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【步步高】2015届高考数学(理科,全国通用)二轮配套课件:专题二 第2讲 函数的应用


专题二 函数与导数

第 2讲

函数的应用

主干知识梳理

热点分类突破
真题与押题

1.函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范
围是高考的常见题型,主要以选择、填空题的
考 形式出现. 情 解 2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为

读 载体,主要考查函数的最值问题.

主干知识梳理
1.函数的零点与方程的根 (1)函数的零点 对于函数 f(x) ,我们把使 f(x) = 0 的实数 x 叫做函数 f(x)的 零点.

(2)函数的零点与方程根的关系
函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即

函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标.

(3)零点存在性定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条 曲线,且有f(a)· f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内 有零点,即存在 c∈(a,b)使得 f(c)= 0,这个 c也就是方程 f(x)=0的根. 注意以下两点: ①满足条件的零点可能不唯一; ②不满足条件时,也可能有零点. (4)二分法求函数零点的近似值,二分法求方程的近似解.

2.函数模型
解决函数模型的实际应用题,首先考虑题目考查的函数模

型,并要注意定义域 . 其解题步骤是 (1) 阅读理解,审清题
意:分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问

题;(2)数学建模:弄清题目中的已知条件和数量关系,建
立函数关系式;(3)解函数模型:利用数学方法得出函数模 型的数学结果;(4)实际问题作答:将数学问题的结果转化 成实际问题作出解答.

热点分类突破
? 热点一 ? 热点二 函数的零点 函数的零点与参数的范围

? 热点三

函数的实际应用问题

热点一

函数的零点

例1

是(

(1)函数f(x)=ln(x+1)- 2 的零点所在的区间 x ) B.(1,e-1) D.(2,e)
思维启迪

A.( 1,1) 2 C.(e-1,2)

根据二分法原
理,逐个判断;

3 1 解析 因为f( )=ln -4<0,f(1)=ln 2-2<0, 2 2 2 f(e-1)=1- <0,f(2)=ln 3-1>0, e-1

故零点在区间(e-1,2)内.

答案 C

(2)(2014· 辽宁)已知 f(x)为偶函数,当 x≥0 时,f(x)=
? ?cos πx, x∈ [0,1], ? 2 ? 1 ? 2x-1,x∈? ,+∞?, ? ? 2

1 则不等式 f(x-1)≤ 的解集 2
思维启迪 画出函数

为( ) 1 2 4 7 A.[ , ]∪[ , ] 4 3 3 4 1 3 4 7 C.[ , ]∪[ , ] 3 4 3 4

3 1 1 2 图象,利用 B.[- ,- ]∪[ , ] 4 3 4 3 数形结合思 3 1 1 3 D.[- ,- ]∪[ , ] 想解决. 4 3 3 4

解析

先画出y轴右边的图象,如图所示.

∵f(x)是偶函数,∴图象关于y轴对称,
1 ∴可画出y轴左边的图象,再画直线y= . 2

设与曲线交于点A,B,C,D,先分别求出A,B两
点的横坐标.
1 1 令 cos πx= ,∵x∈[0, ], 2 2 π 1 ∴πx= ,∴x= . 3 3 1 3 1 3 令 2x-1= ,∴x= ,∴xA= ,xB= . 2 4 3 4

1 根据对称性可知直线 y= 与曲线另外两个交点的横 2 3 1 坐标为 xC=- ,xD=- . 4 3 1 1 ∵f(x-1)≤ ,则在直线 y= 上及其下方的图象满足, 2 2 1 3 3 1 ∴ ≤x-1≤ 或- ≤x-1≤- , 3 4 4 3 4 7 1 2 ∴ ≤ x≤ 或 ≤ x≤ . 3 4 4 3 答案 A

函数零点(即方程的根)的确定问题,常见的有①函数

零点值大致存在区间的确定;②零点个数的确定;
③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定 .解
思 决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在 维 升 的判定或数形结合法,尤其是方程两端对应的函数 华

类型不同的方程多以数形结合求解.

变式训练1

(1)已知函数f(x)=( 1 )x-cos x,则f(x)在[0,2π]上的 4 零点个数是( C ) A.1 B.2 C.3 D.4
1 x 解析 f(x)在[0,2π]上的零点个数就是函数y=( ) 和 4 y=cos x的图象在[0,2π]上的交点个数, 而函数y=( 1 )x和y=cos x的图象在[0,2π]上的交点有 4 3个,故选C.

