的交点为(0,b); 令 y=0,得 x=-
4 ? 4 ? b,所以直线与 x 轴的交点为 ?- b, 0 ? . 3 ? 3 ?

4 ? 4 ? 由已知,得|b|+ - b + b 2 + ?- b ? =12,解得 b=±3. 3 ? 3 ?

2

故所求的直线方程是 y=

3 x±3,即 3x-4y±12=0. 4

17.解:当直线 l 的方程为 x=1 时,可验证不符合题意,故设 l 的方程为 y-2=k(x- 1),
? y = kx + 2 - k ? 3k - 7 - 5 k + 8 ? , 由? 解得 A ? ?; 3k + 4 ? 4 x + 3 y + 1 = 0 ? 3k + 4 ? ? y = kx + 2 - k ? 3k -12 8 -10 k ? , 由? 解得 B ? ?. 3k + 4 ? 4 x + 3 y + 6 = 0 ? 3k + 4 ?

? 5 ? ? 5k ? 因为|AB|= 2 ,所以 ? ? +? ? ? 3k + 4 ? ? 3k + 4 ?

2

2

= 2.
1 . 7

整理得 7k2-48k-7=0.解得 k1=7 或 k2=-

故所求的直线方程为 x+7y-15=0 或 7x―y―5=0. 18.解:(1)当 x,y 的系数不同时为零时,方程表示一条直线, 令 m2―2m―3=0,解得 m=-1,m=3; 令 2m2+m-1=0,解得 m=-1,m=
1 . 2

所以方程表示一条直线的条件是 m∈R,且 m≠-1. (2)由(1)易知,当 m= 此时的方程为 x= (3)依题意,有
1 时,方程表示的直线的斜率不存在, 2

4 ,它表示一条垂直于 x 轴的直线. 3

2m - 6 =-3,所以 3m2-4m-15=0. m - 2m - 3
2

所以 m=3,或 m=-

5 5 ,由(1)知所求 m=- . 3 3

(4)因为直线 l 的倾斜角是 45? ,所以斜率为 1. 故由-
4 m 2 - 2m - 3 =1,解得 m= 或 m=-1(舍去). 2 3 2m + m -1 4 . 3

所以直线 l 的倾斜角为 45° 时,m=

? y = 2 x -1 19.解:依条件,由 ? 解得 A(1,1). ?y = x

因为角 A 的平分线所在的直线方程是 y=x,所以点 C(2,5)关于 y=x 的对称点 C'(5,

2)在 AB 边所在的直线上. AB 边所在的直线方程为 y-1=
2 -1 (x-1),整理得 x-4y+3=0. 5 -1

又 BC 边上高线所在的直线方程是 y=2x-1,所以 BC 边所在的直线的斜率为-
1 . 2 1 (x-2)+5,整理得 x+2y-12=0. 2

BC 边所在的直线的方程是 y=―

5? ? 联立 x-4y+3=0 与 x+2y-12=0,解得 B ? 7, ? 2? ?


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