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函数的对应法则求法


第六小组组长:杨丹 组员:陈静、严英、田晓东、黄以纯、郑美艳、冯 康欣、杨琴、袁杰、宋慧玲

函数的对应法则定义
就是指“送数”的方式,它决定了函数的对 应法则将对应法则的作用对象以何种方式 “送”出去,送出去后又成为什么结果 (表达式).对于函数 y=f(x)(x∈R, y∈R),对应法则,“f”只是个代号,重要 的是要弄清对应法则的实质,如函数

f(x)= 2x2-x-3的对应法则的含义是指“对象的 平方的两倍与对象的差,再与3的差”,明 确了“自变量”x与“应变量”2x2-x-3 的对应关系.而2x2-x-3是函数f(x)的表 达式,2x2+3x-2是函数f(x+1)的表达 式.

函数对应法则的求法
? 1.待定系数法:已知函数模型(如:一次函数,二 次函数,指数函数等)求解析式,首先设出函数解 析式,根据已知条件代入求系数 。

? 例:是否存在满足下列条件的函数:是三次 函数,且 如存在,求 出的表达式;若不存在,说明理由. ? 分析:首先假设函数存在,用字母设出函数 的解析式,利用已知的条件建立方程或方程 组,解方程组,求出未知数,写出函数解析 式.

解:设 ,则 ? 由题意可建立方程式,得



? 解以上方程组,得

? ? ? 故存在满足条件的的函数 存在 ,表达式为

? 2、换元法:已知f(g(x)),求f(x)的解 析式,一般的可用换元法。具体为: 令t=g(x),在求出f(t)可得f(x)的解析 式。换元后要确定新元t的取值范围。
? 例:已知f(1/x)=x/(1-x),求f(x)的 解析式? ? 解:令t=1/x(t≠0),则x=1/t ? 所以f(t)=(1/t)/(1-1/t)=1/(t-1) ? 所以f(x)=1/(x-1)(x≠0)

? 3、解方程组法:求抽象函数的解析式, 往往通过变换变量构造一个方程,组 成方程组,利用消元法求f(x)的解 析式。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

例:已知af(x)+bf(-x)=cx; af(-x)+bf(x)=-cx; 求f(x) 解:af(x)+bf(-x)=cx; 1 af(-x)+bf(x)=-cx; 2 1式*a 2式*b 得a^2f(x)+abf(-x)=acx 3 abf(-x)+b^2f(x)=-bcx 4 3-4 (a^2-b^2)f(x)=(ac+bc)x 所以f(x)=cx/(a-b)

? 4、特殊值代入法:令变量取某些特殊值, 从而减少未知元,求出函数解析式. ? 例:已知f(x)是定义在R上的函数,且 f(0)=1,f(y-x)=f(y)-xe3x+y,求函数f(x)解 析式。 ? 解:取x=y,则由已知等式,有f(0)=f(x)xe4x, ? ∵f(0)=1,∴f(x)=1+xe4x.

? 5、配凑法:把形如f(g(x))内的g(x)当做整 体,在解析式的右端整理成只含有g(x)的形 式,再把g(x)用x代替。 一般的利用完全平 方公式。 ? 例:已知f(x-1/x)=x2+1/x2,求f(x)解析式。 ? 解:f(x-1/x)=(x-1/x)2+2 ? 则f(x)=x2+2

? 6、归纳递推法:若函数的定义域为N,且函数关系式是由
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 递推关系给出的,可用递推法求出f(x). 例: 已知函数f(x)定义域为N,且对任意的n∈N,都满足 f(n+1)=f(n)+2n+1,f(1)=1,求f(x). 解 由f(n+1)=f(n)+2n+1, 依次令n=1,2,…,n-1,有 f(2)=f(1)+3, f(3)=f(2)+5, …… f(n)=f(n-1)+2n-1, 以上n-1个式子相加,得 f(n)=f(1)+3+5+…+(2n-1) =1+3+5+…+(2n-1)=n2,故f(x)=x2(x∈N).

? 7、数列法:求定义在正整数集N上的函数f(n),实际
? ? ? ? ? ? 上就是数列{f(n)}(n=1,2,…)的通项.数列法就是利用等 比、等差数列的有关知识(通项公式、求和公式等)求定义 在N上的函数f(n). 例:已知f(1)=1,且对任意正整数n,都有 f(n+1)=3f(n)+2,求f(n). 解 由f(n+1)=3f(n)+2,有 f(n+1)+1=3[f(n)+1)]. ∴f(n+1)+1[]f(n)+1=3. {f(n)+1}为公比是3的等比数列,其首项为 f(1)+1=1+1=2. ∴f(n)+1=2?3n-1,即f(n)=2?3n-1-1.

? 8、参数法:一般地,通过设参数、消参数 得出函数的对应关系,从而求出f(x)的表达 式. ? 例:已知f(2-cosx)=5-sin2x,求f(x). ? 解 :设所求函数y=f(x)的参数表达式为 x=2-cost, ? y=5-sin2t;cost=2-x, ① ? sin2t=5-y.② ? ①2+②,消去参数t,得y=x2-4x+8,即 f(x)=x2-4x+8,x∈[1,3]

? 9、相关点法:一般的,设出两个点,一点已知,

? ? ? ?

一点未知,根据已知找到两点之间的联系,把已 知点用未知点表示,最后代入已知点的解析式整 理出即可。(轨迹法) 例:已知函数y=f(x)的图像与y=x2+x的图像关于 点(-2,3)对称,求f(x)的解析式。 解:设(x,y)为f(x)上与y=x2+x关于(-2,3) 的对称点,(a,b)为y=x2+x上的点 故(x+a)/2=-2;(y+b)/2=3,所以a=-4-x,b=6-y, 代入y=x2+x,得 6-y=(-4-x)2+(-4-x),所以y=-x2-7x-6


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