(2)已知a是函数f(x)=2x-log 1 x的零点,若0<x0<a,则

f(x0)的值满足( C )
A.f(x0)=0 C.f(x0)<0 解析 B.f(x0)>0

2

D.f(x0)的符号不确定
2

∵f(x)=2x-log 1x在(0,+∞)上是增函数,
2

又a是函数f(x)=2x-log 1x的零点,即f(a)=0, ∴当0<x0<a时,f(x0)<0.

热点二

函数的零点与参数的范围

例2 对任意实数a,b定义运算“?”:a?b= ? ?b,a-b≥1, 设f(x)=(x2-1)?(4+x),若函数y= ? ? ?a,a-b<1. f(x)+k的图象与x轴恰有三个不同交点,则k的取值 范围是(
A.(-2,1) C.[-2,0)

)
B.[0,1] D.[-2,1)

思维启迪

先确定函数 f(x) 的解析
式,再利用数形结合思想

求k的范围.

解析

解不等式:x2-1-(4+x)≥1,

得:x≤-2或x≥3,
?x+4,x∈?-∞,-2]∪[3,+∞?, 所以,f(x)=? 2 ?x -1,x∈?-2,3?.

函数 y = f(x) + k 的图象与 x 轴恰有三个不同交点转
化为函数 y = f(x) 的图象和直线 y =- k 恰有三个不

同交点.

如图,所以-1<-k≤2,故-2≤k<1.

答案

D

已知函数的零点个数求解参数范围,可以利用
思 维 利用函数方程思想,构造关于参数的方程或不 升 华 等式进行求解.

数形结合思想转为函数图象交点个数;也可以

变式训练2

定义在 R 上的函数 f(x) = ax3 + bx2 + cx(a≠0) 的单调 增区间为(-1,1),若方程3a(f(x))2+2bf(x)+c=0恰 有6个不同的实根,则实数a的取值范围是

________. 解析 ∵函数f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)的单调增区
间为(-1,1),∴-1和1是f′(x)=0的根, ∵f′(x)=3ax2+2bx+c,

? ??-1?+1=-2b ? 3a ∴? c ? ?-1?×1= ? ? 3a

,∴b=0,c=-3a,

∴f(x)=ax3-3ax, ∵3a(f(x))2+2bf(x)+c=0,

∴3a(f(x))2-3a=0,∴f2(x)=1,∴f(x)=±1,

?a-3a>1 ?f?1?>1 1 ∴? ,即? ,∴a<- . 2 ?f?-1?<-1 ?-a+3a<-1

答案

1 a<- 2

热点三

函数的实际应用问题

例3

省环保研究所对市中心每天环境放射性污染

情况进行调查研究后,发现一天中环境综合放射性 x 污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)=| 2 - a| x +1 +2a+ 2 ,x∈[0,24],其中a是与气象有关的参数, 3 1 且 a∈[0, ],若用每天 f(x)的最大值为当天的综合 2 放射性污染指数,并记作M(a).

x (1)令t= 2 ,x∈[0,24],求t的取值范围; x +1
思维启迪

分x=0和x≠0两种情况,当x≠0时变形使用基本不等式求解.

解 当x=0时,t=0; 1 当0<x≤24时,x+ ≥2(当x=1时取等号), x x 1 1 ∴t= 2 = ∈(0, ], 1 2 x +1 x+ x 1 即t的取值范围是[0,]. 2

(2)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过2, 试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标?
思维启迪 利用换元法把函数f(x)转化成g(t)=|t-a|+2a+ 函数g(t)写成分段函数后求M(a).

2 ,再把 3

1 2 解 当 a∈[0, ]时,记 g(t)=|t-a|+2a+ , 2 3
? ?-t+3a+2,0≤t≤a, ? 3 则 g(t)=? 2 1 ? t+a+ ,a<t≤ . ? ? 3 2

1 ]上单调递增, ∵g(t)在[0,a]上单调递减,在(a, 2 2 1 7 且 g(0)=3a+ ,g( )=a+ , 3 2 6

1 1 g(0)-g( )=2(a- ). 2 4 ? ?g?1?,0≤a≤1, ? 2 4 故 M(a)=? 1 1 ? g?0?, <a≤ . ? ? 4 2

