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数学必修四1.4.2正弦余弦函数的性质(二)奇偶性和单调性

时间:2014-03-03


正弦函数和余弦函数的 奇偶性和单调性

1. 复习:
(一)正弦函数和余弦函数的图像
y
1 ??? ??? ?? O ??

y = sin x, x∈ R
? ?? ?? ??

x

y
? ??? ??? ?? O ??

y = cos x, x∈ R
? ?? ?? ??

x

(二)正弦函数和余弦函数的性质 (1) 定义域

正弦函数和余弦函数的定义域都是实数集 R.

? ?

(2)值域: 正弦函数和余弦函数的值域都是 [-1,1] .
正弦函数 y ? sin x 2 ? 当且仅当 x ? ? ? 2k? , k ? Z 时取得最小值? 1 . 2 余弦函数 y ? cos x 当且仅当 x ? 2k? , k ? Z 时取得最大值 1 ,
当且仅当 x ? (2k ? 1) ? , k ? Z 时取得最小值 ? 1 .

当且仅当 x ?

?

? 2k? , k ? Z 时取得最大值1 ,

(3)周期性:正弦函数和余弦函数都是周期函数, 2k? (k∈Z且k≠0) 都是它们的周期,最小正周期是2?.

? (4) 正弦函数和余弦函数的奇偶性 y 对于正弦函数 y = sin x,
1 ??? ??? ?? O ??

y = sin x, x∈ R
? ?? ?? ??

x

设 (x,y) 即 (x,sinx) 为 y = sin x (x?R)图像上任一点,它 关于原点的对称点是 ( ? x,? y ),也就是 (? x,? sinx ), 而由诱导公式,sin(?x) = ? sinx, 所以,图象上任一点关于原点的对称点是 (?x,sin(?x)), 它也在 y = sin x (x?R) 图象上. 所以 , 正弦曲线关于原点对称.

定义:如果对于函数 f (x) 的定义域内任意一个 x,都有 f (-x) = - f (x),那么函数 f (x) 就叫做这一 定义域内的奇函数. 奇函数的图象关于原点对称.
所以,正弦函数是奇函数,其图像关于原点对称.

?

对于余弦函数 y = cos x ( x?R ) ,
y
? ??? ??? ?? O ??

y = cos x, x∈ R
? ?? ?? ??

x

设 (x,y) 即 (x,cos x) 为 y = cos x (x?R) 图像上任一点, 它关于 y 轴的对称点是 ( ? x, y ),也就是 (? x,cos x ), 而由诱导公式,cos ( ? x) = cos x, 所以,图象上任一点关于 y 轴的对称点是 (?x,cos (?x)) ,它 也在 y = cos x (x?R) 的图象上. 所以,余弦曲线关于y 轴对称.

定义:如果对于函数 f (x) 的定义域内任意一个 x,都有 f (?x) = f (x),那么函数 f (x) 就叫做这一定 义域内的偶函数. 偶函数的图像关于 y 轴对称.
所以,余弦函数是偶函数,其图像关于 y 轴对称.

? ?

?

? ?

定义:如果函数 f (x) 是奇函数或偶函数,那么 我们就说函数 f (x) 具有奇偶性 . 特别注意: (1)根据奇函数和偶函数的定义, 如果一个函数是奇函数或偶函数,那么这个函数的定 义域一定关于原点对称 . 反过来,如果函数的定义域 关于原点不对称,那么这个函数就不具有奇偶性. (2)我们知道,函数单调性是针对某个区间来说 的,是函数的局部性质;而函数的奇偶性是对函数的 整个定义域来说的,因而奇偶性是函数的整体性质. 判断函数奇偶性的方法: 先考察一下它的定义域,如果定义域关于原点不 对称,则可得结论函数不具有奇偶性,如果定义域关 于原点对称,再继续利用函数奇偶性的定义进行判断 .

由上面的讨论,因为 sin (?x) = ?sin x,cos(?x) = cos x,所以 ? 正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数. ? 所以,正弦曲线关于坐标原点 O 对称,余弦曲线 关于 y 轴对称. ? 下面我们将验证正弦曲线和余弦曲线的对称性, 请点击下面的按钮 ?
正、余弦曲线 的对称性

? (5) 正弦函数和余弦函数的单调性 ? 正弦函数的单调性 y
?
??? ??? ??

?

1

y = sin x, x∈ R
? 2
?

2 O
??

3? 2

??

??

??

x

x

? ?

2

???

0
0

???

?

2
1

???

?
0

???

3? 2
-1

sin x -1

y = sin x,(x∈R) ? ?? (k 增区间为?? ??? k? , ? k? ?2? , ?2 , ? Z)其值由-1增大到1; ? ? 2? ? ? 2 2 2? ?? ? 3 ? ? 3 ? ? ?? (k ? , ,? Z)其值由 1 减小到 -1. 减区间为 ? ? 2k? , ? 2k? ? ?? 2 2 ? ?2 ? 2 ?

余弦函数的单调性
y
? ??? ??? ?? O ??

y = cos x, x∈ R
? ?? ?? ??

x

x cos x

??
-1

???

?? 2
0

???

0 ???
1

?

2
0

??? ?
-1

增区间为 ?(2k ? ?? (k ? 1) ?, 2 ? ? , k?0 , ? Z) ,其值由-1增大到1; 减区间为 ? 2k? ?0 , (2k ) ? ?? (k ? , ?1 ? , Z), 其值由 1 减小到 -1.

y = cos x,(x∈R)

例 1 不通 过求 值,指出 下列 各式 大于0 还是 小于0 : ? ? ? ? ? ? (1) sin? ? ? ? sin? ? ? ; ? 18 ? ? 10 ? ? 23 ? ? 17 ? ( 2) cos? ? ? ? ? cos? ? ? ? . ? 5 ? ? 4 ?

例2 求下列函数的单调区间: y = 2sin (- x )
答案: 3? ?? ? 函数在 ? ? 2k? , ? 2k? ? ( k ? Z ) 单调递增. 2 ?2 ?

? ? ? ? 函数在 ?? ? 2k? , ? 2k? ? ( k ? Z ) 单调递减. 2 ? 2 ?

例3 求下列函数的单调区间:
(1) y = 3cos ( 2x ?
4

)

? (2) y = -| sin( x + )| 4

3? ? 单调增区间为 [k? ? , k? ? ] ( k ? Z ) ; 8 8 ? 5? 单调减区间为 [k? ? , k? ? ] (k ? Z ) . 8 8
答案 ( 2) : 单调增区间为 [k? ? 3? ? , k? ? ], ( k ? Z ); 4 4

答案:(1)

单调减区间为 [k? ?

?

4

, k? ?

?

4

] , (k ? Z ) .


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