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2014导数高考题压轴题及答案

时间:2014-06-28


2014 导 数 高 考 题 及 答 案
( 2014 全 国 新 课 标 1 文 数 21 )

(泉州市质检)

(2014 福州市质检 文数 22. )(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? a ln x, g ( x) ? x .其中
2

x? R.
(Ⅰ)若曲线 y

=f(x)与 y=g(x)在 x=1 处的切线相互平行,求两平行直线间的距离; (Ⅱ)若 f(x)≤g(x)-1 对任意 x>0 恒成立,求实数 a 的值; (Ⅲ)当 a<0 时,对于函数 h(x)=f(x)-g(x)+1,记在 h(x)图象上任取两点 A、B 连线的斜 率为 k AB ,若 kAB ? 1 ,求 a 的取值范围. 22. 解: (Ⅰ) f ' ( x ) ?

a , g ' ( x ) ? 2 x ,依题意得:a=2; ……………2 分 x

曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线为 2x-y-2=0, 曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线方程为 2x-y-1=0. ……………3 分 两直线间的距离为

5 ……………4 分 5

a a ? 2x 2 (Ⅱ)令 h(x)=f(x)-g(x)+1, ,则 h' ( x ) ? ? 2 x ? x x
当 a≤0 时, 注意到 x>0, 所以 h' ( x ) <0, 所以 h(x)在(0,+∞)单调递减, ………………5 分 又 h(1)=0,故 0<x<1 时,h(x)>0,即 f(x)> g(x)-1,与题设矛盾. ……………6 分 当 a>0 时, h' ( x) ?

2 a a ( ? x)( ? x)(x ? 0) x 2 2

当0 ? x ?

a a , h' ( x) ? 0, 当 x ? 时, h' ( x) ? 0 2 2
?
a? 上是增函数,在? 2? ? a ? ,+∞ 上是减函数, ……………8 分 2 ?

所以 h(x)在?0, ∴ h(x)≤ f (

a a a a ) ? ln ? ? 1 2 2 2 2 a a a ) ? h(1) ? 0 与 h( ) ? 0 不符. ≠1, h( 2 2 2

因为 h(1)=0,又当 a≠2 时, 所以 a=2. ……………9 分

(Ⅲ)当 a<0 时,由(2)知 h' ( x ) <0,∴h(x)在(0,+∞)上是减函数, 不妨设 0<x1≤x2,则|h(x1)-h(x2)|=h(x1)-h(x2),|x1-x2|=x2-x1, ……………10 分 ∴|h(x1)-h(x2)|≥|x1-x2| 等价于 h(x1)-h(x2)≥x2-x1,即 h(x1)+x1≥h(x2)+x2, ……………11 分 令 H(x)=h(x)+x=alnx-x2+x+1,H(x)在(0,+∞)上是减函数, ∵ H ' ( x) ?

a ? 2x 2 ? x ? a ? 2x ? 1 ? (x>0), ……………12 分 x x

∴-2x2+x+a≤0 在 x>0 时恒成立,∴a≤(2x2-x)min ……………13 分 又 x>0 时, (2x2-x)min= ?

1 8

1 1 ∴a≤- ,又 a<0,∴a 的取值范围是 ( ?? ,? ] . ……………14 分 8 8

(2014 福建省高考文数 22.) (本小题满分 12 分) 已知函数

f ( x) ? ex ? ax ( a 为常数)的图像与 y 轴交于点 A ,曲线 y ? f ( x) 在点 A 处

的切线斜率为 ?1 .学科网 (1)求 a 的值及函数

f ( x) 的极值;
2

(2)证明:当 x ? 0 时, x

? ex
x

(3)证明:对任意给定的正数 e ,总存在 x0 ,使得当 x ? ( x0 , ??) 时,恒有 x ? ce


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