? ?a+7,0≤a≤1, ? 6 4 即 M(a)=? 2 1 1 ? 3a+ , <a≤ . ? ? 3 4 2

1 7 当 0≤a≤ 时,M(a)=a+ <2 显然成立; 4 6
? ?3a+2≤2, ? 3 由? 1 ?1 <a≤ , ? ?4 2

1 4 得 <a≤ , 4 9

4 ∴当且仅当0≤a≤ 时,M(a)≤2. 9

4 4 1 故当 0≤a≤ 时不超标,当 <a≤ 时超标. 9 9 2

(1)关于解决函数的实际应用问题,首先要耐心、

细心地审清题意,弄清各量之间的关系,再建
立函数关系式,然后借助函数的知识求解,解
思 答后再回到实际问题中去. 维 升 (2) 对函数模型求最值的常用方法:单调性法、 华

基本不等式法及导数法.

变式训练3 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10
万元,每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年 内生产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件的
? ?10.8- 1 x2 ?0<x≤10?, 30 销售收入为R(x)万元,且R(x)=? ? ?108 1 000 - 2 ?x>10?. ? ? x 3x

(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;

x3 解 当0<x≤10时,W=xR(x)-(10+2.7x)=8.1x- -10; 30 1 000 当x>10时,W=xR(x)-(10+2.7x)=98- -2.7x. 3x
? ?8.1x- x -10 ?0<x≤10?, ? 30 ∴W=? 1 000 ? 98- -2.7x ?x>10?. ? ? 3x
3

(2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生 产中所获得的年利润最大?(注:年利润=年销售收入 -年总成本)

x2 解 ①当0<x≤10时,由W′=8.1- =0, 10 得x=9,且当x∈(0,9)时,W′>0;
当x∈(9,10)时,W′<0,∴当x=9时,W取得最大值,
且Wmax=8.1×9-

1 3 · 9 -10=38.6. 30

②当x>10时,
?1 000 ? ? ? +2.7x?≤98-2 W=98-? ? 3x ?

1 000 · 2.7x=38, 3x

1 000 100 当且仅当 =2.7x,即 x= 时,W=38, 9 3x 100 故当 x= 时,W 取最大值 38. 9 综合①②知:当x=9时,W取最大值38.6万元,
故当年产量为9千件时,该公司在这一品牌服装的生产中

所获年利润最大.

本讲规律总结 1.函数与方程
(1) 函数 f(x) 有零点 ? 方程 f(x) = 0 有根 ? 函数 f(x) 的

图象与x轴有交点.
(2)函数f(x)的零点存在性定理 如果函数 f(x) 在区间 [a , b] 上的图象是连续不断的

曲线,并且有f(a)· f(b)<0,那么,函数f(x)在区间(a,
b)内有零点,即存在c∈(a,b),使f(c)=0.

①如果函数 f(x) 在区间 [a , b] 上的图象是连续不断的
曲线,并且函数 f(x) 在区间 [a , b] 上是一个单调函数, 那么当 f(a)· f(b)<0 时,函数 f(x) 在区间 (a, b) 内有唯一

的零点,即存在唯一的c∈(a,b),使f(c)=0.
②如果函数 f(x) 在区间 [a , b] 上的图象是连续不断的

曲线,并且有f(a)· f(b)>0,那么,函数f(x)在区间(a,
b)内不一定没有零点.

2.函数综合题的求解往往应用多种知识和技能.因此,
必须全面掌握有关的函数知识,并且严谨审题,弄 清题目的已知条件,尤其要挖掘题目中的隐含条件

. 要认真分析,处理好各种关系,把握问题的主线,
运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决

.

3.应用函数模型解决实际问题的一般程序
读题 建模 求解 反馈 ? ? ? ?文字语言? ?数学语言? ?数学应用? ?检验作答?

与函数有关的应用题,经常涉及到物价、路程、产值、
环保等实际问题,也可涉及角度、面积、体积、造价的

最优化问题 . 解答这类问题的关键是确切的建立相关函
数解析式,然后应用函数、方程、不等式和导数的有关 知识加以综合解答.

真题与押题

? 真题感悟 ? 押题精练

1
? 1 ? -3, 1.(2014· 重庆)已知函数 f(x)=?x+1 ? x, ?

2

真题感悟

x∈?-1,0], x∈?0,1],

且 g(x)=f(x)-mx-m 在(-1,1]内有且仅有两个不同的零点, 则实数 m 的取值范围是( ? 9 ? ? 1? ? ? ? ? A.?- ,-2?∪?0, ? 2? ? 4 ? ? ? 9 ? ? 2? ? ? ? ? C.?- ,-2?∪?0, ? 3? ? 4 ? ? )
? 11 ? ? 1? ? ? ? ? B.?- ,-2?∪?0, ? 4 2? ? ? ? ? 11 ? ? 2? ? ? ? ? D.?- ,-2?∪?0, ? 4 3? ? ? ?

1

2

真题感悟

解析
-2).

作出函数f(x)的图象如图所示,其中A(1,1),B(0,

1

2

真题感悟

因为直线y=mx+m=m(x+1)恒过定点C(-1,0),

1 故当直线y=m(x+1)在AC位置时,m= , 2
可知当直线y=m(x+1)在x轴和AC之间运动时两图象有
两个不同的交点(直线y=m(x+1)可与AC重合但不能与 1 x轴重合),此时0<m≤ 2 ,g(x)有两个不同的零点.

1

2

真题感悟

当直线y=m(x+1)过点B时,m=-2;

当 直 线 y = m(x + 1) 与 曲 线 f(x) 相 切 时 , 联 立
? 1 ?y= -3, x + 1 ? ?y=m?x+1?, ?

得 mx2+(2m+3)x+m+2=0,
9 , 4

由Δ=(2m+3)2-4m(m+2)=0,解得m=-

1

2

真题感悟

可知当y= m(x+1)在切线和 BC之间运动时两图象有两

个不同的交点(直线y=m(x+1)可与BC重合但不能与切
线重合),

9 此时- <m≤-2,g(x)有两个不同的零点.综上,m 的取 4 9 1 值范围为(- ,-2]∪(0, ],故选 A. 4 2 答案 A

1

2

真题感悟

2.(2014· 北京)加工爆米花时,爆开且不糊的 粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用 率”.在特定条件下,可食用率p与加工时

间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+
c(a、b、c是常数),如图记录了三次实验的

数据.根据上述函数模型和实验数据,可以
得到最佳加工时间为( )

A.3.50分钟

B.3.75分钟

C.4.00分钟

D.4.25分钟

1

2

真题感悟

解析

根据图表,把(t,p)的三组数据(3,0.7),(4,0.8),

(5,0.5)分别代入函数关系式,
?0.7=9a+3b+c, ? 联 立 方 程 组 得 ?0.8=16a+4b+c, ? ? 0.5=25a+5b+c,
? ?7a+b=0.1, ? ? ?9a+b=-0.3,

消去 c 化简得

?a=-0.2, ? 解得?b=1.5, ? ? c=-2.0.

1
2

2

真题感悟

1 2 15 225 45 所以 p=-0.2t +1.5t-2.0=- (t - t+ )+ -2 5 2 16 16 1 15 2 13 =- (t- ) + , 5 4 16

15 所以当 t= =3.75 时,p 取得最大值, 4

即最佳加工时间为3.75分钟.
答案 B

1

2

3

押题精练

? ?x+1,x≤0, 1.已知函数 f(x)=? 则函数 y=f[f(x)+1] ? ?log2x,x>0,

的零点有________个.

解析 当f(x)=0时,x=-1或x=1,
故f[f(x)+1]=0时,f(x)+1=-1或1.
1 当f(x)+1=-1,即f(x)=-2时,解得x=-3或x= ; 4

1

2

3

押题精练

当f(x)+1=1,即f(x)=0时,解得x=-1或x=1.

故函数y=f[f(x)+1]有四个不同的零点.
答案 4

1

2

3

押题精练

2.函数 f(x)= xex - a有两个零点,则实数 a的取值范

围是________. 解析 令f′(x)=(x+1)ex=0,得x=-1,
则当x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0, 当x∈(-1,+∞)时,f′(x)>0, f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单 调递增,

1

2

3

押题精练

要使f(x)有两个零点,则极小值f(-1)<0, 1 - 1 即-e -a<0,∴a>- , e 又x→-∞时,f(x)>0,则a<0,
1 ∴a∈(- ,0). e 1 答案 (- ,0) e

1

2

3

押题精练

3.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析每台

机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机
器运转时间 x( 单位:年 ) 的关系为 y =- x2 + 18x - 25(x∈N*). 则当每台机器运转 ________ 年时,年平

均利润最大,最大值是________万元.

1

2

3

押题精练

解析 由题意知每台机器运转x年的年平均利润为 y 25 =18-(x+ ),而x>0, x x
y 故 ≤18-2 25 =8, x

当且仅当x=5时,年平均利润最大,最大值为8万元 .


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